1.3.4 Ejercicios resueltos sobre la función exponencial y logarítmica
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- Gonzalo Santos Rivas
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1 .. Ejrcicios rsultos sobr l función ponncil rítmic. Us ls propidds d l función ponncil (torm ) pr simplificr totlmnt l siguint prsión:. Prub qu Simplifiqu inicilmnt l numrdor l dnomindor d l frcción. Así: Tmbién,
2 En conscunci, ( ) ( ) ( ) ( ). Es posibl mdir l concntrción d lcohol n l sngr d un prson. Invstigcions médics rcints sugirn qu l risgo R (ddo como porcntj) d tnr un ccidnt utomovilístico pud sr modldo mdint l cución: k R () dond : s l concntrción d lcohol n l sngr k un constnt. ) Al suponr un concntrción d. d lcohol n l sngr produc un risgo dl % (R ) d sufrir un ccidnt, cuál s l vlor d l constnt?. b) Utilic l vlor d k indiqu cuál s l risgo pr difrnts concntrcions d lcohol (.7,.9,...). c) Con l mismo vlor d k indiqu l concntrción d lcohol corrspondint un risgo dl %. d) Si l l stblc qu ls prsons con un risgo dl % o mor d sufrir un ccidnt no dbn conducir vhículos con cuál concntrción d lcohol n l sngr db un conductor sr rrstdo multdo?. ) Un concntrción d. un risgo dl %, indic qu. R. Al sustituir stos vlors n l cución () s obtin:. k. k. k (Dfinición dl ritmo) k ln.77. Con l vlor d k ncontrdo, l cución () s pud scribir n l form:
3 R.77 ().77.7 b) Al sustituir.7 n l cución (), s obtin: R. Est rsultdo indic qu pr un concntrción d lcohol d.7, l risgo d sufrir un ccidnt s dl.%. c) Al sustituir R n l cución () solucionndo pr s obtin: (Dfinición dl ritmo) ln..77 Lo qu indic qu pr un concntrción d lcohol d., l risgo d sufrir un ccidnt s dl %. d) Con R n l cución (), s dtrmin l concntrción d lcohol n l sngr: ln.9 Est rsultdo indic qu un conductor qu prsnt un concntrción d lcohol mor o igul.9 db sr rrstdo multdo.. Un coloni d bctris crc d curdo con l l d crciminto no inhibido. Si l cntidd d bctris s duplic n trs hors; cuánto timpo trdrá l coloni n triplicr su númro? Rcurd inicilmnt qu l númro N d céluls n un instnt t s: kt N( t) N () dond : s l cntidd inicil d bctris prsnts k s un constnt positiv. N
4 L firmción: l cntidd d bctris s duplic n hors, signific qu: N N. Pro d curdo (), N N k Así qu: N N N k Lugo, k k ln D dond k ln. Con dicho vlor d k, l fórmul () s trnsform n: N( t) N.t () Ahor, l timpo t ncsrio pr qu l tmño d l coloni s tripliqu ncsit qu N N. Sustitundo n () rsolvindo pr t s obtin: N N.t D dond, t ln. 7 hors. S ncsitn.7 hors pr qu l tmño s. tripliqu.. Us l dfinición d ritmos pr cmbir cd prsión ponncil n un rítmic n los siguints csos: ) b) π c) 8 ) b) π π c) 8 ln8. Us l dfinición d ritmos pr cmbir cd prsión rítmic n un ponncil quivlnt n los siguints csos:
5 ) 8 b) π c) ln ) b) 8 π 8 π c) ln 7. Prub qu si >, >, ntoncs,. Supong qu (). Esto signific, d curdo l dfinición, qu (). D (), s dduc qu ().. Pro, D () (), s conclu qu: ( ) 8. S >, >, dmás, 7 7 Si ( 7 ), ntoncs, ( 7 ). Tomndo ritmo n bs, n mbos mimbros d l últim iguldd, s obtin: Log 7 [( 7) ] Log [ ]. O quivlntmnt, ( 7 ) ( ) 7 Dspjndo simplificndo, s obtin: ( ) ( 7) ( 7)( 7) 7 7
6 En conscunci,. 9. Dtrmin los vlors d qu stisfcn simultánmnt ls cucions: () () D l cución (), s sigu qu son rls positivos. Admás, s pud dducir qu: (). D dond, (). Como, son rls positivos, s sigu d () qu (). D () (), s dduc qu: ( ) ( ) ( ) D dond,. Sustitundo l vlor d n l cución (), s obtin.. Cuál s l mgnitud d un trrmoto cu lctur sismográfic s d. milímtros un distnci d kilómtros dl picntro? D curdo l fórmul () d l scción..., si., ntoncs l mgnitud M () d st trrmoto s: M (.).. Lo qu indic qu l trrmoto mid. n l scl d Richtr.
7 . El dvstdor trrmoto d Sn Frncisco n 9 midió 8.9 n l scl d Richtr. Cómo s compr st trrmoto con l d Ppú, Nuv Guin, n 988, qu midió.7 n l scl d Richtr? Si, dnotn rspctivmnt, ls lcturs sismográfics d los trrmotos d Sn Frncisco Ppú, s tin ntoncs d curdo l fórmul () d l scción...: Pro: ; ().7.7 () 8.9 L rlción () indic qu l trrmoto d Sn Frncisco fu ms intnso qu uno d nivl cro..7 Igulmnt, l rlción () indic qu l trrmoto d Ppú fu ms intnso qu uno d nivl cro Ahor, l rlción: 8.7 O quivlntmnt: 8, indic qu l trrmoto d Sn Frncisco fu 8 vcs ms intnso qu l trrmoto d Ppú.
Deducción de las reglas de derivación. Partiendo de las derivadas de la función potencial, la función exponencial y la función seno, ( ) ( ) 1
dmttmtics.wordprss.com Btriz d Otto Lópz Dducción d ls rgls d drivción Prtindo d ls drivds d l función potncil, l función ponncil l función sno, = R = f = =, f = sn = cos, f,, d ls rgls d drivción pr l
TEMA 3 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
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SOLUCIONES DE LIMITES
SOLUCIONES DE LIMITES.. Ln Sustituyndo por obtnmos: INDETERMINADO Ln Como s trt d un indtrminción d tipo L Hopitl, plicmos dich rgl: Ln Ln Rsolvmos prt l it Ln INDETERMINACIÓN d tipo L Hopitl otr vz: 6Ln
DERIVADAS. La derivada de una función f en el punto de abscisa x = a, se define como el siguiente límite, si existe:
DERIVADAS Dinición d drivd. L drivd d un unción n l punto d bscis =, s din como l siuint límit, si ist: lím A l drivd d un unción n un punto s l llm tmbién ts d vrición instntán. Intrprtción ométric d
ACTIVIDADES FINALES EJERCICIOS. trino grau fernández. x lím. lím. lím. lím. sen x 1. x 1. lím x 0 sen x x. lím. x lím. sen x. x arcsen x lím 11.
L Í M I T E S th ls ACTIVIDADES FINALES EJERCICIOS Ln tg sn sn [ ( )] 5 sn 6 cotg 7 sn sn 8 9 sn rcsn sn b sn sn cotg 5 sn cos 6 sn 7 n 8 Ln 9 Ln trino gru frnándz th ls 5 Clculr pr qu s cumpl: π Ln tg
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F U T S W W P V F W P V G U T S P V G F P V W P V P V W. nfec. G nfe C. Energía libre y fuerza electromotriz.
nrgí libr y furz lctromotriz. Dsd un punto d vist trmodinámico, sbmos qu tmprtur constnt, l disminución d l nrgí libr d Hlmholtz, F (pr un procso rvrsibl), rprsnt l trbjo totl (W) hcho sobr los lrddors,
DERIVABILIDAD.. Intuitivamente: cuando no presenta saltos en ese punto. Toda función derivable en un punto, es continua en ese punto.
ERIVABILIA.... inir unción continu n un punto. inir unción drivbl n un punto. s posibl ponr un jmplo d un unción qu n s: ) Continu y drivbl. b) rivbl y no continu. c) Continu y no drivbl. y s continu n
Función exponencial y logarítmica:
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a > 0 y a 1. Si la base es e se llama exponencial natural tiene la forma
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3dx dx 3. dx 1-4x. 7. 3xdx 4+x x 2
MsMtscom Intgrls Clculr l intgrl: ++ + (-) (+) - 7 + 8 ln - cos sn - - - + (+) ln ln 7 8 cos ln + + - +- - - + -+ ++ Ls gráfic (i), (ii) y (iii) corrspondn, no ncsrimnt por s ordn, ls d un función drivbl
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31 EJERCICIOS de LOGARITMOS
EJERCICIOS d LOGARITMOS Función ponncil y rítmic:. Pr cd un d ls funcions qu figurn continución, s pid: i) Tbl d vlors y rprsntción gráfic. ii) Signo d f(). iii) Corts con los js. iv) Intrvlos d crciminto.
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Intgrl indinid. gl d Brrow INTEGA DEFINIDA ÁEAS Y OUMENES siguint rgl, qu s s n l torm undmntl dl cálculo intgrl, rlcion l intgrl dinid con ls intgrls indinids prmit clculr ls intgrls dinids. intgrl dinid
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Dfinición d drivada. Halla, utilizando la dfinición, la drivada d la función f ( ) n l punto =. Compruba aplicando las rglas d drivación qu tu rsultado s corrcto. f ( ) f () La drivada pdida val: f ()
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TRNFORMDORE EN PRLELO. Trnsformdors d igul rzón d trnsformción Not: no s tomn n cunt ls pérdids n l firro. q q q llmrmos s cumpl b. Trnsformdors d rzón d trnsformción un poco distints Rfridos l scundrio:
34 EJERCICIOS de LOGARITMOS
EJERCICIOS d LOGARITMOS Función ponncil y rítmic:. Pr cd un d ls funcions qu figurn continución, s pid: i) Tbl d vlors y rprsntción gráfic. ii) Signo d f(). iii) Corts con los js. iv) Intrvlos d crciminto.
4 3x 2x 3 6x x x x dt d x x dy p dx y
EJERCICIOS UNIDAD IV.- LA DERIVADA.- Comprub cd un d ls siguints drivds. d ) 8 d t 5 5 bt 5 t 5 bt dt d 6.-Rliz ls siguints drivds ) d.-comprobr cd un d ls siguints drivds. ) d d r d dr d d ( ) p b b b
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TEMA 5. Límites y continuidad de funciones Problemas Resueltos
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Ie Io. Medidas absolutas y medidas relativas
Mdids soluts y mdids rltivs Cómo otnr un mdi socición? Comprndo dos mdids d frcunci Mdids soluts (Difrnci) Mdids rltivs (Rzón) Supongmos qu un invrsión inicil d Euros s convirt n 2 Euros l co d un ño.
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7 L ímites de funciones. Continuidad
7 L ímits d funcions. Continuidad Página 05 f () = + Pinsa y ncuntra límits a) + ; + ; + + ; ; ; ; 9 0; 0; 0 ) 0; 0; 0 f ) + ; + ; 0 g) + ; + h) ; f () = a) 0 0, Página 0 a) a) f () = ; f () = ; f () =
Solución: Para que sea continua deben coincidir los límites laterales con su valor de definición en dicho punto x = 2. b 1 + b
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+ ( + ) ( ) + ( + ) ( ) ( )
latrals n. iguals. f. La función CONTINUIDAD f () Es continua n l punto?. Calcular los límits ³ ² 5 Para qu la función sa continua n s db cumplir: f f Calculamos por sparado cada mimbro d la igualdad f
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9 Aplicaciones de las derivadas
9 Aplicacions d las drivadas Página 69 Optimización B A P' Q' O Q T P Página 71 r a) y' = 0 x = 0 8 Punto ( 0 0) x = 1 8 Punto ( 1 1) En (0 0) hay un punto d inflxión. En (1 1) hay un máximo rlativo. b)
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ECUACIONES EXPONENCIALES. Rsolvr ls siguins cucions ponncils ) Eponncils con igul s, s iguln los ponns. ) Los dos érminos s pudn prsr como ponncils d igul s. c) 0' Los dos érminos s pudn prsr como ponncils
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Tarea 11. Integral Impropia
Tr Intgrl Imroi Ers con l límit corrsondint cd un d ls siguints intgrls Mustr un dibujo qu indiqu l ár qu s clculrí (si ist) con l intgrl rsctiv, no clculs l intgrl d ; b) d ; c) d ; d) / cot( ) d En los
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( y la cuerda a la misma que une los puntos de abscisas x = 1 y x = 1. (2,5 punto)
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III. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.. FUNCIÓN EXPONENCIAL n Hmos stado manjando n st trabajo prsions dl tipo n dond s una variabl llamada bas n una constant llamada ponnt, si intrcambiamos d lugar
lm í d x = lm í ln x + x 1 H = lm í x + e x 2
Autovaluación Página 8 Calcula los siguints límits: a) lm í c m b) lm í ccotg m c) lm í sn d) lm í ( ) / 8 ln 8 8 ln ( cos ) 8 a) lm í 8 c ln ln H ( / ) lm í ( )ln 8 ln m lm í 8 H lm í / 8 b) lm í 8 dcotg
Por sólo citar algunos ejemplos, a continuación se mencionan las aplicaciones más conocidas de la integral:
Fcultd d Contdurí Administrción. UNAM Apliccions d l intgrl Autor: Dr. José Mnul Bcrr Espinos MATEMÁTICAS BÁSICAS APLICACIONES DE LA INTEGRAL Eistn muchos cmpos dl conociminto n qu istn pliccions d l intgrl.
3.11 Trasformada de Laplace de una función periódica 246
3. Trformd d plc d un función priódic 46 3. Trformd d plc d un función priódic Dfinición 3.. Un función f llmd priódic i y olo i, it un númro no nulo f tl qu impr y cundo té n l dominio d f, tmbién lo
. La tasa de variación media es la pendiente del segmento AB, siendo A(a, f(a) ) y B(b, f(b) ) dos puntos de la gráfica de la función:
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