El valor instantáneo de la f.e.m. inducida en la bobina, de acuerdo con la ley de Faraday vendría dado por:

Transcripción

1 OIENE AENA SENOIDA Es una corriente eléctrica cuyo sentido se invierte periódicamente. Se caracteriza porque los valores que toma en cada instante su intensidad y su tensión varían de forma proporcional a los que toma el seno de un ángulo entre 0º y 360º. a expresión matemática que la define de forma gráfica es la función seno ( y senϕ ). PODUIÓN DE UNA OIENE AENA SENOIDA Una bobina rectangular ABD sometida a una campo magnético de inducción Β, gira alrededor de un ee a una velocidad angular ω. a inducción es perpendicular al plano de la bobina que va ocupando las posiciones 1,, 3, 4, y 1. a variación de fluo, abarcado por la bobina en su rotación, tiene por expresión: Φ N Β S cos ωt El valor instantáneo de la f.e.m. inducida en la bobina, de acuerdo con la ley de Faraday vendría dado por: dφ e N dt valor que depende del fluo magnético que atraviesa la bobina y por lo tanto de la posición en el interior del campo magnético, así que, si sustituimos el fluo por su expresión y derivamos se obtiene una f.e.m. inducida de valor instantáneo: e N B S ω senωt El valor máximo de la f.e.m. inducida (E máx ), se obtiene cuando ϕ 90º, ya que entonces sen ϕ senωt 1. Por lo tanto, la f.e.m. máxima, o valor máximo que puede tomar la onda senoidal es: N B S ω E máx Y la f.e.m. instantánea (e) puede expresarse como: e Emáx senωt Se deduce de esto que el valor de la f.e.m. inducida en una bobina es proporcional al valor del seno del ángulo descrito, por lo que decimos que es una f.e.m. senoidal. 90

2 EPESENAIÓN GÁFIA DE UNA MAGNIUD AENA SENOIDA a onda senoidal de.a. tiene una expresión matemática que corresponde a la función seno ( ), y su expresión gráfica corresponde a la proyección sobre un y senϕ ee de coordenadas, de un vector giratorio OA r que recorre una circunferencia de radio r, con movimiento circular uniforme de velocidad angular ω. omo la velocidad angular es el ángulo descrito en la unidad de tiempo podemos decir: ϕ ω t ϕ ω t donde: ϕ Ángulo descrito o desplazamiento angular en radianes (rad) ω elocidad angular en rad/s t iempo transcurrido en segundos 1º.- epresentación senoidal o cartesiana: Se representa mediante senoides. a) En función del tiempo: se toma el valor de la magnitud en ordenadas y el del tiempo en abscisas. b) En función del ángulo: se toma el valor de la magnitud en ordenadas y el del ángulo (ϕ) en abscisas; teniendo en cuenta que al tiempo de un período le corresponde un ángulo de ( π 360º). º.- epresentación vectorial: Se representa por un vector giratorio o fasor, de módulo igual al valor máximo de la magnitud, y que gira con movimiento uniforme describiendo una rotación completa en el tiempo de un período; con velocidad angular (o pulsación). π radianes ( rad ) ω π f segundo ( s) En los cálculos se suele representar el vector con el módulo del valor eficaz 91

3 PEÍODO () Es el tiempo mínimo, que tarda la corriente en volver a repetir todos sus valores. En el tiempo de un período la corriente realiza una oscilación completa o ciclo. FEUENIA (f) Es el número de ciclos realizados en un segundo. 1 Es la inversa del período. f El período por segundo recibe el nombre de Hercio o hertz (Hz). SEMIPEIODO O AENANIA uando la.a. circula en un sentido realiza un semiperiodo o alternancia. En cada período hay dos semiperiodos, uno que consideramos positivo y otro negativo. EOIDAD ANGUA O PUSAIÓN (ω) Se define velocidad angular (ω), como el ángulo (ϕ) descrito en la unidad de tiempo (t). ϕ ω t Si tenemos en cuenta que en.a. el ángulo descrito coincide con la longitud de una circunferencia (π) y el tiempo con el periodo (), la expresión será entonces: π 1 radianes( rad) ω y como f luego ω π f segundo( s) EFEOS PODUIDOS PO A OIENE AENA os efectos que produce la.a. en régimen permanente dependen de la naturaleza de los elementos pasivos del circuito. 1º.- Efectos caloríficos: a.a. calienta los conductores por efecto Joule igual que la corriente continua. º.- Efectos magnéticos: a.a. crea un campo magnético alternativo alrededor del conductor por el que circula. 9

4 AO INSANÁNEO DE UNA MAGNIUD EÉIA EN OIENE AENA Es el valor (e, i, v), que toma la magnitud en un instante determinado. Se escribe con la letra minúscula del símbolo de la magnitud. iene por expresión: e Emáx senϕ Emáx senωt i Imáx senϕ Imáx senωt v máx senϕ máx senωt AO MÁIMO DE UNA MAGNIUD EÉIA EN OIENE AENA Es el mayor valor (E máx, I máx, máx ) que toma la magnitud en un semiperiodo. Se llama también amplitud, valor de pico, o valor de cresta. AO MEDIO DE UNA MAGNIUD EÉIA EN OIENE AENA El valor medio (E med, I med, med ) de una magnitud senoidal, es la media aritmética de los valores instantáneos que toma dicha magnitud durante un semiperiodo. ambién puede definirse como la altura de un rectángulo cuya superficie es la misma que la superficie de un semiperiodo. iene por expresión matemática: E med Emáx π I máx máx, E máx ; I med 0, 637 I máx ; med 0, 637 máx π El valor medio de una magnitud senoidal en un periodo completo es cero, al anularse el semiperiodo positivo con el negativo. alor medio (I med ) de una intensidad de c.a. Se puede definir también como el valor de una intensidad de c.a. que transporta la misma carga en el mismo tiempo que una intensidad de c.c. de igual valor. π 93

5 AO EFIA DE UNA MAGNIUD EÉIA EN OIENE AENA El valor eficaz (E, I, ) de una magnitud senoidal, es la raíz cuadrada de la media aritmética de los cuadrados de valores instantáneos alcanzados en un período o ciclo completo. E iene por expresión matemática: Emáx Imáx 0, 707 E máx ; I 0, 707 Imáx ; máx 0,707 máx Es el valor que proporcionan los aparatos de medida de c.a., y el que se utiliza para los cálculos. alor eficaz (I) de una intensidad c.a. Se puede definir también como el valor de una intensidad de c.a. que en el mismo tiempo produce en un circuito resistivo, los mismo efectos caloríficos (cantidad de calor por efecto Joule), que una intensidad de c.c. de igual valor. DESFASE ENE MAGNIUDES AENAS lamamos ángulo de fase, al ángulo que existe entre dos magnitudes periódicas simples. uando existe una diferencia de fase entre dos magnitudes decimos que se ha producido un desfase. Este ángulo de fase (ϕ), es muy importante para la resolución de problemas en circuitos de c.a. a) Se dice que dos magnitudes alternas senoidales de igual f, están en fase cuando su ángulo de fase ϕ 0 (alcanzan en el mismo instante sus valores máximos y mínimos). i Imáx senωt v senωt máx b) Se dice que dos magnitudes alternas están desfasadas cuando su ángulo de fase ϕ 0. i I senωt i I sen t ϕ máx ( ω + ) I sen ( ω ) 1 máx1 i máx t ϕ En todo diagrama vectorial debemos referir una magnitud con respecto a otra o con respecto a un ee de referencia 94

6 IUIO ESISIO PUO DE OIENE AENA ON ESISENIA ÓHMIA Un circuito resistivo puro es el que tiene sólo resistencia óhmica y por lo tanto está desprovisto de autoinducción y capacidad. Al conectar una resistencia a una tensión alterna senoidal de valor eficaz y frecuencia f: a) Por la resistencia circula una corriente alterna senoidal de frecuencias f y de valor eficaz: I (en el esquema se considera que ) b) a intensidad en valor instantáneo, según la ey de Ohm, vale: v máx senωt máx i I máx senωt ; Imáx c) De la relación entre intensidad y tensión eficaces, se obtiene una expresión igual a la ey de Ohm de c.c.: I máx máx ; I ; I d) a intensidad de corriente está en fase con la tensión aplicada. Sus valores instantáneos son: v máx senω t ; i I máx senωt e) a potencia consumida por efecto Joule en la resistencia se llama potencia activa P y se mide en vatios (W). P I I 95

7 IUIO DE OIENE AENA ON AUOINDUIÓN (INDUIO PUO) Un circuito tiene sólo autoinducción cuando está desprovisto de resistencia óhmica y capacidad. Al conectar una bobina de coeficiente autoinducción o inductancia a una tensión alterna senoidal de valor eficaz y frecuencia f: a) Por la autoinducción circula una corriente alterna senoidal de frecuencia f y de valor eficaz: I (en el esquema se considera que: ) ω π f b) El valor: ω π f se denomina reactancia inductiva o de autoinducción. Su unidad de medida es el ohmio (Ω). c) a intensidad de corriente está desfasada en retraso 90º (un cuarto de período) respecto a la tensión aplicada. Sus valores instantáneos son: v máx senωt I sen ωt π ; ( ) i máx d) a potencia consumida por la bobina se emplea en producir un campo magnético, se llama potencia reactiva Q y se mide en voltiamperios reactivos (Ar). Q I I ω π 96 f a variación de la corriente alterna origina en una bobina una f.e.m. autoinducida, que según la ley de enz, tiende a oponerse al paso de la corriente. Esta oposición es proporcional al coeficiente de autoinducción y a la frecuencia de variación de la corriente y da lugar a un retardo de la intensidad respecto a la tensión aplicada. En una bobina, prácticamente desprovista de resistencia (autoinducción pura), la intensidad toma sus valores nulo y máximo, un cuarto de período más tarde que la tensión, como indica la figura. uando la tensión es nula, la intensidad tiene el valor I máx uando la tensión es + máx, la intensidad es nula. uando la tensión vuelve a ser nula, la intensidad es +I máx a intensidad está desfasada en retraso 90º respecto a la tensión.

8 IUIO DE OIENE AENA ON APAIDAD (APAIIO PUO) Un circuito tiene sólo capacidad cuando está desprovisto de resistencia óhmica y de autoinducción. Al conectar un condensador de capacidad a una tensión alterna senoidal de valor eficaz y frecuencia f: (en el esquema se considera que ) a) Por el circuito pasa una corriente alterna senoidal de frecuencia f y de valor eficaz: I o también I ω π f 1 1 ω π f b) El valor 1 ω 1 π f capacidad. Su unidad de medida es el ohmio (Ω). se llama reactancia capacitiva o de c) a intensidad de corriente alterna está desfasada en adelanto 90º (un cuarto de período) respecto a la tensión aplicada. Sus valores instantáneos son: v máx senωt I sen ωt + π ; ( ) i máx d) a potencia consumida por el condensador se utiliza para la carga del mismo, se llama potencia reactiva Q y se mide en voltiamperios reactivos (Ar). Q I I ω π f El condensador, debido a sus cargas y descargas alternativas, desplaza en adelanto la intensidad, que toma sus valores nulo y máximo antes que la tensión, como indica la figura. uando la tensión es nula, la intensidad tiene el valor +I máx uando la tensión es + máx, la intensidad es nula. uando la tensión vuelve a ser nula, la intensidad es I máx a intensidad está desfasada en adelanto 90º respecto a la tensión. 97

9 IUIO DE OIENE AENA ON ESISENIA Y AUOINDUIÓN EN SEIE (-) Al conectar un circuito de resistencia y autoinducción a una tensión alterna senoidal de valor eficaz y frecuencia f: a) Por el circuito circula una corriente alterna senoidal de frecuencia f y de valor eficaz: I + b) El valor + se llama impedancia o resistencia total (o aparente) que aparece en el circuito al paso de la c.a. Su unidad de medida es el ohmio (Ω). c) a intensidad de corriente está desfasada un ángulo ϕ respecto a la tensión aplicada. ϕ arc omo el ángulo es positivo se dice que la intensidad está retrasada respecto a la tensión. d) a potencia consumida por el circuito se divide en: Potencia activa, que se mide en vatios (W). Potencia reactiva, que se mide en voltiamperios reactivos (Ar). Potencia aparente, que se mide en voltiamperios (A). P I I I cos ϕ S I Q I I I senϕ I a relación entre las tres potencias es: S P + Q 98

10 ONSUIONES GÁFIAS a) riángulo de tensiones: a representación vectorial de las tensiones forma el triángulo de tensiones. r r r + ensión activa ensión reactiva ensión aplicada al circuito I cos ϕ I senϕ I + b) riángulo de impedancias: Dividiendo los tres lados del triángulo de tensiones por el valor de la intensidad se obtiene el triángulo de impedancias (o resistencias). esistencia óhmica cos ϕ eactancia total senϕ Impedancia del circuito + c) riángulo de potencias: Multiplicando los tres lados del triángulo de tensiones por el valor de la intensidad o bien multiplicando el triángulo de resistencias por el valor de la intensidad al cuadrado se obtienen dos triángulos de potencias. Potencia aparente (A) Potencia activa (W) S I I P + Q P I I S cos ϕ I cos ϕ Potencia reactiva (Ar) Q I I S senϕ I senϕ P P Factor de potencia (FP) o cos ϕ: ( FP) cos ϕ S I d) Por último a partir de cualquiera de los triángulos podemos obtener el ángulo de desfase: ϕ arc ; ϕ arc ; 99 ϕ arc Q P

11 IUIO DE OIENE AENA ON ESISENIA Y APAIDAD EN SEIE (-) Al conectar un circuito de resistencia y capacidad a una tensión alterna senoidal de valor eficaz y frecuencia f: a) Por el circuito circula una corriente alterna senoidal de frecuencia f y de valor eficaz: I + b) El valor + se llama impedancia o resistencia aparente del circuito y se mide en ohmios. c) a intensidad de corriente está desfasada un ángulo ϕ respecto a la tensión aplicada. ϕ arc omo el ángulo es negativo (ϕ), la intensidad está adelantada respecto a la tensión. d) a potencia consumida por el circuito se divide en: Potencia activa, que se mide en vatios (W). Potencia reactiva, que se mide en voltiamperios reactivos (Ar). Potencia aparente, que se mide en voltiamperios (A). P I I I cos ϕ S I Q I I I sen ϕ I a relación entre las tres potencias es: S P + Q El signo () en las fórmulas del circuito sólo es para indicar que los triángulos (,, P) se encuentran en el cuarto cuadrante 100

12 ONSUIONES GÁFIAS a) riángulo de tensiones: a representación vectorial de las tensiones forma el triángulo de tensiones. r r r ensión activa + I cos ϕ ensión reactiva ( ) I sen ϕ ensión aplicada al circuito I + b) riángulo de impedancias: Dividiendo los tres lados del triángulo de tensiones por el valor de la intensidad se obtiene el triángulo de impedancias (o resistencias). esistencia óhmica cosϕ eactancia total Impedancia del circuito sen ϕ + c) riángulo de potencias: Multiplicando los tres lados del triángulo de tensiones por el valor de la intensidad o bien multiplicando el triángulo de resistencias por el valor de la intensidad al cuadrado se obtienen dos triángulos de potencias. Potencia aparente Potencia activa Potencia reactiva S I I P + Q P I I S cos ϕ I cos ϕ Q Factor de potencia (FP) o cos ϕ: ) ( ) I ( I S sen ϕ I sen ϕ P P cos ϕ S I d) Por último a partir de cualquiera de los triángulos podemos obtener el ángulo de desfase: ϕ arc ; ϕ arc ; ϕ arc Q P 101

13 IUIO DE OIENE AENA ON ESISENIA, AUOINDUIÓN Y APAIDAD EN SEIE (--) Al conectar un circuito de resistencia, autoinducción y capacidad a una tensión alterna senoidal de valor eficaz y frecuencia f: a) Por el circuito circula una corriente alterna senoidal de frecuencia f e intensidad eficaz: b) El valor: + I ( ) ( ) + se llama impedancia o resistencia aparente del circuito y se mide en ohmios. c) a intensidad de corriente está desfasada un ángulo ϕ respecto a la tensión aplicada. ϕ arc Si el ángulo es positivo ( > ), la intensidad está retrasada respecto a la tensión y en el circuito predomina el efecto inductivo, pero si el ángulo es negativo ( > ), la intensidad está adelantada respecto a la tensión y en el circuito predomina el efecto capacitivo. d) a potencia consumida por el circuito se divide en: Potencia activa, que se mide en vatios (W). Potencia reactiva, que se mide en voltiamperios reactivos (Ar). P I I I cos ϕ ( ) I ( ) I I ϕ Q sen Potencia aparente, que se mide en voltiamperios (A). a relación entre las tres potencias es: S P + Q S I I 10

14 ONSUIONES GÁFIAS a) riángulo de tensiones: a representación vectorial de las tensiones forma el triángulo de tensiones. r r r r r r ensión activa: I cos ϕ ensión reactiva: ( ) I senϕ ensión aplicada al circuito: I + ( ) + b) riángulo de impedancias: Dividiendo los tres lados del triángulo de tensiones por el valor de la intensidad se obtiene el triángulo de impedancias (o resistencias). esistencia óhmica: eactancia total: cos ϕ senϕ Impedancia del circuito: ( )

15 c) riángulo de potencias: Multiplicando los tres lados del triángulo de tensiones por el valor de la intensidad o bien multiplicando el triángulo de resistencias por el valor de la intensidad al cuadrado se obtienen dos triángulos de potencias. Factor de potencia (FP) o cos ϕ : ( FP) Potencia aparente (A): S I I Potencia activa (W): P I I Potencia reactiva(ar): P + S cos ϕ cos ϕ P S P I ( Q Q ) P Q + I cos ϕ ( ) I I ( ) I S senϕ I ϕ Q Q Q I sen d) Por último a partir de cualquiera de los triángulos podemos obtener el ángulo de desfase: ϕ arc arc ; ϕ arc arc ; ϕ arc Q Q P arc Q P 104

16 IUIO SEIE EN GENEA (ONEIÓN DE IMPEDANIAS EN SEIE) Un circuito serie de impedancias, al igual que en c.c. sucedía con la conexión de resistencias serie, puede ser sustituido por otro equivalente, teniendo en cuenta las siguientes consideraciones: 1º.- a intensidad que circula por total es igual para todas r r r r º.- a impedancia total del circuito ( ) es la suma vectorial de las impedancias parciales: r r r r 3º.- a tensión total aplicada () es la suma vectorial de las caídas de tensión: º.- a potencia total suministrada (S) es la suma vectorial de las potencias parciales: S S1 + S + S3 5º.- El ángulo de desfase del circuito equivalente (ϕ) depende de las características de las impedancias del circuito. Para hallar la impedancia total equivalente, se recurre a los números compleos en su forma binómica, expresando cada impedancia parcial y equivalente mediante las siguientes fórmulas (para la meor comprensión hemos supuesto tres impedancias, de las cuales dos son inductivas y una capacitiva): r r r r r r r r + ( + ) + ( ) + ( + ) ( + + ) + ( ) su módulo vendría dado por: + ( ) ( ) y el ángulo de desfase por: r ϕ arc de donde se deduce que la resistencia, la reactancia inductiva y la reactancia capacitiva total para n impedancias vendría dada por: n 1 n 1 n r r r De igual manera se puede hallar la tensión total aplicada y la potencia total suministrada, puesto que, las representaciones gráficas son semeantes, aunque, y como a continuación se puede ver, no es necesario salvo que se quieran conocer valores parciales de tensiones y/o potencias. 105

17 Por lo tanto al conectar un circuito con varias impedancias (inductivas y capacitivas) en serie a una tensión alterna senoidal de valor eficaz y frecuencia f: a) Por el circuito pasa una corriente alterna senoidal de frecuencias f intensidad eficaz: I ( ) + : Suma de las resistencias óhmicas. : Suma de reactancias inductivas o de autoinducción. : Suma de reactancias capacitivas o de capacidad. + b) a impedancia total del circuito es el valor: ( ) c) El factor de potencia (FP) vendría dado por: cos ϕ d) a intensidad de corriente está desfasada un ángulo ϕ respecto a la tensión: ϕ arc e) a tensión total aplicada tendría por valor: ( I ) + [ I ( )] f) a potencia total consumida por el circuito se divide en: Potencia activa total ((W) 1 P I P + P P I cos ϕ Potencia reactiva total (Ar) Q ( ) I ( Q + + Q ) ( Q + + Q ) I senϕ Potencia aparente total (A) n 1... n 1... S I I n a relación entre las tres potencias S P + Q 106

18 EPESENAIONES MEDIANE NÚMEOS OMPEJOS DE AS MAGNIUDES EÉIAS FUNDAMENAES DE OS IUIOS ANAIADOS EN OS APAADOS ANEIOES ( ircuito ensión Intensidad esistivo puro a impedancia del circuito coincide con la resistencia óhmica Inductivo puro a impedancia del circuito coincide con la reactancia inductiva apacitivo puro a impedancia del circuito coincide con la reactancia capacitiva Serie ϕ I I I 0º ϕ ϕ ϕ I I I 0º ϕ I I I 0º ϕ I I 0º I ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Binómica rigonométrica Polar Impedancia Módulo ϕ ρ l s l γ s ϕ ω π f ϕ cos ϕ + senϕ ϕ 1 1 ω π f + cos ϕ senϕ ϕ arc ϕ arc ϕ arc Argumento ϕ 0º 0 arc 0 0 ϕ 90º arc ϕ 90º arc ϕ arc 0 0º 90º 90º Serie ϕ I I 0º I ϕ ϕ + cos ϕ + senϕ ϕ ( ) + cos ϕ senϕ ϕ arc 107

19 ircuito ensión Intensidad Binómica rigonométrica Polar Impedancia Módulo Argumento Serie ϕ I I 0º I ϕ ϕ + ( ) + + cos ϕ + senϕ ϕ ( ) + cos ϕ senϕ ϕ arc Serie (general) ϕ I I 0º ϕ I ϕ + ( ) n en donde cada impedancia vendría dada por: ( ) 1 + ( )... n n + ( ) n n ϕ en donde: ( ) n n n ϕ arc Dependería de las característica de cada impedancia. NOA: Para la elaboración de estas tablas, se ha considerado el vector de la intensidad ( I ) partiendo del origen, es decir en el ee de abscisas. Se deberán utilizar, sólo y exclusivamente cuando se esté trabaando con circuitos serie. 108

20 EPESENAIONES MEDIANE NÚMEOS OMPEJOS DE AS MAGNIUDES EÉIAS FUNDAMENAES DE OS IUIOS ANAIADOS EN OS APAADOS ANEIOES ircuito ensión Intensidad esistivo puro a impedancia del circuito coincide con la resistencia óhmica Inductivo puro a impedancia del circuito coincide con la reactancia inductiva apacitivo puro a impedancia del circuito coincide con la reactancia capacitiva Serie 0º I I I 0º I I I (ϕ) 0º ϕ 0º I I I 0º I I I (ϕ) 0º ϕ (ϕ) 0º ϕ (ϕ) 0º ϕ Binómica rigonométrica Polar Impedancia Módulo ϕ ρ l s l γ s ϕ ω π f ϕ ϕ cos ϕ + senϕ 1 1 ω π f + cos ϕ senϕ ϕ arc ϕ arc ϕ arc Argumento ϕ 0º 0 arc 0 0 ϕ 90º arc ϕ 90º arc ϕ arc 0 0º 90º 90º Serie 0º I I I (ϕ) 0º ϕ + ϕ cos ϕ + senϕ ( ) + cos ϕ senϕ ϕ arc 109

21 ircuito ensión Intensidad Binómica rigonométrica Polar Impedancia Módulo Argumento Serie 0º I I I (ϕ) 0º ϕ + ( ) + + cos ϕ + senϕ ϕ ( ) + cos ϕ senϕ ϕ arc Serie (general) 0º I I I (ϕ) 0º ϕ + ( ) n en donde cada impedancia vendría dada por: ( ) 1 + ( )... n n + ( ) n n ϕ en donde: ( ) n n n ϕ arc Dependería de las característica de cada impedancia. NOA: Para la elaboración de estas tablas, se ha considerado el vector de la tensión ( ) partiendo del origen, es decir en el ee de abscisas. Se deberán utilizar, sólo y exclusivamente cuando se esté trabaando con circuitos serie asociados en paralelo. 110