Empresa bajo incertidumbre en el precio: modelo con dos destinos y un mercado de futuros

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1 Empresa bajo incertidumbre en el precio: modelo con dos destinos y un mercado de futuros Rodríguez Puerta, Inmaculada (irodriguez@ceade.es) Dpto. de Métodos Cuantitativos CEADE Álvarez López, Alberto A. (aalvarez@cee.uned.es) Dpto. de Ec. Aplicada Cuantitativa II UNED RESUMEN En este trabajo se desarrolla un modelo para una empresa competitiva que produce una cantidad determinada de un bien, la cual debe repartir entre dos fines distintos, para los que se tienen diferentes precios. La empresa debe decidir la cantidad que destinará a cada fin antes de conocer el precio para uno de ellos; para este fin, existe además un mercado de futuros, por lo que también debe decidir la cantidad que venderá en ese mercado. Tras presentar el modelo, se interpretan económicamente las diferentes soluciones del problema, y se estudian algunas de sus propiedades. Palabras clave: empresa competitiva; incertidumbre en el precio; función de utilidad de Bernoulli; aversión al riesgo; mercado de futuros. Clasificación JEL (Journal Economic Literature): C00, D81. Área temática: Programación Matemática. 1

2 Rodríguez Puerta, Inmaculada; Álvarez López, Alberto A. 1. INTRODUCCIÓN En Sandmo (1971), el autor presenta un modelo para una empresa competitiva que debe decidir su nivel de producción antes de conocer el precio al que se venderá su producto en el mercado, considerándose que la única respuesta posible de esta empresa ante la incertidumbre en el precio es ajustar su nivel de producción. Uno de los métodos más comunes usados para gestionar el riesgo en el precio son los contratos que se realizan en un mercado de futuros, mediante los cuales se fija el precio al que serán comercializados los productos en una fecha determinada, permitiendo así a los productores obtener una garantía contra bajas imprevistas en los precios. Holthausen (1979) amplía el modelo de Sandmo añadiendo la posibilidad de que la empresa pueda vender su producto en un mercado de futuros. En Rodríguez y Álvarez (2007), se considera una empresa que produce un único bien, pero, a diferencia del modelo de Sandmo, la cantidad que produce está determinada. Además, esta empresa puede destinar su producción hacia dos fines distintos cuyos precios son, en general, diferentes. La incertidumbre proviene del precio de uno de los dos destinos. En el presente trabajo, partimos de la citada empresa con dos destinos para la producción, considerando además que, para uno de los dos, la empresa puede operar en un mercado de futuros. En primer lugar, construimos el modelo y damos una interpretación económica de las posibles soluciones del problema. A continuación, presentamos las propiedades más llamativas de la solución óptima, y estudiamos alguna condición de solución de esquina. 1 Este artículo amplía un resultado originalmente presentado en el capítulo 5 de la tesis doctoral de uno de los autores (cf. Rodríguez (2008)). 1 A este respecto, queremos agradecer a un evaluador (o evaluadora) anónimo sus observaciones, que han contribuido a mejorar sensiblemente el texto. 2

3 2. EL MODELO Consideramos una empresa que va a producir una cantidad q T > 0, fijada previamente, de un cierto bien, el cual puede ser destinado posteriormente a dos fines distintos. La empresa debe decidir el número de unidades que destinará a cada fin. Supondremos que se destina el total de la producción entre ambos fines. Así, la empresa sólo deberá elegir el nivel de producción q (0 q q T ) que destinará al primero de ellos; la cantidad q que destinará al segundo quedará determinada por: q = q T q. El precio del primer destino en el mercado de contado es desconocido en el momento en que se toma la decisión. Este precio vendrá modelado por una variable aleatoria no degenerada P 0, de media µ > 0, sobre la que la empresa no tiene control de ningún tipo. Por el contrario, el precio p 0 del segundo destino es conocido de antemano. Consideraremos que la empresa tiene la posibilidad de operar en un mercado de futuros para el primer destino de su producción; más en concreto, puede elegir entre vender las q unidades que se destinan al primer fin al precio desconocido P en el mercado de contado una vez llegado el momento, o vender una parte de esta producción o todo (o incluso más si decide especular) a plazo en el mercado de futuros a un precio conocido b en el mismo instante en que toma la decisión. Es más, la empresa puede operar en el mercado de futuros no sólo vendiendo, sino también comprando. Denotaremos por h la cantidad que la empresa decide comercializar en este mercado de futuros; 2 supondremos adicionalmente que esta cantidad está limitada por ciertas restricciones físicas: h h h, con h < 0 < q T < h. 2 Si h < 0, la empresa compra en el mercado de futuros un volumen igual a h; por el contrario, si h > 0, la empresa vende un volumen igual a h. 3

4 Rodríguez Puerta, Inmaculada; Álvarez López, Alberto A. Bajo estas hipótesis, la función beneficio viene dada por: π(q,h) = P (q h) + b h + p q C donde C es el coste de producir las q T unidades. = (P p )q + (b P)h + p q T C, (1) También supondremos que la empresa es competitiva y posee aversión al riesgo. Es más, supondremos que su actitud frente al riesgo viene modelada por una función de utilidad de Bernoulli u que verifica: u > 0 y u < 0. El objetivo de la empresa es hallar el número de unidades q de su producción que debe destinar al primer fin, y la cantidad de futuros h que debe comercializar, de tal modo que maximice la utilidad esperada del beneficio. Es decir, la empresa busca los números q y h tales que: U(q,h ) = máx U(q,h), (2) (q,h) Ω donde Ω = [0,q T ] [ h,h ], y U es la función de utilidad esperada dada por: U(q,h) = E [ u ( π(q,h) )]. Se trata, por tanto, de un problema de optimización de una función de dos variables sobre el rectángulo cerrado Ω. De aquí en adelante, salvo que se diga lo contrario, supondremos que el punto (q,h ), solución de este problema, es único. Las derivadas parciales de primer orden de la función de utilidad son: U q(q,h) = E[u (π) (P p )] y U h(q,h) = E[u (π) (b P)]. Obsérvese que U q y U h no son necesariamente nulas, al menos en principio, en el punto (q,h ). El óptimo q podría alcanzarse en uno de los extremos del intervalo [0,q T ], en cuyo caso se tendría: U q(q,h ) 0 si q = 0, y U q(q,h ) 0 si q = q T ; y el óptimo h podría alcanzarse en uno de los extremos del intervalo [ h,h ], en cuyo caso se tendría: U h (q,h ) 0 si h = h, y U h (q,h ) 0 si h = h. 4

5 3. INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DE LA SOLUCIÓN ÓPTIMA Los números h y q h pueden tomar valores positivos y negativos. Esto se interpreta de la siguiente forma: como ya hemos comentado, si h es positivo, la empresa vende dicha cantidad en el mercado de futuros, y si, por el contrario, h es negativo, la empresa compra esta cantidad en el mercado de futuros. Del mismo modo, si q h es positivo, la empresa vende esta cantidad en el mercado de contado, y comprará dicha cantidad si q h es negativo. Considerando ambas afirmaciones, podemos dividir la región factible en cinco zonas. Según pertenezca el punto óptimo (q,h ) a una o a otra de estas cinco regiones, podemos describir cualitativamente lo que hace la empresa con respecto al mercado del primer fin: (I) h > q: la empresa especula, vendiendo en el mercado de futuros cierta cantidad que aún no tiene pero que espera adquirir a un precio más bajo en el mercado de contado; (II) h = q: la cantidad de producción destinada al primer fin es vendida íntegramente en el mercado de futuros (la empresa no especula); (III) h (0,q): de las unidades destinadas al primer fin, la empresa vende una parte en el mercado de futuros y el resto en el mercado de contado (la empresa no especula); (IV) h = 0: todas las unidades destinadas al primer fin son vendidas íntegramente en el mercado de contado (la empresa no especula); (V) h < 0: la empresa especula, comprando unidades en el mercado de futuros a la espera de poder venderlas en el mercado de contado a un mejor precio, junto con las unidades de producción destinadas al primer fin. 5

6 Rodríguez Puerta, Inmaculada; Álvarez López, Alberto A. 4. ESTUDIO DE LA SOLUCIÓN ÓPTIMA Como hemos comentado, las utilidades marginales U q y U h pueden anularse o no en el punto solución (q,h ). Si es el caso (lo que acontece, desde luego, si la solución es interior, pero también puede acontecer en una solución de esquina), tal solución presenta algunas propiedades interesantes. Antes, vemos un lema previo. Lema 1. Dado (q,h) Ω, definimos: σ(q,h) = E[ u ( π(q,h) ) P ] E [ u ( )]. Se verifica: π(q,h) a) h > q si, y sólo si, σ(q,h) > µ; b) h < q si, y sólo si, σ(q,h) < µ; c) h = q si, y sólo si, σ(q,h) = µ. Demostración. Aplicando el lema 1 de Lippman-McCall (1981, p. 249) 3 con la variable aleatoria X = P µ y la función f(s) = u ( (s+µ) (q h)+b h+p q C ), se demuestra la implicación directa de los apartados (a) y (b); nótese, para ello, que la función f es estrictamente creciente o estrictamente decreciente si y sólo si h > q o h < q, respectivamente. Para la implicación directa del apartado (c), no hay más que observar que π no es aleatorio si h = q. Finalmente, haciendo uso de los contrarrecíprocos de las tres implicaciones ya probadas, se obtiene la implicación en el otro sentido en los tres apartados. En las cuatro siguientes proposiciones se establecen propiedades de la solución óptima bajo hipótesis de anulación de alguna de las dos utilidades marginales. En las dos primeras se afirman relaciones entre los niveles óptimos de producción y de volumen de futuros según la posición relativa del precio esperado µ y los precios b o p ; en las dos últimas, se dan condiciones suficientes de solución de esquina. 3 El lema reza así: si f > 0 es una función numérica estrictamente decreciente sobre R y X es una variable aleatoria no degenerada de esperanza finita, entonces E[X f(x)] < f(0) E[X], y se verifica la desigualdad en el otro sentido si f es estrictamente creciente. 6

7 Proposición 1. Si se verifica U h (q,h ) = 0, entonces: a) b > µ si, y sólo si, h > q ; b) b < µ si, y sólo si, h < q ; c) b = µ si, y sólo si, h = q. Demostración. Se tiene inmediatamente a partir del lema 1, teniendo en cuenta que la condición U h (q,h ) = 0 es equivalente a σ(q,h ) = b. Proposición 2. Si se verifica U q(q,h ) = 0, entonces: a) p > µ si, y sólo si, h > q ; b) p < µ si, y sólo si, h < q ; c) p = µ si, y sólo si, h = q. Demostración. Se tiene inmediatamente a partir del lema 1, teniendo en cuenta que la condición U q(q,h ) = 0 es equivalente a σ(q,h ) = p. Proposición 3. Si se verifica U h (q,h ) = 0, entonces: a) si b > p, entonces q = q T ; b) si b < p, entonces q = 0; c) b = p si, y sólo si, U q(q,h ) = 0. Demostración. Puesto que U h (q,h ) = 0, podemos escribir: U q(q,h ) = U q(q,h ) + U h(q,h ) = E[u (π)] (b p ), de donde vemos que U q(q,h ) será positivo, negativo o nulo si y sólo si b p es positivo, negativo o nulo, respectivamente. Los apartados (a) y (b) se obtienen finalmente teniendo en cuenta que si U q(q,h ) > 0, entonces q = q T, y si U q(q,h ) < 0, entonces q = 0. 7

8 Rodríguez Puerta, Inmaculada; Álvarez López, Alberto A. Proposición 4. Si se verifica U q(q,h ) = 0, entonces: a) si b > p, entonces h = h; b) si b < p, entonces h = h; c) b = p si, y sólo si, U h (q,h ) = 0. Demostración. Es, mutatis mutandis, como la de la proposición 3. Finalmente, enunciamos una condición suficiente de solución de esquina con las utilidades marginales no nulas, relacionada con la concentración de la variable aleatoria P. Vemos un lema previo. Lema 2. Sea X una variable aleatoria no degenerada y de esperanza finita, con función de distribución F, y sea h > 0 una función numérica. Suponemos que existen (y son finitos) x M = ínf {x R F(x) = 1} y x m = sup {x R F(x) = 0}. Entonces: x m E[h(X) X] E[h(X)] x M. Demostración. Puesto que h es positiva, podemos escribir: E[h(X) X] = xm x m h(s)s df(s) xm x m h(s)x m df(s) xm = x m h(s)df(s) = x m E[h(X)], x m de donde x m E[h(X) X]/ E[h(X)], puesto que E[h(X)] es positivo. Análogamente se demuestra la otra desigualdad. Si la variable aleatoria P está concentrada entre un valor mínimo p m y uno máximo p M (definidos análogamente a como están definidos los números x m y x M del enunciado del lema anterior), podemos acotar las utilidades marginales U q y U h. Nos lo concreta la siguiente proposición. 8

9 Proposición 5. Si para la variable aleatoria P existen (y son finitos) los extremos p M = ínf {x R F(x) = 1} y p m = sup {x R F(x) = 0}, siendo F su función de distribución, entonces, cualquiera que sea (q,h) Ω, se verifica: (b p M ) E [ u ( π(q,h) )] U h(q,h) (b p m ) E [ u ( π(q,h) )], (p m p ) E [ u ( π(q,h) )] U q(q,h) (p M p ) E [ u ( π(q,h) )]. Demostración. Aplicando el lema 2 con la variable aleatoria X = b P y la función h(s) = u ( (s b)(q h) + bh + p q C ) > 0, obtenemos: x m E[u (π) (b P)] E[u (π)] x M, donde x m y x M (mínimo y máximo de b P) son tales que x m = b p M y x M = b p m ; de esta doble desigualdad se deduce inmediatamente la primera parte del enunciado. Para la segunda parte, se aplica el lema citado con la variable aleatoria X = P p y la función h(s) = u ( (s + p )(q h) + bh + p q C ). Esta proposición nos permite establecer algunas condiciones suficientes de solución de esquina. Por ejemplo, si b > p M, entonces la utilidad marginal U h resulta positiva en todos los puntos (q,h) de Ω, y en particular en el óptimo, lo que permite deducir que h = h; esto es: si el precio del futuro es mayor que el precio máximo, la empresa decide especular vendiendo a plazo todo lo que puede (para después comprarlo más barato en el mercado al contado). Análogamente, si b < p m, entonces h = h (la empresa compra a plazo todo lo que puede). Por otra parte, si p > p M, se obtiene que U q es negativa, y de ello que q = 0 (toda la producción al segundo fin); y si p < p m, se obtiene que q = q T (toda la producción al primer fin). De los resultados demostrados en esta sección se puede deducir el comportamiento de la empresa, en función de la posición relativa de los precios p, µ y b y de la concentración de la distribución de P, en ciertos casos. Por ejemplo, cuando 9

10 Rodríguez Puerta, Inmaculada; Álvarez López, Alberto A. se tiene b < p < µ, 4 si la variable aleatoria P está suficientemente concentrada, la empresa destinará toda su producción al primer fin, y especulará comprando la mayor cantidad posible de futuros (para después vender en el mercado al contado, que se percibe como sensiblemente mejor en precio); si, por el contrario, los tres precios están muy cercanos, es posible que en el óptimo se anule la utilidad marginal U h, lo que permitiría deducir que q = 0 (proposición 3) y h < 0 (proposición 1), es decir, la empresa destinaría toda su produccion al mercado seguro del segundo destino, pero especularía comprando cierta cantidad de futuros. Se aprecia, en todo caso, un comportamiento completamente distinto según cierta concentración de la variable aleatoria P. 5. CONCLUSIONES En este trabajo se ha elaborado un modelo para una empresa con un determinado nivel de producción y dos destinos posibles para el bien que produce, uno de los cuales, cuyo precio en el mercado de contado es incierto, le permite la posibilidad de operar en un mercado de futuros. Se ha mostrado que la posición relativa entre el precio del futuro, el precio conocido del segundo destino y el precio esperado del primero no determina por sí sola la actuación de la empresa, que depende también de la función de utilidad marginal de ésta y de la distribución de la variable aleatoria del precio del primer destino. Concretamente, la concentración de esta distribución podría determinar políticas de actuación radicalmente diferentes en situaciones con los mismos tres precios de partida. Esto constituye una diferencia fundamental con el modelo de Holthausen, en el que la cantidad producida es independiente de la variable aleatoria precio, y 4 Esta situación fue explícitamente comentada por el evaluador o evaluadora del artículo. Queremos reiterar nuestro agradecimiento por hacernos notar este detalle. 10

11 la relación entre la cantidad de futuros y el nivel producido depende únicamente de la relación entre el precio del futuro y el precio al contado esperado. Hemos mostrado también que estas diferencias de comportamiento, según ciertas circunstancias relativas a la variable aleatoria precio, radican esencialmente en si en el óptimo se anulan o no las utilidades marginales correspondientes. Hemos podido establecer una caracterización parcial de esta situación; estamos trabajando en una caracterización completa. 6. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS HOLTHAUSEN, D. M. (1979). Hedging and the Competitive Firm Under Price Uncertainty. The American Economic Review, Vol. 69, No. 5, pp LIPPMAN, S.A. y MCCAL, J.J. (1981): The Economics of Uncertainty: Selected Topics and Probabilistic Methods. Handbook of Mathematical Economics. Arrow and Intriligator, North-Holland, Cap. 6, pp RODRÍGUEZ, I. (2008). Teoría de la empresa bajo incertidumbre: aplicaciones al sector del olivar en la provincia de Sevilla. Tesis doctoral. Universidad Nacional de Educación a Distancia. Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales. RODRÍGUEZ, I. y ÁLVAREZ A. A. (2007). Empresa bajo incertidumbre en el precio: modelo con dos productos. XV Jornadas de ASEPUMA España (Palma de Mallorca). SANDMO, A. (1971). On the Theory of the Firm Competitive Under Price Uncertainty. The American Economic Review, Vol. 61, No. 1, pp