Expresiones Algebraicas

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1 Semiario Uiversitario Matemática Módulo Epresioes Algebraicas Difícilmete se pueda estudiar cualquier rama de la matemática actual si u maejo algebraico razoable. Usamos la palabra maejo y o la de estudio, porque e matemática o es suficiete estudiar e el setido corriete de la palabra. El álgebra está metida e toda la matemática... Es bie coocida la utilidad del álgebra e la química y e la física... E geeral muchos capítulos del álgebra ha adquirido vigecia y aparece iesperadamete despertado el iterés de ecóomos, biólogos y estadísticos... Ezo Getile Ua epresió algebraica es aquella que vicula úmeros y letras por medio de las operacioes aritméticas: suma, resta, producto, cociete, poteciació y radicació. Por ejemplo, so epresioes algebraicas: ; 5 ; y 5 z. y Segú las operacioes que afecte a la o las idetermiadas las podemos clasificar e segú el siguiete cuadro: Epresioes Algebraicas Racioales I rracioales Eteras Fraccioarias POLINOMIO EN UNA VARIABLE Se llama poliomio e la variable de grado ( 0 ) a la siguiete epresió: ( ) 1 P a a 1 a... a a1 a0 o bie k P( ) ak k 0 dode a, a, a,..., a, a, a so los coeficietes; es la variable o idetermiada; y los epoetes de la variable so todos eteros o egativos. 1

2 Módulo : Epresioes Algebraicas El grado de u poliomio es el del térmio de más alto grado. Por ejemplo, el grado de es 5, pues el primer térmio es de quito grado (los demás so de grado, y 0 respectivamete). El coeficiete del térmio que determia el grado de u poliomio se deomia coeficiete pricipal. U poliomio está ordeado e forma creciete (decreciete) cuado el grado de cada uo de sus térmios va aumetado (dismiuyedo) cosecutivamete. U poliomio ordeado es completo cuado el grado de sus térmios aumeta o dismiuye de uo e uo, icluyedo al de grado cero. El poliomio cuyos coeficietes so todos ceros recibe el ombre de poliomio ulo. El poliomio ulo carece de grado. Si e u poliomio P () se reemplaza la idetermiada por u úmero real, se obtiee otro úmero real deomiado valor umérico del poliomio. Por ejemplo: Si P( ) P(1) P( ) 16 1 Tambié se dice que se ha especializado el poliomio P () para = 1, y para =. Dos o más térmios so semejates si so del mismo grado. Dos poliomios so iguales si y sólo si los coeficietes de los térmios de igual grado so respectivamete iguales. E símbolos: Dados ( ) y ( ) P a a a a a Q b b 1... b b1 b0 es P ( ) Q ( ) a b a 1 b 1... a b a 1 b 1 a 0 b 0. Resulta evidete que dos poliomios iguales tiee el mismo grado. Dos poliomios so opuestos si tiee opuestos los coeficietes de los térmios semejates. Al opuesto de u poliomio P () lo simbolizaremos P (). Por ejemplo, dado 7 P( ) 5, su opuesto es 7 P( ) 5. ACTIVIDAD 1 Dados los poliomios: 1 P( ) 5 0 ; Q( ) 56 ; R( ) 5 16 a) Determiar el grado y el coeficiete pricipal de cada uo de ellos. 1 b) Calcular: P(1) ; P( ) ; P(0) ; P() ; Q( ) ; Q ; Q() ; R() ; R ; P(1) Q() R(0). 5

3 SUMA Semiario Uiversitario Matemática OPERACIONES CON POLINOMIOS DE UNA VARIABLE Para sumar dos poliomios, se suma térmio a térmio los térmios semejates. Ejemplo: Dados P() = y Q() = 6 + 7, hallar P() + Q(): Es coveiete ordear los poliomios de la siguiete maera: P( ) Q( ) 6 7 P( ) Q( ) El grado del poliomio suma es meor o igual que el grado del poliomio sumado de mayor grado. Para efectuar la resta de dos poliomios, se suma al poliomio miuedo el opuesto del P( ) Q( ) P( ) Q( ). poliomio sustraedo. E símbolos: Ejemplo: Dados P( ) 5 8 Q( ), hallar P( ) Q( ) : La disposició es similar que la usada para la suma, pero e lugar de escribir escribe el opuesto: P( ) 5 8 Q ( ) Q (), se P( ) Q( ) 7 PRODUCTO a) de u poliomio por u úmero real El producto de u poliomio por u úmero real se resuelve aplicado la propiedad distributiva: Ejemplo: 11 Si P( ) 5 1, hallar 6 P( ) : P( ) b) de dos poliomios Para efectuar el producto de dos poliomios, se hace la siguiete disposició práctica: Efectuar P( ) Q( ), si P( ) Q( ) :

4 Módulo : Epresioes Algebraicas E la primer fila debajo de la líea, ecotramos el producto de P () por, y e la seguda, el producto de P () por. Notemos que se va ecolumado los térmios semejates. Por último, efectuamos la suma. El grado del producto es igual a la suma de los grados de los poliomios factores. Productos Especiales Cuadrado de u biomio: a a a Cubo de u biomio: a a a a Producto de la suma por la diferecia de dos térmios: a a a COCIENTE Para resolver el cociete de u poliomio por u úmero real se aplica la propiedad distributiva, La disposició práctica para efectuar el cociete etre dos poliomios es la que se muestra e el siguiete ejemplo, dode se resuelve el cociete: : Rest o El procedimieto a seguir es el siguiete: 1. El poliomio dividedo debe escribirse ordeado e forma decreciete y completa.. Se divide el primer térmio del poliomio dividedo por el primer térmio del poliomio divisor.. Se multiplica este resultado por el divisor y se resta del poliomio dividedo.. Se baja los térmios ecesarios y se repite la operació hasta obteer ua epresió de grado meor que el del divisor. Esta última epresió recibe el ombre de resto. El grado del poliomio cociete es igual a la diferecia etre el grado del poliomio dividedo y el del poliomio divisor. ACTIVIDAD Dados los poliomios: P( ) ; Q( ) 5 ; R( ) 5 ; S( ) 5 18

5 Semiario Uiversitario Matemática Calcular: a) P Q b ) Q R c ) P R 1 1 d ) S P R e ) S P R f ) P Q S R g ) S : R h ) R S i ) P Q R Divisió de u poliomio de ua variable por otro de la forma a Para dividir u poliomio P () por otro de la forma a, se hace uso de ua regla práctica coocida como regla de Ruffii. Esta regla permite calcular los coeficietes del cociete ates mecioado, veámosla e u ejemplo: Dividir : Resto Coeficietes del poliomio cociete Procedimieto: 1. E la primera fila se escribe los coeficietes del poliomio dividedo, ordeados e forma decreciete y completa. (Si falta algú térmio se completa co cero.). E el águlo superior izquierdo se escribe a.. Se baja el primero de los coeficietes y se multiplica por a. Este resultado se escribe debajo del siguiete y se efectúa la suma.. Se cotiúa el procedimieto hasta el último coeficiete. Los úmeros obteidos so los coeficietes del poliomio cociete, y el último es el resto de la divisió. Como ya hemos visto, el grado del poliomio cociete es la diferecia etre el grado del poliomio dividedo y el del poliomio divisor, por lo que, al dividir aplicado la Regla de Ruffii, el grado del cociete es ua uidad meor que el grado del divisor : 5 17 ; rest o 51 Teorema del Resto: El resto de la divisió de P () por ( a) es igual a P (a) Demostració: Si C() es el cociete de P ():( a) y el resto es igual a R, etoces se cumple: P( ) C( ) a R ; haciedo a : P( a) C( a) a a R, pero a a 0, etoces C( a) 0 0 P( a) R Apliquemos el teorema del resto e el cociete que resolvimos por la regla de Ruffii: 5

6 Módulo : Epresioes Algebraicas R El teorema del resto puede servir como verificació, para saber si hemos resuelto correctamete u cociete mediate la regla de Ruffii, pero su aplicació más importate es para averiguar si u poliomio es divisible o o por otro de la forma ( a), ya que si lo es, el resto de la divisió será cero y la aplicació del teorema, os evita el teer que resolver el cociete. Cosecuecia del teorema del resto: Si P (a) = 0, etoces P () es divisible por ( a). ACTIVIDAD Dividir los siguietes poliomios aplicado la regla de Ruffii, verificar el resto aplicado el teorema correspodiete: 5 7 a) 5 : b ) 5 : 1 c ) 1 : 1 CEROS O RAÍCES DE UN POLINOMIO Diremos que: a es cero o raíz de P () P (a) = 0 Ejemplos: a) es raíz de P( ) 5 10 pues P() b) es raíz de Q( ) pues Q( ) El problema de determiar los ceros de u poliomio os lleva a platear ua ecuació poliómica, es decir P () = 0. Se demuestra que Todo poliomio de grado admite raíces. Es decir que u poliomio de grado 1 admite ua úica raíz, uo de segudo grado tiee dos raíces, etc. Para hallar la raíz de u poliomio de grado 1, se despeja la icógita realizado operacioes a ambos lados del sigo igual: rest ado 10 a am bos m iem bros 10 5 dividiedo am bos m iem bros por operado 5

7 Semiario Uiversitario Matemática Las raíces de u poliomio de segudo grado fórmula resolvete: 1; P( ) a b c, se halla mediate la b b ac a Para hallar las raíces de u poliomio de grado mayor que, aplicaremos el teorema de Gauss, que permite resolver ua ecuació de grado superior e el caso de que eista al meos ua raíz racioal. ACTIVIDAD Hallar todos los ceros de los siguietes poliomios: a) P( ) 7 b ) Q( ) 6 10 c ) R( ) 9 8 d ) S ( ) 7 FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS U poliomio P () es primo o irreducible si o se puede descompoer e u producto de poliomios de grado positivo, meor que el grado de P. Por ejemplo, el poliomio 5 + puede escribirse de muchas maeras diferetes: ; ; pero todas ellas tiee algo e comú: so el producto de u úmero real por u poliomio de grado 1. Si volvemos a leer la defiició de poliomio primo, vemos que uestro ejemplo la cumple, pues todas las descomposicioes so el producto de u poliomio de grado cero (que o es positivo), por otro de grado 1 (que o es meor que el grado del poliomio dado), por lo tato, el poliomio propuesto e el ejemplo es primo. E geeral: todo poliomio de grado 1 es primo. Si u poliomio o es primo, se deomia compuesto. Estudiaremos ahora alguas formas de trasformar poliomios compuestos e productos de factores primos, a este proceso lo deomiamos factorizació o factoreo. Factor comú CASOS DE FACTOREO Ua epresió algebraica es factor comú cuado figura e todos los térmios del poliomio, por ejemplo: Observemos que etraer el factor comú es el proceso iverso a efectuar el producto de u moomio por u poliomio. Factor comú por grupos E este caso o hay ua epresió que sea comú a todos los térmios, pero el poliomio puede separarse e grupos de térmios que tiee u factor comú. (Los grupos formados debe teer igual catidad de térmios.) Ejemplo: 7

8 6 factor comú factor comú Módulo : Epresioes Algebraicas 1 1 Notemos que ha quedado dos térmios dode el coteido del parétesis es factor comú. 1 Se etrajo factor comú el parétesis Triomio Cuadrado Perfecto Vimos que al desarrollar el cuadrado de u biomio se obtiee u triomio, que se deomia triomio cuadrado perfecto. Para factorear u triomio cuadrado perfecto procedemos de la siguiete forma: Primero debemos ecotrar dos térmios que sea cuadrados perfectos. E uestro ejemplo: Luego, debemos verificar que el doble producto de las bases es igual al térmio restate: De acuerdo al sigo que tega este doble producto, el triomio será el cuadrado de la suma o de la diferecia de las bases, e uestro caso, es: Cuatriomio cubo perfecto Al desarrollar el cubo de u biomio, se obtiee u cuatriomio cubo perfecto. El método para factorearlo es similar al caso aterior, supogamos que queremos factorear Debemos ecotrar dos térmios cubos perfectos: 8 Después es ecesario hacer dos verificacioes: a) que el triplo del cuadrado de la primera base por la seguda es uo de los térmios restates: 6 ; b) y que el triplo de la primera base por el cuadrado de la seguda es el otro térmio: 1 Por lo tato, el cuatriomio queda factoreado como: Diferecia de cuadrados Vimos que al multiplicar ua suma por ua diferecia se obtiee la diferecia etre los cuadrados de los térmios, etoces, procediedo e forma iversa, ua diferecia de cuadrados se factorea como el producto de la suma por la diferecia de las bases. 6 Ejemplo: Suma o diferecia de potecias de igual grado Previamete, deberemos estudiar cuádo ua suma o diferecia de potecias de igual grado ( a. 8 a ), es divisible por la suma o diferecia de sus bases

9 Semiario Uiversitario Matemática a) a a Si aplicamos el teorema del resto: R a a Ahora bie, puede presetarse dos casos: que el epoete sea par o impar: a.1) Si es par: a.) Si es impar: R a a a a a 0 R a a a a 0 Coclusió: La suma de potecias de igual grado es divisible por la suma de las bases si el epoete es impar. b) a a Por el teorema del resto: R a a a 0, sea par o impar Coclusió: La suma de potecias de igual grado uca es divisible por la diferecia de las bases. c) a a Por teorema del resto: R a a Aalizamos segú sea par o impar: c.1) Si es par: R a a a a 0 c.) Si es impar: R a a a a a 0 Coclusió: La diferecia de potecias de igual grado es divisible por la suma de las bases si el epoete es par. d) a a El resto es: R a a 0, sea par o impar. Coclusió: La diferecia de potecias de igual grado siempre es divisible por la diferecia de las bases. Esto se puede resumir e el siguiete cuadro: : : Im par Nuca : Par : Siem pre Ejemplo 1: Factorear 7 Primero verificamos que es ua suma de potecias de igual grado, bases so y. 7. Las 9

10 Módulo : Epresioes Algebraicas Vemos que esta suma es divisible por la suma de las bases, ya que su epoete es impar, 7 por lo tato: C( ) Determiamos el poliomio cociete aplicado regla de Ruffii y obteemos C( ) 9, etoces: Ejemplo : Factorear: 16 E este caso, o podemos hacer el cociete por la suma de las bases, ya que el primer regló os idica que esto es posible sólo si el epoete es impar, pero tampoco podemos dividir por la diferecia de las bases, ya que la suma uca es divisible por la diferecia de las bases (segudo regló del cuadro). Por lo tato, esta epresió es irreducible. Ejemplo : Factorear: 8 Teemos aquí ua diferecia de potecias de igual grado impar. No podemos dividir por la suma, ya que esto es posible solamete si el epoete es par (tercer regló del cuadro), pero se puede hacer el cociete por la diferecia de las bases, ya que, como lo idica el cuarto regló del cuadro, es siempre posible. Haciedo el cociete: 8 y pasado el deomiador al segudo miembro: 8 Ejemplo : Factorear: 10 1 Esta diferecia de potecias de igual grado puede dividirse tato por la suma como por la resta (ver cuadro), e el primer caso es: 1 1 E el segudo caso: Regla práctica: Observemos que el factoreo de ua suma o diferecia de potecias de igual grado siempre es igual al producto de la suma o resta de las bases por u poliomio C(). Daremos alguas reglas que os permitirá formar dicho poliomio si teer que efectuar el cociete: a) Si C() multiplica a la suma de las bases, los sigos de sus térmios so alterados, e cambio si multiplica a la diferecia de las bases, sus térmios so todos positivos. b) El grado de C() es 1. c) C() tiee como primer térmio el producto de la primer base elevada a la 1 por la seguda co epoete cero, el segudo térmio es el producto de la primer base elevada a la por la seguda elevada al epoete 1, y así se forma los demás

11 Semiario Uiversitario Matemática térmios (los epoetes de la primer base decrece desde 1 hasta 0, y los de la seguda crece desde 0 hasta 1). Ejemplos: a) b ) ACTIVIDAD 5 Factorear las siguietes epresioes, idicado e cada ua de ellas el caso aplicado: 5 a) b ) c ) 100 d ) e) 6 Factorizació de u poliomio e fució de sus raíces El poliomio P ( ) a a... a a a, que tiee por raíces a los úmeros 1,,,...,, puede escribirse como P ( ) a.... Por ejemplo, el factoreo del poliomio 1 1 ; ; 5 1, es P( ) 5 P( ) 8 10, que tiee por raíces 1. ACTIVIDAD 6 Factorear los poliomios dados e la actividad e fució de sus raíces. DIVISOR COMÚN DE MAYOR GRADO (d.c.m.gr) Para calcular el divisor comú de mayor grado de dos o más poliomios, se factorea cada uo de ellos y se halla el producto de los factores comues, tomados cada uo co su meor epoete. Ejemplo: Hallar el d.c.m.gr de P( ) 9 Q( ) 6 Factoreado cada uo de ellos: P( ) 9 Q( ) 6 d.c.m.gr P, Q 11

12 Módulo : Epresioes Algebraicas MÚLTIPLO COMÚN DE MENOR GRADO (m.c.m.gr) Para calcular el múltiplo comú de meor grado de dos o más poliomios, se factorea cada uo de ellos y se halla el producto de los factores primos comues o o comues tomados cada uo de ellos co su mayor epoete. El m.c.m.gr de los poliomios del ejemplo aterior es: m.c.m.gr P, Q ACTIVIDAD 7 Calcular el d.c.m.gr y el m.c.m.gr de los siguietes poliomios: a) 6 ; b ) ; 1 ; 9 1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS Las epresioes algebraicas fraccioarias tiee la forma poliomios. Por ejemplo: 5. P( ) Q( ), dode P y Q so Simplificació de epresioes algebraicas racioales Si se divide umerador y deomiador de ua epresió algebraica racioal fraccioaria por u mismo poliomio, se obtiee ua epresió racioal equivalete (o igual) a la dada. Para ello, se factorea ambos y se elimia los factores comues: ACTIVIDAD 8 Simplificar: a) b) 1 Operacioes co epresioes algebraicas racioales Ahora veremos las operacioes que se puede realizar co las epresioes algebraicas fraccioarias, comezado por la suma algebraica. Al igual que lo que sucede co las fraccioes, las epresioes algebraicas fraccioarias puede ser de igual o distito deomiador. E el primero de los casos, se obtiee otra epresió fraccioaria de igual deomiador, cuyo umerador es la suma algebraica de los umeradores de las epresioes sumados, y e el segudo es ecesario calcular el comú deomiador, que es el múltiplo comú de meor grado de los deomiadores de las epresioes dadas. Ejemplos: a) 1

13 Semiario Uiversitario Matemática b) 9 m.c.m.gr de los deomiadores Para multiplicar epresioes algebraicas racioales, se multiplica los umeradores y deomiadores etre sí, previa simplificació El cociete se resuelve de igual forma que e las fraccioes uméricas: se multiplica el dividedo por el recíproco del divisor: : ACTIVIDAD 9 Resolver: a) 1 b) c) : d) ECUACIONES RACIONALES U úmero real a es solució de ua ecuació racioal P ( ) Q ( ) 0 si y sólo si P( a) 0 Q( a) 0. Es decir, resolver ua ecuació racioal es ecotrar aquellos valores de la idetermiada que aula el umerador pero o aula el deomiador. 1 Por ejemplo, resolver: (Comú deomiador) 1

14 Módulo : Epresioes Algebraicas Como debemos buscar los ceros del umerador, elimiamos el deomiador (otemos que es lo mismo que si lo pasamos multiplicado al segudo miembro) Distribuyedo: Y después de realizar la suma idicada, obteemos la ecuació: cuya solució es 5 Como este valor o aula iguo de los deomiadores de la ecuació propuesta, es solució de la misma. ACTIVIDAD 10 Resolver las siguietes ecuacioes racioales: a) b) ECUACIONES IRRACIONALES Las epresioes e las que la variable aparece afectada de la radicació se deomia irracioales. E cosecuecia, e ua ecuació irracioal la icógita aparece debajo de u radical (o afectada de epoete fraccioario). Ejemplo: 8 Pasamos el al segudo miembro para dejar solo el radical e el primer miembro: 8 8 Elevamos al cuadrado ambos miembros: Agrupado e el primer miembro: Aplicamos fórmula resolvete: 1 1;

15 Semiario Uiversitario Matemática Si reemplazamos las solucioes e la ecuació propuesta vemos que 1 la verifica, pero que o (es ua raíz etraña, que aparece debido a que hemos elevado al cuadrado). Por lo tato, la ecuació propuesta tiee ua sola solució 1. ACTIVIDAD 11 Resolver las siguietes ecuacioes irracioales: a) b ) SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS Actividad 1: 1 a) gr P 1 a1 5 ; gr Q a ; gr R a. 187 b) 15; 5; 0; 0; 8; ; 0; ; 16 ; 9. 5 Actividad : a) b) 15 c) d) 10 8 e) f ) 17 8 g) Rest o: 8 97 h ) 16 5 i ) Actividad : 15

16 Módulo : Epresioes Algebraicas a) C ( ) 1 R b ) C ( ) 7 R c ) C ( ) 1 R 0 Actividad : 7 1 a) b ) 0 c ) 1; 8 d ) ; Actividad 5: a) b) 5 5 c) d) 5 e) Actividad 6: A cargo del alumo. Actividad 7: a) d. c. mgr. mc.. mgr. b) d. c. m. gr 1 mc.. m. gr Actividad 8: a) b) 1 ) 1 ) ) ) 1 1 Actividad 9: a b c d 1 Actividad 10: a) 1 b) 1 ; Actividad 11: a) b) 16

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