Más ejercicios y soluciones en fisicaymat.wordpress.com MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

Transcripción

1 MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES - Considere el sistema a) Estudie para qué valores del número real a, la única solución del sistema es la nula. b) Resuélvalo, si es posible, en el caso a=-. Asturias Junio 04 Fase específica Opción A 0 - Considere la matriz 0,,. 0 0 a) Estudie para qué valores de θ la matriz A tiene inversa. b) Busque, si es posible, la matriz inversa de A cuando! ". Asturias Junio 04 Fase específica Opción B 3- Dado el sistema a) Estudie su compatibilidad según los valores del número real a. b) Resuélvalo, si es posible, cuando a = -. Asturias Junio 04 Fase general Opción A 4- Dado el número real a se considera la matriz 0. a) Halle los valores de a para los cuales la matriz A tiene inversa. b) Obtenga la solución del sistema homogéneo cuya matriz es A en los casos en que sea compatible indeterminado. Asturias Junio 04 Fase general Opción B

2 5- Considere el sistema 3 # 3 a) Estudie su compatibilidad según los distintos valores del número real a. b) Resuélvalo, si es posible, en el caso a=. Asturias Julio 04 Fase específica Opción A 6- Considere la matriz 0 0 a) Halle el determinante de la matriz A. b) Halle el determinante de la matriz 3A. c) Halle el determinante de la matriz (3A) 3. Asturias Julio 04 Fase específica Opción B 7- En un partido de baloncesto femenino, el equipo de la Universidad de Oviedo ganó al de otra universidad española con un marcador 64 a 48. El marcador obtenido por el equipo ganador se consiguió mediante canastas de dos puntos, triples (canastas de tres puntos) y tiros libres (canastas de un punto). El número de tiros libres fue dos más que cinco veces el número de triples. Además, el número de canastas de dos puntos fue dos más que el número de tiros libres. a) Plantee el sistema de ecuaciones resultante de lo anterior. b) Escriba la matriz ampliada del sistema obtenido en a). c) Cuántas canastas de cada tipo metió el equipo de la Universidad de Oviedo? Asturias Julio 04 Fase general Opción A 8- Dados los números reales a, b, c, d, se considera la matriz $ % '. Pruebe que el & polinomio ( & ) * es ( * + &. Nota: traza(a) es la suma de los elementos de la diagonal de A. Asturias Julio 04 Fase general Opción B 3

3 9- Dado el sistema # 0 a) Estudie su compatibilidad según los valores del número real a. b) Resuelva el sistema, si es posible, cuando a = -4. Asturias Junio 03 Fase específica Opción A 0- Dado el número real a se considera la matriz. * a) Obtenga los valores del número real a para los que la matriz A tiene inversa. b) Busque, si es posible, la matriz inversa de A cuando a=0. Asturias Junio 03 Fase específica Opción B - Dado el sistema 0 0# a) Estudie su compatibilidad según los valores del número real a. b) Resuélvalo cuando a sea nulo si es posible. Asturias Junio 03 Fase general Opción A - Dado el número real a se considera la matriz 0. Halle el rango de la matriz 0 0 *, según los distintos valores de a. Nota: A t es la matriz traspuesta de A. Asturias Junio 03 Fase general Opción B 3- Dado el sistema 3 0 # a) Estudie su compatibilidad según los valores del número real a. b) Resuélvalo, si es posible, cuando a = -. Asturias Julio 03 Fase específica Opción A 4

4 Considere la matriz a) Escriba factorizado el polinomio p(x)=det(a-xi 3 ) donde I 3 es la matriz identidad de orden 3. b) Busque las raíces de p(x). c) Resuelva el sistema homogéneo con matriz A-xI 3 cuando sea compatible indeterminado. Asturias Julio 03 Fase específica Opción B 0 5- Se considera la matriz a) Obtenga los valores de a para los que det(a)=0. b) Discuta el sistema homogéneo de matriz A según los valores del número real a. c) Resuélvalo, si es posible, en el caso a=. Asturias Julio 03 Fase general Opción A 6- En el primer curso de un centro de la Universidad de Oviedo se han matriculado 35 alumnos divididos en tres titulaciones distintas. En la tercera titulación hay la tercera parte de alumnos que en la primera, y la diferencia de alumnos que hay entre la primera titulación y la segunda es inferior en dos alumnos al doble de los alumnos que hay en la tercera. a) Establezca un sistema de ecuaciones con las condiciones del problema, en función del número de alumnos de cada titulación, y obtenga e número de alumnos que hay en cada titulación. b) Calcule el determinante de la matriz del sistema. Asturias Julio 03 Fase general Opción B 7- Dado el número real a se considera la matriz 0. a) Halle los valores de a para los cuales la matriz A tiene inversa. b) Busque, si es posible, la matriz inversa de A en el caso a=0. Asturias Junio 0 Fase específica Opción A 5

5 8- Dado el sistema a) Estudie su compatibilidad según los valores de a. b) Resuélvalo cuando a=0. Asturias Junio 0 Fase específica Opción B Se consideran las matrices 3 0 ) a) Resuelva la ecuación det(a-xi 3 )=0. b) Discuta el sistema de ecuaciones homogéneo de matriz A-xI 3 según los valores del número real x. c) Resuélvalo en aquellos casos en que el sistema sea compatible determinado. Asturias Junio 0 Fase general Opción A 0- Dado el sistema 0 # a) Estudie su compatibilidad según los distintos valores de a. b) Resuélvalo en el caso en que sea compatible indeterminado. Asturias Junio 0 Fase general Opción B - Sean las matrices 0 / $ '. 0 0 a) Calcule, si es posible, la matriz inversa de la matriz A. b) Resuelva, si es posible, la ecuación matricial XA=B. Asturias Julio 0 Fase específica Opción A 6

6 0 - Se considera la matriz 0. % a) Obtenga el polinomio p(x)=det(a). b) Si c=0, busque las raíces de p(x) dependiendo de a y b. Asturias Julio 0 Fase específica Opción B 3- Dado el sistema # 3 a) Estudie su compatibilidad según los distintos valores de a. b) Resuélvalo cuando sea compatible indeterminado. Asturias Julio 0 Fase general Opción A % 4 4 Dados los números reales a, b, c, x, consideremos la matriz 3. % a) Halle los valores de a, b, c, x, para los cuales A es antisimétrica. (Recuerde que la matriz A es antisimétrica si A t =-A) b) Si a=b=c=, halle el rango de A según los valores de x. c) Si a=b=c=0, resuelva la ecuación, 0. Nota: A t denota la matriz traspuesta de A. Asturias Julio 0 Fase general Opción B 5- Dado el sistema # a) Estudie su compatibilidad según los valores de a. b) Resuélvalo cuando el sistema sea compatible indeterminado. Asturias Junio 0 Fase específica Opción A 7

7 6- Dado el número real a se considera la matriz 0 0 a) Halle los valores de a para los cuales la matriz A tiene inversa. b) Obtenga la matriz inversa de A en los casos en que exista. Asturias Junio 0 Fase específica Opción B 7- Se considera la matriz 0 a) Obtenga los valores del número real a para los que A tiene matriz inversa. b) Halle, si es posible, la matriz inversa de A en el caso a=0. Asturias Junio 0 Fase general Opción A 8- Dado el sistema # a) Estudie su compatibilidad según los valores de a. b) Resuélvalo cuando el sistema sea compatible indeterminado. Asturias Junio 0 Fase general Opción B 9- Se consideran las matrices 0 / Resuelva, si es posible, la ecuación matricial AX=B. Asturias Julio 0 Fase específica Opción A 30- Dado el sistema 0# a) Estudie su compatibilidad según los valores del número real a. b) Resuélvalo cuando a = 0 si es posible. Asturias Julio 0 Fase específica Opción B 8

8 3- Sea la matriz 0 a) Estudie su rango según los valores del número real a. b) Resuelva el sistema homogéneo cuya matriz es A en el caso a = -. Asturias Julio 0 Fase general Opción A 3- Calcule los números a, b y c para que la curva de ecuación y=ax 3 +bx +cx+4 pase por los puntos (,0), (-,) y (,6). Demuestre que la curva es única. Escriba dicha curva. Asturias Julio 0 Fase general Opción B 33- Dado el sistema # a) Estudie su compatibilidad según los distintos valores de a. b) Resuélvalo cuando sea compatible indeterminado. Asturias Junio 00 Fase específica Opción A 34- Dada la matriz a) Resuelva la ecuación det(a) = 0. b) Calcule el rango de la matriz A según los valores de x. Nota: det(a) denota el determinante de la matriz A. Asturias Junio 00 Fase específica Opción B 35- Dado el sistema # a) Discuta su compatibilidad según los distintos valores de a. b) Resuélvalo, si es posible, cuando a = 0. Asturias Junio 00 Fase general Opción A 9

9 0 36- Dada la matriz 0 0 a) Calcule los valores de m para los que la matriz A-mI no tiene inversa. b) Calcule, si existe, la inversa de la matriz A-I. Nota: I es la matriz identidad de orden 3. Asturias Junio 00 Fase general Opción B 37- Dado el sistema 3 3# a) Estudie su compatibilidad según los distintos valores de a. b) Resuélvalo, si es posible, en el caso en que a = 0. Asturias Septiembre 00 Fase específica Opción A Dada la matriz a) Halle, si existe, la matriz inversa de M. b) Calcule la matriz X que cumple XM+M=M. Asturias Septiembre 00 Fase específica Opción B 39- Dado el sistema * 3 a) Estudie su compatibilidad según los valores de m. b) Resuélvalo cuando sea compatible indeterminado. Asturias Septiembre 00 Fase general Opción A Dada la matriz 0 3 a) Calcule el determinante de A. b) Indique los valores de m para los que A tiene matriz inversa. c) Halle, si existe, la matriz inversa de A cuando m=. Asturias Septiembre 00 Fase general Opción B 0

10 4- Dado el número real a, se considera el sistema #. a) Discuta el sistema según los valores de a. b) Resuelva el sistema para el caso a=. Asturias Junio 009 Bloque Se consideran las matrices a) Según los valores de 6, estudie el rango de P. b) Para el caso a=, halle X tal que PX=Q. Asturias Junio 009 Bloque 43- Dado el número real m, se considera la matriz 3 3 a) Halle los valores de m para los que la matriz A tiene inversa. b) Para m =, halle, si existe, la inversa de A. 4 c) Para m =, calcule el vector X que verifique AX=B siendo /. 4 Asturias Septiembre 009 Bloque 44- Se considera el sistema 3 0. a) Estudie el sistema, según los valores de 6. b) Resuélvalo cuando sea compatible indeterminado. Asturias Septiembre 009 Bloque 45- Se consideran las matrices 7 0 8,/ a) Halle los valores de x, y, z para los que A no tiene inversa. b) Determine los valores de a para los que el sistema BA=C tiene solución. c) Resuelva el sistema anterior cuando sea posible. Asturias Junio 008 Bloque

11 46- Dado el número real a, se considera el sistema #. 6 a) Discuta el sistema según los valores de a. b) Resuelva el sistema para el caso a =. Asturias Septiembre 008 Bloque 47- Se considera una matriz cuadrada A de orden tres que verifica la ecuación A =6ª-9I, donde 0 0 ) a) Exprese A 4 como combinación lineal de I y A. 3 b) Estudie si la matriz / 6 verifica la ecuación B =6B-9I. Determine si B 3 tiene inversa y, si la tiene, calcúlela. Asturias Septiembre 008 Bloque Sean las matrices 0 / 0 a) Estudia, en función de a, el rango de las matrices A y B. b) Calcula, para a=-, la matriz X que verifica AX=B. Asturias Junio 007 Bloque 49- Cierto país importa.000 vehículos de tres marcas A, B y C al precio de 0.000, y euros respectivamente. El total de la importación asciende a 3 millones de euros. Se ha observado que también hay.000 vehículos contando solamente los de la marca B y α veces los de la marca A. a) Plantea un sistema de ecuaciones con las condiciones del problema en función del número de vehículos de cada marca. b) Establece el número de vehículos de cada marca suponiendo α=3. c) Estudia si existe algún valor de α para el cuál la situación no pueda darse en el campo de los números reales. Asturias Junio 007 Bloque 50- Sea la matriz 0 a) Comprobar que verifica A 3 I = 0, con I matriz identidad y 0 matriz nula.

12 b) Calcula A 3. c) Basándose en los apartados anteriores y sin recurrir al cálculo de inversas halla la matriz X que verifica la igualdad A X+I=A. Asturias Septiembre 007 Bloque 5- Dado el sistema : a) Estudia su compatibilidad según los valores de a. b) Resuélvelo cuando sea posible. Asturias Septiembre 007 Bloque 0 5- Dada la matriz 0 3 donde x es un número real. Halla: 4 a) Los valores de x para los que la matriz A posee inversa. b) La inversa de A para x =. c) Con x = 5, el valor de % 6 para que la matriz ba tenga determinante. Asturias Junio 006 Bloque 53- Dado el sistema : a) Estudia su compatibilidad según los valores de a. b) Resuélvalo cuando sea posible. Asturias Junio 006 Bloque Sean las matrices ;,/ $ ; 0 ' 0 a) Estudia, en función de valores reales de k, si la matriz BA tiene inversa. b) Lo mismo para la matriz AB. Asturias Septiembre 006 Bloque 3

13 < < Dado el sistema : < 3 < a) Estudia su compatibilidad según los valores de α. b) Resuélvelo para el caso α=-. Asturias Septiembre 006 Bloque 56- Resuelve las siguientes ecuaciones en la variable x 0 a) = = 0 b) = = 0 * Asturias Junio 005 Bloque 57- En un cajero automático se introducen billetes de 0, 0 y 50 euros. El número total de billetes es 30 y el total de dinero es Se sabe que el número de billetes de 0 es α veces los billetes de 50. a) Calcula el número de billetes de cada tipo suponiendo α=. b) Para α=3 Qué ocurre con la situación del cajero planteada? c) Siguiendo con α=3, si se tuvieran 00 billetes en el cajero cuánto dinero debería haber para que sea posible una composición del cajero? Asturias Junio 005 Bloque 58- Dado el sistema : < 0 < < < a) Estudia su compatibilidad según los valores de α. b) Resuélvelo para α=. Asturias Septiembre 005 Bloque 4

14 % 59- Si la matriz & > tiene determinante k Cuáles son los valores de siguientes determinantes? & > a) = % % % b) = & > Asturias Septiembre 005 Bloque Dadas las matrices 9 0 A $ 0 0 ' a) Para qué valores de x la matriz A posee inversa? b) Calcula la inversa de A para el valor x=-. c) Qué dimensiones debe tener una matriz B para que la ecuación matricial AB=CD tenga sentido? Calcula B para el valor x=-. Asturias Junio 004 Bloque 6- Las edades (en años) de un niño, su padre y su abuelo verifican las siguientes condiciones: La edad del padre es α veces la de su hijo. El doble de la edad del abuelo más la edad del niño y más la del padre es de 8 años. El doble de la edad del niño más la del abuelo es 00. a) Establece las edades de los tres suponiendo que α=. b) Para α=3, qué ocurre con el problema planteado? c) Siguiendo con α=3, Qué ocurre si en la segunda condición la suma es 00 en vez de 8? Asturias Junio 004 Bloque < 6- Sea el sistema : < < 0 a) Estudia su compatibilidad según los valores de α. b) Resuélvelo cuando el sistema sea compatible indeterminado. Asturias Septiembre 004 Bloque 5

15 Dadas las matrices 3 4 / a) Discute el rango de A según los valores de m. b) Qué dimensiones ha de tener la matriz X para que sea posible la ecuación AX=B? c) Calcula X para m=0. Asturias Septiembre 004 Bloque Sea el sistema B C 5 a) Discutir su compatibilidad según los distintos valores de λ. b) Resolverlo para λ=7. Asturias Junio a) Si A es una matriz no singular y / 9 0, siendo 0 la matriz nula, comprobar que B=C. b) Según el resultado del apartado anterior, cuando $ 6 ', la única matriz X que 3 verifica la ecuación XA=0 es la matriz nula. Es cierta la afirmación? Por qué? NOTA: Matriz singular es aquella de determinante nulo. Asturias Junio Considera la matriz a) Comprueba que se verifica A 3 +I=0, siendo I la matriz identidad y 0 la matriz nula. b) Justifica que A tiene inversa. Asturias Septiembre Estudia, según los valores de a, la compatibilidad del sistema: : Resuélvelo para el valor de a que lo haga compatible indeterminado. Asturias Septiembre 003 6

16 68- Sea la matriz D E a) Calcular el valor de su determinante en función de a. b) Encontrar su inversa, si existe, cuando a =. Asturias Septiembre Sean las matrices $ 3 3 ' / $ 0 5 ' a) Calcular las matrices C y D tales que AC=BD=I, siendo I la matriz identidad de orden. b) Discutir y resolver el sistema 9 FG A FG $ ' $ ' si C- y D - son las inversas de las matrices C y D indicadas en el apartado anterior. Asturias Septiembre Dado el sistema de ecuaciones : H C a) Discute su compatibilidad según los valores de λ. b) Resuélvelo para λ = 3. Asturias Junio Sea A una matriz mxn a) Existe una matriz B tal que BA sea una matriz fila? Si existe, Qué orden tiene? b) Se puede encontrar una matriz B tal que BA sea una matriz fila? Si existe, qué orden tiene? c) Busca una matriz B tal que BA=(0 0) siendo Asturias Junio a) Calcula todas las matrices diagonales de orden dos que coinciden con su inversa. b) Si A es una de estas matrices, calcula su cuadrado. Asturias Junio 000 7

17 73- Se considera el sistema de ecuaciones I < J K$ ' $ J < ' a) Calcula los valores de α y β sabiendo que el punto P=(,) satisface la primera ecuación y el punto Q=(,0) satisface la segunda. b) Es compatible y determinado el sistema que resulta al sustituir los valores de α y β calculados? Justifica las respuestas. Asturias Junio Sea $ % & ' a) Calcula las matrices que verifican la relación ) (I es la matriz identidad y A representa el determinante de A) b) Calcula todas las matrices diagonales, que no poseen inversa y que verifican la relación anterior. c) Se verifica para cualquier par de matrices B y C la relación B+C = B + C? Si no es cierto pon un contraejemplo. Justifica todas las respuestas. Asturias Septiembre a) Determina una matriz A para que el sistema homogéneo AX=0 sea equivalente a la ecuación matricial 0 0 b) Calcula las soluciones de módulo uno. Justifica las respuestas. Asturias Junio Sea % a) Cuándo el determinante de A es el seno de algún número real? b) Calcula la inversa de A cuando exista. c) Determina todos los pares (a,b) para los que A coincide con su inversa. Asturias Junio 999 8

18 C 77- Sea C donde λ es un número real. 3 a) Halla los valores de λ para los cuales A no tiene inversa. b) Calcula el valor de % 6 para el que la matriz ba tiene determinante. Asturias Septiembre Dado el sistema $ 0 0 '7 8 $ 0 0 ' a) Determina para qué valores de a el conjunto solución son los puntos de una recta. b) Halla un valor de a para el que se pueda construir un cuadrado de área de modo que sus vértices sean soluciones del sistema. Razona las respuestas. Asturias Septiembre Dada la identidad matricial L $ 3 ' a) Cuáles son las dimensiones de una matriz solución de la identidad anterior? b) Calcula una solución. c) Es única la solución? Razona las respuestas. Asturias Junio a) Define una matriz triangular superior y calcula su determinante. b) Halla todas las matrices triangulares superiores, de orden dos, que verifican que su cuadrado es la matriz identidad. Asturias Septiembre 998 9