CONJUNTOS REGULARES. Orlando Arboleda Molina. 19 de Octubre de Escuela de Ingeniería de Sistemas y Computación de La Universidad del Valle

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1 CONJUNTOS REGULARES Orlando Arboleda Molina Escuela de Ingeniería de Sistemas y Computación de La Universidad del Valle 19 de Octubre de 2008

2 Contenido Expresiones regulares Teorema de Kleene Autómatas que reconocen conjuntos regulares Conjuntos regulares y Gramáticas regulares Limitaciones de los autómatas de estado finito

3 Pregunta: Si los autómatas de estado finito se pueden utilizar para reconocer lenguajes. Que conjuntos pueden reconocer? Solucion: En 1956 el matemático estadounidense Stephen Kleene demostró que hay un autómata de estado finito que reconoce un conjunto si y solo si, este conjunto se puede construir a partir del conjunto vacío, la cadena vacía y cadenas de un símbolo haciendo uso de los operadores de unión, concatenación y cierre de kleene, tomados en orden arbitrario.

4 Contenido Expresiones regulares Teorema de Kleene Autómatas que reconocen conjuntos regulares Conjuntos regulares y Gramáticas regulares Limitaciones de los autómatas de estado finito

5 Expresiones regulares Las expresiones regulares sobre un conjunto I son definidas recursivamente por: El símbolo (conjunto vacío) es una expresión regular El símbolo λ (conjunto {λ}) es una expresión regular El símbolo x (conjunto {x}) es una expresión regular siempre que x I Los símbolos (AB), (A B), y A son expresiones regulares siempre que A y B son expresiones regulares Cada expresión regular representa un conjunto. Ejemplo: Las siguientes son expresiones regulares: (10), (1 0), 0 (1 0)

6 Contenido Expresiones regulares Teorema de Kleene Autómatas que reconocen conjuntos regulares Conjuntos regulares y Gramáticas regulares Limitaciones de los autómatas de estado finito

7 Los conjuntos representados por expresiones regulares son llamados conjuntos regulares. Ejercicio1: Determinar las cadenas para cada uno de los siguientes conjuntos regulares: 10 (1 01)(10) (0 1) (0 1)

8 Contenido Expresiones regulares Teorema de Kleene Autómatas que reconocen conjuntos regulares Conjuntos regulares y Gramáticas regulares Limitaciones de los autómatas de estado finito

9 Teorema de Kleene Teorema 1 - Teorema de Kleene Un conjunto es regular si y solo si es reconocido por un autómata de estado finito. Como construir los autómatas que reconocen los conjuntos regulares?

10 Contenido Expresiones regulares Teorema de Kleene Autómatas que reconocen conjuntos regulares Conjuntos regulares y Gramáticas regulares Limitaciones de los autómatas de estado finito

11 Autómatas que reconocen conjuntos regulares Automátas que reconocen los conjuntos, {λ} y {a} respectivamente

12 Autómatas que reconocen conjuntos regulares (2) Automáta M AB que reconoce al conjunto AB Combina en serie a M A y M B S AB = S A SB Estado inicial s A F AB = F B. Añadiendo S AB si λ A B y F A si λ B Transiciones: si λ A cada transición que parta de S B y desde cada estado previo a uno en F A ir hasta s B

13 Autómatas que reconocen conjuntos regulares (3) Automáta que reconoce al conjunto A B Combina en paralelo a M A y M B S A S B = S A SB {sa B } Estado inicial {s A B } F A S B = F A FB. Añadiendo s A B si λ A B Transiciones: transiciones desde {s A B } con los simbolos que procesaban s A y s B

14 Autómatas que reconocen conjuntos regulares (4) Automáta que reconoce al conjunto A S A = S A {sa } Estado inicial {s A } F A = F A {sa }. Transiciones: por cada transición desde s A a un estado s para la entrada i, incluir transición desde {s A } hasta s con el símbolo i y una transición desde cada estado final hasta s para el mismo dato de entrada i.

15 Autómatas que reconocen conjuntos regulares (5) Ejercicios: Construir autómatas de estado finito que reconozcan los siguientes conjuntos regulares: {11, 0} {11, 0} 00, 1{10, 01} {11, 00}{01, 101} {1, 00, 10} {11, 00}{01, 101} {1, 00, 10}{1}

16 Contenido Expresiones regulares Teorema de Kleene Autómatas que reconocen conjuntos regulares Conjuntos regulares y Gramáticas regulares Limitaciones de los autómatas de estado finito

17 Conjuntos regulares y Gramáticas regulares Teorema 2 Un conjunto es generado por una gramática regular si y solo si es un conjunto regular. Ejercicio: Construir un autómata de estado finito no determinista que reconozca el lenguaje generado por la gramática regular G = (V, T,S, P), donde: V = {0, 1, A, S} T = {0, 1} P = {S 1A, S 0, S λ, A 0A, A 1A, A 1}. Nota: La idea es que el estado inicial es final si existe la producción S λ. Adicionalmente que se cree un estado por cada símbolo no terminal, mas un estado final adicional)

18 Conjuntos regulares y Gramáticas regulares (2) Ejercicio: Hallar la gramática regular que genere el conjunto regular reconocido por el siguiente autómata

19 Contenido Expresiones regulares Teorema de Kleene Autómatas que reconocen conjuntos regulares Conjuntos regulares y Gramáticas regulares Limitaciones de los autómatas de estado finito

20 Limitaciones de los autómatas de estado finito Ejercicio: Es el conjunto {0 n 1 n n = 0, 1,...} regular? Nota: El conjunto puede ser generado con una gramática libre de contexto Los autómatas finitos: Son limitados (capacidad de memoría finita). No reconocen lenguajes que no son regulares. Modelos de computación más potentes: Autómata a pila (reconoce gramáticas libres del contexto). No podría reconocer {0 n 1 n 2 n n = 0, 1,...} Máquinas de Turing ((reconoce gramáticas dependientes del contexto).

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