1. Hay otro uso de fondos-inversión. Así demanda agregada es C + I 2. Desplazamientos de la función de producción

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1 1 I. La Inversión-ejemplos específicos A. La inclusión de inversión implica dos cambios importantes en el modelo. 1. Hay otro uso de fondos-inversión. Así demanda agregada es C + I 2. Desplazamientos de la función de producción B. Capital deseado a) Como antes, tenemos que considerar si un desplazamiento es paralelo o proporcional, transitorio o permanente. b) También, tenemos que saber cuando se desplaza la función, este periodo o el próximo. 1. Supongamos que la función de producción de periodo t+1 tiene la forma y t+1 = f (k t,l t+1 ) = k α 1 α t l t+1 a) Importante: para producir en periodo t+1, se usa el capital del periodo anterior, periodo t. b) La forma específica nos permite la derivación de expresiones específicas del PMKt, inversión. c) Si también elegimos valores de las tasa de depreciación y interés, también la cantidad de capital del periodo anterior, podemos construir ejemplos numéricos (1) f k t = αk t α 1 l t+1 1 α > 0 el producto marginal de capital es positivo.

2 2 k y PMK PMK-δ (2) 2 f k = α 2 ( α 1 )k α 2 t l 1 α t+1 < 0 el producto marginal de t capital es decreciente. d) Supongamos que lt+1 = 1, α = ½, δ=.1. Entonces, la tabla muestra los resultados usando la función de producción y t+1 = k α 1 α t l t+1

3 3 C. Sabemos de la teoría que la demanda de capital deseado de periodo t es PMK t δ = αk α 1 t l 1 α t+1 δ. 1. Es decir, este expresión determina la cantidad de capital de periodo t que la familia quiere para producir en periodo t Supuestos a) El capital no dura para siempre, hay depreciación. b) La tasa de depreciación es constante, δ, cada periodo. 0 δ 1, normalmente vamos a usar 0< δ < 1. c) Cada familia puede mantener la cantidad de capital al nivel deseado cada periodo. d) No hay incertidumbre. 3. Las tasas de depreciación y interés son exógenas (de la perspectiva de la familia, la tasa de interés es endógena en el modelo agregado). a) Si la tasa de depreciación es.1, la demanda de capital deseado es PMK t δ = αk α 1 t l 1 α t+1.1. b) Equilibrio requiere r t = PMK t δ. Se justifica esta expresión más adelante. c) La tabla muestra las cantidades deseadas de capital asociadas con tasas diferentes de interés (con base en los resultados en la primera tabla por arriba). 4. Problema de una familia a) Al comienzo de periodo t, la familia tiene kt- 1, la cantidad de capital que obtuvo al final de periodo t- 1 para usar en periodo t.

4 4 b) Durante periodo t la familia usa kt- 1 conjunto con lt para producir yt. c) Durante el proceso de producción el capital se deprecia, pierde δkt- 1 unidades de capital. d) Dado su producción yt, y activos b t 1 ( 1+ R t ), m t 1,( 1 δ)k t 1 (la última es el capital restante al final de periodo t); la familia elige sus decisiones óptimas de c t, b t, m t, k t 5. El capital de periodo t, k t, tiene dos partes. a) La cantidad de capital de periodo t- 1 restante después de producción en periodo t, ( 1 δ)k t 1 b) La inversión bruta en periodo t i t = ˆk t ( 1 δ)k t 1 donde ˆk t representa capital deseado. (1) Se ajusta la inversión para poner la cantidad de capital a su nivel deseado. (2) Para unas familias i t = ˆk t 1 δ ( )k t 1 < 0 es posible. La familia puede vender su exceso de capital restante.

5 5 c) El capital (deseado) disponible por uso en periodo t+1 es ˆkt = 1 δ ( )k t 1 + i t, la suma de capital restante después de producción en periodo t y la cantidad de inversión en periodo t. 6. La irreversibilidad de inversión a) Después de la conversión del único bien a capital, no es posible invertir el proceso, es decir no es posible convertir capital al bien de consumo. Implicación: b) Aunque i t = ˆk t ( 1 δ)k t 1 < 0 es posible para la familia c) n j j I t = i t = ˆkt 1 δ j=1 n j=1 n j ( ) k t 1 j=1 = ˆK t ( 1 δ)k t 1 0 (1) Si I t = ˆK t ( 1 δ)k t 1 < 0 ˆK t < ( 1 δ)k t 1, es decir en la economía agregada quieren menos capital en periodo t+1 que la cantidad restante al final de periodo t. (2) No es posible porque significaría que se destruye capital o convierte capital en el bien de consumo. D. La demanda de inversión en periodo t 1. El precio de una unidad de capital es 2. El rendimiento de capital en periodo t+1 tiene dos partes. a) La primera parte (1) Dado la cantidad de trabajo de periodo t+1, una unidad más de capital de periodo t produce más de yt+1. Δk t =1 (2) El incremento de yt+1 se denomina el producto marginal de capital de periodo t, o PMKt

6 6 (obsérvense el subíndice; t refiere al periodo anterior cuando la familia adquirió este capital) (3) El incremento al ingreso de la familia en periodo t+1 es +1 PMK t se denomina el valor del producto marginal de capital de periodo t. b) La segunda parte (1) Suponemos que la familia puede vender su capital a otra familia. Es decir, la familia podría comprar una unidad de capital en periodo t, usar esta unidad en periodo t+1, y al fin de t+1 vender la parte restante o la cantidad (1-δ) (recuérdense Δk t =1) (2) La familia recibe Pt+1(1-δ) del capital usado. Esta cantidad es la segunda parte del rendimiento. 3. El rendimiento neto de la inversión a) Nominal- el rendimiento menos el costo original del capital +1 (PMK t +1 δ) b) Para obtener la tasa de rendimiento, dividimos el rendimiento nominal por el precio original, Pt. +1 (PMK t +1 δ) usamos Pt+1 = (1+π t)pt = ( 1+ π t )( PMK t +1 δ) 1 donde c) La relación de este rendimiento neto y la tasa de interés. (1) En este modelo una familia puede mantener su riqueza en tres formas (a) Dinero- no hay interés pero suponemos que dinero es el único activo usado para las transacciones.

7 7 (i) Una razón es que el dinero es moneda de curso legal y los otros activos no son. (ii) No se pueden usar los bonos ni el capital para sus compras. (b) Bonos- el dueño de un bono recibe R de interés más el principal cuando vence el bono. (c) Capital- tiene el rendimiento de arriba (2) Suponemos que capital y bonos son sustitutos perfectos (a) Dinero es sustituto imperfecto- dinero proporciona un servicio (uso en transacciones) que los otros no proporciona. (b) Supuesto- no hay ningún costo de transacción cuando una persona compra o vende un bono ni una unidad de capital (c) Dado el supuesto, examinamos dos situaciones (i) R t > ( 1+ π t )( PMK t +1 δ) 1 o 1+ R t > ( 1+ π t )( PMK t +1 δ). Qué hacen las familias en esta situación? (a) Todos las familias que quieren comprar activos (bonos o capital) prefieren comprar bonos (prestar), ninguna de los prestamistas quiere comprar el capital (b) Nadie quiere tomar prestado para comprar capital porque el

8 8 costo del préstamo, R, es mayor que el rendimiento de capital. (c) Una oferta exceso de prestamos entonces la tasa de interés tiene que disminuir. (ii) 1+ R t < ( 1+ π t )( PMK t +1 δ) (a) Todos las familias que quieren comprar activos prefieren comprar capital, ninguna de los prestamistas potenciales quiere comprar los bonos. (b) Todo quiere tomar prestado (vender bonos) para comprar capital porque el costo del préstamo es menos que el rendimiento del capital. (c) Una demanda exceso de prestamos entonces la tasa de interés tiene que subir. (iii) Entonces, en términos nominales hay un equilibrio cuando 1+ R t = ( 1+ π t )( PMK t +1 δ). (iv) Escribimos la condición de equilibrio en términos reales. 1+ R t =1+ r t = ( PMK t +1 δ) r t = PMK t δ 1+ π t Es decir, la tasa real de interés es igual al rendimiento real de la inversión. (3) La demanda de capital (a) La función PMK t δ es la demanda real de capital

9 9 (b) La demanda tiene una pendiente negativa porque dpmk dk el PMK es decreciente. < 0, Demanda de Capital de la Familia-Periodo t PMK t -δ, r t r t PMK t -δ ˆ k t k t (c) Dado la tasa real de interés rt, la cantidad de capital que la familia quiere es k ˆ t = k ˆ (r t,δ, ) (d) El stock deseado de capital, k ˆ t = k ˆ (r t,δ, ). (i) La función muestra que el stock deseado es una función de la tasa real de interés y la tasa de depreciación. (ii) Los tres puntos,..., significan otras cosas. La más importante de

10 10 esas es la función de producción (especialmente el PMK). k (iii) ˆ < 0 movimiento a lo largo la r t curva k (iv) ˆ < 0 desplazamiento de la δ curva ˆ k (v) PMK curva > 0 desplazamiento de la d) Después que se sabe el stock deseado de capital, también se sabe la demanda de la inversión bruta k ˆ d t (1 δ)k t 1 = i t (1) Sustituimos la expresión del stock deseado de capital ˆ ( r t,δ, ) ( 1 δ)k t 1 = i d t ( r t,δ,k t 1, ) k t (2) Las propiedades de la demanda de la inversión bruta i (a) r = ˆ k < 0 Movimiento a lo largo r la demanda de la inversión i (b) δ = ˆ k δ + k > t 1 0 Hay dos efectos y < no sabemos cuál de los dos es más fuerte i (c) = ( 1 δ) < 0 si 0 δ < 1 (como k t 1 esperamos) La demanda de la inversión disminuye lo más es la cantidad de capital anterior.

11 i (d) PMK = k ˆ PMK > 0 Desplazamiento de la demanda de la inversión cuando el PMK de periodo t- 1 cambia. (mira la gráfica) (3) Un supuesto importante, la inversión no depende de la cantidad de ingreso de la familia. Efectos riqueza de desplazamientos de la función de producción no afecta inversión. 11

12 12 E. La inversión y la restricción presupuestaria de la familia 1. Las fuentes de fondos ( ) + m t 1 + v t + 1 δ y t + b t 1 1+ R t ( )k t 1 a) La parte nueva es los fondos que la familia gana de venta de capital. b) Es más comprensible a pensar que la familia/productor vende todo su capital restante al fin de cada periodo y compra lo que quiere para el próximo periodo, como se muestra en el uso de fondos. 2. Los usos de fondos c t + k t + b t + m t 3. La nueva restricción ( ) + m t 1 + v t + 1 δ y t + b t 1 1+ R t a) Obsérvense que k t ( 1 δ)k t 1 = k t ( 1 δ)k t 1 ( )k t 1 = c t + i t + b t + m t + k t [ ] = i t b) Así y t + b t 1 ( 1+ R t ) + m t 1 + v t = c t + i t + b t + m t c) Como antes, para obtener valores agregados, sumamos las restricciones a través todas las familias. ( ) j y t + 1+ R t j b t j m t 1 j ( + v t ) = c j j ( t + i t ) + 1 j b t + 1 (1) Todas las sumas están de j=1 n, se suma los valores específicos de todas las familia. (2) Las sumas, condiciones de equilibrio j (a) Mercado de crédito b t 1 j b t = B t = 0 (b) Mercado de dinero, m j j t 1 + v t = M o j d t = m t = M t ( ) j m t = B t 1 = 0 y

13 13 (c) Usando la ley de Walras- Si estos dos mercados están en equilibrio, el mercado de bienes debe estar en j equilibrio y t = Y o t = c j j d t + i t = C t + I t = Y t ( ) 4. El ahorro real-la variación del valor real de los activos o del valor real de la riqueza a) Antes, en el caso de una familia el ahorro real incluyó los saldos reales (de dinero) y las cantidades reales de bonos b) Ahora, el ahorro incluye el cambio de las cantidades de capital también c) b + m t t b + m t 1 t 1 + k t k t 1 es el ahorro real donde 1 la última parte es la inversión neta. d) Ahorro agregado real es M t M t K t K t 1 porque la suma de los bt, bt- 1 a través todos las familias es cero (condición de equilibrio cada periodo). (1) Normalmente la parte M t M t 1 1 es pequeño. Es cero si la demanda nominal de dinero, Φ(R,Y) es constante en los dos periodos. (2) Entonces, ahorro agregado y inversión neta son iguales (aproximadamente) en una economía cerrada. 5. Unas de las fuerzas que influyen la inversión y el ahorro real son diferentes. Por ejemplo a) La inversión neta disminuye cuando (1) Aumenta la tasa de interés. (2) Disminución de la PMK

14 14 b) El ahorro real aumenta cuando (1) Aumenta la tasa de interés. (2) Hay incremento temporal al ingreso c) Dos maneras para aumentar su inversión. (1) La familia puede aumentar su inversión neta con más trabajo o menos consumo. Ambos significan más ahorro. (2) O puede disminuye sus tenencias de bonos o saldos reales. Por ejemplo cuando se endeuda para invertir más. Es decir, puede cambiar la composición de su ahorro, sin ahorrar más o menos, para invertir. F. El vaciado del mercado de bienes 1. La posibilidad de la inversión no afecta nada en el mercado de dinero. Entonces, ponemos nuestro enfoque en el mercado de bienes. 2. Podemos sumar la restricción presupuestaria de la familia otra vez para obtener una nueva condición agregada. Y o ( r t, ) = C d ( r t, ) + I d ( r t, ) = Y d ( r t, ) a) La suma del consumo agregado y la inversión agregada es la demanda agregada b) Las pendientes (1) como antes la oferta agregada tiene pendiente positiva (2) Y d r = C d r + I d r < 0 porque el consumo y la inversión ambos son funciones negativas de la tasa de interés.

15 15 c) La gráfica (1) La demanda agregada es la suma horizontal de I y C. La Demanda Agregada r C d I d Y d r 1 I 1 C 1 Y 1 =C 1 +I 1 (2) Usamos este modelo para examinar, otra vez, los efectos de los shocks a la tecnología, es decir, a las perturbaciones de la función de producción. 3. Caso I-Un shock a la función de producción. f(k,l) se desplaza hacia arriba. El cambio es transitorio y paralelo. a) El evento es transitorio, ocurre en periodo t solamente. b) PMLt, PMKt- 1 no cambian porque el desplazamiento es paralelo. Nótense los subíndices. El PMK de periodo t- 1 no cambia.

16 16 Se refiere al capital que la empresa usa en periodo t. c) También suponemos que PMKt no cambia. Es decir, la productividad del capital que la empresa adquiere en periodo t para usar en periodo t+1 no cambia. d) Y o se desplaza hacia la derecha porque hay más producción en cada nivel de capital y cada nivel de trabajo en este periodo. Desplazamiento Paralelo y Transitorio r t Y d Y o M o M d r t * Y t * e) Hay más riqueza, pero no hay gran aumento de riqueza porque el evento es transitorio. (1) Así, C d se desplaza hacia la derecha pero un poquito. Más riqueza significa más consumo. (2) I d no se desplaza porque el PMK no cambia y suponemos que la riqueza no afecta la inversión. Mira la demanda bruta de inversión por arriba.

17 17 (3) Aunque la Y d se desplaza hacia la derecha, el desplazamiento de Y d es menos que el de Y o porque el evento es transitorio. (4) Más riqueza significa menos trabajo (ocio es superior). La oferta de trabajo se desplaza hacia la izquierda. El PML (la demanda de trabajo) no cambia entonces no hay ningún efecto sustitución. f) Resultados (1) r disminuye porque ΔY o > ΔY d (a) r la cantidad de inversión aumenta (pero la función I d no se desplaza) (b) r la demanda real de dinero aumenta (2) Y aumenta, Y la demanda real de dinero aumenta (3) P disminuye porque la demanda real de dinero aumenta cuando Y y r y suponemos que la oferta de dinero es fijo.

18 18 g) Este caso es idéntico a lo que pasa en el modelo básico sin inversión. 4. Caso II-Un shock a la función de producción. f(k,l) se desplaza hacia arriba. El cambio es permanente y paralelo a) El evento es permanente, se queda por arriba en todos los periodos. Hay más riqueza. b) PMLt, PMKt- 1 no cambian porque el desplazamiento es paralelo. El PMK de periodo t- 1 no cambia. Tampoco PMKt no cambia. c) Los desplazamientos (1) Y o se desplaza hacia la derecha porque hay más producción a cada nivel de capital y cada nivel de trabajo en este periodo. (2) C d se desplaza hacia la derecha porque la riqueza aumenta mucho puesto que el evento es permanente. (3) I d no se desplaza porque el PMKt no cambia y suponemos que la riqueza no afecta la inversión. (4) El desplazamiento de Y d es igual al desplazamiento de Y o porque el evento es permanente. (5) Más riqueza significa menos trabajo (ocio es superior). Así la oferta de trabajo se desplaza hacia la izquierda. El PML (la demanda de trabajo) no cambia porque no hay ningún efecto de sustitución.

19 19 Desplazamiento Paralelo y Permanente r t Y d Y o M o M d r t * Y t * d) Resultados (1) r no cambia porque ΔY o = ΔY d. r no cambia la cantidad de inversión no cambia. Recuérdense que I d no se desplaza (2) Y aumenta, Y la demanda real de dinero aumenta (3) P disminuye porque la demanda real de dinero aumenta cuando Y e) Este caso es idéntico a lo que pasa en el modelo básico sin inversión. 5. Caso III-las variaciones de la PMK t. Ahora es periodo t. a) Suponemos que la función de producción de periodo t+1 se desplaza hacia arriba en una

20 20 manera proporcional y transitorio (solamente en periodo t+1) (1) No se cambia la función de producción de ahora, periodo t), (2) Entonces, el PMKt aumenta en cada nivel de kt (recuérdense: se usa kt en periodo t+1, no en periodo t). b) PMKt aumenta, entonces la demanda de inversión de periodo t aumenta. Es decir, la primera parte de la función de inversión bruta, la cantidad de capital deseado, aumenta. ˆ ( r t,δ, ) ( 1 δ)k t 1 = i d t ( r t,δ,k t 1, ) k t c) Hay un efecto riqueza positivo que sucede en esta situación porque la producción va a aumentar en el próximo periodo. (1) El evento no afecta la función de producción en periodo t porque se usa el capital que se adquiría en periodo t-1 para producir en periodo t. (2) El trabajo en periodo t disminuye (más riqueza implica menos trabajo) pero vamos a suponer que este efecto es suficientemente pequeño que podamos dejar de tenerlo en cuenta. (3) Consecuentemente, en nuestra análisis la Y o no se desplaza. d) El Y d se desplaza hacia la derecha porque la inversión aumenta. (1) El efecto riqueza produce un aumento de consumo también, pero el efecto es pequeño porque el evento es transitorio. Así, como el caso de trabajo podemos dejar de tenerlo en cuenta.

21 21 (2) Nótense que podemos considerar el efecto en consumo sin problemas porque el aumento de consumo también se desplaza la Y d hacía la derecha. Aumento del PMK t r t r t * Y d Y o M o?? M d Y t * e) Resultados- gráfica. (1) r aumenta (2) Y aumenta (3) la demanda real de dinero cambia, probablemente, pero no sabemos como. Así no sabemos el cambio de P.

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