Curso de Entrenadores

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1 Curso de Entrenadores 9-13 Agosto 2010 Problema 1 Cuántas maneras hay de ordenar n elementos en una lista? Problema 2 Cuántos subconjuntos tiene un conjunto de n elementos? Problema 3 Se tienen 37 bolas rojas y 21 bolas azules. Cuántas parejas de bolas del mismo color se pueden formar? Problema 4 Encuentra el número de maneras de colocar 3 torres en un tablero de 5 5. Encuentra el número de maneras de colocar 3 torres en un tablero de 5 5 de tal manera que no haya dos de ellas que se ataquen. Problema 5 Cuántos subconjuntos de k elementos tiene un conjunto con n elementos? Problema 6 Demuestra que ( ) ( n+1 3 n 1 ) 3 = (n 1) 2 Problema 7 Encuentra todos los valores enteros de n tales que 3n+17 n+1 Problema 8 Si a bc, se cumple que a b o a c? Problema 9 Usa el algoritmo de Euclides para encontrar (31, 17). Problema 10 Usa el algoritmo de Euclides para encontrar (102, 54) es entero. Problema 11 Encuentra una combinación lineal entera de 31 y 17 que dé (31, 17). Problema 12 Encuentra una combinación lineal entera de 102 y 54 que dé (102, 54). Problema 13 Se tienen dos enteros cuyo producto es 1000 pero ninguno es múltiplo de 10. Encuentra su suma. Problema 14 Existe algún entero cuyos dígitos tengan como producto a 1980? A 1990? A 2000? Problema 15 Sea S(a) la suma de los dígitos de a. as(a) = Resuelve la ecuación 1

2 Problema 16 Demuestra que n nunca es entero si n 2. Problema 17 Si x es el prodcuto de n primos impares, demuestra que se puede escribir como diferencia de 2 cuadrados de exactamente 2 n 1 maneras. Problema 18 Encuentra la mayor potencia de 2 que divide a n!. Problema 19 Encuentra cuál es el mayor n tal que 2007! es múltiplo de 2007 n. Problema 20 Sea f(n) el exponente de la mayor potencia de 2 que divide a n!. Demuestra que n f(n) es el número de unos en la expresión de n en base 2. Problema 21 Demuestra que (2k)! k! es múltiplo de 2 k pero no de 2 k+1. Problema 22 Demuestra que si p es primo y 0 < k < p entonces ( p k) es múltiplo de p. Problema 23 Cuántas soluciones enteras tiene la ecuación 1 p + 1 q = 1 500? Problema 24 Encuentra todos los primos de la forma n para algún n entero. Problema 25 Demuestra que la fracción 12n+1 30n+1 es irreducible. Problema 26 Demuestra que hay sucesiones de números consecutivos tan largas como se quiera en las que no aparece ningún primo. Problema 27 Cuántos divisores tiene 20!? Problema 28 Encuentra el residuo de dividir entre 7. Problema 29 Demuestra que la suma de dos cuadrados perfectos impares nunca es un cuadrado perfecto. Problema 30 Demuestra que si p y p son primos, entonces p es primo. Problema 31 Demuestra el criterio de divisibilidad por 9 y el criterio de divisibilidad por 3. Problema 32 Demuestra el criterio de divisibilidad por 11. Problema 33 Demuestra el criterio de divisibilidad por 7. Problema 34 Demuestra que 641 divide a Problema 35 Demuestra que a + b divide a a n + b n para todo n impar. 2

3 Problema 36 Demuestra que a b divide a a n b n para todo n. Problema 37 Encuentra el residuo de dividir entre 8. Problema 38 Demuestra que n 3 n es múltiplo de 24 para todo n impar. Problema 39 Cuál es el menor entero positivo que se le debe sumar a (n 2 1) 1000 (n 2 + 1) 1001 para que el resultado sea múltiplo de n? Problema 40 Demuestra que 6 2n es múltiplo de 7 para todo n. Problema 41 Demuestra que 11 n n+1 es múltiplo de 133 para todo n. Problema 42 Demuestra que ka kb mod n si y sólo si a b mod n (n,k). Problema 43 Demuestra que la suma de los dígitos de un cuadrado nunca es igual a Problema 44 Demuestra que 2007 no se puede escribir como la suma de 3 cuadrados perfectos. Problema 45 De 7 números, se sabe que la suma de cualesquiera 6 de ellos es múltiplo de 5. Demuestra que los 7 números son múltiplos de 5. Problema 46 Es posible que n termine en 7? Problema 47 Se tiene un entero mayor a 10 tal que todos su dígitos son 1, 3, 7 ó 9. Demuestra que tiene un divisor primo mayor o igual a 11. Problema 48 Se tienen n números a 1, a 2,..., a n tales que todos son 1 o 1. Se sabe que a 1 a 2 +a 2 a a n 1 a n +a n a 1 = 0. Demuestra que n es múltiplo de 4. Problema 49 Si p es primo, demuestra que a 2 b 2 mod p si y sólo si a b modp o a bmodp. Problema 50 Es cierto que n 2 n + 41 siempre es primo? Problema 51 Demuestra que si 19 puntos se colocan en el plano, hay 3 de ellos que tienen baricentro con coordenadas enteras. Problema 52 Demuestra que en una fiesta siempre hay 2 personas que han saludado a la misma cantidad de personas. Problema 53 Demuestra si se tienen n+1 elementos del conjunto {1, 2,..., 2n} hay dos de ellos que son consecutivos. Problema 54 Demuestra que si se tienen n+1 elementos del conjunto {1, 2,..., 2n}, hay uno de ellos que divide a otro. 3

4 Problema 55 En una reunión hay representantes de n paises (n 2) sentados en una mesa redonda. Se sabe que cada dos representantes del mismo país, sus vecinos a la derecha son de paises distintos. Encuentra el mayor número de representantes que puede haber. Problema 56 Para cada n, demuestra que hay un número de Fibonacci que termina en al menos n ceros. Problema 57 Dado un 2007-ágono regular encuentra el menor k tal que entre cualesquiera k vértices del polígono hay 4 tal que el cuadrilátero convexo que forman comparte 3 lados con el polígono. Problema 58 Supongamos que en el Distrito Federal hay al menos de coches. Demuestra que al menos 2 tienen la misma placa. Problema 59 Entre 21 personas consiguieron 200 nueces. Demuestra que hay dos personas que consiguieron la misma cantidad de nueces. Problema 60 Cuál es la mayor cantidad de reyes que se pueden colocar en un tablero de ajedrez sin que dos de ellos se ataquen? Problema 61 Cuál es la mayor cantidad de torres que se pueden colocar en un tablero de ajedrez sin que dos de ellas se ataquen? Problema 62 Demuestra que hay dos potencias de 2 cuya diferencia es múltiplo de Problema 63 En un tablero de 3 3 se escribe en cada casilla 0, 1 ó 1. Considera las sumas de las filas, las columnas y las diagonales. Demuestra que hay 2 que son iguales. Problema 64 Se tienen 101 botones de 11 colores posibles. Demuestra que hay 11 botones del mismo color, o 11 botones de colores distintos. Problema 65 Demuestra que entre 5 enteros siempre hay 3 cuya suma es múltiplo de 3. Problema 66 Demuestra que entre 7 enteros siempre hay 4 cuya suma es múltiplo de 4. Problema 67 Demuestra que entre 52 enteros siempre hay 2 tales que la diferencia de sus cuadrados es múltiplo de 100. Problema 68 Se tienen 1000 segmentos en el plano. Es posible que, para cualquier segmento, cada uno de sus extremos esté en alguno de los otros segmentos? Problema 69 Se tienen 8 entros entre 1 y 15. Si se consideran sus diferencias positivas (dos a dos), demuestra que hay una diferencia que se repite al menos 3 veces. 4

5 Problema 70 En la sucesión cada dígito empezando con el quinto es congruente con la suma de los 4 anteriores. En algún momento se llega a tener los dígitos 8123? Problema 71 Demuestra que si a, b, c son enteros impares entonces al menos uno de ab 1, bc 1, ca 1 es múltiplo de 4. Problema 72 Demuestra que hay un múltiplo de 2001 tal que todos su dígitos son 1. Problema 73 Se tienen 10 enteros de dos dígitos cada uno. Demuestra que hay dos subconjuntos A y B de ellos que son ajenos y tienen la misma suma. Problema 74 Se tienen 11 números racionales (con expresión decimal infinita). Demuestra que hay 2 de ellos que coinciden en una cantidad infinita de posiciones. Problema 75 Desde un planeta esférico se pueden ver en total 25 estrellas. Demuestra que hay un punto desde el cuál no se pueden ver más de 11 estrellas. Problema 76 Los puntos del plano se colorean de 2010 colores posibles. Demuestra que hay un rectángulo con los vértices del mismo color. Problema 77 Se tienen 101 enteros positivos que suman 200. Demuestra que hay algunos de ellos cuya suma es 100. Problema 78 Se tienen en el plano un polígono convexo que contiene al menos m 2 +1 puntos con coordenadas enteras. Demuestra que contiene al menos m+1 puntos colineales con coordenadas enteras. Problema 79 En una fiesta hay n niños y n niñas. A cada niña le gustan a niños y a cada niño le gustan b niñas. Cuáles son los valores de a y b para los que forzosamente hay una pareja que se gusta mutuamente? Problema 80 Se colocan 6 puntos en el plano y se unen con líneas verdes y azules. Demuestra que se forman al menos 2 triángulos monocromáticos. Problema 81 En un octágono regular, se colorean los lados y las diagonas de dos colores. Demuestra que se forman al menos 7 triángulos monocromáticos. Problema personas se comunican por correo con todos los demás. En sus cartas discuten sólo uno de 3 temas posibles. Cada pareja discute sólo uno de los temas. Demuestra que hay 3 personas que entre ellos discutieron sólo un tema. Problema 83 Demuestra que r(3, 4) 10. (Nota, este problema también se puede poner en contexto de una fiesta para evitar la notación técnica). Problema 84 Demuestra que r(3, 4) 9. 5

6 Problema 85 A una reunión fueron 15 diputados. Cada uno dió un discurso. Durante su discurso, cada diputado criticó a exactamente k otros diputados. Cuál es el menor valor posible de k de tal manera que podemos asegurar que hubo dos diputados que se criticaron mutuamente? Problema 86 El ajedrez tridimensional se juega en un cubo de Encuentra el mayor número de torres que se pueden colocar en el cubo de tal manera que no haya dos que se ataquen. Problema 87 Cuál es la mayor cantidad de números del conjunto {1, 2,..., 2k+ 1} que se pueden elegir de tal manera que no hay un elemento de los elegidos igual a la suma de otros dos? Problema 88 En un tablero de n n se colorean 2n casillas. Demuestra que hay un paralelogramo con los vértices en centros de casillas coloreadas. Problema 89 Dados 25 números se sabe que cualesquiera 4 de ellos tienen suma positiva. La suma de todos es positiva? Problema 90 Dados 25 números se sabe que para cualesquiera 3 de ellos hay un cuarto tal que la suma de los 4 es positiva. La suma de todos es positiva? Problema 91 Dados 1989 números se sabe que la suma de cualesquiera 10 es positiva. La suma de todos debe ser positiva? Problema 92 Demuestra que ( ( n+1 k+1) = n ) ( k + n ) k+1 Problema 93 Algunas personas se sientan en una mesa redonda. Se sabe que hay 7 mujeres que tienen a su derecha a una mujer y 12 mujeres que tienen a su derecha a un hombre. Sabemos que 3 de cada 4 hombres tienen a su derecha a una mujer. Cuántas personas hay sentadas en la mesa? Problema 94 Encuentra el valor de n ( ) n k(k 1) k k=0 Problema 95 Un examen con k preguntas se presenta a n estudiantes. Un estudiante reprueba si contesta correctamente menos de la mitad de las preguntas. Decimos que una pregunta es fácil si más de la mitad de los estudiantes la contestó correctamente. Decide si es posible que: Todos los alumnos reprueben aunque todas las preguntas haya sido fáciles. Ningún alumno repruebe aunque ninguna pregunta haya sido fácil. Problema 96 Unos niños de quinto de primaria saludan a unos niños de sexto. Se sabe que cada niño de quinto saludó a 5 niños de sexto, y que cada niño de sexto saludo a 6 niños de quinto. Hay más niños de quinto de primaria o de sexto de primaria? 6

7 Problema 97 Cada cara de un cubo se divide en 4 cuadrados iguales. Los nuevos cuadraditos se pintan de 3 colores posibles, de tal manera que si dos cuadraditos comparten un lado, se pintaron de color distinto. Demuestra que cada color se usó exactamente 8 veces. Problema 98 Un amigo fue a una fiesta y nos dijo Fueron 17 personas y cada una saludó a exactamente 5 otras personas. Le crees? Problema 99 Cuando a una persona le falta cambio, puede pedirle a alguien que le cambie una moneda de 10 pesos por dos monedas de 5 pesos. Es posible que sólo con estas transacciones al final del día los 1990 alumnos de la olimpiada hayan dado exactamente 10 monedas cada uno? Problema 100 En un tablero de se acomodan números en cada casilla. Se sabe que en cualquier cuadrado de 2 2 la suma de los números en las esquinas superior izquierda e inferior derecha es igual a la suma de los números en las esquinas superior derecha e inferior izquierda. Demuestra que en el tablero total pasa lo mismo. Problema 101 En el plano hay una curva cerrada que no se intersecta formada por segmentos rectos. Decimos que dos de estos segmentos forman una pareja buena si al extender uno de ellos intersecta al otro. Demuestra que el número de parejas buenas es par. Problema 102 Demuestra que ( n 0) 2 + ( n 1) ( n 2) ( n n) 2 = ( 2n n ). Problema 103 En un tablero de n n se escribe un número en cada casilla. Se sabe que la suma total de los números es negativa. Demuestra que se puede hacer un reacomodo de las filas de tal manera que la suma de los números que quedan en la diagonal que va de la esquina superior izquierda a la esquina inferior derecha es negativa. Problema 104 En un tablero de 8 8 se colocan 8 torres de tal manera que no hay dos que se ataquen. Demuestra que hay una cantidad par de torres en casillas negras. Problema 105 En un círculo se escriben números rojos y números azules. Cada número rojo es la suma de los dos números que están a sus lados, y cada número azul es la mitad suma de los dos números que están a sus lados. Demuestra que la suma de los números rojos es 0. Problema 106 En el pizarrón se escriben los números 1, 2, 3, 4, 5, 6. En una operación se permite sumarle simultáneamente 1 a dos números. Después de varias operaciones, es posible que todos los números queden iguales? Problema 107 A y B tienen una barra de chocolate de 6 8. Por turnos rompen la barra en alguna de sus líneas, hasta que quedan puros cuadritos de 1 1. Pierde quien ya no pueda hacer una jugada. Si A empieza, quién tiene estrategia ganadora? 7

8 Problema 108 Una rana salta en una línea. Primero, salta 1 cm hacia la derecha, luego salta 3 cm en una dirección, luego 5 cm en alguna dirección, etc. Puede llegar a su punto de origen después del salto 57? Problema 109 En un pizarrón están escritos 2004 signos + y 2005 signos en aglún orden. A va al pizzarón y empieza a hacer lo siguiente: Elige dos signos, y si són iguales los cambia por un +, y si son distintos los cambia por un. Al final que sólo un signo, Cuál es? Problema 110 En una mesa hay 2009 fichas que son rojas de un lado y negras de otro. A y B juegan por turnos. En cada turno, se permite quitar de la mesa o voltear cualquier cantidad de fichas del mismo color. Gana quien quite la última ficha. Si A empieza, quién tien estrategia ganadora? Problema 111 En una mesa hay 2010 cerillos. A y B juegan por turnos a quitar cerillos de la mesa. En un turno se permite quitar 1, 2, 4, 8, 16,... cerillos. Gana quien quite el último cerillo. Si A empieza, quién tiene estrategia ganadora? Problema 112 A y B y 2009 otras personas están agarradas de la mano en círculo. A y B juegan a sacar personas del círculo. En cada turno, pueden sacar a la persona que tienen a la izquierda o a la persona que tienen a la derecha. Gana de A y B quién saque al otro. Si A juega primero, quién tiene estrategia ganadora? Problema 113 En un tablero de ajedrez hay un rey en la esquina inferior izquierda. A y B juegan alternadamente a mover el rey. En cada movida, se debe mover a la derecha, hacia arriba o en diagonal arriba-derecha. Pierde quién haga que el rey llegue a la esquina opuesta. Si A juega primero, quién tiene estrategia ganadora? Problema 114 Resuelve el problema anterior pero con una torre en vez de un rey. Problema 115 A y B juegan alternadamente a poner reyes en un tablero de ajedrez de 9 9. A pone reyes negros y B pone reyes blancos. En cada jugada, no se permite poner un rey en casillas atacadas por reyes del otro color. Pierde quién ya no pueda poner reyes. Si A juega primero, quién tiene estrategia ganadora? Problema 116 A y B van a jugar el mismo juego que en el problema anterior pero poniendo caballos en un tablero de 8 8. Si A juega primero, quién tiene estrategia ganadora? Problema está escrito en el pizarrón. A y B van a jugar por turnos. En cada paso, se permite restarle al número en el pizarrón uno de sus divisores, y escribir el nuevo número. Pierde quién escriba 0 en el pizarrón. Si A juega primero, quién tiene estrategia ganadora? 8

9 Problema 118 En un tablero de 4 4 hay focos prendidos o apagados (falta dibujo). En una movida se permite cambiar el estado de cada foco en una fila o de cada foco en una columna. Es posible llegar a que todos los focos estén prendidos? Problema 119 En el pizarrón están escritos los números 1, 2,..., 37. En una movida se permite agarrar dos números, borrarlos y escribir su diferencia (no negativa). Después de hacer esto 36 veces prueba que el número que queda no puede ser 0. Problema 120 En una isla viven 13 camaleones rojos, 15 camaleones verdes y 17 camaleones azules. Cuando dos camaleones de colores distintos se encuentran, ambos se cambian al tercer color. Es posible que en algún momento todos tengan el mismo color? Problema 121 En un pizarrón están escritos los números 1, 2,..., 19, 20. Se pueden borrar dos números a y b y reemplazarlos por a + b 1. Cuando queda sólo un número, cuál es? Problema 122 En cada esquina de un cubo hay un +1 o un 1. En cada cara se escribe el producto de los números en sus esquinas. La suma de los 14 números puede ser 0? Problema 123 Un círculo se divide en 6 secciones. En el sentido de las manecillas del reloj se escriben los siguientes números: 1, 0, 1, 0, 0, 0. En una movida se permite elegir dos secciones adyacentes y sumarle 1 a ambas. Es posible llegar a que todos los números sean iguales? Problema 124 En un tablero de 8 8 hay una moneda en cada casilla del subtablero de 3 3 en la esquina inferior izquierda. En una movida se permite que una moneda salte sobre otra (no necesariamente adyacente) para caer en la casilla simétricamente opuesta respecto a la casilla de la moneda saltada. Con estos movimientos, es posible que las monedas queden en el subtablero de 3 3 en la esquina superior derecha? Problema 125 En cada casilla de un tablero de hay una casa. En 9 casas empieza un incendio. El fuego puede llegar a una casa que tenga dos casas vecinas incendiadas (las casas que ya estaban incendiadas no se apagan). Demuestra que el fuego no puede llegar a todas las casas. Problema 126 Un tablero se cubre con algunas fichas de 1 4 y algunas fichas de 2 2. Las piezas se caen del tablero y se nos perdió una de 2 2. Sin embargo, nos sobraba una ficha de 1 4. Demuestra que ahora no es posible cubrir el tablero. Problema 127 En un tablero de 4 4 todas las casillas están pintadas de blanco excepto una esquina, que está pintada de negro. Se permite cambiar el color de todas las casillas en una fila o de todas las casillas en una fila. Es posible llegar a que todas las casillas sean blancas? 9

10 Problema 128 En un tablero de 3 3 todas las casillas están pintadas de blanco excepto una esquina, que está pintada de negro. Se permite cambiar el color de todas las casillas en una fila o de todas las casillas en una fila. Es posible llegar a que todas las casillas sean blancas? Problema 129 En todos los vértices de un cubo hay un número. 7 números son cero y 1 es uno. Se puede sumarle 1 a dos números que están en los extremos de una arista del cubo. Es posible llegar a que todos los números sean múltiplos de 3? Problema 130 Alrededor de un círculo hay 44 árboles. En cada árbol hay un canario. De repente, dos canarios cambian de árbol, uno va al siguiente en el sentido de las manecillas del reloj y el otro va al siguiente en el sentido contrario. Demuestra que con este tipo de movimientos, no es posible que todos los canarios terminen en el mismo árbol. Problema 131 En el pizarrón se escribe el número Se calcula la suma de sus dígitos, se escribe el nuevo número en el pizarrón y se borra el número original. Esta operación se repite hasta que queda un número de sólo un dígito. Qué número queda? Problema 132 Se tiene la lista (1, 2,..., 2010). Se pueden intercambiar dos números entre los cuáles haya exactamente un sólo número. Es posible llegar a la lista (2010, 2009,..., 2, 1)? Problema 133 Se tiene en un pizarrón la lista 1, 2,..., 20. Se permite agarrar dos números a y b y reemplazarlos por ab + a + b. Después de hacer la operación 19 veces, Qué número queda? Problema 134 Demuestra que n = n(n+1) 2. Problema 135 Demuestra que (2n 1) = n 2. Problema 136 Demuestra que si n k, entonces ( ) ( k k + k+1 ) ( k + k+2 ) k ( n ( k) = n+1 k+1). Problema 137 Demuestra que si q 1, entonces (1+q)(1+q 2 )(1+q 4 ) (1+ q 2n ) = 1 q2n+1 1 q. Problema 138 Demuestra que si q 1, entonces 1 + q + q 2 + q q n = 1 q n+1 1 q Problema 139 Demuestra que si q 1, entonces 1 + 2q + 3q nq n 1 = 1 (n+1)q n +nq n+1 (1 q) 2. Problema ( 140 Demuestra que si m, n son enteros con 0 m n, entonces n ) ( 0 n ) ( 1 + n 2) ( )... + ( 1) m n ( ) m = ( 1) m n 1 m. 10

11 En lo que sigue, F n va a ser el n-ésimo número de Fibonacci, definidos por F 1 = F 2 = 1 y F n+2 = F n+1 + F n para cada n 1. Problema 141 Demuestra que F 1 + F F n = F n+2 1 Problema 142 Demuestra que F 1 + F F 2n 1 = F 2 n Problema 143 Demuestra que F 2n = F 2 n+1 F 2 n 1. Problema 144 Demuestra que F 2n+1 = F 2 n+1 + F 2 n. Problema 145 Demuestra que F F F 2 n = F n F n+1. Problema 146 Demuestra que cualesquiera dos números de Fibonacci consecutivos son primos relativos. Problema 147 Demuestra que para todo n, ( ) n ( F n = ) n

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