Nota sobre un modelo de J. D. Hey para una empresa bajo incertidumbre en el precio que no busca necesariamente maximizar el beneficio

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1 Nota sobre un modelo de J. D. Hey para una empresa bajo incertidumbre en el precio que no busca necesariamente maximizar el beneficio Alberto A. Álvarez López Departamento de Economía Aplicada Cuantitativa. UNED. Resumen: En el trabajo de Holthausen (1979) se estudia el comportamiento de una empresa competitiva bajo incertidumbre en el precio que tiene la opción de operar en un mercado de futuros. En el artículo de Hey (1981b), el autor extiende este modelo al considerar una empresa que, en vez de buscar maximizar el beneficio (como la empresa original), busca maximizar el rendimiento neto por trabajador (labor-managed firm). En el presente trabajo estudiamos ciertos aspectos relacionados con la empresa del modelo de Hey no tratados por el autor, ni tampoco tratados en el contexto del trabajo original de Holthausen. Palabras clave: empresa competitiva, empresa que maximiza el rendimiento neto por trabajador, función de utilidad de Bernoulli, incertidumbre en el precio, aversión al riesgo, medidas de Arrow Pratt, costes fijos, impuestos. 41

2 1Introducción En Hey (1981a) el autor plantea un modelo general para una empresa cuyo objetivo no es maximizar el beneficio, sino el rendimiento neto por trabajador (la que allí llama labor-managed firm), y llega a llamativas conclusiones sobre su comportamiento. Además, estudia tal empresa tanto bajo certidumbre como bajo incertidumbre en el precio y aversión al riesgo. En particular, el modelo bajo incertidumbre es una extensión del modelo de Sandmo (1971). En Hey (1981b) el autor amplía el modelo bajo incertidumbre en el precio introduciendo un mercado de futuros para el bien producido por la empresa. Este modelo ampliado es una extensión, para el tipo de empresa que considera, del de Holthausen (1979). En la sección 2 damos una descripción general de esta empresa que maximiza el rendimiento neto por trabajador, y detallamos algunas propiedades que más adelante utilizamos. En la sección 2 estudiamos el modelo bajo incertidumbre en el precio (y aversión al riesgo) con el mercado a plazo presente, y estudiamos algunos aspectos no estudiados en los artículos de Hey, como la variación de los costes fijos o la introducción de un impuesto. La teoría de la utilidad esperada es utilizada aquí tal y como se presenta en Mas-Colell, Whinston y Green (1995); en particular, la relación entre la allí llamada función de utilidad de Bernuolli y la función de utilidad esperada de von Neumann Morgenstern. Y dada una función de utilidad (de Bernuolli) u, también consideramos las medidas de Arrow Pratt de aversión al riesgo: la absoluta y la relativa, denotadas, respectivamente, por r u y R u ; se trata de las funciones (definidas sobre R): r u (s) = u (s) u (s) y R u (s) = s u (s) u (s). Con R + designamos el conjunto de los números reales no negativos, y con R + el de los positivos. 42

3 2 Observaciones sobre el tipo de empresa que consideramos Consideramos una empresa que produce un único output con dos inputs: capital y trabajo, perfectamente competitiva en todos los mercados (tanto los de factores como el de producto). Su tecnología viene descrita por una función de producción; matemáticamente, ésta es una función real f definida sobre R + R +, de forma que el nivel máximo Y de producción alcanzable fijadas unas cantidades L 0yK 0 de los factores trabajo y capital, respectivamente, es: Y = f(l, K). Suponemos que la función f es suficientemente regular, y que verifica: f(l, 0) = 0 y f(0,k) = 0 para cada L 0y cada K 0, y también: f L > 0yf K > 0. Suponemos además que la forma cuadrática asociada a la matriz hessiana de f en cada (L, K) R + R + es definida negativa, o lo que es equivalente: f LL < 0, f KK < 0 y (f LK) 2 f LLf KK < 0, lo que en particular implica que f es estrictamente cóncava sobre R + R +. El objetivo de la empresa no es maximizar el beneficio, sino maximizar el rendimiento neto por trabajador (o la utilidad esperada de este rendimiento, en el caso de incertidumbre). Fijados unos niveles positivos L y K de los factores trabajo y capital, respectivamente, el máximo nivel de producción por trabajador alcanzable por la empresa es: x = f(l, K), (1) L y su coste en capital por trabajador es: rk/l, donde r es el precio del capital (la tasa de interés). De esta forma, fijado un nivel x (positivo) de producción por trabajador, la empresa calcula el coste mínimo en capital por trabajador de esta producción, que denotaremos: C(x), como el valor mínimo de la función: (L, K) rk/l, con la restricción: x = f(l, K)/L. Esta minimización puede llevarse a cabo con una restricción adicional que fije alguno de los dos factores, o bien sin más 43

4 restricciones, según opere la empresa a corto o a largo plazo, respectivamente. En particular, la empresa puede operar a corto plazo con el factor capital fijo: K = K (con K >0), o con el factor trabajo fijo: L = L (con L >0). En cualquiera de los casos (corto o largo plazo) la función de costes C es suficientemente regular y verifica: C > 0yC > 0 1. Antes de explicitar la función objetivo de la empresa, nos interesa detallar un resultado específico del comportamiento a corto plazo con el capital fijo: Resultado previo. En las condiciones anteriores, supongamos que la empresa opera a corto plazo con el factor capital fijo: K = K. Si la empresa aumenta su producción por trabajador, necesariamente disminuye su producción total y su nivel de utilización del factor trabajo. Demostración. El volumen de producción por trabajador: x, est relacionado con la cantidad de factor trabajo: L, por la igualdad (1), que al considerar el capital fijo: K = K, toma la forma: x = f(l, K). L Esta última igualdad expresa explícitamente x en función de L: L x(l); esta función, de acuerdo con las hipótesis sobre f, es derivable en cada punto L, y de derivada: dx(l) dl = f L (L, K)L f(l, K) L 2. Ahora bien, se tiene: L R +,f L(L, K)L f(l, K) < 0. (2) En efecto. Si fijamos L>0 y aplicamos a la función s f(s, K) el teorema del valor medio sobre el intervalo [0,L], se obtiene: f(l, K) f(0, K) =f L(λ, K)L para algún λ (0,L), de donde: f(l, K) =f L(λ, K)L >f L(L, K)L, 44

5 pues la función s f L (s, K) es estrictamente decreciente (al ser f LL < 0). Efectivamente se verifica (2), y por tanto: dx(l)/dl < 0 para cada L>0. Por otra parte, el hecho de que al aumentar la producción por trabajador disminuya la producción total es una consecuencia de que disminuya el nivel de utilización del factor trabajo y de: f L > 0. c.q.d. Designemos por P el precio unitario de venta del producto. El rendimiento neto que la empresa obtiene por trabajador al producir x unidades de output por trabajador (con x 0) es: π(x) =Px C(x). La empresa busca maximizar la función π (sobre R + ), y su variable de decisión es el volumen de producción por trabajador: x. La condición necesaria de primer orden de solución interior es: P = C (x), y la suficiente de segundo orden: C (x) > 0, que ya sabemos se satisface autom ticamente. Este tipo de empresa que estamos considerando en el modelo habitual bajo certidumbre escoge, pues, un nivel de producción por trabajador tal que su coste en capital por trabajador marginal iguale el precio. 3 El modelo: incertidumbre en el precio y un mercado de futuros Consideramos una empresa como la descrita en la sección 2, y suponemos que se enfrenta a una incertidumbre en el precio al cual podrá vender su producto en el mercado. Más en concreto, suponemos que el precio es una variable aleatoria real P, no negativa y no degenerada, con una distribución conocida (por la empresa) y media µ>0. La empresa debe tomar sus decisiones de producción antes de la fecha de la venta del producto, momento en que se resuelve la incertidumbre. A la vez que la empresa decide cu nto producir, también puede operar, tanto 45

6 vendiendo como comprando, en un mercado de futuros que suponemos existe para el producto. El precio unitario en este mercado, que designaremos por b, es conocido (no incierto) en el momento de la decisión 2. La actitud de la empresa frente al riesgo está por una función de utilidad u, que supondremos suficientemente regular y tal que: u > 0yu < 0. En particular, la empresa presenta aversión al riesgo 3. La empresa busca maximizar el rendimiento neto por trabajador, o más precisamente: la utilidad esperada de este rendimiento. Si, por trabajador, la empresa produce x unidades de output y opera vendiendo o comprando con h futuros, entonces obtiene como rendimiento neto por trabajador 4 : π(x, h) =P (x h)+bh C(x). En consecuencia, la empresa busca maximizar: U(x, h) =E [ u ( π(x, h) )]. El problema de decisión de la empresa es, pues, un problema de optimización (sin restricciones) de una función de dos variables sobre el conjunto R + R. Las condiciones necesarias de primer orden de solución interior son: U x(x, h) =E [ u ( π(x, h) ) (P C (x) )] = 0 (3) y U h(x, h) =E [ u ( π(x, h) ) (b P ) ] =0. Suponemos, a partir de ahora, existe una solución óptima interior (x,h ) (en particular: x > 0) para este problema. Es decir, suponemos que la empresa escoge un nivel óptimo de producción por trabajador: x, que es positivo, y un volumen óptimo de operaciones a plazo por trabajador: h. Si en el problema de optimización anterior imponemos la restricción: h = 0, obtenemos formalmente el mismo problema estudiado en Sandmo (1971) para una empresa que maximiza el beneficio (en particular, si en la condición de primer orden (3) hacemos h = 0, obtenemos la misma condición estudiada 46

7 por este autor). Interpretando el resultado fundamental de Sandmo (1971) en términos de producción por trabajador, podemos afirmar: bajo incertidumbre en el precio y aversión al riesgo (y en ausencia del mercado de futuros), la empresa produce por trabajador menos de lo que produciría en el caso de certidumbre con el precio igual al precio esperado. Este resultado tiene una consecuencia en el caso en que la empresa opere a corto plazo con el factor capital fijo (cf. sección 2): la incertidumbre induce un aumento de la producción total y del nivel de utilización del factor trabajo 5. La existencia del mercado de futuros modifica la situación sustancialmente. Antes de ver los resultados, debemos observar que el problema de optimización que estamos considerando es formalmente el mismo que se estudia en Álvarez (1999) (y por ende el que se plantea en Holthausen (1979)); de hecho, para enfatizar esta coincidencia formal utilizamos los mismos símbolos 6. En particular, no ser necesario demostrar aquí ningún resultado, sino tan sólo remitirse a la prueba correspondiente en el artículo citado. En primer lugar, caracterizamos la producción óptima por trabajador: Resultado 1. Se verifica: b = C (x ). Este resultado establece que la empresa elige el nivel de producción por trabajador como si el precio fuera conocido con certidumbre e igual al precio a plazo: b. Una consecuencia inmediata es que la producción por trabajador es indiferente, por ejemplo, a la distribución del precio oalaaversión al riesgo. Otra consecuencia es la siguiente. Supongamos que el mercado de futuros es altamente competitivo, de forma que el precio esperado: µ, es aproximadamente igual al precio a plazo (sobre este detalle, véase Hey (1981b, p. 755)). Entonces, comparando con el comportamiento de la empresa bajo incertidumbre en ausencia del mercado de futuros (en este caso produce por trabajador menos de lo que produciría bajo certidumbre con el precio igual a µ), podemos afirmar: la introducción del mercado de futuros induce a la empresa a aumentar su producción por trabajador. Si la empresa opera a corto plazo con el factor capital fijo, podemos adicionalmente afirmar que 47

8 la introducción del mercado de futuros induce a la empresa a disminuir su producción total y el nivel de utilización del factor trabajo. En segundo lugar, mostramos cómo la relación entre el precio esperado y el precio del futuro influye en las decisiones sobre las operaciones a plazo: Resultado 2. Si µ>b, entonces h <x ;siµ = b, entonces h = x ;y si µ<b, entonces h >x. Podemos, pues, afirmar: si µ>b, entonces la empresa decide cubrir parte de su producción por trabajador (0 <h <x ), o no entrar en absoluto en el mercado de futuros (h = 0), o especular comprando en este mercado (h < 0); si µ = b, entonces la empresa decide cubrirse totalmente (h = x ); y, finalmente, si µ<b, decide especular vendiendo a futuro, por trabajador, más de lo que produce (h >x ). Un tercer resultado nos informa cómo influye una variación en la aversión al riesgo en las decisiones de cobertura. Para estudiar el efecto, debemos considerar dos empresas en las condiciones del modelo, una con utilidad u y la otra con una utilidad v. Como la única diferencia entre ellas está ensu función de utilidad (de Bernoulli), ambas escogen el mismo nivel óptimo de producción por trabajador. En el resultado siguiente se comparan los volúmenes óptimos de cobertura por trabajador escogidos por ambas empresas denotados: h u y h v, respectivamente bajo la hipótesis de que la primera presenta una aversión absoluta al riesgo mayor que la segunda. Resultado 3. Bajo la hipótesis: s R, r u (s) >r v (s), se verifica que h u > h v cuando µ>b, y que h u <h v cuando µ<b. En el siguiente resultado consideramos unos costes fijos y estudiamos la influencia de su variación en las operaciones a plazo. Consideramos, pues, que la empresa opera a corto plazo (con el capital fijo), y que el coste en capital por trabajador C(x) (de producir x unidades por trabajador) se descompone en un coste variable c(x) más un coste fijo B: C(x) =c(x)+b. 48

9 Supongamos que al aumentar el coste fijo de B a B 1 la empresa decide pasar del volumen h de operaciones en el mercado de futuros a un volumen h 1. Entonces: Resultado 4. Bajo la hipótesis de que la medida de Arrow Pratt de la aversión absoluta al riesgo: r u, es una función estrictamente decreciente, se tiene: h <h 1 cuando µ>b,yh >h 1 cuando µ<b. Finalmente, ampliamos el modelo suponiendo existe un impuesto proporcional sobre el rendimiento neto por trabajador a un tipo τ (con 0 <τ<1), de forma que tal rendimiento después de impuestos es: π τ (x, h) =(1 τ) ( P (x h)+bh C(x) ), y la empresa busca un nivel de producción por trabajador x τ y un volumen de operaciones a plazo por trabajador h τ con los que maximizar: U τ (x, h) =E [ u ( π τ (x, h) )]. La producción óptima por trabajador no varía al considerar el impuesto: x τ = x ;sí varía, sin embargo, el nivel de cobertura, y depende del tipo del impuesto: Resultado 5. Bajo la hipótesis de que la medida de Arrow Pratt de la aversión relativa al riesgo: R u, es una función estrictamente decreciente, al aumentar el tipo del impuesto se verifica que h τ aumenta si µ>b,y disminuye si µ<b. Bibliografía 1. Álvarez, A. A. (1999): Sobre un modelo de Holthausen para la empresa competitiva bajo incertidumbre en el precio. Actas de las VII Jornadas de ASEPUMA, pp Hey, J. D. (1981a): A unified theory ofthe behaviour ofprofitmaximizing, labor-managed and joint-stock firms operating under uncertainty. The Economic Journal, vol. 91, junio, pp

10 3. Hey, J. D. (1981b): Hedging and the competitive labor-managed firm under price uncertainty. The American Economic Review, vol. 71, no. 4, pp Holthausen, D. M. (1979): Hedging and the competitive firm under price uncertainty. The American Economic Review, vol. 69, no. 5, pp Mas-Colell, A., M. Whinston, y J. Green (1995): Microeconomic Theory. Oxford University Press, Nueva York. Capítulo Sandmo, A. (1971): On the theory ofthe firm under price uncertainty. The American Economic Review, vol. 61, pp Simon, C. P. y L. Blume (1994): Mathematics for Economists. Norton, Nueva York. Sección Notas: 1. En Hey (1981a) pueden consultarse detalles sobre el cálculo efectivo de C y C. Sobre el problema de la regularidad, puede consultarse Simon y Blume (1994). 2. A los efectos de este artículo (y de acuerdo con los trabajos de Holthausen (1979), o Álvarez (1999)), por vender en este mercado de futuros un volumen igual a h (o, simplemente, vender h futuros) entenderemos recibir un efectivo igual a bh, en el momento en que se toma la decisión, a cambio de comprometerse a entregar h unidades de producto en la fecha en que se lleva a cabo la venta; por comprar entenderemos la operación contraria. 3. De acuerdo con la nomenclatura de Mas-Colell, Whinston y Green (1995), la función u es la función de utilidad de Bernoulli. 4. La cantidad de producto es no negativa: x 0, y el volumen h de las operaciones a plazo puede ser teóricamente un número real cualquiera: si es positivo, la operación se interpreta como una venta, y si es negativo, como una compra. Por otra parte, recuérdese que C(x) designa el coste mínimo en capital por trabajador consistente con la producción de x unidades de output por trabajador (cf. sección 2). 5. En Hey (1981a) se estudia este modeloy se extiende el modelo de Sandmo (1971) que está basado en una empresa maximizadora del beneficio al tipo de empresa que estamos considerando, y lleva a cabo un estudio muy completo de distintas propiedades de estática comparativa. 50

11 6. En concreto, los símbolos cuyo significado difiere son: C, x y h. EnÁlvarez (1999) designaban, respectivamente, coste total, producción total y volumen de operaciones a plazo; en el modelo que ahora nos ocupa, coste en capital por trabajador, producción por trabajador y volumen de operaciones a plazo por trabajador. 51