Unidad 2: SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS.

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1 Uidd : SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS. U sucesió es u cojuto ordedo de elemetos que respode u ley de formció. L sucesió suele brevirse: (,...) ( ) =,, 3,..., 3 Siedo el primer térmio, el segudo térmio, el tercer térmio, etc. y los putos suspesivos files idic que cosidermos sucesioes de ifiitos térmios. Ejemplos: ( )=,,,,...,,... N : = 3 4 ( b )=,,,,...,,... N : b = 3 4 ( c ) =,, 4,... 8 N :( c ) = Observció: L fórmul que prece l fil de cd ejemplo es l que proporcio l ley o regl de formció de los elemetos de l sucesió. Podemos observr e los ejemplos teriores que cd úmero turl le correspode u térmio de l sucesió y solmete uo, y que los térmios de l sucesió puede ser elemetos de culquier cojuto umérico. Esto os d l ide que u sucesió es u fució, cuyo domiio es el cojuto de todos los úmeros turles y su recorrido culquier cojuto umérico. Trbjremos co sucesioes de úmeros reles, es decir, quells cuyo domiio está formdo por úmeros turles, y cuyo recorrido está formdo por úmeros reles. Apute de Teorí y Práctic Año 008-pr Lic. e Admiistrció de Empress y C.P.N.

2 Cosideremos uevmete l sucesió: (,...) ( ) =,, 3,..., Si teemos e cuet el cocepto de fució, es l imge del úmero turl por medio de l sucesió; es l imge del úmero turl por medio de l sucesió y sí e ese orde. Defiició: U sucesió uméric es u fució cuyo domiio es el cojuto de los úmeros turles y cuyo recorrido está icluido e el cojuto de los úmeros reles. E símbolos: U sucesió es u fució s: N R / N: s( ) = Represetció gráfic. Se l sucesió ( ) =,,, 3 4,...,,... Es usul represetr directmete sus térmios sobre l rect rel de l siguiete mer: Actividd 0... ¼ ½ Represetr gráficmete ls sucesioes dds teriormete como ejemplos. Apute de Teorí y Práctic Año 008-pr Lic. e Admiistrció de Empress y C.P.N.

3 3 SUCESIONES ACOTADAS El úmero rel p es u cot superior de l sucesió ( ) sí y sólo si: N: p. De modo similr, q es cot iferior de l sucesió ( ) sí y sólo si: N : q. Si u sucesió dmite cots iferiores y cots superiores se dice que está cotd. Si u sucesió tiee u cot superior, tiee u ifiidd de cots superiores. El mismo cometrio vle pr ls cots iferiores. L meor de ls cots superiores se llm supremo de l sucesió, mietrs que l myor de ls cots iferiores se deomi ífimo de l sucesió. SUCESIÓN CONVERGENTE. L oció de covergeci está uid l comportmieto de u sucesió ( ) cudo crece rbitrrimete. Por ejemplo, se l sucesió ( ) tl que =. Podemos dibujr sobre l rect rel los primeros térmios: = = 0 3 = = 4 Se puede observr que medid que crece los térmios de l sucesió se cerc 0. E geerl, si los térmios de u sucesió se proxim l úmero L cudo crece de mer o cotd o pr vlores de suficietemete grde, se dice que l sucesió coverge L y escribimos: lim = L Apute de Teorí y Práctic Año 008-pr Lic. e Admiistrció de Empress y C.P.N.

4 4 El límite fiito de l sucesió correspode l límite fuciol: lim x > f ( x) = L lim = L, o se escribe > De hí que e l otció qued sobretedido., porque esto DEFINICIÓN: L sucesió ( ) coverge l úmero L,y se escribe : lim = L si pr todo ε > 0, existe u úmero turl N tl que, pr todo > N se - L < ε. Lo que esto quiere decir: L otció lim = L sigific que los térmios de l sucesió, se puede proximr L cuto se quier, co tl de tomr lo suficietemete grde. Gráficmete: - L-ε L + L+ε L figur muestr u iterpretció geométric de l defiició: Que lim = L, sigific que pr culquier ε > 0, e el itervlo (L - ε, L + ε ) está todos los térmios de l sucesió desde u e delte. Apute de Teorí y Práctic Año 008-pr Lic. e Admiistrció de Empress y C.P.N.

5 5 SUCESIONES DIVERGENTES Dds ls siguietes sucesioes: ( ) = (,, 3, 4,...,,...) ( b ) = ( - ½, -, -3/, -,...,-/,...) No tiee límite fiito. E l sucesió ( ), sus térmios, prtir de uos de ellos, super culquier úmero positivo que se elij. E l sucesió ( b ) los térmios egtivos super e vlor bsoluto, prtir de uo de ellos, culquier úmero positivo que se elij. Se dice que ests sucesioes tiee límite ifiito. U sucesió es divergete si y solo si su límite es ifiito. Se escribe: lim = SUCESIÓN OSCILANTE. U sucesió es oscilte si y solo si o tiee límite fiito i límite ifiito. Ejemplos: ( ) = ( 0,, -, 0,, -, 0,, -,...) ( b ) = Si es pr b = + + ) ( =,,,,, Ests sucesioes o tiee límite fiito i ifiito. Cosideremos l segud sucesió: Si es impr b = Luego, o tiee límite fiito i ifiito. Apute de Teorí y Práctic Año 008-pr Lic. e Admiistrció de Empress y C.P.N.

6 6 SUCESIONES MONÓTONAS U sucesió uméric ( ) es creciete sí y sólo si: N : + y es estrictmete creciete sí y solo si : N : < + De modo similr ( ) es decreciete sí y sólo si: N : + y es estrictmete decreciete si y solo si: N : > + Ls sucesioes crecietes o decrecietes se llm moótos. Aceptmos si demostrció el siguiete teorem. TEOREMA FUNDAMENTAL U sucesió moóto está cotd si y solo si es covergete. Vemos como se puede empler este teorem. Se l sucesió ( ) = + Escribimos lguos térmios de l sucesió: ( ) = ( 3,, 5/3, 3/,7/5,...) Gráficmete teemos: 0 3/5 5/3 3 Vemos que es u sucesió estrictmete decreciete. Apute de Teorí y Práctic Año 008-pr Lic. e Admiistrció de Empress y C.P.N.

7 7 Probmos esto de l siguiete mer: + = + = Debe ocurrir que: N: ( > = = ) = = < + > + > + + > + + > +, como querímos probr. Est sucesió est demás cotd: el supremo es 3 y pr ver de qué mer está cotd iferiormete hcemos lo siguiete: + = + pr úmero turl suficietemete grde. Luego el ífimo es. Teemos etoces u sucesió moóto decreciete y cotd (iferiormete, e prticulr) luego por el Teorem Fudmetl es covergete. Además se puede probr que: si ( ) es moóto decreciete, lim = ífimo ( ) si ( ) es moóto creciete, lim = supremo ( ) Por lo tto lim = Actividd Relizr u tre similr co l sucesió ( b ) = 7 + Apute de Teorí y Práctic Año 008-pr Lic. e Admiistrció de Empress y C.P.N.

8 8 Series Numérics Dd l siguiete sucesió de úmeros reles: (,...) ( ) =,, 3,..., Cosideremos ls sums prciles de sus térmios: S = S = + S3 = S = Podemos costruir u sucesió formd co l sums prciles de l sucesió ( ). S ( S, S S S,... ) Esto es ( ) = Est uev sucesió ( sucesió ( ). Los úmeros úmeros, 3,... S,, 3,... S, S, S3,... ) se llm serie uméric socid l se llm térmios de l serie y los so sus sums prciles. Ejemplo Se ( ) = =,,,... 3 S = 3 S = + = S3 = + + = 3 6 Apute de Teorí y Práctic Año 008-pr Lic. e Admiistrció de Empress y C.P.N.

9 9 3 S =,,,... es l serie socid l sucesió 6 Luego ( ) Pr poer e evideci los térmios de l serie, suele llmrse serie l sum forml: = = Luego, l serie terior puede expresrse como = Ó simplemete U serie es covergete, divergete u oscilte sí y sólo si l sucesió de sums prciles que l defie es, respectivmete, covergete, divergete u oscilte. Si l serie es covergete, el límite de l sucesió de sums prciles se llm sum de l serie. Lim ( S ) = S y e ése cso se sig este úmero como vlor de l sum forml: = = S Apute de Teorí y Práctic Año 008-pr Lic. e Admiistrció de Empress y C.P.N.

10 0 SERIE GEOMÉTRICA Comecemos recorddo l oció de sucesió o progresió geométric:,...,, r, r r se trt de u sucesió e l que cd térmio se obtiees multiplicdo el terior por u vlor costte llmdo rzó. Ejemplo: Si = y r = 3, teemos l siguiete progresió geométric:,.3,.3.3,.3.3.3,..., 3 4 -,.3,.3,.3,.3,...,.3, 6, 8,... Ahor bie, u serie geométric es u serie de l form 3... r = + r + r + r + + r +... = Recibe este ombre, de serie geométric, pues sus térmios correspode u progresió geométric de rzó r ( r 0 )defiid S = + rrib. Pr obteer r + S r + r r + r, seguimos el siguiete procedimieto: multiplicmos mbos miembros por r : rs = r + r + r r + 3 r Restdo result: S ( -r ) = - r = ( -r ) S = ( r ) r Si r Apute de Teorí y Práctic Año 008-pr Lic. e Admiistrció de Empress y C.P.N.

11 Pr determir el crácter de l serie geométric debemos clculr lim. S Se preset vrios csos, segú el vlor de r. Se r tl que: - < r < o r < Si r < lim r = 0 Luego lim S = lim r r lim r = r Luego, l serie coverge y su sum es S = r Si r > o r < - o r =, l serie es divergete. Si r = -, l serie geométric es oscilte. Apute de Teorí y Práctic Año 008-pr Lic. e Admiistrció de Empress y C.P.N.

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