TEMA V ANÁLISIS DE REGRESIÓN LOGÍSTICA

Transcripción

1 TEMA V ANÁLISIS DE REGRESIÓN LOGÍSTICA

2 LECTURA OBLIGATORIA Regresión Logística. En Rial, A. y Varela, J. (2008). Estadística Práctica para la Investigación en Ciencias de la Salud. Coruña: Netbiblo. Páginas Modelos Multivariantes 2

3 INTRODUCCIÓN Predecir la probabilidad de que un evento ocurra Gran utilidad en medicina y Ps. Clínica: identificar factores de riesgo y factores de protección, estimar cuánto aumenta la probabilidad de sufrir una patología si se dan una serie de característica o condiciones, Logística Binaria y Logística Multinomial Por qué recurrir a la RL? Posibilidad de incorporar VI categóricas Modelos Multivariantes 3

4 EJEMPLOS ESTIMAR LA PROBABILIDAD DE QUE UN INDIVIDUO SUFRA UN INFARTO A PARTIR DE: Nivel de colesterol Edad Presión arterial Sexo Antecedentes familiares ESTIMAR LA PROBABILIDAD DE QUE UN DETERMINADO SUJETO SUFRA ESQUIZOFRENIA, EN FUNCIÓN DE UNA SERIE DE VIs PREDECIR EL ÉXITO O FRACASO DE UNA TERAPIA CONOCER LAS VARIABLES QUE EXPLICAN LA ABSTENCIÓN ELECTORAL, el absentismo laboral, el burnout, etc. Modelos Multivariantes 4

5 FILOSOFÍA Qué hace la RL? A partir de las puntuaciones de los sujetos en diferentes VIs, se estiman probabilidades para poder hacer pronósticos. Se estima la probabilidad (P) de que la VD presente uno de los dos valores posibles ( 0= No se rehabilita; 1= Se rehabilita) en función de cómo se comporta en determinadas VI. Si la probabilidad estimada es menor de 0.5 la predicción será No se rehabilita. Modelos Multivariantes 5

6 TÉRMINOS QUE DEBES DOMINAR Se compara la probabilidad de ocurrencia de un evento con la probabilidad de que no ocurra. Al cociente entre ambos se le denomina ODD. P( Y Se trata de identificar aquellas variables que implican cambios en ese ratio de probabilidad, aumentándolo o disminuyéndolo de forma significativa. La ODD RATIO sería la razón o cociente entre dos ODDs. Permite comparar el pronóstico realizado bajo dos situaciones o condiciones distintas (Ej: La proporción de éxito/fracaso escolar es 5 veces menor en familias desectructuradas que en familias estructuradas). Lo que la regresión logística pretende es identificar aquellas VI que hacen variar esa ODD. Modelos Multivariantes 6 1 P( Y 1) 1)

7 TÉRMINOS QUE DEBES DOMINAR Lo que se estima en la Regresión Logística para cada sujeto no es un valor de Y, sino un LOGIT, es decir, el logaritmo de la probabilidad de que le ocurra un evento, frente a la probabilidad de que no le ocurra. Se puede definir también como el Logaritmo de la ODD de cada sujeto, esto es: Ln P( Y El LOGIT es, precisamente, la VD en la Regresión Logística. 1 P( Y 1) 1) Modelos Multivariantes 7

8 EL MODELO Dado que debemos llegar a un cociente de Probabilidades, el modelo debe asumir una expresión matemática particular, concretamente logarítmica: Ln 1 P( Y P( Y 1) 1) 1 X 1 2 X 2... n X n La regresión logística utiliza una Función de Enlace Logarítmica, para pasar de los valores cualesquiera en las VI a predicciones en términos de un cociente probabilidades y, de ahí a una Probabilidad (entre 0 y 1) y, finalmente a un pronóstico concreto. El modelo de regresión logística asume que existe una relación lineal entre los predictores y el logaritmo de la probabilidad de ocurrencia de un evento, frente a la no ocurrencia de dicho evento (LOGIT). Modelos Multivariantes 8

9 SUPUESTOS Menos exigente que el A.D. No es necesario que las VI sean métricas, normales, y ni siquiera cuantitativas. 1. El modelo debe estar especificado correctamente, con las VI relevantes 2. La relación entre cada VI y el Logaritmo de las ODD debe ser lineal 3. Que no exista multicolinealidad Modelos Multivariantes 9

10 ESTIMACIÓN DEL MODELO Cómo se estima el modelo en la RL? En la Regresión Lineal se hacía siguiendo el criterio de Mínimos Cuadrados, mientras que en la RL se hace siguiendo el de Máxima Verosimilitud. Se generan Coeficientes Logísticos para las distintas VI. Dichos coeficientes de la ecuación ( 1, 2, 3,...) se utilizan para hacer las estimaciones de probabilidad de que ocurra el evento objeto de estudio. Al igual que en la Regresión Lineal disonemos del método directo (ENTER) y el de Pasos (STEPWISE: Adelante Wald). Modelos Multivariantes 10

11 EVALUACIÓN DEL AJUSTE Un primer indicador es el valor de 2LL, que vendría a ser como la parte no explicada por el modelo. Excesivamente rudimentario: no está acotado. Cuanto más próximo a cero mejor será el ajuste. SPSS facilita también un contraste 2 para saber si la capacidad explicativa del modelo puede considerarse o no estadísticamente significativa. También disponemos de un % de sujetos correctamente clasificados (debemos de ganarle al menos ¼ al azar: al menos 62.5%). También tenemos dos R 2 : R 2 de Cox y Snell (de 0 a 1, pero no suele alcanzar el 1 aunque el modelo sea perfecto) R 2 de Nagelkerke (versión corregida del anterior) Modelos Multivariantes 11

12 INTERPRETACIÓN Qué VI son buenos predictores? En la Regresión Lineal se recurría a un contraste t para saber si cada uno de los predictores eran o no significativamente distintos de cero. En la RL se recurre al Estadístico de Wald. Un coeficiente positivo implica un aumento en la probabilidad de ocurrencia del evento y negativo una disminución. Además Un negativo se corresponde con un ODD RATIO menor de 1 (una desventaja ). El SPSS le llama Exp(b) Justamente el valor de Exp(b) indica cuánto mejor o peor es el pronóstico en función de los valores que asume la VI. La VENTAJA o desventaja de una poseer una determinada característica, condición o factor. Nos permite identificar: FACTORES DE RIESGO y FACTORES DE PROTECCIÓN Modelos Multivariantes 12

13 PARALELISMOS CON LA RLM Contrastes globales: F Anova 2 Contrastes particulares t Student Wald Método de estimación Mínimos cuadrados Máxima verosimilitud Modelos Multivariantes 13

14 EJEMPLO 70 pacientes víctimas de accidentes de tráfico y con daño cerebral (TCE) Se desea saber si variables como el Tipo de Lesión, la Atención, el Apoyo Familiar, o laedad del sujeto influyen en la rehabilitación del paciente VD dicotómica: REHABILITACIÓN 0 (NO SE REHABILITA) 1 (SE REHABILITA) 3 Variables explicativas cualitativas (dicotómicas) APOYO: 0 (SIN APOYO FAMILIAR) 1 (CON APOYO FAMILIAR) LESIÓN: 0 (DIFUSA) 1 (FOCALIZADA) ATENCIÓN 0 (NO INMEDIATA) 1 (INMEDIATA) 1 Variable explicativa cuantitativa: EDAD Modelos Multivariantes 14

15 EJEMPLO Sea 0= No se rehabilita y 1= Se rehabilita. A partir de los datos de una tabla de contingencia podemos calcular 4 probabilidades: La probabilidad de que el sujeto se rehabilite frente a la probabilidad de que no se rehabilite (ODD para la rehabilitación) La probabilidad de que el sujeto se rehabilite frente a la probabilidad de que no se rehabilite, si es que se trata de una lesión focalizada (ODD para la rehabilitación con lesión focalizada) La probabilidad de que el sujeto se rehabilite frente a la probabilidad de que no se rehabilite, si es que se trata de una lesión difusa (ODD para la rehabilitación con lesión difusa) El cociente entre las dos ODD, la obtenida para una lesión focalizada y la obtenida para una lesión difusa (ODD RATIO). Modelos Multivariantes 15

16 EJEMPLO Tabla de contingencia REHABILITACAIÓN * LESIÓN LESIÓN DIFUSA FOCALIZADA Total REHABILIT ACAIÓN NO SE REHABILITA Recuento % de LESIÓN 57,6% 21,6% 38,6% SE REHABILITA Recuento % de LESIÓN 42,4% 78,4% 61,4% Total Recuento % de LESIÓN 100,0% 100,0% 100,0% La probabilidad de que el sujeto se rehabilite frente a la probabilidad de que no se rehabilite (ODD para la rehabilitación). P/1-P 43/27=1.59, o lo que es lo mismo 43/70 27/70 Es decir, por cada individuo no rehabilitado encontramos 1.59 rehabilitados Modelos Multivariantes 16

17 EJEMPLO Tabla de contingencia REHABILITACAIÓN * LESIÓN LESIÓN DIFUSA FOCALIZADA Total REHABILIT ACAIÓN NO SE REHABILITA Recuento % de LESIÓN 57,6% 21,6% 38,6% SE REHABILITA Recuento % de LESIÓN 42,4% 78,4% 61,4% Total Recuento % de LESIÓN 100,0% 100,0% 100,0% La probabilidad de que el sujeto se rehabilite frente a la probabilidad de que no se rehabilite, si es que se trata de una lesión FOCALIZADA (ODD para la rehabilitación con lesión focalizada) 29/8= 3.62 PRIMER DATO: como la ODD focalizada es mayor que la ODD global (ese nivel de la variable hace que aumente la probabilidad de rehabilitación), se trataría de un FACTOR DE PROTECCIÓN Modelos Multivariantes 17

18 EJEMPLO Tabla de contingencia REHABILITACAIÓN * LESIÓN LESIÓN DIFUSA FOCALIZADA Total REHABILIT ACAIÓN NO SE REHABILITA Recuento % de LESIÓN 57,6% 21,6% 38,6% SE REHABILITA Recuento % de LESIÓN 42,4% 78,4% 61,4% Total Recuento % de LESIÓN 100,0% 100,0% 100,0% La probabilidad de que el sujeto se rehabilite frente a la probabilidad de que no se rehabilite, si es que se trata de una lesión difusa (ODD para la rehabilitación con lesión DIFUSA) 14/19= 0.73 SEGUNDO DATO: si la ODD difusa es menor que la global, ese nivel de la variable hace que disminuya la probabilidad de rehabilitación y, por tanto, se trataría de un FACTOR DE RIESGO Modelos Multivariantes 18

19 EJEMPLO El cociente entre las ODDs obtenidas con LESIÓN FOCALIZADA Vs. DIFUSA es 3.62/0.73=4.92; esto es, La ODD RATIO par la variable tipo de lesión sería La proporción de rehabilitados es CASI 5 VECES MAYOR en el caso de una lesión focalizada que de una difusa. Paso 1 a LESIÓN Constante Variables en la ecuación B E.T. Wal d gl Sig. Exp(B) 1,593,532 8,952 1,003 4,920 -,305,352,752 1,386,737 a. Variable(s) introducida(s) en el paso 1: LESIÓN. ODD RATIO TERCER DATO: si para una determinada característica la ODD RATIO>1, poseer dicha característica supondría una ventaja de cara a la probabilidad de ocurrencia de un evento, en este caso rehabilitarse. Si fuese similar a 1, se trataría de una variable irrelevante en términos de pronóstico. Modelos Multivariantes 19

20 Veamos el modelo completo Variables en la ecuación Paso 1 a Paso 2 b EDAD Constante LESIÓN EDAD Constante B E.T. Wal d gl Sig. Exp(B) -,152,040 14,808 1,000,859 4,697 1,130 17,272 1, ,623 1,770,665 7,086 1,008 5,872 -,154,041 13,736 1,000,858 3,950 1,177 11,258 1,001 51,915 a. Variable(s) introducida(s) en el paso 1: EDAD. b. Variable(s) introducida(s) en el paso 2: LESIÓN. Modelos Multivariantes 20

21 Si sustituimos los parámetros Variables en la ecuación Paso 1 a Paso 2 b EDAD Constante LESIÓN EDAD Constante B E.T. Wal d gl Sig. Exp(B) -,152,040 14,808 1,000,859 4,697 1,130 17,272 1, ,623 1,770,665 7,086 1,008 5,872 -,154,041 13,736 1,000,858 3,950 1,177 11,258 1,001 51,915 a. Variable(s) introducida(s) en el paso 1: EDAD. b. Variable(s) introducida(s) en el paso 2: LESIÓN. ln[ odd ( Y 1)] ( Edad) 1.77( Lesión ) Para el Sujeto nº 1 (de 19 años y con lesión difusa) el logaritmo de la ODD de rehabilitarse sería: ln[ odd ( Y 1)] (19) 1.77(0) 1.1 Modelos Multivariantes 21

22 INTERPRETACIÓN DEL LOGIT Para pasar de un LOGIT (que es un logaritmo) a una razón de probabilidades (la ODD entre rehabilitarse y no rehabilitarse), se recurre a la INVERSA DEL LOGARITMO, en este caso: Inv Log (1.1) =3 INTERPRETACIÓN: para un sujeto con estas características la probabilidad de rehabilitarse es 3 veces mayor que de no rehabilitarse. Pero, cuál es concretamente la probabilidad que tiene de rehabilitarse?. Habría que despejar la ecuación: ODD P 1 P P 3(1 P) 3 3P 3 3 P Modelos Multivariantes 22

23 Y si es una lesión FOCALIZADA? Repitamos el cálculo ahora para el caso de una lesión FOCALIZADA. El resto de las condiciones son iguales: ln[ odd ( Y 1)] (19) Inv Log (2.87) = (1) 2.87 INTERPRETACIÓN: En el caso de UNA LESIÓN FOCALIZADA por cada paciente no rehabilitado tendríamos 17 rehabilitados. En el caso de LESIÓN DIFUSA por cada paciente no rehabilitado tenemos 3 rehabilitados. Los ingleses apostarían: Si es difusa, 3 a 1 a que se rehabilita; si es focalizada 17 a 1. Existe una manera de cuantificar esa ventaja: la ODD RATIO Modelos Multivariantes 23

24 INTERPRETACIÓN DEL EXP(B) Si dividimos la ODD para focalizada entre la ODD para difusa, obtendremos la ventaja (o desventaja) de tener una lesión focalizada a la hora de hacer un pronóstico de rehabilitación. Veamos: ODD (focalizada) = 17.6 ODD (difusa) = / 3= 5.87 que es exactamente el valor de EXP(B) Variables en la ecuación Paso 1 a Paso 2 b EDAD Constante LESIÓN EDAD Constante B E.T. Wal d gl Sig. Exp(B) -,152,040 14,808 1,000,859 4,697 1,130 17,272 1, ,623 1,770,665 7,086 1,008 5,872 -,154,041 13,736 1,000,858 3,950 1,177 11,258 1,001 51,915 a. Variable(s) introducida(s) en el paso 1: EDAD. b. Variable(s) introducida(s) en el paso 2: LESIÓN. Modelos Multivariantes 24