EJERCICIOS RESUELTOS. x + ; a = 1; b = 1. x x x. x x
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- Diego Ferreyra Barbero
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1 B7_9 //9 : Página EJERIIOS RESUELTOS alcula las funciones primitivas, que toman el valor b cuando a, de las funciones f definidas por: f() + 7; a ; b. 7 f() + ; a ; b. F ( ) ( + 7 ) d c omo debe ser F( ) : ( ) ( ) + ( ) 7( ) + c 9 Operando: c ; de donde c. 7 F ( ) + d + 7 c + Para es F() F() c Despejando: c. Sea la función f() (a + b + c) Hallar su derivada alcula I d utilizando el resultado obtenido en. + f'( ) ( a ( a + b + c) + Operando: ( a + ( + ) + a + b + c a + b + ( a + c) + b f'( ) + + La epresión de f'() para a, b y c corresponde al integrando de I, por tanto: I d ( + + ) + + c + Tema 9. La integral
2 B7_9 //9 : Página EJERIIOS RESUELTOS Encuentra la primitiva de y + que se anula para. I( ) + d d + + ln + c Si ha de ser I() : I( ). Despejando: c + + c Determina la ecuación del movimiento de un punto cuya velocidad es v t + y del que se sabe que en t segundos estaba a metros del origen. La ecuación de la velocidad es la derivada del espacio recorrido respecto del tiempo empleado en recorrerlo, es ds decir: ν t +. t Por tanto: s ( t + ) dt + t + c dt demás, si en t era s tenemos: + + c, de donde: c. t sí pues la ecuación buscada es: s + t alcula: + c) (sen cos d + ) d d ; tg d) e) sen d + d + d (descomponiendo) (sen + cos ) d d + c pues sen + cos d + ln d d c c) d) e) d ln c ln tg sen tg sen d como cos + d d d d d + / c + + c / sen cos d tg + c sen cos /
3 B7_9 //9 : Página Utiliza el cálculo integral para hallar el área del triángulo formado por los ejes coordenados y la recta tangente a la hipérbola y en el punto de abscisa. Primeramente calculamos la ecuación de la recta tangente que es: y y() y'() ( ); como y, es y(). Luego: y'() y'() y la recta tangente es: y ( ) y + El área pedida es la de la figura y su valor es: [ ] + ( + ) d + ua.. O 7 Encontrar una función polinómica de º grado que pase por los puntos (, ), (, ) y (, ). alcular el área limitada por la función polinómica anterior y las rectas y, y p, siendo p la abscisa del punto donde la función polinómica alcanza el valor máimo. La función polinómica buscada será de la forma y a + b + c Por pasar por el (, ) c Por pasar por el (, ) a + b + c Por pasar por el (, ) a + b + c Resolvemos el sistema que forman las ecuaciones resultando ser a, b y c La función será y + El punto donde la función alcanza el valor máimo es el vértice de la parábola que tiene por abscisa b. a La gráfica es: 9 y + O Por tanto el área pedida es: ( + ) d + ua.. Tema 9. La integral
4 B7_9 //9 : Página EJERIIOS RESUELTOS Halla el área del recinto limitado por la gráfica de la función f() + +, su recta tangente en el punto de abscisa y su recta tangente en el punto de abscisa. La gráfica de la función es una parábola convea de vértice, y corta al eje O en los puntos de abscisa y, pues son las raíces de la ecuación + +. Si es f(), luego una recta tangente pasa por P(, ) y la otra por Q(, ). omo f'() +, tenemos: f'() y f'( ) que son las respectivas pendientes de las rectas tangentes. Dichas rectas son: La que pasa por P(, ): y ( ) y + La que pasa por Q(, ): y ( + ) y + mbas se cortan en el punto R(, ). El recinto está dibujado en la figura: y + 7 y + y + + O El área pedida será: [( + ) ( + + ) d + + [( + ) ( + + ) d d ( + + ) d ( ) ua..
5 B7_9 //9 : Página FORMULRIO Integrales inmediatas Funciones elementales ) d + ) ) n d + + ( n ) n + d ) + ( n ) n ( n ) n d ) + ) ) ) d ln + n+ ) e d e + ) f'( ) d f ( ) + f ( ) f'( ) d f( ) + f'( ) d f ( ) n ( n ) f ( ) f'( ) d ln f( ) + f ( ) f( ) f( ) Funciones compuestas n n f ( ) [ f ( )] [ ] + f'( d ) n + n e f'( ) d e + + n + ( n ) 7) a a d + ( a >, a ) 7) ln a ) sen d cos + ) 9) cos d sen + 9) ) tg d ln cos + ) d ) ( tg + d ) tg+ ) cos af( ) a f'( ) d + ( a >, a ) ln a f'( ) sen f ( ) d cos f ( ) + f'( ) cos f ( ) d sen f ( ) + f( ) f'( ) tg f ( ) d ln cos f ( ) + f'( ) f d f '( ) tg + ( cos ( ) f ( )) d tg f( ) + d ) ( ctg + d ) ctg + ) sen f'( ) d f'( ) ctg ( f( )) sen + d ctg f ( ) + f ( ) Integral definida b a b a [ ] f( ) d F( ) F( F( siendo F() una primitiva de f() en [a, b]. Tema 9. La integral
6 B7_9 //9 : Página EJERIIOS FINLES 9 Del al. Determina la solución general de las siguientes integrales. ( ) d + d + d ( ) d ( ) + d ( ) d d d + d d + + d d + + d d 7 9 cos ( + ) d d + + d + + d d 7 d + + d 7 / sen d + + d ( ) d sen ( 7 + ) d e d + d d cos ( ) d d 7 9 ( ) d + d d + cosd tg d (piensa que tg + tg ) d + ( + ) d d + ( + sec ) d d + d ( ) d ln Halla la función f tal que f() y cuya derivada es f'(). + Determina la constante de integración de d para que la función resultante se anule en. d sen cos d ( + ) d sen e cos d ( + + ) d + d sen( + ) d Verdadero o falso? d + + c + d + c
7 B7_9 //9 : Página 7 c) ( + ) + d + c + 7 Hallar el área de la figura limitada por la curva y ( )( ) y el eje O. d) d +c 7 alcular el área de la figura comprendida entre la π curva y tg, el eje O y la recta. 7 Dada la función f() se pide determi- nar una primitiva de f que pase por P., Encuentra la primitiva de f() + que toma el valor cuando. 7 7 alcular el área determinada por las funciones f() y g(). Se considera la función f() sen, π sus tangentes en y., π y Encuentra la primitiva de f() + que se anula para. alcular el área del recinto limitado por la curva y las dos tangentes. 9 Encuentra la primitiva de f() π se anula en. cos + sen que 77 on ayuda de la derivada determinar los intervalos donde es creciente o decreciente la función f() ( + ) ( ), utiliza este resultado para representar la curva y ( + ) ( ), hallando el área del recinto finito encerrado entre dicha curva y el eje O. 7 7 Utiliza rectángulos para hallar una acotación del área encerrada por la función f(), el eje O y las rectas y haciendo una división del intervalo [, ] en cuatro partes. alcula las siguientes integrales definidas ( ( ) d ) d c) d d) d e) d f) ( + ) d 7 79 Halla el área encerrada por y,, e y. alcula el área limitada por la gráfica de la función f() 9, la recta y el eje O. Obtener por cálculo integral el área encerrada por los ejes coordenados y las rectas y + y. Sea la función f() +. alcular el área limitada por la gráfica de la función y el eje de abscisas. 7 omprueba que: d d + d ( + ) d ( + ) d Encontrar una función polinómica de segundo grado que pase por los puntos: (, ), (, ) y (, ). alcular el área limitada por la función polinómica anterior y las rectas y, y. Tema 9. La integral 7
8 B7_9 //9 : Página EJERIIOS FINLES En una región, un río tiene la forma de la curva y + y es cortado por un camino dirigido según el eje O. Haz un esquema de la posición del río y del camino, calculando para la curva el corte con los ejes coordenados, etremos relativos e intervalos de crecimiento. Tomando como unidad el km calcula la etensión del terreno, comprendido entre el rio y el camino. 9 y 9 alcula el área siguiente: y onsidérese la curva de ecuación y +, así como su tangente en el origen. Hallar el área de la región acotada del plano que queda encerrada entre la curva y la tangente. Dada la función f() + +, se pide: alcular una primitiva, F(), que cumpla la condición F(). alcular la integral de la función del enunciado, f(), en el intervalo [, ]. 9 O alcula el área siguiente: 9 (, 9) (, ) Halla utilizando el cálculo integral el área de la figura siguiente: (, ) O (, ) 7 O alcula razonadamente mediante integrales el área de la figura, siendo la curva un trozo de parábola. 9 9 alcula el área del recinto limitado por la parábola y + +, el eje de abcisas, la recta y la recta. La parte superior de una pared de metros de base tiene una forma parabólica determinada por la epresión + +, donde mide la longitud en metros desde la parte izquierda de la pared. alcula la superficie de la pared. O 9 9 alcula el área comprendida entre las gráficas de las funciones f() + y g() alcula el área del recinto limitado por las gráficas f() + + y las rectas, e y. 9 alcula el área del recinto cerrado comprendido entre la curva y + y las rectas y,,.
9 B7_9 //9 : Página 9 UTOEVLUIÓN Una primitiva F() de f() tal que F() es: F() B F() F() D nada de lo anterior Una primitiva de la función f() es: ln B + ln D nada de lo anterior La integral (sen cos ) d es igual a: sen + cos + B (sen + cos + ) cos + sen + D nada de lo anterior La integral + es igual a: + B ( + ) + ( + ) / D nada de lo anterior El área de la región plana comprendida entre y e y 9 + es: B,7 D nada de lo anterior El valor de d es: B [ + ] 9 D nada de lo anterior 7 El valor de ( + ) d es igual al de: ( + ) d B ( + ) d ( + ) d D nada de lo anterior 9 El área limitada por las gráficas de y + 7 e y es: u.a. B u.a. no hay área D nada de lo anterior El área encerrada por la gráfica de las funciones y + e y es: u.a. B u.a. no eiste tal área D nada de lo anterior El área limitada por la gráfica de la función y cos y el eje de abscisas en [, π] es: u.a. B u.a. u.a. D nada de lo anterior Tema 9. La integral 9
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