Listo para seguir? Intervención de destrezas Cómo estimar y hallar el área

Transcripción

1 10-1 Listo para seguir? Intervención de destrezas Cómo estimar y hallar el área El área de una figura es la cantidad de superficie que cubre. El área se mide en unidades cuadradas. Estimar el área de una figura irregular Estima el área de la figura. Cuántos cuadrados están llenos? Cuántos cuadrados están casi llenos? Cuántos cuadrados están llenos por la mitad? Suma. 1 2 El área de la figura es aproximadamente. Hallar el área de un rectángulo Halla el área del rectángulo. 11 m la 7 m Con qué sustituirás y a? Multiplica. El área es. Hallar el área de un paralelogramo Halla el área del paralelogramo. 4 pulg 1 cm 2 bh Con qué sustituirás b y h? Multiplica. Vocabulario área 5 pulg El área es. Aplicación al tiempo libre Halla el área de bosque que queda, a, después de que se construya el campo de minigolf. Usa las dimensiones del diagrama. ( ) ( ) a a a El área de bosque que queda es. 300 pies 120 pies lote de bosque original 400 pies campo de minigolf 180 pies 198 Holt Matemáticas

2 10-1 Listo para seguir? Intervención de resolución de problemas Cómo estimar y hallar el área A veces necesitas calcular distancias para poder calcular el área. Supongamos que caminas por un recorrido que es un cuadrado entero a una tasa de 1 milla cada 20 minutos. Cuántas millas cuadradas de terreno puedes recorrer en 8 horas? Comprende el problema 1. Cuál es la forma del recorrido por donde caminas? 2. Debes hallar el área o el perímetro del terreno que recorres? Explica. 3. Cuántas millas por hora es una velocidad de 1 milla cada 20 minutos? Haz un plan 4. Si conoces la longitud de un lado de un cuadrado, cómo puedes hallar su área? 5. Si conoces el perímetro de un cuadrado, cómo puedes hallar la longitud de un lado? 6. Cómo puedes hallar el perímetro de tu recorrido? Resuelve 7. A 3 mi/h, qué distancia puedes caminar en 8 horas? Cuál es el perímetro de tu recorrido cuadrado? 8. Cuáles son las dimensiones de tu recorrido? 9. Cuál es el área del terreno que recorres? Comprueba 10. Dibuja el recorrido cuadrado en papel cuadriculado para comprobar algunos de tus cálculos. 199 Holt Matemáticas

3 10-2 Listo para seguir? Intervención de destrezas El área de triángulos y trapecios En la fórmula del área de un triángulo se usa la base y altura del triángulo. En la fórmula del área de un trapecio se usa la altura y sus dos bases. Hallar el área de un triángulo Halla el área de cada triángulo. A. B. h 6 cm 1 2 bh Escribe la fórmula. 1 2 bh 11 cm 1 2 ( ) Sustituye b y h. 1 2 ( ) 1 2 ( ) Multiplica. 1 2 ( ) 8 pies Hallar el área de un trapecio Halla el área de cada trapecio. A. 6 m Resuelve. 1 2 h(b 1 b 2 ) Escribe la fórmula. 1 5 pies 2 B. 8 m 12 m 10 cm 1 2 ( )( ) Con qué sustituyes b 1, b 2 y h? 1 2 ( )( ) Simplifica en los paréntesis. Resuelve. El área es. 1 2 h(b 1 b 2 ) 14 cm 10 cm 1 2 ( )( ) Con qué sustituyes b 1, b 2 y h? 1 2 ( )( ) Simplifica en los paréntesis. Resuelve. El área es. 200 Holt Matemáticas

4 10-3 Listo para seguir? Intervención de destrezas El área de figuras compuestas Hallar áreas de figuras compuestas Halla el área del polígono. 24 pulg 3 pulg 20 pulg 4 pulg Razona: Dibuja los dos rectángulos en que se puede dividir el polígono. 16 pulg 4 pulg Halla el área de cada rectángulo. 16 pulg 20 pulg 3 pulg a a Con qué sustituirás y a? Multiplica. Suma las áreas de cada rectángulo. El área del polígono es. Aplicación al arte Madison hizo un dibujo del frente de su casa. Cuál es el área del frente de la casa de Madison? Cuáles son las dos formas regulares que forman el frente de la casa de Madison? 26 pies 20 pies Halla el área del rectángulo. a Halla el área del triángulo. 1 2 bh 1 2 ( ) 1 2 Suma el área del rectángulo al área del triángulo. El área del frente de la casa de Madison es. 16 pies 201 Holt Matemáticas

5 10-4 Listo para seguir? Intervención de destrezas Cómo comparar perímetro y área Cambiar dimensiones Halla cómo cambian el perímetro y el área de la figura cuando cambian sus dimensiones. 6 m 6 m Divide cada medida entre 1.5. Cuánto miden los lados? 4 m 4 m P Halla el perímetro. P Halla el área. Qué ocurre con el perímetro cuando las dimensiones del cuadrado se dividen entre 1.5? Qué ocurre con el área cuando las dimensiones del cuadrado se dividen entre 1.5? Aplicación a las mediciones Dibuja un rectángulo cuyas dimensiones sean 4 veces más grandes que el rectángulo que se muestra. Cómo cambian el perímetro y el área cuando cambian las dimensiones? 8 cm 1 cm Multiplica cada dimensión por 4. 4 cm 2 cm P P Qué ocurre con el perímetro cuando las dimensiones del rectángulo se multiplican por 4? Qué ocurre con el área cuando las dimensiones del rectángulo se multiplican por 4? 202 Holt Matemáticas

6 10-4 Listo para seguir? Intervención de resolución de problemas Cómo comparar perímetro y área Para algunos problemas puedes usar el razonamiento proporcional para simplificar o eliminar cálculos. Un jardín rectangular mide 14.3 m de largo y 6.2 m de ancho. Supongamos que quieres agrandar el jardín para tener 9 veces más espacio. Para que el nuevo jardín tenga un área 9 veces mayor, qué dimensiones puedes usar? Comprende el problema 1. Qué sabes? 2. Se te pide que halles el área del jardín actual? O la del nuevo jardín? Qué se te pide que halles? Haz un plan 3. Cuando multiplicas ambas dimensiones de un rectángulo por algún número n, qué ocurre con el área? 4. Supongamos que duplicaste las dimensiones. Qué ocurrirá con el área? Resuelve 5. Cuál es el número por el que puedes multiplicar las dimensiones para que el área se multiplique por 9? Explica. 6. Cuáles pueden ser las nuevas dimensiones? Comprueba 7. Estima para ver si el área nueva es aproximadamente 9 veces más grande que el área anterior. 203 Holt Matemáticas

7 10-5 Listo para seguir? Intervención de destrezas El área de los círculos El área de un círculo es igual a pi por el radio al cuadrado. Estimar el área de un círculo Estima el área del círculo usando 3 para. r 2 Escribe la fórmula. Reemplaza pi por 3 y r por. 3 cm Qué sigue en el orden de las operaciones? Multiplica. El área es aproximadamente. Hallar el área de un círculo Halla el área de un círculo usando 2 2 para. 7 d 28 cm;? Qué fórmula usarás? r 2 A qué es equivalente r? 28 cm r 2 Con qué reemplazarás d? Con qué reemplazarás y r? Cuál es el MCD? Simplifica. Multiplica. Aplicación a la música El parche de un tambor tiene un diámetro de 14 pulg. Cuál es el área del parche del tambor? Usa 3.14 para. r 2 Escribe la fórmula. d r Cuál es el radio? 14 pulg Con qué reemplazas y r? A qué se simplifica el término del exponente? Multiplica y redondea a la décima más cercana. El área del parche del tambor es aproximadamente. 204 Holt Matemáticas

8 SECCIÓN 10A Listo para seguir? Prueba 10-1 Cómo estimar y hallar el área Halla el área de cada figura m 25 m 4 pies pies 13.2 yd 10.5 yd 4. Greg construyó un patio rectangular en su jardín trasero. El resto del jardín está cubierto de césped. Cuál es el área del jardín trasero que está cubierta de césped? 35 pies 12 pies césped 10 pies 20 pies patio 10-2 El área de triángulos y trapecios Halla el área de cada figura pies 7. 7 cm 2.5 pies 8.5 pulg 8 cm 4.8 pies 12 pulg pies 6 cm 6.5 cm 8 cm 0.5 pies 14.5 cm cm 205 Holt Matemáticas

9 SECCIÓN 10A Listo para seguir? Prueba (continuación) 10-3 El área de figuras compuestas 11. Halla el área del polígono. 12. Estima el área del estado de Georgia. 30 cm 125 mi 10 cm 6 cm 20 cm 12 cm 330 mi 120 mi 70 mi 10-4 Cómo comparar perímetro y área 13. La longitud y el ancho de un rectángulo se multiplican por 5. Halla cómo cambian el perímetro y el área del rectángulo. 14. Los catetos de un triángulo rectángulo se multiplican por 3. Halla cómo cambian el perímetro y el área del triángulo. 15. La longitud y el ancho de un rectángulo se dividen cada uno entre 2. Halla cómo cambian el perímetro y el área del rectángulo El área de los círculos Halla el área de cada círculo. Usa 3.14 para. Redondea a la centésima más cercana cm 4 m pies 206 Holt Matemáticas

10 SECCIÓN 10A Listo para seguir? Enriquecimiento Decisiones de diseño El costo de fabricación de un producto depende en parte de la cantidad de material que se usa. Un cambio en el diseño puede constituir un desafío si la cantidad de material que se usa tiene que ser la misma. 8 pulg Supongamos que fabricas un mantel individual con forma de trapecio que tiene las dimensiones que se muestran a la derecha. El borde superior mide 2 3 de la longitud del borde inferior. 9 pulg Supongamos que quieres mantener la misma área y la misma altura, pero quieres cambiar la longitud de la parte superior a 3 4 de la longitud de la parte inferior. Cómo cambiarán esas dos longitudes? 12 pulg Qué más tiene que mantenerse igual si el área y la altura se mantienen iguales? El nuevo diseño tendrá una longitud superior que mide 3 veces una unidad, y una longitud inferior que mide 4 veces una unidad. Cuál es el número más fácil de dividir entre 3 partes y entre 4 partes donde todas las partes sean iguales? Si divides la longitud total de los bordes superior e inferior entre 7 unidades iguales, cuál es el valor de cada unidad en forma de fracción? Si usas tres de esas unidades para el borde superior y cuatro para el borde inferior, cuáles son las longitudes de los dos bordes en forma de fracción? Completa, usando tu respuesta: Has resuelto el problema? Aplica el mismo razonamiento para hallar las nuevas longitudes de un mantel individual, con la misma área y altura, cuyos bordes superior e inferior estén en una razón de 4 a 9. Aquí, en lugar de usar la unidad como antes, usarás la unidad 20. Respuesta: 207 Holt Matemáticas

11 10-6 Listo para seguir? Intervención de destrezas Las figuras tridimensionales Un poliedro es un objeto tridimensional, o cuerpo geométrico, con superficies planas llamadas caras, que son polígonos. Cuando dos caras de un cuerpo geométrico comparten un lado, forman una arista. En un cuerpo geométrico, el punto donde se encuentran tres o más aristas se llama vértice. Identificar caras, aristas y vértices Identifica la cantidad de caras, aristas y vértices de cada cuerpo geométrico. A. Cuántas caras hay? Vocabulario poliedro cara arista vértice prisma base cilindro Cuántas aristas hay? Cuántos vértices hay? B. Cuántas caras hay? Cuántas aristas hay? Cuántos vértices hay? Un prisma es un poliedro con dos bases paralelas congruentes y otras caras que son todas paralelogramos. Un cilindro también tiene dos bases paralelas congruentes, pero las bases de un cilindro son circulares. Identificar figuras tridimensionales Indica si cada figura es un poliedro e identifica cada cuerpo geométrico. A. Todas las caras son planas? La figura es un poliedro? Describe las bases. La figura es un. B. Todas las caras son polígonos planos? La figura es un poliedro? El cuerpo geométrico es un prisma? Explica.. Cuál es la forma de las bases? La figura es un. 208 Holt Matemáticas

12 10-7 Listo para seguir? Intervención de destrezas El volumen de los prismas El volumen es la cantidad de unidades cúbicas que se necesitan para llenar un espacio. Hallar el volumen de un prisma rectangular Halla el volumen del prisma rectangular. V ah 10 cm V Con qué sustituirás, a y h? 5 cm 25 cm V Multiplica. Hallar el volumen de un prisma triangular Halla el volumen de cada prisma triangular. Vocabulario volumen A. V Bh Cuál es el área de la base? 1.4 m 3 m 2.1 m V 1 2 Sustituye B y h. V Multiplica. B. V Bh Cuál es el área de la base? 4.5 pulg 9 pulg 6 pulg V 1 2 Sustituye B y h. V Multiplica. Aplicación al transporte Una empresa de tarjetas de béisbol coloca 8 cajas cúbicas de tarjetas de béisbol en un cajón. Cuáles son las dimensiones posibles del cajón para las tarjetas de béisbol? Cuántas cajas cúbicas de tarjetas de béisbol hay? De cuántas formas puedes acomodar 8 cubos y mantener un volumen de 8 unidades cúbicas? Las dimensiones posibles del cajón para 8 cajas cúbicas de tarjetas de béisbol son las siguientes: 1 1 ó 2 ó Holt Matemáticas

13 10-7 Un prisma triangular cabe justo dentro de un cubo de 4 pulgadas, como se muestra en la figura. Qué fracción del volumen del cubo ocupa el prisma triangular? Comprende el problema 1. Rotula el diagrama con las dimensiones que conoces. Haz un plan Listo para seguir? Intervención de resolución de problemas El volumen de los prismas 2. Qué fórmulas puedes usar para hallar el volumen del cubo y el volumen del prisma triangular? 3. Cuando usas V Bh para hallar el volumen del prisma triangular, cuál es la forma de la base que usarías para B? Resuelve 4. Cuál es el volumen del cubo? 5. Cuánto mide B, el área de la base del prisma triangular? 6. Cuál es el volumen del prisma triangular? 7. Qué fracción del volumen del cubo ocupa el prisma triangular? Comprueba 8. Dibuja una vista frontal del cubo y del prisma triangular. Observa si el área de la base del prisma triangular es la mitad del área de la cara del cubo. 210 Holt Matemáticas

14 10-8 Listo para seguir? Intervención de destrezas El volumen de los cilindros Hallar el volumen de un cilindro Halla el volumen V del cilindro a la unidad cúbica más cercana. V r 2 h 7 pulg V Con qué sustituirás, r y h? 25 pulg V Multiplica. El volumen es aproximadamente. Aplicación a la economía doméstica Una taza cilíndrica para medir, con un diámetro de 6 pulgadas, está llena de aceite de cocina hasta una altura de 4 pulgadas. Estima el volumen del aceite de cocina que hay en la taza de medir a la pulgada cúbica más cercana. r 2 Halla el radio. V r 2 h V Con qué sustituirás, r y h? V Multiplica. El volumen del aceite de cocina en la taza de medir es aproximadamente. Comparar el volumen de cilindros Halla qué cilindro tiene el mayor volumen. Cilindro 1: V r 2 h V V Cilindro 2: V r 2 h V V Qué cilindro tiene el mayor volumen? Explica. 4 m 6 m 7 m 12 m 211 Holt Matemáticas

15 10-9 Listo para seguir? Intervención de destrezas El área total El área total de un cuerpo geométrico es la suma de las áreas de sus superficies. Una plantilla es un patrón que se hace al extender la superficie de un cuerpo geométrico en un plano para mostrar todas sus caras. Vocabulario área total plantilla Hallar el área total de un prisma Halla el área total A del prisma. Dibuja una plantilla para ayudarte a ver cada cara del prisma. Usa la fórmula a para hallar el área de cada cara. A: m 9 m 4 m A 5 m B: 5 m 4 m 5 m 4 m C: B C D E 9 m D: E: 5 m F F: Suma las áreas de cada cara. 20 El área total del prisma es. Hallar el área total de un cilindro Halla el área total A del cilindro. área de la superficie lateral 2 (área de cada base) Cuál es la forma de la base? Cuál es la fórmula de su área? h (2 r) 2 ( r 2 ) Completa la fórmula del área total. (2 ) 2 ( ) Qué valor usarás para h? Y para r? 2 Usa el orden de las operaciones y halla A. (3.14) 2 (3.14) Usa 3.14 para. 2 El área total del cilindro es aproximadamente. 212 Holt Matemáticas

16 SECCIÓN 10B Listo para seguir? Prueba 10-6 Las figuras tridimensionales Identifica la cantidad de caras, aristas y vértices en cada figura. Luego identifica la figura e indica si es un poliedro El volumen de los prismas Halla el volumen de cada prisma pies 7. 4 cm 5 cm 8 cm 6 pies 2 pies 5 m 1 m 3.2 m 8. Hay 25 cajas de clips para papeles colocadas en un cajón de manera tal que encajan perfectamente. Cada caja mide 1 pulg 3. Cuáles son todas las dimensiones posibles del cajón? 213 Holt Matemáticas

17 SECCIÓN 10B Listo para seguir? Prueba (continuación) 10-8 El volumen de los cilindros Halla el volumen V de cada cilindro a la unidad cúbica más cercana. Usa 3.14 para cm pulg cm 8 cm 5 pulg 4.8 cm pulg cm 5 pulg 0.9 pulg 9 cm 12 pulg 15. Qué recipiente tiene el mayor volumen? 16 pies 10 pies 10-9 El área total Halla el área total A de cada figura. Usa 3.14 para y redondea a la centésima más cercana si es necesario cm m 2 cm 1 pies 5 m 5 cm 5 m A 4 pies B 8 pies 9 pies cm pulg cm 4 cm 4 cm 5.5 cm 7 pulg 6 cm 214 Holt Matemáticas

18 SECCIÓN 10B Listo para seguir? Enriquecimiento Embalar latas Supongamos que consideras las tres formas distintas que se muestran a la derecha para embalar latas cilíndricas en una caja de cartón. La abertura de la caja es un cuadrado. Cuál de las formas crees que desperdicia más espacio en la caja de cartón? A B C Imagina que la caja de cartón mide 4 unidades por 4 unidades por cierta altura. Necesitas conocer las unidades de altura para trabajar en este problema? Explica. Usemos una unidad de longitud 4 para cada lado del cuadrado de la abertura superior de la caja de cartón. Completa la tabla para analizar la cantidad de área que se usa en cada disposición. Usa sin sustituirlo por ningún valor. cantidad de latas radio de cada lata área de cada lata área formada por todas las latas A B C Qué disposición desperdicia más espacio? Ahora supongamos que el grosor de las paredes de las latas es 0.05 de unidad. Cómo variarán los contenidos totales de las latas con cada disposición? A B C cantidad de latas 1 radio interno de cada lata 1.95 área interna de cada lata área formada por todas las latas Qué porcentaje del área se pierde yendo desde la disposición de 1 lata hasta la disposición de 16 latas? 215 Holt Matemáticas