Matemáticas II Bachillerato Ciencias y Tecnología 2º Curso ESPACIO AFÍN Introducción Ecuaciones de la recta...

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1 Unidad 5 ESPACIO AFÍN 5.. Introducción Ecuaciones de la recta Ecuaciones del plano Posiciones relativas (Incidencia y paralelismo) Anexo I.- EJERCICIOS Anexo II.- NORMATIVA Ángel Luis Tapial Romo - - Unidad

2 5.. Introducción. 5..a. Espacio afín tridimensional y sistema de referencia cartesiano. Espacio afín: es la terna formada por el conjunto de puntos, el espacio vectorial asociado y la relación entre ambos. Abreviadamente: (E 3, V 3, f O ) es un ESPACIO AFÍN. Un sistema de referencia del espacio afín está formado por un punto cualquiera del espacio y una base del espacio vectorial asociado al espacio afín 5..b. Coordenadas de un punto y de un vector. Las coordenadas de un punto son las del vector posición (respecto a la base) asociado al punto. 5..c. Punto medio de un segmento Las coordenadas del punto medio son la semisuma de las coordenadas de los extremos del segmento. 5..d. Baricentro de un triángulo. Las coordenadas del baricentro son igual a un tercio de la suma de las coordenadas de los vértices del triángulo. 5.. Ecuaciones de la recta. Notación: r : ( P, v ) P r v r X = ( x, y, z) P = ( p, p, p ) v = ( v, v, v ) 5..a. Ecuación vectorial y paramétrica. Vectorial: OX = OP λ v; con λ R ( x y z) ( p p p ) λ ( v v v ),, =,,,, ; con λ R x = p λ v = z = p λ v Paramétrica: y p λ v ; ( con λ R ) b. Ecuación continua. x p y p z p = = v v v Realmente son dos ecuaciones simultáneas En esta ecuación se admiten denominadores iguales a cero Ángel Luis Tapial Romo - - Unidad

3 5..c. Ecuación general. Ax By Cz D = 0 A x B y C z D = 0 Son las ecuaciones de dos planos que se cortan en la recta. 5..d. Determinación normal de la recta. Podemos determinar una recta con un punto por el que pasa y dos vectores perpendiculares a ella El producto vectorial de los dos vectores será el vector director de la recta P r r : ( P, u ) n r u = n n n r 5..e. Recta que pasa por dos puntos. Dados dos puntos A y B por los que pasa la recta, sabemos que: El vector director tendrá origen en A y extremo en B x p y p z p = = u u u La recta pasa por cualquiera de los dos puntos dados A r r : ( A, B) AB r B r A = ( a, a, a3 ) B = ( b, b, b ) x a y a z a3 = = b a b a b a f. Puntos alineados. Dados tres o más puntos A, B, C, decimos que están alineados o que son colineales si pertenecen a la misma recta. Es condición necesaria y suficiente que los vectores siguientes sean proporcionales A, B, C colineales rg AB, AC = ( ) Ángel Luis Tapial Romo Unidad

4 5.3. Ecuaciones del plano. Notación: π : ( P, u, v ) X = ( x, y, z) P = ( p, p, p ) P π u, v π u = u u u v = v v v (,, 3 ) (,, ) 5.3.a. Ecuación vectorial y paramétrica. Vectorial: OX = OP λ u µ v; con λ, µ R ( ) ( ) ( ) ( ) x, y, z = p, p, p λ u, u, u µ v, v, v ; λ µ R con, x = p λ u µ v = z = p λ u µ v Paramétrica: y p λ u µ v ; ( con λ, µ R ) 5.3.b. Ecuación general x p y p z p u u u v v v = 0 Ax By Cz D = 0 con = n n = u v π ( A, B, C ) Si no se indica expresamente es la que debemos utilizar. 5.3.c. Ecuación normal. Conocido un punto y un vector perpendicular al plano su ecuación se puede obtener considerando que 5.3.d. Plano que pasa por tres puntos. P π π : ( P, n) PX n PX n = 0 n π A x p B y p C z p = ( ) ( ) ( ) 0 Dados tres puntos A, B y C por los que pasa el plano, sabemos que: Los vectores directores del plano tendrán origen en A y extremos en B y C El plano pasa por cualquiera de los puntos dados A π A a, a, a π : ( A, B, C) B π AB, AC π B b, b, b3 C π C c, c, c3 det AP, AB, AC = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) AB b a b a b a AC c a c a c a (,, 3 3 ) (,, ) 3 3 Ángel Luis Tapial Romo Unidad

5 En resumen: x a y a z a b a b a b a = c a c a c a 3 3 x y z a a a b b b c c c = e. Ecuación segmentaria. Un plano que no pase por el origen de coordenadas y no paralelo a ninguno de los ejes, los corta en tres puntos A (a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c). Se puede demostrar que su ecuación puede escribirse como x y z = a b c Los valores a, b y c se llaman abscisa, ordenada y cota respectivamente No todos los planos tienen este tipo de ecuación 5.3.f. Plano que pasa por una recta y un punto. Dada una recta de espacio y un punto no perteneciente a ella, existe un único plano que pasa por el punto y contiene a la recta Q r r : ( Q, u ) y P r u r El plano que pasa por P y contiene a r queda determinado por : ( P π π P, PQ, u ) u, PQ π x p y p z p q p q p q p = u u u También se podría hallar otro punto de la recta y hacer la ecuación del plano que pasa por tres puntos: P 0, Q 0, y el nuevo. 5.3.g. Puntos coplanarios.. Dados cuatro o más puntos A, B, C, D decimos que son coplanarios si pertenecen al mismo plano. Es condición necesaria y suficiente que entre los vectores siguientes únicamente haya,,, coplanarios,, = independientes A B C D rg ( AB AC AD) Ángel Luis Tapial Romo Unidad

6 5.4. Posiciones relativas (Incidencia y paralelismo). Este apartado ya se estudió en la Unidad 3: Sistemas de ecuaciones lineales. 5.4.a. Posiciones de dos planos. Libro de texto Pg b. Posiciones de tres planos. Libro de texto Pg c. Haces de planos: paralelos y secantes. Haz de planos paralelos: Dado un plano π : Ax By Cz D = 0 la ecuación de otro cualquiera paralelo a él es: π ' : Ax By Cz k = 0 k R π ' π Haz de planos secantes: Dados dos planos que se cortan en una recta la ecuación de cualquier otro plano que pase por la recta se puede obtener a partir de las ecuaciones de dichos planos de la siguiente forma: π : A x B y Cz D = 0 π π = r π : A x B y C z D = 0 π λπ µπ ( con λ, µ R) ( A x B y C z D ) ( A x B y C z D ) = r π λ µ = 0 También se puede expresar en función de un solo parámetro, aunque de esta forma uno π no puede obtenerse: de los dos planos originales ( ) λ k = π = π kπ ( con k R) µ r π = 0 ( A x B y C z D ) k ( A x B y C z D ) 5.4.d. Posiciones de recta y plano. Libro de texto Pg e. Posiciones de dos rectas. Libro de texto Pg. 9 OBSERVACIÓN: Si de las rectas conocemos un punto y su vector director podemos estudiar su posición relativa directamente, sin hallar las ecuaciones implícitas Ángel Luis Tapial Romo Unidad

7 Anexo I.- EJERCICIOS. Libro de texto pg. 6 Ejercicios y problemas: Ecuaciones de la recta Libro de texto pg. 6, 7 Ejercicios y problemas: Ecuaciones del plano Libro de texto pg. 7 Ejercicios y problemas: Posiciones relativas 6, 7, 8, 9a, 0, 7 a,, 3,4, 5c, 6 8a, 0,, Libro de texto pg. 8 Acceso a la universidad: 4, 6, 8c, 3, 3abc Ángel Luis Tapial Romo Unidad

8 Anexo II.- NORMATIVA. Contenidos: Bloque. Geometría: - Vectores en el espacio tridimensional. Producto escalar, vectorial y mixto. Significado geométrico. - Ecuaciones de la recta y el plano en el espacio. Resolución de problemas de posiciones relativas. Resolución de problemas métricos relacionados con el cálculo de ángulos, distancias, áreas y volúmenes. Criterios de evaluación. Transcribir situaciones de la geometría a un lenguaje vectorial en tres dimensiones y utilizar las operaciones con vectores para resolver los problemas extraídos de ellas, dando una interpretación de las soluciones. Este criterio valora el uso del lenguaje vectorial y las técnicas apropiadas en cada caso, como instrumento para la interpretación de fenómenos diversos. Se pretende valorar especialmente la capacidad para realizar transformaciones sucesivas con objetos geométricos en el espacio de tres dimensiones (objetivos, 3, 5,6 y 8). 3. Transcribir problemas reales a un lenguaje gráfico o algebraico, utilizar conceptos, propiedades y técnicas matemáticas específicas en cada caso para resolverlos y dar una interpretación de las soluciones obtenidas ajustada al contexto. Este criterio valora la competencia para representar un problema en lenguaje algebraico o gráfico y resolverlo aplicando procedimientos adecuados e interpretar críticamente la solución obtenida. Se trata de evaluar la capacidad para elegir y emplear las herramientas adquiridas en álgebra, geometría y análisis, y combinarlas adecuadamente (objetivos, 3, 5, 6 y 8). Ángel Luis Tapial Romo Unidad

9 Indicadores: La valoración de los criterios de evaluación anteriores se realizará mediante la observación de los siguientes indicadores asociados a cada unidad didáctica: Se indican en negrita los indicadores considerados mínimos. C.E. 3 Indicadores. Comprende y representa los sistemas de referencia en el espacio afín y los usa para situar en ellos puntos y vectores.. Determina las ecuaciones de la recta en todas las formas posibles. 3. Conoce el significado de los parámetros que aparecen en las diferentes ecuaciones de la recta. 4. Determina las ecuaciones del plano en todas las formas posibles. 5. Conoce el significado de los parámetros que aparecen en las diferentes ecuaciones del plano. 6. Analiza las posiciones relativas de las rectas y planos en el espacio afín.. Resuelve actividades con contextos en las que aparecen matrices.. Resolver problemas de la realidad social y natural utilizando sistemas de ecuaciones lineales. 3. Resolver diferentes problemas reales utilizando elementos de la geometría vectorial, afín y euclídea. 4. Resolución de problemas de la vida ordinaria para los que se requiera el estudio y representación de funciones. 5. Plantear y resolver problemas de optimización, en especial los relacionados con la geometría. U. D., 3, 4, 5, 6,, 3 5. Espacio afín Resolver problemas Ángel Luis Tapial Romo Unidad

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