TALLER 4 GEOMETRÍA VECTORIAL Y ANALÍTICA FACULTAD DE INGENIERÍA UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA

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1 TALLER 4 GEOMETRÍA VECTORIAL Y ANALÍTICA FACULTAD DE INGENIERÍA 013- UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA Profesor: Jaime Andrés Jaramillo G jaimeaj@conceptocomputadorescom 1 Coloque para cada una de las siguientes afirmaciones V ó F según considere el enunciado verdadero o falso En aquellas que su respuesta sea F, dé una breve justificación a ( ) Si u y v son vectores no nulos, es imposible que simultáneamente u v = 0 y u v = 0 b ( ) a, b, c y d Son no paralelos dos a dos y no nulos, entonces el vector ( a b) ( c d ) c y d es paralelo a la recta intersección de los planos generados por a y b, y c ( ) Si los puntos A, B, C y D no son colineales 3 a 3, y (, BC, CD) = 0 B, C y D son coplanares AB, entonces A, d ( ) Si P es un punto exterior a la recta AB, la expresión, AP proy AP permite encontrar la distancia entre el punto y la recta, tanto en el plano como en el espacio a b e ( ) Si ϕ es el ángulo entre a y b, entonces: tanϕ = a b f ( ) Si a, b y c son vectores libres no nulos y a xc = axb puede afirmarse que a, b y c son coplanares g ( ) Si a, b y c son vectores libres no nulos todos paralelos a un mismo plano, entonces a x(b x c ) = 0 h ( ) Al simplificar el producto AX x v = 0 se obtiene la ecuación de la recta en el plano que contiene el punto A y tiene a v como vector director Respuestas falso - verdadero a) V b) V c) V d) V e) V f) V g) F h) F AB Considere los puntos A(0,1,1); B(1,0,1) y C(1,1,0) Hallar: 1 de 5

2 a Un vector normal al plano b Área de c Ecuación de plano d Distancia del origen al plano e Proyección ortogonal del origen sobre el plano f Simétrico del origen respecto al plano g Proyección ortogonal del origen sobre la recta AB h Simétrico del origen respecto a la recta AB i Volumen del tetraedro O j Verificar las posiciones relativas de las rectas AB y OC Se cortan? Son paralelas? Se cruzan? k Hallar la distancia entre las rectas AB y OC l Hallar las coordenadas del baricentro, incentro y ortocentro de 3 Sean M(0,1,); R(-,0,5) y Q(3,7,1) Halle la ecuación del plano que pasa por M y es perpendicular al vector RQ 4 Pruebe que los planos π 1 : -7x + y + 3z 5 = 0 y π : x y +6z 1 = 0, son perpendiculares 5 Calcular el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores u = <1,,-1>, v = <-,3,> y w = <0,3,> 6 Calcular el volumen del tetraedro determinado por los vectores PQ, PR y PS donde P(,1,-1); Q(-3,1,4), R(-1,0;) y S(-3,-1,5) 7 Si A,B y C, son puntos distintos, no colineales en el espacio, justifique por qué π (A,B,C) = {P(x,y,z)/ AB ( ACXAP) = 0} 8 Encuentre un método para identificar si cuatro puntos en el espacio son coplanares Utilícelo en el caso especifico de los puntos A(,1,1); B(1,-3); C(-1,1,4); D(-,0, -3) 9 Determine la ecuación del plano que contiene a los puntos B y C 1,3, 1 C,, 3 B ( ) ; ( ) A, (,0, 1) A ; 10 Los puntos D tienen coordenadas: A(1,,-1); B(0,1,5); C(-1,,1); D(,1,3) Determine si los cuatro puntos están en un mismo plano En caso afirmativo, encuentre la ecuación cartesiana de ese plano 11 Calcule el volumen de una pirámide que tiene como base el cuadrilátero D, con A(3,0,-1); B(,9,3); C(-,0,4) y D(-4,-6,4), y su vértice es el punto P(0,0,8) 1 Demuestre que para a, b ε R 3, ( a +b, a b, b ) = 0 de 5

3 13 Cuándo se cumple a X(b X c ) = ( a Xb )X c? 14 Demuestre que a Xb = a b (a b) 15 Si u 1 y u son vectores unitarios y θ es el ángulo entre ellos, demuestre que θ u1 u = sen 16 Demuestre que si a, b, c ε R 3 entonces a X(b X c ) + b X( c X a ) + c X( a Xb ) = 0 (Esta expresión se conoce como la identidad de Jacobi) 17 Demuestre: u + v u v = 4( u v) 18 Sea un triángulo en un sistema cartesiano tridimensional de origen O Sea A el área del triángulo Pruébese que: A = (1/) OA XOB + OBXOC + OCXOA 19 Dadas r 1 (A, a ) y r (B, b ) con a y b no paralelos, demuestre que la distancia entre ellas está dada por: δ(r 1, r ) = (AB,a,b) a b 0 Usando la expresión encontrada en el ejercicio anterior encuentre la distancia entre las rectas r 1 y r : r 1: x = 1 + λ y = - + 3λ z = -λ r : x = 4 β y = β z = β 1 Dados los puntos A ( 1,1,0 ); B ( 5,0, 1) ; C ( 0, 3,4) y P (,0, 5) a Encuentre la ecuación de plano π b Encuentre la distancia entre P y π c Encuentre la distancia entre AC y BP Considere los puntos A(-3,5,7); B(4, -,7), C(-1,0,); D(4,-3,6) Determine: a) Ecuación π 3 de 5

4 b) distancia entre AC y BD c) Volumen del tetraedro D 3 Dado Sean P, Q los puntos medios de AB y BC respectivamente G baricentro Demuestre vectorialmente que Área( PQG) = (1/1)Área( ) 4 Demuestre que en todo triángulo isósceles, la mediana a la base está en la bisectriz del ángulo del vértice 5 Demuestre que en todo triángulo isósceles la mediana asociada a la base es a la vez altura 6 Dado el tetraedro P Sean n 1, n, n 3, n 4 Vectores normales a cada cara, de magnitud igual al área de la cara respectiva y salientes de la misma Demuestre que: n 1 + n + n 3 + n 4 = 0 7 Encuentre las coordenadas del punto de intersección de AC con la bisectriz del ángulo en B en el triángulo A(-,5); B(1,-); C(4,7) 8 Dado el triángulo A(1,1,1) B(,-1,0); C(1,0,0) a Encuentre la ecuación de la recta que contiene la bisectriz relativa al vértice B b Encuentre las ecuaciones de las rectas que contienen las medianas 9 Considere los puntos A 1 (1,,-9); B 1 (1,1,13); C 1 (-1,-,-9); A (1,,36); B (-1,-,36), C (1,-,0) a Demuestre que los planos π 1 (A 1,B 1,C 1 ) y π (A,B,C ) son paralelos b Encuentre la ecuación cartesiana del plano β paralelo a π 1 y π y equidistante de los dos π 1 β d π d 4 de 5

5 30 Encuentre el centro y el radio del círculo circunscrito al triángulo A(0,1,); B(,,0); C(0,0,1) 31 Probar vectorialmente que todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto 3 Sea A un vértice de un cubo, desde A se trazan una diagonal a una cara del cubo y una diagonal de éste Halle el ángulo entre las dos diagonales 33 Sean a, b, c y d vectores libres no nulos sea e = (axb)x(cxd) Es e combinación lineal de a y b? de c y d? Justifique En cada caso, si la respuesta es afirmativa, encuentre la respectiva combinación lineal 34 Sea un triangulo Use el producto vectorial para probar la ley del seno: BC AC AB = = senâ senbˆ senĉ 35 Los planos π 1 y π tienen las siguientes ecuaciones: π 1 : 3x + y 3z + 6 = 0 ; π : x y + z 8 = 0 Use el producto vectorial para encontrar la intersección entre los dos planos 36 Halle la distancia entre el punto de intersección de las rectas r 1 y r y el plano π: x = + 4λ r 1 y = 3 λ z = 4 + 3λ x = -1 + α r y = 4 + 3α z = 3 + 4α π: 7x + y -3z = -1 5 de 5