UN MODELO DE PROGRAMACIÓN DE METAS PARA LA PLANIFICACIÓN OPERATIVA DE UN ASERRADERO DE MADERA.

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1 Un Modelo de Programacón por Metas para la Planfcacón operatva... UN MODELO DE PROGRAMACIÓN DE METAS PARA LA PLANIFICACIÓN OPERATIVA DE UN ASERRADERO DE MADERA. Caballero Fernández, Rafael Gómez Núñez, Trndad Molna Luque, Julán Departamento de Economía Aplcada (Matemátcas). Unversdad de Málaga. Fosado Téllez, Osvaldo León Sánchez, Amparo Garófolo Novo, Madelén Saavedra Castllo, Beatrz Departamento de Matemátca. Facultad de Informátca y Telecomuncacones. Unversdad de Pnar del Río, (Cuba). RESUMEN La falta de ntegracón entre los factores que ntervenen en el proceso de toma de decsones en la planfcacón operatva del aserradero de madera, conlleva a una ruptura del proceso productvo y, por consguente, a la nefcenca técnco-económca de estas ndustras. En este trabajo se propone un modelo multobjetvo que permte consderar como crteros a tener en cuenta, además de la maxmzacón de la funcón como tradconalmente se realza, una maxmzacón de los rendmentos y un uso adecuado de los nveles de nventaro de madera en bolo. Se desarrolla una metaheurístca para su solucón. Palabras claves: Aserrado de madera, Toma de Decsones Multcrtero, Metaheurístca. Clasfcacón JEL (Journal Economc Lterature): C6, C63, Q23 Área temátca: ndcar el área temátca en la que se nscrbe el contendo de la comuncacón o ponenca. XIV Jornadas de ASEPUMA y II Encuentro Internaconal

2 Caballero, Gómez, Molna, Fosado, León, Garófolo y Saavedra. INTRODUCCIÓN La planfcacón del proceso de aserrado conlleva la consderacón de dversos elementos como un sstema estrechamente lgado en el momento de la planfcacón operatva (Fosado (999), Álvarez y Fernando (2002)): Producto fnal. Es el resultado de la aplcacón a cada troza de un esquema de corte en una serra y se clasfca en funcón de sus dmensones (ancho, grosor y largo) y de su caldad. Para ello exsten patrones que asgnan un nvel en funcón del número y tpo de defecto que puede presentar una peza aserrada (CONFEMADERA, 2005). Un producto fnal puede ser obtendo ndstntamente por varos esquemas de corte. Dsponbldad de la matera prma y efcenca en su uso. Indspensable resulta el conocmento de los nveles de nventaro de madera en bolo. El proceso de aserrado necesta una retroalmentacón constante de madera del bosque para poder mantener nnterrumpdamente el proceso productvo. Qué se debe aserrar? es una pregunta que debe tener un respaldo en el almacén de matera prma, la no exstenca de clases damétrcas en este almacén puede llevar al uso de esquemas poco efcentes para determnadas produccones. Característcas de la matera prma. La matera prma en el proceso de aserrado lo consttuye la troza, se clasfca en funcón de sus característcas (largo y dámetro) y por tanto se le pueden aplcar dferentes esquemas de corte. Demanda de los surtdos a obtener. La demanda en el proceso de aserrado está preestablecda y corresponde al volumen de madera de cada surtdo que debe elaborarse en cada período de planfcacón. Dsponbldad de tempo. La dsponbldad de tempo esta vnculada al proceso de aserrado en sí, no al proceso de almentacón y salda de la maqunara pues estos, por lo general, no consttuyen retrasos en el sstema. Característcas de la maqunara nstalada. Importante resulta el tpo de maqunara nstalada, no sólo por el nvel de productvdad sno tambén por el tpo de tecnología (crcular, banda, alternatva). Un cambo en el tpo de serra mplcaría dferencas sgnfcatvas en las posbldades de cortes y tempo de aserrado. 2 XIV Jornadas de ASEPUMA y II Encuentro Internaconal

3 Un Modelo de Programacón por Metas para la Planfcacón operatva... Tenendo en cuenta los elementos físco-morfológcos de la troza a aserrar se elaboran los esquemas de corte que sean capaces de garantzar una buena caldad de las pezas a obtener, el problema surge cuando se vnculan estos esquemas con las demás restrccones del proceso, generándose de esa manera un elevado número de alternatvas. El uso de modelos de optmzacón en este ámbto ha sdo amplamente estudado en las últmas décadas, destacando, prncpalmente, los modelos lneales y monocrteros (Rönnqvst (2003)). Así, Renders y Hendrks (989) plantean modelos matemátcos que vnculan el troceado, descortezado y dseño de esquemas de corte, descomponendo el problema en tres fases que obedecen a cada una de estas etapas y apoyándose en técncas de programacón dnámca. Otro grupo de trabajos han estado drgdos a la planfcacón del aserrado, sobre todo, con el objetvo de maxmzar el valor de la produccón en múltples períodos, hacendo uso, o ben de modelos lneales enteros monocrteros soluconados a través de un algortmo de ramfcacón y acotacón (Fosado (999)), o ben de modelos lneales contnuos (Maness (2002)) y vnculando la smulacón con la planfcacón del aserrado en múltples períodos. Por otra parte, cabe destacar que el alto número de varables enteras que generan muchos de estos modelos ha motvado el desarrollo de metaheurístcas para la solucón de los msmos, destacándose el trabajo de Praderas y Peñalllo (2004), los cuales plantean un algortmo de búsqueda tabú para la solucón de un modelo lneal monocrtero en el cual se pretende maxmzar las utldades (Ingresos-Coste), de cara a obtener una planfcacón de la produccón de madera aserrada. En consecuenca, y tal y como hemos comentado anterormente, tradconalmente el crtero predomnante para la planfcacón ha sdo la maxmzacón de la produccón en el proceso de aserrado, relegando a un segundo plano el crtero de los rendmentos. No obstante, resulta evdente que hay que ntentar buscar solucones que, de alguna manera, representen un equlbro entre los dferentes crteros que puede persegur el decsor a la hora de planfcar el aserradero ya que éste no sólo busca maxmzar el valor de la produccón y que, por tanto, resulta más adecuado el planteamento de este problema desde una perspectva multobjetvo. Así, en este trabajo nos proponemos presentar un modelo de programacón por metas al objeto de determnar el número de trozas a las que se les debe aplcar un determnado dagrama de corte, de manera que se satsfagan una sere de objetvos XIV Jornadas de ASEPUMA y II Encuentro Internaconal 3

4 Caballero, Gómez, Molna, Fosado, León, Garófolo y Saavedra relatvos a la produccón y el rendmento, respetando certas restrccones de dsponbldad. Posterormente, hemos aplcado este modelo al aserradero de madera Álvaro Barba pertenecente a la Empresa Forestal Integral Mnas de Matahambre de la Provnca Pnar del Río (Cuba) cuya resolucón se ha realzado medante el desarrollo de una metaheurístca apropada. La ndustra del aserradero de madera es, práctcamente, la únca ndustra forestal exstente en Cuba. A ella se destna, aproxmadamente el 2,4% de la produccón forestal del país (FAO, 2004). En general, la ndustra del aserrado en este país cuenta con equpos bastante antguos, lo cual conlleva una baja efcenca en el aserrado y lmta la caldad de la madera obtenda. No obstante, en los últmos años se han puesto en marcha aserríos más modernos, con una tecnología más avanzada que favorece la caldad de la madera obtenda, permte elevar la productvdad ndustral y la efcenca técnca y económca. Ahora ben, no podemos olvdar que el estado en el que se encuentra el país ha provocado lmtacones en el acceso a tecnologías avanzadas y, aún cuando dsponga del conocmento de éstas, no las puede mplementar por la falta de fondos fnanceros en dvsas. Las produccones del sector forestal son muy mportantes para otros sectores de la economía (ndustra azucarera, produccones agropecuaras, tursmo, transporte, etc.) y, por supuesto, para la socedad en su conjunto, además del mportante papel medoambental que juegan los bosques. Por otra parte, aunque la actvdad forestal actualmente no es una fuente sustancal de empleo en comparacón con otros sectores, sí que es certo que, en algunas zonas rurales, es la únca. 2. PLANTEAMIENTO DEL MODELO Una de las prncpales dfcultades en la confeccón de los planes de produccón para la ndustra del aserrado consste en la asgnacón de los esquemas de corte que satsfagan, smultáneamente, una determnada demanda de los surtdos (planes de produccón), rendmentos adecuados en el aprovechamento de la madera y certa dsponbldad de tempo y matera prma. Una realzacón de los esquemas de corte de manera empírca acarrearía un aumento en los gastos de matera prma, posbles ncumplmentos de los planes de produccón por una mala planfcacón, ncremento de 4 XIV Jornadas de ASEPUMA y II Encuentro Internaconal

5 Un Modelo de Programacón por Metas para la Planfcacón operatva... los nveles de nventaro de madera aserrada por la elaboracón de surtdos no demandadas, entre otros posbles malos resultados. En nuestro planteamento, partremos de que exsten unos dagramas de corte preestablecdos y denotaremos nuestra varable de decsón por x, la cual representa el número de trozas a las que se les va a aplcar el dagrama de corte ( =, 2,, I) en un perodo concreto de planfcacón. Como tal han de ser varables enteras y no negatvas. Los parámetros que emplearemos en nuestro modelo son: d : Desperdco obtendo por realzar un dagrama de corte de tpo (m 3 ). e l : Produccón del surtdo l (l =,2,,L) en un dagrama de corte de tpo (m 3 ). P l : Plan de produccón del surtdo l (l =,2,, L) (m 3 ). t : Tempo de ejecucón de un dagrama de corte de tpo (mnutos). T: Dsponbldad de tempo máquna (mnutos). c k : Consumo de matera prma de tpo k ( k =,2,, K) en un dagrama de corte de tpo (m 3 ). C k : Dsponbldad de matera prma de tpo k ( k =,2,, K) (m 3 ). Así, el subíndce ndca el tpo de dagrama de corte. El subíndce k ndca la clasfcacón dmensonal de la troza y el subíndce l la clasfcacón de los surtdos por peza. Los valores de nuestras varables de decsón están delmtados por el tempo máquna dsponble, es decr, han de verfcar la sguente restrccón técnca: I t x T = En cuanto a los objetvos persegudos por el centro decsor, se podrían concretar en las sguentes premsas: Cubrr la demanda, el nvel de desperdco generado no puede superar un tanto por cento de la madera utlzada y dar prordad a la matera prma que ya se encuentra en almacén, aunque s es necesaro se puede solctar al bosque con las característcas requerdas. Estos objetvos los hemos formalzado como metas, es decr, como restrccones blandas o de deseado cumplmento y, en consecuenca, a que nuestro modelo sea un problema de Programacón por Metas. Por otra parte, todas las metas no tenen la msma mportanca y este hecho lo hemos recogdo establecendo nveles de prordad entre ellas y a utlzar el enfoque lexcográfco dentro de la Progamacón por Metas. Con ello, ncorporamos las XIV Jornadas de ASEPUMA y II Encuentro Internaconal 5

6 Caballero, Gómez, Molna, Fosado, León, Garófolo y Saavedra preferencas del decsor sn necesdad de cuantfcarlas, pero se asume que se ntenta consegur la meta stuada en un nvel precedente sn tener en cuenta las demás hasta haberla satsfecho. Así, el prmer nvel de prordad lo forman el conjunto de metas relatvas a satsfacer la demanda: I = e x + n p = P l l l l l =,2,., L donde n, p l l son las varables de desvacón negatva y postva, respectvamente. Como queremos cubrr la demanda, la varable de desvacón no deseada son n l ( l =, 2,,L) y este bloque está formado por L metas, una por cada tpo de demanda. Como el decsor consdera que todas ellas son gualmente mportantes, la funcón a mnmzar en este nvel es la suma de las varables de desvacón negatvas, es decr, L n l. l= En segundo lugar, se desea que el desperdco generado no supere un certo tanto por cento de la madera utlzada, lo cual se ha formalzado medante la sguente meta: I = I K d = k = c x k x = D donde D representa el porcentaje de desperdco que no se quere sobrepasar y n 2, p 2 son las varables de desvacón negatva y postva, respectvamente. En este nvel sólo hay una meta y se trata de mnmzar la varable de desvacón postva p 2. En el tercer nvel de prordad hay dos bloques de metas con la msma mportanca. Por una parte, utlzar la matera prma que se encuentra en el almacén pero, s el proceso lo requere se puede solctar más madera al bosque con las característcas requerdas. Este hecho lo hemos formalzado medante la sguente meta: k N ( k ) 6 XIV Jornadas de ASEPUMA y II Encuentro Internaconal + n 2 p c x + n p = C k =, 2, K 3k donde N(k)= {dagramas de corte / utlzan el recurso k}y n 3k, p 3k son las varables de desvacón negatva y postva, respectvamente. La varable de desvacón no deseada es p 3k. Por otra parte, el decsor no quere que haya mucho excedente de produccón con respecto a la demanda, lo cual lo hemos formalzado con la sguente meta: 3k k 2

7 Un Modelo de Programacón por Metas para la Planfcacón operatva... I = e x + n p = P l 3l 3l l l =,2,.L donde n 3l, p 3l son las varables de desvacón postva y negatva, respectvamente y la varable no deseada es p 3l. Como estos dos bloques de metas tenen la msma mportanca para el decsor, la funcón a mnmzar en este tercer nvel es: K k = p 3 k + L l= p 3l En consecuenca, nuestra problema es: Lex mn L l= n p l, 2, K k = p 3k L + l= p 3l sujeto a I t x T, x 0, x Z = 3. APLICACIÓN Como hemos comentado en la ntroduccón, nuestro modelo lo hemos aplcado a una stuacón concreta, utlzando la nformacón sumnstrada por el aserradero de madera Álvaro Barba pertenecente a la Empresa Forestal Integral de Matahambre de la Provnca de Pnar del Río (Cuba), donde la prncpal espece a aserrar es el Pnus carbaea. Para la elaboracón de los dagramas de corte se partó de los estudos realzados por Fosado (999) obtenéndose 54 dagramas de corte, es decr, 54 formas dferentes de poder cortar las trozas arrojando dferentes tpos y cantdades de surtdos. Sólo hemos consderado las trozas que generan un rendmento máxmo de los surtdos y son de tres tpos, es decr, en nuestro caso k = 3 y las dsponbldades en el almacén se detallan en la sguente tabla: Trozas (m. por cm.) Dsponbldad (m 3 ) 4 por 22 (k ) 320 (C ) 3 por 8 (k 2 ) 80 (C 2 ) 3 por 4 (k 3 ) 350 (C 3 ) XIV Jornadas de ASEPUMA y II Encuentro Internaconal 7

8 Caballero, Gómez, Molna, Fosado, León, Garófolo y Saavedra Tambén hemos utlzado la nformacón brndada por estudos estadístcos desarrollados en la Delegacón Provncal de la Agrcultura de Pnar del Río en el año 989 que establecía las normas de tempo promedo por pezas según la clasfcacón dmensonal de las trozas para este aserrío. La empresa proporconó la cantdad de tempo máquna dsponble para un perdo de planfcacón de un mes (T = 8400 mnutos) y la cantdad demandada de cada tpo de peza de madera, consderando que hay 4 tpos dferentes, es decr, l = 4 y que se detallan en la sguente tabla: Tpos de surtdos o Vtolas (m. por m. por m.) Demanda (m 3 ) 0,05 por 0,5 por 4 (l ) 45 0,025 por 0,5 por 4 (l 2 ) 50 0,09 por 0,5 por 4 (l 3 ) 45 0,06 por 0,5 por 4 (l 4 ) 0 0,075 por 0,5 por 4 (l 5 ) 27 0,05 por 0,25 por 3 (l 6 ) 0 0,025 por 0,25 por 3 (l 7 ) 5 0,09 por 0,25 por 3 (l 8 ) 0 0,06 por 0,25 por 3 (l 9 ) 0 0,075 por 0,25 por 3 (l 0 ) 6 0,025 por 0, por 3 (l ) 7 0,038 por 0, por 3 (l 2 ) 0 0,09 por 0, por 3 (l 3 ) 0 0,05 por 0, por 3 (l 4 ) 8 El nvel de desperdco que no se quere sobrepasar se fjó en un 50%. Para la resolucón de esta stuacón se utlzó el metaheurístco SSPMO (Molna et al., 2006) con certas modfcacones para ajustarlo a esta aplcacón concreta. Tras la resolucón, se observa que no hay nngún punto factble que verfque todas las metas. En concreto, se puede cumplr las metas del nvel, es decr, se consgue satsfacer la demanda, y tambén la del nvel 2, esto es, el desperdco no supera el 50% del volumen de madera empleada. Pero no se cumplen las metas del últmo nvel, es decr, que no haya excedentes de produccón con respecto a la demanda y que no se pda madera adconal al bosque. En consecuenca, la únca solucón obtenda es aquella que, satsfacendo la demanda y con un desperdco no superor al 50% mnmza las desvacones no deseadas del últmo nvel, es decr, es la que más se aproxma a los nveles de demanda (por encma) y que solcta lo menos posble al bosque de madera adconal. Con el plan obtendo se consumen 466,4 mnutos y se 8 XIV Jornadas de ASEPUMA y II Encuentro Internaconal

9 Un Modelo de Programacón por Metas para la Planfcacón operatva... alcanza un volumen de produccón de m 3, que conlleva un exceso con respecto a la demanda de 78,835 m 3. Se utlzan todas las trozas que hay en el almacén del tpo y 2 y quedan en excedente del tpo 3. Además, de las dos prmeras hay que solctar más cantdad al bosque, en concreto, 22,455 m 3 de madera porque hace falta para cubrr la demanda. Un análss pormenorzado de la solucón permte desglosar la produccón para cada uno de los surtdos a elaborar y el consumo de las trozas clasfcadas por clases damétrcas, lo cual permte saber la clase damétrca faltante y su volumen así como el tpo de troza que aún queda en el aserrío. Con todo ello se permte que se lleve a cabo una planfcacón operatva del aserrío de acuerdo con la demanda prevsta, la madera en bolo almacenada y evtando un exceso de desperdco, coordnándose efcentemente los elementos que ntervenen en el proceso. 3. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ÁLVAREZ, D. y FERNANDO, A. (2002). Factores fundamentales para aumentarlos rendmentos de madera aserrada en aserraderos con serras de banda. Revsta Avances, 4, 2. CONDEMADERA (Confederacón Española de Empresaros de la Madera). (2005). Estandarzacón de meddas y clasfcacón de madera aserrada de coníferas. Mnstero de Agrcultura, pesca y almentacón. España. FAO. (2004). Estudo de tendencas y perspectvas del Sector Forestal en Amérca Latna. Informe Naconal Cuba. Roma. FOSADO, O. (999). Tratamento económco-matemátco de la planfcacón operatva del proceso de aserrado de la madera. Tess de doctorado. Pnar del Río, Cuba. MANESS, T. NORTON, S.E. (2002). Multple perod combned optmzaton approach to forest producton plannng. Scand. J. For. Res. 7, pp XIV Jornadas de ASEPUMA y II Encuentro Internaconal 9

10 Caballero, Gómez, Molna, Fosado, León, Garófolo y Saavedra Molna, J., M. Laguna, R. Martí and R. Caballero. (2006). SSPMO: A Scatter Tabu Search Procedure for Non-Lnear Multobjectve Optmzaton. INFORMS Journal of Computng. (Aceptado). Pradenas, L. Peñalllo, F. Ferland, J. (2004). Agregate producton plannng problem. A new algorthm. Electronc Notes n Dscrete Mathematcs. 8, pp REINDERS, M.P., HENDRIKS, Th. H.B. (989). Lumberproducton optmzaton. European Journal of Operatonal Research. 42, pp RÖNNQVIST, M. (2003). Optmzaton n Forestry. Math. Program. 97, pp XIV Jornadas de ASEPUMA y II Encuentro Internaconal