Olimpiada Mexicana de Matemáticas. Guanajuato.

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Paula Henríquez Tebar
hace 7 años
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1 Olimpiada Mexicana de Matemáticas. Guanajuato. Combinatoria Combinaciones y repeticiones. 1. Encuentra la cantidad de formas de elegir un par {a, b} de enteros del conjunto {1,..., 50} de tal forma que: a b = 5 a b 5 2. Hay 12 estudiantes en una fiesta. Cinco de ellos son mujeres. Determina de cuántas formas se pueden acomodar estos 12 alumnos en fila si No hay restricciones. Las cinco mujeres están juntas. No hay 2 mujeres juntas. Entre el hombre A y el hombre B no hay ningún otro hombre pero hay exactamente 3 mujeres. 3. M hombres y N mujeres deben ser acomododados en una fila, dónde M y N son enteros positivos. Encuentra la forma de hacer esto si No hay restricciones. No hay dos hombres adyacentes y M N + 1. Las N mujeres forman un sólo bloque. El hombre A y la mujer B deber estar juntos. 4. Determina cuantas palabras de cinco letras se pueden formar usando las letras A, B, C, D, E, F, G, H, I si las letras en cada palabra deben ser distintas. Las letras en cada palabra deben ser distinas y además A, B, C, E, F sólo pueden ser la primera, tercera o última letra, y el resto de las letras sólo pueden ir en la segunda o cuarta posición. 1

2 5. Encuentra la cantidad de formas de acomodar las 26 letras del alfabeto en una fila de tal manera que entre la letra x y la letra y haya exactamente 5 letras. (No consideres las letras ñ, ch y ll.). 6. Encuentra la cantidad de enteros nones entre 3000 y 8000 que no tengan cifras repetidas. 7. Encuentra cuánto vale en términos de n la expresión 1 1! n n!. 8. Encuentra la cantidad de divisores positivos que tienen en común y Para cada uno de los siguientes números n encuentra la cantidad de divisores positivos de n que son múltiplos de 3: Encuentra cuántos divisores tiene el número Demuestra que para todo entero positivo n la cantidad de divisores de n 2 es impar. 12. En un grupo de 15 estudiantes, 5 de ellos son mujeres. Se quiere formar un grupo de 9 de esos estudiantes con la condición de que contenga 3 mujeres. Determina cuántas formas hay de lograr esto. Se quiere formar un comite de 9 posiciones distinas con la condición de que contenga 3 mujeres. Determina cuántas formas hay de lograr esto. 13. Diez sillas se han puesto en fila. 7 estudiantes deben sentarse en siete de esas sillas de tal forma que no haya dos estudiantes que compartan una silla. Determina de cuántas formas pueden hacer esto si no hay dos sillas vacías juntas cajas están puestas en fila. Determina de cuantas formas pueden acomodarse 5 pelotas distintas en las cajas de tal manera que una caja pueda contener a lo más una pelota y no hay dos cajas vacías juntas. 15. Un grupo de 20 estudiantes tiene 3 muchachas A, B y C y 4 muchachos D, E, F, G. Dicho grupo debe acomodarse en dos filas de 10 personas, una fila detrás de otra. Determina de cuántas formas puede lograrse esto si en la fila de enfrente deben ir las 3 muchachas A, B, C y en la fila de atrás los 4 muchachos A, B, C, D. 2

3 16. Determina de cuantas formas pueden acomodarse en fila 7 hombres y 2 mujeres si las dos mujeres deben separarse por exactamente dos hombres. 17. Encuentra la cantidad de números de n+m cifras con n cifras 1 y m cifras 0 tales que no haya dos cifras 1 adyacentes y tal que n m Un conjunto de p lineas verticales intersecta a un conjunto de q líneas horizontales. Determina cuántos rectángulos se forman por las lineas de los conjuntos y que tengan sus vértices en los puntos de intersección. 19. Una caja contiene 7 pelotas blancas idénticas y 5 pelotas negras idénticas. Se sacan una por una al azar y sin reemplazo hasta que la caja se encuentre vacía. Encuentra la cantidad de formas de extraer las bolas de tal forma que la sexta bola sacada sea blanca y que antes de eso se hayan sacado exactamente 3 pelotas negras. 20. En la siguiente figura comienzas en el punto O y debes llegar al punto P, pero sólo es válido moverse hacia la derecha o hacia arriba. Determina cuantas formas hay de hacer lo que se pide en cada uno de los casos siguientes: P C A B O Las rutas deben pasar por el punto A. Las rutas deben pasar por el segmento AB. Las rutas deben pasar por el punto A y el punto C. Las rutas no pueden pasar por el segmento AB. 21. En el plano cartesiano considera el siguiente conjunto de puntos: A = {(a, b) 0 a 9, 0 b 5, a, b Z} Encuentra: 3

4 La cantidad de rectángulos con vértices en A y lados paralelos a los ejes. La cantidad de cuadrados con vértices en A (los lados no necesariamente son paralelos a los ejes) puntos P 1,..., P 15 se dibujan en el plano de tal forma que P 1,..., P 5 son colineales y no hay otros conjunto de tres puntos fuera de esos 5 puntos que sean colineales. Encuentra la cantidad de rectas que pasan por al menos 2 de los puntos. La cantidad de triángulos cuyos vértices son 3 de esos 15 puntos. 23. Encuentra la cantidad de números de 6 cifras tales que cada cifra utilizada se use al menos 2 veces. (La primera cifra puede ser 0). 24. Considera el siguiente conjunto: A = {(a, b) a, b Z, a + b 2} Encuentra A (La cantidad de elementos de A). El número de líneas rectas que pasan por al menos dos de los puntos en A. El número de triángulos cuyos vértices están en A. 25. Considera un n-ágono P regular de n lados. Encuentra la cantidad de triángulos cuyos 3 vértices sean vértices de P tales que no haya entre sus vértices dos que sean adyacentes en P. 26. Utilizando los números 1,..., 5 se pueden formar 120 números de 5 cifras en las que las cifras sean todas distintas. Estos números de 5 cifras se acomodan de menor a mayor. Determina: El número que ocupa la posición 100. La posición del número Sean n, r 1,..., r n enteros positivos. Se tienen n símbolos a 1,..., a n. Sea M el conjunto cuyos elementos son r i símbolos del tipo a i. Determina cuantos subconjuntos distintos tiene M. 28. Se tienen n letras a 1,..., a n distintas. Determina cuántas palabras de r letras hay tales que utilicen el símbolo a 1 sólo una vez y el resto tantas veces como se quiera. 29. Dos números de n cifras se dicen equivalentes si las cifras de uno son permutación de las cifras del otro (se vale que la primera cifra sea 0). 4

5 Encuentra la máxima cantidad de números de 5 cifras que se pueden escribir tales que no haya dos equivalentes. Encuentra la cantidad de números de 5 cifras que no son equivalentes entre si sí las cifras 5, 7, 9 pueden aparecer a lo más una vez. 30. Encuentra la cantidad de soluciones en enteros de la siguiente ecuacion: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 = 60 en los siguientes casos: x i i 1, i = 1,..., 6. x 1 2, x 2 5, 7 x 3 2, x 4 4, x 5 3, x Encuentra la cantidad de cuartetos (a, b, c, d) de enteros no negativos tales que a + b + c + d < Encuentra la cantidad de soluciones en enteros no negativos de la ecuación 5a + b + c + d = Encuentra la cantidad de soluciones en enteros no negativos a la ecuacioón 3x + 5y + z + w. 34. Si p es un número primo y n N determina la cantidad de soluciones en enteros no negativos a la ecuación (x x n )(y y n ) = p 35. Sea A = {1,..., n} donde n es un entero positivo. Dado un entero k en A determina cual es la cantidad de subconjuntos en A tales que k es el elemento más grande. Utiliza el inciso anterior para demostrar que n 1 = 2 n 36. Sean p, r enteros positivos. Encuentra la cantidad de soluciones en enteros de la ecuacion xy x + y = pr. 37. Sea S = {1,..., 1992}. Determina cuantos subconjuntos hay de S de tres elementos cuya suma sea múltiplo de Un par ordenado (m, n) de enteros no negativos se llama simple si la suma m + n no requiere llevar unidades. Encuentra la cantidad de parejas simples tales que m + n =

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