Definición 13.1 Definimos el conjunto de los polinomios de Laguerre {L n (t)} n N 0 mediante una cualquiera de las siguientes ecuaciones:

Transcripción

1 Capítulo 13 Polinomios de Laguerre 13.1 Definición Definición 13.1 Definimos el conjunto de los polinomios de Laguerre {} n N mediante una cualquiera de las siguientes ecuaciones: = e t dn ( t n e t) = ( 1) n t n + +, (13.1a) dt n n ( ) ( ) n d = e t n t n d e t, (13.1b) dt n dt = n ( ) n n = ( 1)! t = ( 1) (n )! (!) 2 t. (13.1c) = Algunos de los polinomios en forma explícita: L (t) = 1 L 1 (t) = t + 1 L 2 (t) = t 2 4t Función generatriz = L 3 (t) = t 3 + 9t 2 18t + 6 L 4 (t) = t 4 16t t 2 96t Definición 13.2 La función generatriz Ψ(t, x) está definida por la siguiente relación: x n. (13.2) Usando (13.1c) obtenemos: n= n= = n ( 1)! ( ) n t x n

2 124 CAPÍTULO 13. POLINOMIOS DE LAGUERRE Cambiemos el orden de suma. El primer gráfico corresponde a la forma en que estabamos sumando fijamos un n en el eje horizontal con n = 1,, y luego consideramos los v variando desde 1 a n, flechas verticales hacia arriba. El segundo corresponde a la misma suma pero hecha de forma diferente fijamos un en el eje vertical con = 1,, y luego consideramos los n variando desde a, flechas horizontales hacia la derecha. Obtenemos n = n= n ( ) ( 1) n t x n.! Haciendo el cambio de índice m = n : ( 1)! = m= ( ) m + t x m+. Reordenando ( 1) =! t x m= ( ) m + x m. Pero ( ) m + x m = m= ( ) +1 1 cuando x < 1, luego ( 1) =! ( x t ) 1 = 1 ( 1) =! ( ) tx. Finalmente 1 ( ) tx exp = n= x n (13.3)

3 13.3. RELACIONES DE RECURRENCIA Relaciones de recurrencia Reescribamos la definición de la función generatriz ( ) tx exp = () Derivemos respecto a x: ( ) t tx () exp = () 2 Usando (13.4) y comparando coeficientes de x, n=1 n= (n 1)! x(n 1) x n. (13.4) n= x n. L n+1 (t) + (t 2n 1) + n 2 L n 1 (t) = (13.5) De la misma manera, derivando (13.4) respecto a t, se obtiene 13.4 Ecuación de Laguerre Diferenciando dos veces (13.4) respecto a t, De (13.6) tenemos L n(t) n L n 1(t) + n L n 1 (t) = n 1. (13.6) L n+2(t) + (t 2n 3)L n+1(t) + (n + 1) 2 L n(t) + 2L n+1(t) =. (13.7) de donde obtenemos, derivando nuevamente, Cambiando n n + 1, Usando (13.8) y (13.9), L n+1(t) = (n + 1) [L n(t) ], (13.8) L n+1(t) = (n + 1) [L n(t) L n(t)]. (13.9) L n+2(t) = (n + 2) [ L n+1(t) L n+1(t) ]. L n+2(t) = (n + 2)(n + 1) [L n(t) L n(t) L n(t) + ], L n+2(t) = (n + 2)(n + 1) [L n(t) 2L n(t) + ]. (13.1) Reemplazando (13.8), (13.9) y (13.1) en (13.7), (n + 2)(n + 1) [L n(t) 2L n(t) + ] + (t 2n 3)(n + 1) [L n(t) L n(t)] +(n + 1) 2 L n(t) + 2(n + 1) [L n(t) ] = (n + 1) (n t 2n 3 + n + 1) L n(t) + (n + 1) (2n 4 t + 2n ) L n(t) +(n + 1) (n + 2 2) = (n + 1) t L n(t) + (n + 1) (1 t) L n(t) + (n + 1)n =.

4 126 CAPÍTULO 13. POLINOMIOS DE LAGUERRE Dividiendo por (n + 1) obtenemos t L n(t) + (1 t) L n(t) + n = (13.11) Es decir, es una solución de la ecuación de Laguerre t y (t) + (1 t) y (t) + n y(t) =. (13.12) Consideremos esta ecuación, pero en una forma más general: t y (t) + (1 t) y (t) + λ y(t) =. Buscando soluciones del tipo y(t) = a t, = es fácil demostrar que los a satisfacen la siguiente relación de recurrencia: Lo anterior tiene varias consecuencias: a +1 = λ ( + 1) 2 a. (i) El coeficiente a puede elegirse libremente, quedando a 1, a 2,... así determinados por a. Se obtiene un espacio de soluciones de dimensión uno. Para encontrar la otra solución linealmente independiente hay que analizar ecuaciones del tipo Esto se hará en el capítulo siguiente. f + p(z)f + q(z)f =. (ii) Al hacer el cuociente entre los coeficientes tenemos a +1 a = 1. Esto implica radio de convergencia infinito para la serie. (iii) Los valores λ =, 1, 2, 3,... son excepcionales: dan soluciones polinomiales. (iv) Si λ N todos los coeficientes de índice suficientemente grande son positivos o negativos. Esto implica un crecimiento muy rápido.

5 13.5. ORTOGONALIDAD Ortogonalidad Consideremos Sea m >, entonces I = t m e t dt, con m < n. integrando por partes, t m I = t m dn 1 ( t n e t) dt n 1 m dn dt n ( t n e t) dt, t m 1 Integrando n veces por partes se obtiene entonces dn 1 dt n 1 ( t n e t) dt. Si m < n, luego I = ( 1) n m! d n m dt n m ( t n e t) dt. I = ( 1) n m! dn m 1 ( t n e t) dt n m 1 =, L m (t) e t dt = si m < n. Por simetría la integral va a ser nula siempre que m n. Si m = n, Resumiendo ambos casos, L 2 n(t) e t dt = ( 1) n ( 1) n t n e t dt = () 2. L m (t) e t dt = () 2 δ nm (13.13) Basados en la relación de ortogonalidad (13.13) podemos definir un conjunto de funciones ϕ n (t) = 1 L n(t) e t/2. (13.14) Claramente ϕ n (t) ϕ m (t) dt = δ nm.

6 128 CAPÍTULO 13. POLINOMIOS DE LAGUERRE Es decir, el conjunto {ϕ n (t)} n N corresponde a un conjunto de funciones ortonormales en el intervalo [, ). A partir de (13.14) podemos despejar los polinomios de Laguerre = e t/2 ϕ n (t), y usando la ecuación diferencial (13.11) que satisfacen, encontramos la ecuación para las funciones ϕ n (t): ( t ϕ n(t) + ϕ n(t) + n t ) ϕ n (t) =. (13.15) 2 Además, ϕ n (t) satisface lim ϕ n(t) = y lim ϕ n (t) <. t t 13.6 Polinomios asociados de Laguerre Al diferenciar m veces la ecuación (13.11) obtenemos t L (m+2) n (t) + (m + 1 t) L (m+1) n (t) + (n m) L (m) n (t) =. Podemos definir un nuevo conjunto de polinomios L m n (t) = dm dt m L n(t) para n m, (13.16) conocidos como los polinomios asociados de Laguerre. Los cuales son soluciones de la siguiente ecuación diferencial: Algunos de los primeros polinomios son: La función generatriz t y (t) + (m + 1 t) y (t) + (n m) y(t) =. (13.17) L 1 1 = 1, L 1 2 = 4 + 2t, L 2 2 = 2, L 1 3 = t 3t 2, L 2 3 = 18 6t, L 3 3 = 6. ( ) tx Ψ m (t, x) = ( 1) m x m exp = () m+1 L m n (t) n=m Utilizando esta ecuación podemos obtener las relaciones de recurrencia L m n+1(t) + (t 2n 1)L m n (t) + m L m+1 x n. (13.18) d dt Lm n (t) = L m+1 n (t), (13.19) n (t) + n 2 L m n 1(t) =, (13.2) L m n (t) n L m n 1(t) + n L m 1 n 1 (t) =. (13.21)

7 13.6. POLINOMIOS ASOCIADOS DE LAGUERRE 129 Finalmente, en forma análoga a lo que hicimos con los polinomios de Laguerre podemos definir las funciones ortogonales a partir de los polinomios asociados de Laguerre de la siguiente forma: Estas funciones satisfacen la ecuación diferencial d 2 y(t) + 2 ( dy(t) 1 dt 2 t dt 4 n t R n l (t) e t/2 t l L 2l+1 n+l (t). (13.22) ) l(l + 1) + y(t) =. (13.23) t 2 Esta ecuación aparece en Mecánica Cuántica al resolver el átomo de Hidrógeno. Especificamente, corresponde a la ecuación radial de Schrödinger para la función de onda del átomo de Hidrógeno.