Tema 3. TRABAJO Y ENERGÍA

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1 Tema 3. TRABAJO Y ENERGÍA Físia, J.. Kane, M. M. Sternheim, Reverté, 989 Tema 3 Trabajo y Energía Cap.6 Trabajo, energía y potenia Cap. 6, pp 9-39 TS 6. La arrera Cap. 6, pp 56-57

2 . INTRODUCCIÓN: TRABAJO Y ENERGÍA Conservaión de la energía (prinipio matemátio): hay ierta antidad que llamaremos energía, que no ambia en los múltiples ambios que ourren en la naturaleza. Signifia que hay una antidad numéria asoiada a todo sistema físio que no ambia uando sobre el sistema ourren ambios. No es una desripión de un meanismo o de algo onreto. Ciertamente es un heho raro que podamos alular ierto número, y que uando terminemos de observar que la Naturaleza hae sus truos y alulamos el número otra vez, éste sea el mismo. Es algo así omo el alfil en un uadrado negro, que después de ierto número de movimientos, uyos detalles son desonoidos, queda en el mismo olor de uadrado. La ley de la onservaión de la energía es una ley de esta naturaleza, Siempre que se mueve el alfil por un tablero de ajedrez, éste aaba en un uadrado negro". Rihard Feyman.

3 . INTRODUCCIÓN: DEFINICIONES DE ENERGÍA La energía es una magnitud físia esalar que sirve de medida general a las distintas formas de movimiento de la materia que se estudian en físia. La energía es un número, que nos die ómo reaiona el sistema físio frente a las posibles trasformaiones de su estado de movimiento. Lo que se onserva es la energía total (meánia, elétria, térmia, et), aunque ada una de ellas por separado no se onserve. En la Naturaleza se produe un interambio de energía de un tipo a otro, manteniéndose onstante su suma. 3

4 . INTRODUCCIÓN: DEFINICIÓN DE TRABAJO La definiión de trabajo es más preisa. Realizamos trabajo ejeriendo una fuerza sobre un uerpo mientras éste se desplaza de un lugar a otro, lo que provoa un ambio en su estado dinámio. Un sistema físio realiza un trabajo sobre el exterior (<0), o el exterior realiza un trabajo sobre el medio (>0), uando el sistema está transformando el estado dinámio del exterior, o el exterior está trasformando el estado dinámio del sistema, veniendo las fuerzas que se oponen a diha transformaión. La energía es la apaidad de realizar trabajo 4

5 . INTRODUCCIÓN: Relaión Leyes de Newton-Trabajo y energía Los oneptos de trabajo y energía se basan en las leyes de Newton, no son prinipios nuevos de la dinámia. La utilidad de los oneptos de trabajo y energía residen en que permiten failitar la resoluión de problemas dinámios, espeialmente en los asos en que la resultante de fuerzas sobre el sistema no es onstante, y la integraión de la segunda ley de Newton puede llegar a ser muy ompliada. El uso de los prinipios de energía y trabajo, nos dan diretamente la veloidad del sistema sin tener que integrar la aeleraión. 5

6 . TRABAJO DE UNA FUERZA Se define el trabajo de una fuerza sobre una partíula de masa m, omo el produto de la omponente de la fuerza por el módulo del desplazamiento. r F s r Fsosφ Unidades: Julio (J) La omponente normal (F ) de la fuerza afeta a la direión del movimiento, pero no a la veloidad. La omponente tangenial (F t ) ambia el módulo de la veloidad, pero no su direión. Sólo esta omponente realiza trabajo sobre la partíula 6

7 .. SIGNIFICADO FÍSICO DEL TRABAJO Cuando atrapamos una pelota, la pelota y la mano se mueven juntas, la pelota ejere una fuerza sobre la mano, F pm en la direión del desplazamiento (el trabajo realizado por la pelota sobre la mano es positivo). Por la terera ley de Newton, F mp -F pm. Esta fuerza, que detiene la pelota, atúa opuesta al movimiento, por lo tanto el trabajo es negativo. Cuando un uerpo realiza trabajo negativo sobre otro, éste realiza un trabajo igual y positivo sobre el primero. Si levantamos un libro, ejeremos una fuerza haia arriba sobre el libro, y éste se desplaza haia arriba (>0). En ambio, el trabajo realizado por la fuerza gravitaional sobre el libro es negativo, porque esta fuerza se opone al movimiento. Joule es el trabajo que realiza una fuerza de Newton uando se desplaza metro. Como N son más o menos 0, kilogramos fuerza, si elevamos algo que pese 00 gramos a m de altura, el realizado es Joule. En la prátia al levantar una aluladora a una altura de metro, estás haiendo un trabajo aproximado de Joule. 7

8 .. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL TRABAJO El trabajo de una fuerza a lo largo de una urva C, es el área que forma la omponente tangenial de la resultante de las fuerzas que atúan sobre la partíula, en la representaión gráfia de diha omponente, frente al desplazamiento a lo largo de diha urva, entre la posiión iniial y final. Fuerza onstante Fuerza no onstante (es neesario integrar) b a r r F dr 8

9 3. Una fuerza que atúa sobre una partíula material dotada de movimiento unidimensional, varía on la distania al origen (x), omo india la figura. Obtener el trabajo efetuado por la fuerza en el desplazamiento desde x i 0 hasta x f 6m. F (N) 5 A A 4 6 X(m) Calulamos el trabajo total omo la suma de las dos áreas A y A, siendo A ( 5 N ) ( 4 m ) 0 J A ( 5N ) ( m ) 5 J El trabajo total será A + A 5J 9

10 3. Un hombre aplia una fuerza de 600 N sobre un mueble y lo desplaza m. Calular el trabajo realizado por la fuerza en los tres asos siguientes: (a) Fuerza y desplazamiento son paralelos, (b) forman un ángulo reto y () sus sentidos son opuestos. F F F s s s φ 0 φ 90º φ 80º osφ osφ 0 osφ J ( ) 00J El hombre realiza trabajo sobre el mueble El trabajo es nulo El mueble realiza trabajo sobre el hombre 0

11 3.3 Un niño arrastra un ohe de juguete on una fuerza de 0 N que forma un ángulo de 0º on la horizontal. Si el ohe avanza 6 m Cuánto trabajo ha heho el niño? φ F Apliando la definiión de trabajo Sustituyendo los valores numérios r F s r Fs osφ 0 6 os J

12 3.4 Una hia arrastra una aja que pesa 40 N una distania de 0 m sobre el suelo on veloidad onstante. Cuánto trabajo realiza si el oefiiente de rozamiento inétio vale 0.? En este aso es la fuerza de rozamiento la que realiza un trabajo sobre la aja. Como se enuentra sobre una superfiie horizontal, se umple que F r µn µ mg F r N v El trabajo realizado por la fuerza uando se ha desplazado una ierta distania es F s osφ r mg Teniendo en uenta que la fuerza y el desplazamiento son paralelos y sustituyendo los valores numérios, se obtiene 80 J

13 .3 ENERGÍA CINÉTICA Teorema de las fuerzas vivas o teorema del trabajo y la energía Si sobre un sistema físio atúan fuerzas, por la segunda ley de Newton la resultante de dihas fuerzas ausa una variaión del estado de movimiento (aeleraión) del sistema. Esta resultante produe un trabajo que hae variar su energía inétia. El trabajo neto realizado sobre una partíula material por la resultante de las fuerzas que atúan sobre la misma, es igual al ambio de energía inétia sufrido por la partíula. T mv f mv i E Si se realiza trabajo sobre un objeto, su energía inétia aumenta. Si un objeto realiza trabajo sobre un agente externo, su energía inétia disminuye 3

14 Demostraión Sea F la fuerza neta que atúa sobre una partíula a lo largo del eje positivo de las X A partir de la segunda ley de Newton F m a Suponemos: Aeleraión onstante La rapidez ambia de v i a v f Mientras, la partíula se desplaza de x i a x f Sustituyendo la aeleraión en la segunda ley de Newton y multipliando por x Trabajo y energía tienen las mismas dimensiones y unidades T mv f mv i v f vi + a x a ( v f v i ) x E F x mv f mv i Trabajo desarrollado por la fuerza Energía inétia 4

15 .4 ENERGÍA POTENCIAL. FUERZAS CONSERVATIVAS Energía potenial: asoiada on la posiión o onfiguraión del sistema, no on su movimiento. Almaenamiento de la energía y una medida del potenial o la posibilidad de efetuar trabajo Definiión: Una fuerza es onservativa, si el trabajo realizado por la fuerza al atuar sobre una partíula material que se mueve entre dos puntos del espaio eulídeo, a lo largo de una trayetoria ualesquiera, es independiente de la misma. Conversión bidireional entre energía inétia y potenial 5

16 .4 ENERGÍA POTENCIAL. FUERZAS CONSERVATIVAS Propiedades del trabajo desarrollado por las fuerzas onservativas Siempre puede expresarse omo diferenia entre los valores iniial y final de una funión potenial. Es independiente de la trayetoria seguida y depende sólo de los puntos iniial y final. Si la trayetoria es errada, el trabajo es ero. Si las únias fuerzas que atúan son onservativas, la energía meánia total se onserva. E m E + Ep te 6

17 .4 ENERGÍA POTENCIAL. FUERZAS CONSERVATIVAS Sea F una fuerza onservativa (fuerza que un ampo de fuerzas realiza sobre una partíula de masa m). La irulaión de la misma a lo largo de ualquier trayetoria, es una funión esalar de variable vetorial, que sólo depende del valor de la misma en los puntos P de partida y P de llegada relativos a la urva C. Esa funión se denomina energía potenial Interpretaión físia: el trabajo realizado por la fuerza de ampo es igual a la disminuión de energía potenial. P r r r F(r) dr P [ Ep(P ) Ep(P )] Ep(r) r 7

18 .4. ENERGÍA POTENCIAL. EJEMPLOS Energía potenial gravitatoria Eleión de origen de poteniales: E p (z0)0. Tomamos energía potenial nula en la superfiie de la tierra. E ( z r p ) mgz Energía potenial de una muelle Eleión de origen de poteniales, Ep(x0)0. Tomamos energía potenial nula para el muelle en reposo. r Ep ( x ) k x 8

19 .5 FUERZAS NO CONSERVATIVAS Las fuerza no onservativas se onsideran de tipo disipativo. Esto es, el trabajo desarrollado por la fuerza a lo largo de una trayetoria errada no es nulo. Si un ohe on los frenos bloqueados derrapa on rapidez (y energía inétia) dereiente, esta energía inétia perdida no se puede reuperar invirtiendo el movimiento(la energía meánia no se onserva). Apliando el teorema del trabajo y la energía, la energía inétia iniial y final no son iguales. Esa variaión de energía se disipa en forma de alor. Un ejemplo tipo de fuerzas no onservativas son las fuerzas de rozamiento (<0). Supongamos un ohe que se desliza por una rampa on rozamiento. Diha fuerza siempre realiza un trabajo negativo, ya sea de subida o de bajada porque se opone al movimiento No hay funión energía potenial para la fuerza de rozamiento. 9

20 .6 PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA El trabajo total realizado sobre una partíula oinide on el ambio en la energía inétia que experimenta, de forma que total E + E + total C NC p NC NC E + E p Si el trabajo de las fuerzas no onservativas es nulo, la energía meánia total del sistema se onserva. [ E () + E ()] [ E () E () ] NC Em Em () Em () p + p NC C F NC r r (r) d 0

21 .7 EJEMPLOS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS METODOLOGÍA: Dibujar el diagrama de todas las fuerzas que atúan sobre la partíula. Distinguir entre fuerzas onservativas y no onservativas Elegir dos puntos entre los uales apliar el prinipio de onservaión de la energía. Calular el trabajo realizado por las fuerzas no onservativas y la energía meánia en estos dos puntos y sustituir en la expresión NC E + E p

22 . Un bloque de 5 kg se mueve en línea reta sobre una superfiie horizontal sin rozamiento, bajo la influenia de una fuerza que varía on la posiión según se muestra en la figura. a) Qué trabajo hae la fuerza la moverse el bloque desde el origen hasta que ha reorrido 8 m? b) Si la rapidez de la partíula al pasar por el origen era de 4 m/s on qué rapidez pasa por el punto x 8 m? F(N) 0 (a) Calulamos el trabajo a partir del área enerrada en ada una de las figuras representadas por A, A y A 3. 5 A A A + A + A J 4 6 x(m) (b) Apliando el Teorema de las Fuerzas vivas, que relaiona el trabajo on la energía inétia 5 A 3 E mv f mv i Sustituyendo los valores numérios y despejando la veloidad final v f 5.m/s 0

23 . Un paquete que pesa 5 N desiende por una rampa según india la figura. El oefiiente de rozamiento estátio entre el paquete y la rampa vale 0.5 y el inétio 0.4. El ángulo θ vale 0º. Si el paquete lleva una veloidad en módulo, en el punto A de la figura igual a.4m/s, determinar: a) El módulo de la veloidad del paquete uando sale de la rampa. b) La energía disipada en el movimiento del paquete sobre la rampa. ) La distania d entre el pie de la rampa y el punto en el que el paquete inide sobre el suelo. F r r r N y L x P r h A h A - h B h B Ep 0 3

24 La únia fuerza no onservativa en este sistema es la fuerza de rozamiento que atúa durante el tiempo que el bloque baja por la rampa. (a) Teniendo en uenta el sistema de referenia que hemos tomado, podemos saber uánto vale la fuerza de rozamiento (el oefiiente de rozamiento que atúa es el inétio) F N r µ Del diagrama de fuerzas representado, podemos relaionar la normal on el peso N mg os θ 0 Fr µ mg osθ Apliamos el prinipio de onservaión de la energía meánia entre los puntos A y B NC E + E p n E m ( B) E ( A) m Vamos a alular ada uno de los términos E E m m n B A r r F dr F L µ mg osθ L r ( A) E ( A) + E ( B) E ( B) + E p p r ( A) mv ( B) mv A B + mgh + mgh A B La fuerza de rozamiento se opone al movimiento (produto esalar negativo) El bloque tiene veloidad no nula tanto en el punto A omo en el punto B Se sustituyen en la euaión µ mg osθ L mv B mv A + mg( h B h A ) 4

25 De la figura, podemos saber uánto vale la diferenia de alturas sinθ h h L A B h B h A Lsinθ Sustituyendo en la expresión anterior µ g osθ L vb va glsinθ v B.94 m/s Método alternativo: apliando la Segunda ley de Newton N mg os θ 0 mg sin θ Fr m a a g(sinθ µ osθ ) 0.35 m/s siendo Fr µ mg osθ v B va + al vb.94 m/s (b) La energía disipada oinide on el trabajo desarrollado por la únia fuerza no onservativa que aparee en el sistema, que es la fuerza de rozamiento. µ mg osθ L 8. J n n () Como sabemos la veloidad en el punto B, apliamos el prinipio de onservaión de la energía entre los puntos B y C. En este aso no hay fuerza de rozamiento, por tanto n 0 y E m (B) E m (A) E E m m ( B) E ( C) E ( B) + E ( C) + E p p ( B) mv ( C) mv B C + mgh + mgh B 0 C mv C v C 4.63 m/s 5

26 Para alular la distania d a la que ae de la rampa, tenemos en uenta que entre B y C el movimiento es parabólio, por lo tanto x v 0 y y 0 osθ t + v 0 sinθ t - gt Euaiones del movimiento parabólio v x v0 osθ v v sinθ - gt y 0 Partiularizando para nuestro problema x d y 0 y 0 h B v 0 v B Calulamos el tiempo que tarda en llegar al suelo t 0.5 s Calulamos la distania máxima x v 0 osθ t x d 0.9m 6

27 3. Un bloque de masa 0.8 kg ae desde una altura h 0.5 m por un plano inlinado 30º, omo muestra la figura. Cuando llega al plano horizontal se desliza sin friión y omprime un muelle de onstante elástia k 00 N/m. Los oefiientes de friión estátio y dinámio son 0.3 y 0. respetivamente. Calular: a. La veloidad on la que llega el bloque a la parte más baja del plano inlinado. b. La longitud de ompresión máxima del muelle.. La altura que alanzará el bloque en el plano inlinado después de rebotar ontra el muelle. (a) Apliamos el prinipio de onservaión de la energía entre los puntos y. En este aso hay fuerza de rozamiento, por tanto L Ep 0 E E n m m n Em( ) Em() r r F dr F L µ mg osθ L r r () E() + Ep() mv + mgh mv () E() + E p() mv + mgh mgh 7

28 Proediendo de manera análoga al problema anterior µ mg osθ L mv L mgh h sinθ h µ g osθ v sinθ gh v 3.m/s (b) Para alular la ompresión máxima del muelle apliamos el prinipio de onservaión de la energía entre los puntos y 3 en el que el muelle está totalmente omprimido(ver figura), teniendo en uenta que en este aso no hay fuerzas disipativas, por lo tanto E ) E (3) m( m 3 Em () E () + Ep () mv + mgh mv Em(3) E (3) + E p(3) + Eelasti(3) mv + mgh + kx kx mv k x x 0.3 m 8

29 () En este último aso volvemos a apliar el prinipio de onservaión de la energía entre los puntos 3 y 4 (altura máxima que alanza el bloque después de rebotar) n Em( 4) Em(3) 4 h 4 L θ 3 De la figura, podemos esribir h 4 L'sinθ E E m m n (4) E (3) E r r F dr F r (4) + E (3) + E p p r L µ mg osθ L' (4) mv (3) mv mgh + mgh 3 4 mgh + k x 4 k x µ mg os θ L' mgh 4 k x h m 9

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