Rectas y Planos en el Espacio
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- Cristián Rey Muñoz
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1 Rectas y Planos en el Espacio Rectas y Planos en el Espacio Verónica Briceño V. octubre 2013
2 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Rectas
3 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Rectas Planos
4 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Rectas Planos Distancias.
5 Rectas en el Espacio R n Definición: Forma Vectorial Sean p un vector dado y d un vector no nulo, en R n.
6 Rectas en el Espacio R n Definición: Forma Vectorial Sean p un vector dado y d un vector no nulo, en R n. Se define la recta que pasa por p y es paralela a d como el conjunto de puntos: L = { p + λ d : λ R} El vector d se llama VECTOR DIRECTOR.
7 Rectas en el Espacio R n Definición: Forma Paramétrica En términos de coordenadas: p = (x 0, y 0, z 0 ) y d = (d 1, d 2, d 3 ). El punto (x, y, z) pertenece a la recta si: λ R. x = x 0 + λd 1 ; y = y 0 + λd 2 ; z = z 0 + λd 3
8 Rectas en el Espacio R n Despejando el parámetro λ, se obtiene: Por tanto, λ = x x 0 d 1 ; λ = y y 0 d 2 ; λ = z z 0 d 3
9 Rectas en el Espacio R n Despejando el parámetro λ, se obtiene: Por tanto, λ = x x 0 d 1 ; λ = y y 0 d 2 ; λ = z z 0 d 3 Definición: Forma Simétrica x x 0 d 1 = y y 0 d 2 = z z 0 d 3
10 Rectas en el Espacio R n Definición: Forma Vectorial - 2 puntos La ecuación de la recta que pasa por dos puntos p 1 = (x 1, y 1, z 1 ) y p 2 = (x 2, y 2, z 2 ), es: L : (x 1, y 1, z 1 ) + t(x 1 x 2, y 1 y 2, z 1 z 2 )
11 Rectas en el Espacio R n Definición: Forma Vectorial - 2 puntos La ecuación de la recta que pasa por dos puntos p 1 = (x 1, y 1, z 1 ) y p 2 = (x 2, y 2, z 2 ), es: L : (x 1, y 1, z 1 ) + t(x 1 x 2, y 1 y 2, z 1 z 2 ) Definición: Forma Paramétrica - 2 puntos x = x 1 + t(x 1 x 2 ) y = y 1 + t(y 1 y 2 ) z = z 1 + t(z 1 z 2 ) t R.
12 Rectas en el Espacio R n Definición: Forma Vectorial - 2 puntos La ecuación de la recta que pasa por dos puntos p 1 = (x 1, y 1, z 1 ) y p 2 = (x 2, y 2, z 2 ), es: L : (x 1, y 1, z 1 ) + t(x 1 x 2, y 1 y 2, z 1 z 2 ) Definición: Forma Paramétrica - 2 puntos x = x 1 + t(x 1 x 2 ) y = y 1 + t(y 1 y 2 ) z = z 1 + t(z 1 z 2 ) t R. Definición: Forma Simétrica - 2 puntos x x 1 x 1 x 2 = y y 1 y 1 y 2 = z z 1 z 1 z 2
13 Ejercicios 1. Encuentre una ecuación vectorial, ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta L que pasa por los puntos P(2, 1, 6) y Q(3, 1, 2).
14 Ejercicios 1. Encuentre una ecuación vectorial, ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta L que pasa por los puntos P(2, 1, 6) y Q(3, 1, 2). 2. Encuentre las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el punto (1, 2, 4) y es paralela al vector v = î + ĵ ˆk.
15 Ejercicios 1. Encuentre una ecuación vectorial, ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta L que pasa por los puntos P(2, 1, 6) y Q(3, 1, 2). 2. Encuentre las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el punto (1, 2, 4) y es paralela al vector v = î + ĵ ˆk. 3. Encuentre las ecuaciones simétricas de la recta que contiene los puntos P(3, 4, 1) y Q( 2, 4, 6).
16 Ejercicios 1. Encuentre una ecuación vectorial, ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta L que pasa por los puntos P(2, 1, 6) y Q(3, 1, 2). 2. Encuentre las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el punto (1, 2, 4) y es paralela al vector v = î + ĵ ˆk. 3. Encuentre las ecuaciones simétricas de la recta que contiene los puntos P(3, 4, 1) y Q( 2, 4, 6). 4. Escribir la ecuación de la recta L que pasa por P = (1, 3, 2) y Q = (2, 1, 4).
17 Observación Las ecuaciones paramétricas y simétricas de una recta no son únicas, pero son equivalentes.
18 Rectas Paralelas y Perpendiculares Definición Dos rectas L 1 : p 1 + λ d 1 y L 2 : p 2 + t d 2, donde λ, t R. Se dice que: a) L 1 y L 2 son paralelas (L 1 L 2 ), si sus vectores directores son paralelos, es decir, si d1 = α d 2 con α R {0}. a) L 1 y L 2 son perpendiculares (L 1 L 2 ), si sus vectores directores verifican: d 1 d 2 = 0.
19 Ejemplos 1. Escribir la ecuación de la recta que es paralela a la recta: x 3 1 = y 2 2 = z y que pasa por el origen. 2. Considerar las rectas L 1 : ( 1, 3, 1) + t(4, 1, 0) y L 2 : ( 13, 3, 2) + s(12, 6, 3), encontrar el punto en que se intersectan. 3. Mostrar que L 1 no intersecta a L 3 : (0, 2, 1) + α( 1, 4, 3). 4. Sea v = (1, 1, 1), escribir las ecuaciones de la recta que son perpendiculares a L : p + λ v.
20 Planos en el Espacio R n Definición: Forma Vectorial Un conjunto Π R 3, es un plano, si existe un vector p y otros dos vectores: u y v, no paralelos, tales que:. Π = { p + α u + β v : α, β R} Definición: Forma Paramétrica En términos de coordenadas, si p = (x 0, y 0, z 0 ), u = (u 1, u 2, u 3 ) y v = (v 1, v 2, v 3 ), entonces: x = x 0 + αu 1 + βv 1 y = y 0 + αu 2 + βv 2 z = z 0 + αu 3 + βv 3
21 Planos en el Espacio R n Para determinar un plano:
22 Planos en el Espacio R n Para determinar un plano: Veremos dos casos: Un punto en el plano y un vector normal (perpendicular) al plano.
23 Planos en el Espacio R n Para determinar un plano: Veremos dos casos: Un punto en el plano y un vector normal (perpendicular) al plano. 3 puntos no colineales.
24 Para determinar un plano: Un punto en el plano y un vector normal al plano. Sea P = (x 0, y 0, z 0 ) Π y el vector n = (a, b, c).
25 Para determinar un plano: Un punto en el plano y un vector normal al plano. Sea P = (x 0, y 0, z 0 ) Π y el vector n = (a, b, c). Sea Q(x, y, z) Π, entonces PQ n
26 Para determinar un plano: Un punto en el plano y un vector normal al plano. Sea P = (x 0, y 0, z 0 ) Π y el vector n = (a, b, c). Sea Q(x, y, z) Π, entonces PQ n Se obtiene la ecuación general del plano: ax + by + cz + d = 0
27 Para determinar un plano: Un punto en el plano y un vector normal al plano. Sea P = (x 0, y 0, z 0 ) Π y el vector n = (a, b, c). Sea Q(x, y, z) Π, entonces PQ n Se obtiene la ecuación general del plano: ax + by + cz + d = 0 donde (a, b, c) es normal al plano.
28 Para determinar un plano: 3 puntos no colineales. Sean P 1, P 2, P 3 estos puntos.
29 Para determinar un plano: 3 puntos no colineales. Sean P 1, P 2, P 3 estos puntos. Formar P 1 P 2, P 1 P 3
30 Para determinar un plano: 3 puntos no colineales. Sean P 1, P 2, P 3 estos puntos. Formar P 1 P 2, P 1 P 3 Sea n = P 1 P 2 P 1 P 3
31 Para determinar un plano: 3 puntos no colineales. Sean P 1, P 2, P 3 estos puntos. Formar P 1 P 2, P 1 P 3 Sea n = P 1 P 2 P 1 P 3 Como n es vector normal, basta elegir cualquiera de los tres puntos ya conocidos y obtener la ecuación del plano, usando PP 1 n = 0.
32 Ejemplos 1. Escribir la ecuacion del plano Π que pasa por los puntos no colineales P = (1, 1, 1), Q = (2, 1, 2) y R = (0, 2, 1).
33 Ejemplos 1. Escribir la ecuacion del plano Π que pasa por los puntos no colineales P = (1, 1, 1), Q = (2, 1, 2) y R = (0, 2, 1). 2. Escribir la ecuación del plano: a) Cuyas intersecciones con los eje son: 3, 5 2. b) Paralelo al eje Y, intersección con X en 3, intersección con Z igual a 4. c) paralelo al plano XZ, con intersección en Y igual a 6. d) que contiene al punto A(2, 5, 1) y a la recta de ecuación x 1 4 = y 2 1 = z + 1 2
34 Teoremas 1. Dados dos planos: Π 1 : a 1 x +b 1 y +c 1 z +d 1 = 0 y Π 2 : a 2 x +b 2 y +c 2 z +d 2 = 0 Se tiene: a) Π 1 Π 2 ssi n 1 n 2 ssi a 1 = ka 2, b 1 = kb 2 y c 1 = kc 2, con k R {0}. b) Π 1 Π 2 ssi n 1 n 2 ssi (a 1, b 1, c 1 )(a 2, b 2, c 2 ) = 0. c) Π 1 = Π 2 ssi a 1 = ka 2, b 1 = kb 2, c 1 = kc 2 y d 1 = kd 2, con k R {0}.
35 Teoremas 1. Dados dos planos: Π 1 : a 1 x +b 1 y +c 1 z +d 1 = 0 y Π 2 : a 2 x +b 2 y +c 2 z +d 2 = 0 Se tiene: a) Π 1 Π 2 ssi n 1 n 2 ssi a 1 = ka 2, b 1 = kb 2 y c 1 = kc 2, con k R {0}. b) Π 1 Π 2 ssi n 1 n 2 ssi (a 1, b 1, c 1 )(a 2, b 2, c 2 ) = 0. c) Π 1 = Π 2 ssi a 1 = ka 2, b 1 = kb 2, c 1 = kc 2 y d 1 = kd 2, con k R {0}. 2. Consideremos la recta L : p + λ d y el plano Π : ax + by + cz + d = 0. Se tiene: a) L Π ssi d n ssi (a, b, c) d = 0. b) L Π ssi d n ssi a = kd 1, b = kb 2 y c = kd 3, con k R {0} donde d = (d 1, d 2, d 3 ).
36 Ejemplos Encuentre el plano Π que pasa por el punto (2, 5, 1) y tiene vector normal n = î 2ĵ + 3ˆk.
37 Ejemplos Encuentre el plano Π que pasa por el punto (2, 5, 1) y tiene vector normal n = î 2ĵ + 3ˆk. Escribir la ecuación del plano que pasa por el punto A(1, 1, 1) y que es paralelo al plano que contienen a los vectores unitarios î y ĵ.
38 Haz de Planos Definición
39 Haz de Planos Definición Llamaremos haz de planos coaxiales a aquellos planos que pasan por una misma recta L, llamada eje del haz.
40 Haz de Planos Definición Llamaremos haz de planos coaxiales a aquellos planos que pasan por una misma recta L, llamada eje del haz. Dados dos planos Π 1 y Π 2, tales que Π 1 Π 2 la ecuación del haz de planos está dada por Π 1 + λπ 2 = 0.
41 Haz de Planos Definición Llamaremos haz de planos coaxiales a aquellos planos que pasan por una misma recta L, llamada eje del haz. Dados dos planos Π 1 y Π 2, tales que Π 1 Π 2 la ecuación del haz de planos está dada por Π 1 + λπ 2 = 0.
42 Ejemplos Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A(2, 1, 3) y contiene a la recta determinada por los planos: Π 1 : x y + z = 2 y Π 2 : 2x + y z = 1.
43 Ejemplos Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A(2, 1, 3) y contiene a la recta determinada por los planos: Π 1 : x y + z = 2 y Π 2 : 2x + y z = 1. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (3, 2, 3) y pertenece al haz de planos de eje en la recta: L : 2x + 3y z + 9 = 0 x + 2y + 3z + 2 = 0
44 Ejemplos Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A(2, 1, 3) y contiene a la recta determinada por los planos: Π 1 : x y + z = 2 y Π 2 : 2x + y z = 1. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (3, 2, 3) y pertenece al haz de planos de eje en la recta: L : 2x + 3y z + 9 = 0 x + 2y + 3z + 2 = 0
45 Ejercicios Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A(1,-2,4), B(0,3,2) y es paralelo a la recta: x 1 4 = y 2 1 = z + 1 2
46 Ejercicios Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A(1,-2,4), B(0,3,2) y es paralelo a la recta: x 1 4 = y 2 1 = z Hallar la ecuación de la recta que es paralela a los planos: x 3y + z = 0 y 2x y + 3z 5 = 0 y que pasa por el punto (2,-1,5).
47 Distancias DISTANCIA PUNTO / RECTA: Consideremos la recta L que pasa por el punto P 0 (x 0, y 0, z 0 ) y de vector director d. P(x, y, z) es un punto que no pertenence a la recta. La distancia del punto P a la recta L, es: d(p, L) = d P 0 P d
48 Distancias DISTANCIA PUNTO / RECTA: Consideremos la recta L que pasa por el punto P 0 (x 0, y 0, z 0 ) y de vector director d. P(x, y, z) es un punto que no pertenence a la recta. La distancia del punto P a la recta L, es: d(p, L) = d P 0 P d DISTANCIA PUNTO / PLANO: Dado un punto P 0 (x 0, y 0, z 0 ), un plano Π : ax + by + cz + d = 0 La distancia del punto P 0 al plano Π, es: d(p 0, Π) = ax 0 + by 0 + cz 0 + d a 2 + b 2 + c 2
49 Distancias DISTANCIA ENTRE RECTAS: Sea L 1 la recta que pasa por el punto P 1 y tiene dirección d 1. Sea L 2 la recta que pasa por el punto P 2 y tiene dirección d 2. La distancia mínima entre L 1 y L 2, está dada por: donde: n = d 1 d 2. d min (L 1, L 2 ) = P 1 P 2 n n
50 Ejercicios 1. Calcular la distancia entre las rectas: L 1 : x 2 y L 2 : x = 5 + λ y = 1 z = 8 + 2λ 3 = y 2 1 = z+1 4
51 Ejercicios 1. Calcular la distancia entre las rectas: L 1 : x 2 y L 2 : x = 5 + λ y = 1 z = 8 + 2λ 3 = y 2 1 = z Calcular la distancia entre el punto A(3, 2, 7) y la recta: x = λ y = λ z = λ
52 Ejercicios 1. Calcular la distancia entre las rectas: L 1 : x 2 y L 2 : x = 5 + λ y = 1 z = 8 + 2λ 3 = y 2 1 = z Calcular la distancia entre el punto A(3, 2, 7) y la recta: x = λ y = λ z = λ 3. Calcular la distancia del plano: Π : 2x + 3y 2z = 5, al origen.
53 Ejercicios Propuestos 1. Dadas las rectas: L 1 : x = y 1 2 = z L 2 : x 1 2 = y 3 2 = z 3 Determinar la ecuación del plano que contiene a L 1 y es paralela a L 2.
54 Ejercicios Propuestos 1. Dadas las rectas: L 1 : x = y 1 2 = z L 2 : x 1 2 = y 3 2 = z 3 Determinar la ecuación del plano que contiene a L 1 y es paralela a L Hallar el punto simétrico a A(3, 2, 1) respecto al plano x + y + z + 21 = 0.
55 Ejercicios Propuestos 1. Dadas las rectas: L 1 : x = y 1 2 = z L 2 : x 1 2 = y 3 2 = z 3 Determinar la ecuación del plano que contiene a L 1 y es paralela a L Hallar el punto simétrico a A(3, 2, 1) respecto al plano x + y + z + 21 = Determine el valor de λ de modo que los planos: Π 1 : λx y + z = 1, Π 2 : x + 2y + z = 1, Π 3 : x y z = 1 no se intersectan.
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