FES. Electrones libres en los metales. Modelo de Sommerfeld.
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- Carla Ruiz Alarcón
- hace 7 años
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1 . Suponemos que el sólido metálico se puede modelizar de acuerdo a las siguientes hipótesis: 1. En el metal existen los denominados electrones de conducción que están constituidos por todos los electrones de valencia del metal. 2. Supondremos que estos electrones se comportan como un gas de partículas libres en el seno de un potencial constante generado por los iones. Es decir perdemos todos los posibles efectos asociados a la presencia de una estructura periódica. 3. Se desprecia la interacción entre electrones y se considera que los electrones se mueven de forma independiente en un potencial cuadrado, en el que los límites corresponden a las dimensiones del cristal. 4. En este modelo los electrones se asume que siguen la estadística de Fermi-Dirac. Aproximación del potencial real a un potencial constante usando en el modelo de Sommerfeld. Soluciones a la ecuación de Schrödinger para el potencial considerado asumiendo condiciones de contorno cíclicas.
2 Estados permitidos y densidad de estados Valores permitidos de k Estado fundamental Cálculo del la energía y del nivel de Fermi Energía del electrón Número de k posibles en una corteza esférica del espacio reciproco de radio k y espesor dkque pasándolo a energías toma la forma que sigue: ~ /
3 . TF índica la temperatura necesaria para que las partículas alcancen energías cinéticas del orden de la energía de Fermi. A temperaturas ordinarias el sistema está dominado por el principo de exclusión de Pauli y obedece la estadística de Fermi-Dirac. El gas de electrones a temperatura finita
4 . Calor específico del gas de electrones Para el potasio a T muy bajas Cv=2,08 mj mol -1 K -2 (valor teórico) Cv=1,67 mj mol -1 K -2 (valor experimental) ~ La contribución al calor específico del gas de electrones es proporcional a la temperatura. En un metal real se debe tener en cuenta una segunda contribución proporcional a T 3 asociada a las vibraciones de la red Valores muy similares si tenemos en cuenta las hipótesis realizadas. Las diferencias se suelen interpretar admitiendo que los electrones en un sólido tiene una masa efectiva m* diferente de la que presentan cuando son libres. m*/m=1,25 para el potasio m*/m =1,3 para el magnesio m*/m=1,48 para el aluminio Para entender este concepto tendremos que mejorar el modelo incorporando el efecto de la interacción con los iones
5 .
6 .
7 Propiedades de transporte Ecuación de movimiento del electrón en ausencia de colisiones Se obtiene la Ley de Ohm Ecuación de movimiento del electrón en ausencia de campo magnético y asumiendo la existencia de colisiones; τes el tiempo medio entre colisiones En un cristal ideal las principales interacción se dan con las vibraciones de la red lo que da lugar a un término que depende de la temperatura (τ ph (T)). Además existe otro término de interacción que da cuenta de la interacción de los electrones con las imperfecciones del cristal( (impurezas, vacantes). Este término no depende de la temperatura τ 0. Para un cristal con ambos mecanismos de interacción Conductividad eléctrica La solución de la ecuación previa en estado estacionario nos da la velocidad de arrastre de los electrones, Esta ecuación es valida cuando ambos mecanismos operan de forma independiente. (el número de impurezas no es muy elevado) Regla de Mattheisen
8 Regla de Mattheisen Para el sodio teniendo en cuenta valores experimentales de la conductividad y el valor de n se puede estimar τ, v y el recorrido libre medio entre colisiones. Resistividad ideal Resistividad residual A temperatura ambiente τ s y el recorrido libre medio 29 nm(v= ms -1 ) A bajas temperaturas τ s y el recorrido libre medio 77 micras (v= ms -1 ) Los electrones no «colisionan» con los iones.
9 Conductividad térmica y Ley de Widemann-Franz Efecto Hall Usamos la teoría cinética de los gases según la cual la conductividad térmica viene dada por: Donde Cves el calor específico a volumen constante, l es el recorrido libre medio, y hemos usado v f ya que solo los electrones próximos al nivel de Fermi adquieren energía (cambia de estado cuando se incrementa la temperatura Combinando esta ecuación con la de la conductividad eléctrica obtenemos la ecuación que sigue en la que vemos que el cociente entre la conductividad térmica y la electica solo depende de constantes universales y no de las características del metal Ley de Wiedenabb-Franz K/σT= Lorentz number Coefficiente de Hall Que funciona razonablemente bien para muchos metales a elevadas y bajas temperaturas
10 Los valores para el grupo I y III son razonables Sin embargo para el Be y Cd los valores son negativos indicando que la partículas responsables de la conducción eléctrica deberían ser «positivas». Este resultado no es explicable en el marco del modelo de electrones libres
11 Algunos Fallos en las predicciones del modelo de electrones libres 1. Coeficiente de Hall constante y negativo. En realidad depende del campo magnético y la temperatura y en algunos metales puede ser positivo. 2. Ley de Wiedemann-Franz. Esta ley se cumple a altas y bajas temperaturas pero no para valores intermedios. 3. Direccionalidad de la conductividad eléctrica. Para monocristalesla conductividad elécticaes direccional, (como otras muchas propiedades de los sólidos monocristalinos). Esta direccionalidad no puede explicarse con el modelo de electrones libres 4. Magnetorresistencia. La teoría de electrones libres predice que la resistencia de un conductor situado perpendicularmente a un campo magnético no depende de la intensidad de este. Esto es cierto en muchos metales pero no en otros (Cu, Ag, Au) en la que magnetorresistenciase incrementa con el campo. 5. Dependencia del calor específico con la temperatura. La teoría de electrones libres no predice la dependencia de Cv con T 3, típica de cualquier material. Si predice una dependencia lineal con la temperatura a bajas Temperaturas que es correcta para algunos metales. Además esta teoría no da cuenta de algunos aspectos fundamentales como: 1. Qué determina que un determinado sólido sea un metal, un aislante o un semiconductor?. Por ejemplo el B es aislante y el Aluminio, vecino inferior en la tabla es un excelente metal. Otro ejemplo de difícil explicación son las formas alotrópicas del carbono, donde tenemos el grafito, conductor y el diamante aislante 2. La teoría no justifica el número de electrones que contribuyen a la conducción en un metal, hemos supuesto que los electrones de valencia son los que generan la conducción. Es necesario dar un paso más y estudiar el problema teniendo en cuenta la presencia de los iones :
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