Otras distribuciones multivariantes

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1 Trabajo A Trabajos Curso -3 Otras distribuciones multivariantes Clase esférica de distribuciones en R p Definición. Dado un vector aleatorio X = X,..., X p t, se dice que se distribuye en la clase esférica de distribuciones en R p si, para cualquier matriz ortogonal H, los vectores X y HX tienen la misma distribución. Comentario. La definición anterior nos dice que X pertenece a la clase esférica si su distribución es invariante frente a transformaciones ortogonales. Se puede demostrar que el hecho de que una función vectorial sea invariante frente a transformaciones ortogonales se traduce en que dicha función depende de x sólo a través de x t x. Por lo tanto, y centrándonos en el caso continuo, si un vector aleatorio pertenece a la clase esférica, su densidad depende de x sólo a través de x t x. Por lo tanto será de la forma f x x = K p gx t x donde K p > es una constante y g una función escalar que será suficientemente regular para garantizar que f X sea una densidad. Algunos ejemplos de distribuciones esféricas son las siguientes: Distribución uniforme en la hiperesfera de radio r: p+ f x x = π p/ r p I [x t x r ] En este caso, g es la función indicadora en el círculo x t x r y K p = Normal p-dimensional esférica N[; I p ]: f x x = π p exp xt x, x R p. En este caso la función g es la exponencial y K p = π p T-Student esférica con n grados de libertad n+p f X x = nπ p n + xt x n Ahora gx = + x/n n+p/ y K p = n+p nπ p n n+p, x R p. p+ π p r p El resultado aqui comentado es un caso particular extraído de la teoría de invarianza de grupos de transformaciones cuando estos actúan sobre un espacio concreto. En este caso, el grupo de transformaciones es el grupo ortogonal y el espacio es R p.

2 Trabajo A Trabajos Curso -3 Nota: Si n = se tiene la distribución de Cauchy p-dimensional, mientras que si p = se tiene la distribución t de Student con n grados de libertad. Comprobar que si X es un vector aleatorio de la clase esférica, entonces su función característica es de la forma φ X u = ψu t u para alguna función ψ. Como consecuencia, las distribuciones marginales también pertenecen a la clase Indicación: El resultado se obtiene siguiendo un razonamiento análogo al del comentario anterior sobre la función de densidad. Basta con ello comprobar, a partir de la definición de funcion característica, que φu = φhu para cualquier matriz H ortogonal. Veamos a continuación algunos ejemplos de estas distribuciones.. Distribución uniforme en el círculo de radio r. Sea S = {x, x R : x + x r } el círculo centrado en el origen y de radio r >. Dado un vector aleatorio X = X, X t se dice que sigue la distribución uniforme en S si su densidad es fx, x = K I S, donde K > y I S indica la función indicadora en S. Nota: Observemos que la densidad anterior depende de x = x, x t a través del producto escalar x t x. Verificar que K =. Indicación: Emplear el cambio a coordenadas polares: π r x = ρ cosθ x = ρ senθ, ρ >, < θ π. Comprobar que E[X] = y Cov[X] = r 4 I. Indicación: Emplear el cambio a coordenadas polares. Calcular las distribuciones marginales así como las condicionadas. Por simetría basta calcular la distribución de X y la de X X = x. f X x = r x π r, r x r f X X =x x =, x r x r x ; r x r. Nota: Comprobar que las distribuciones condicionadas son uniformes en un determinado intervalo. Asimismo, tanto las densidades marginales comos la condicionadas verifican que dependen de la norma euclídea al cuadrado del argumento, o sea pertenecen a la clase

3 Trabajo A Trabajos Curso Distribución uniforme en la esfera de radio r. Sea S = {x, x, x 3 R 3 : x + x + x 3 r } el interior y el borde de la esfera centrada en el origen y de radio r >. Dado un vector aleatorio X = X, X, X 3 t se dice que sigue la distribución uniforme en S si su densidad es fx, x, x 3 = K I S, donde K > y I S indica la función indicadora en S. Nota: Observemos que la densidad anterior depende de x = x, x, x 3 t a través del producto escalar x t x. Verificar que K = 3 Indicación: Emplear el cambio a coordenadas polares: 4π r3 x = ρ cosθ x = ρ senθ cosφ x 3 = ρ senθ senφ, ρ >, < θ π, < φ π Comprobar que E[X] = y Cov[X] = r 5 I 3. Indicación: Emplear el cambio a coordenadas polares. Calcular la distribuciones marginales unidimensionales y bidimensionales. Dada la simetría, basta con calcular la distribución de X y la de X, X t. f X x = 3r x 4 r 3, r x r f X,X x, x = 3 r x x π r 3, x + x r Calcular las distribuciones X, X 3 t X = x y X 3 X = x, X = x. Deducir que son distribuciones uniformes en un círculo y en un intervalo, respectivamente y, en consecuencia, calcular los dos primeros momentos. f X,X 3 X =x x, x 3 = πr x, x + x 3 r x ; r x r f X3 X =x,x =x x 3 = r x, x x 3 r x x ; x + x r. Nota: Obsérvese que tanto las densidades marginales comos la condicionadas verifican que dependen de la norma euclídea al cuadrado del argumento, o sea, pertenecen a la clase

4 Trabajo A Trabajos Curso Distribución uniforme en la hiperesfera de radio r. Este apartado es optativo, pero es interesante que al menos se intente. Los anteriores resultados se pueden generalizar a mayores dimensiones. Así tenemos la distribución uniforme en la hiperesfera de radio r. Sea S p = {x R p : x t x r } el interior y el borde de la hiperesfera centrada en el origen y de radio r >. Dado un vector aleatorio X = X,..., X p t se dice que sigue la distribución uniforme en S p si su densidad es fx = K I S p, donde K > y I S p indica la función indicadora en S p. NOTA: Observemos que la densidad anterior depende de x a través del producto escalar x t x. Verificar que K = p+ π p/ Indicación: Emplear el cambio a coordenadas polares: rp x = ρ cosθ x = ρ senθ cosθ. x p = ρsenθ senθ senθ p cosθ p x p = ρsenθ senθ senθ p senθ p para ρ >, < θ j π j =,..., p y < θ p π, y cuyo jacobiano viene dado p por J = ρ p senθ j p j No hay que calcularlo. j= Comprobar que E[X] = y Cov[X] = r p + I p. Indicación: usar el cambio a coordenadas polares prestando atención en cada caso a las variables que están involucradas en las integrales que se deban hacer. Además, es aconsejable recordar que / sen k θ dθ = cos k θ dθ. π/ / / sen k θ dθ = cos k θ dθ = k + Beta, = k+ π. k+ sen k θ dθ = k+ π. k+ π sen k θ cosθ dθ =. sen k θ cos θ dθ = k+3 π k +. k+4 No hay que calcular estas integrales.

5 Trabajo A Trabajos Curso -3 5 Calcular la distribuciones marginales unidimensionales y bidimensionales. Dada la simetría basta con calcular, por ejemplo, las de X y X, X t. f X x = p+ r x π r p p+ p, r x r f X,X x, x = p+ π r p p r x x p, x + x r t, Si consideramos X partido en la forma X = X t Xt donde X es de dimensión q y X lo es p q, calcular la distribución de X. f X x = π q r p p+ p q+ p q r x t x, x t x r Indicación: Para el cálculo observa la regla de generación de las anteriores distribuciones. Calcular la distribución condicionada X X = x. Deducir que es una distribución uniforme en S p q, o sea, la esfera de dimensión p q. En consecuencia, calcular los dos primeros momentos. f X X =x x = p q+ π p q r x t x p q, x t x r x t x ; x t x r. Nota: Obsérvese que tanto las densidades marginales comos la condicionadas verifican que dependen de la norma euclídea al cuadrado del argumento, o sea, pertenecen a la clase