Estructura de la frontera de un conjunto convexo. Los politopos

Transcripción

1 Capítulo 2 Estructura de la frontera de un conjunto convexo. Los politopos Cuando hablamos de polígonos y poliedros (cubos, prismas, etc.) es bien conocido por todos el significado de los términos vértice o cara. Sin embargo, estos conceptos resultan menos intuitivos si nos estamos refiriendo a un conjunto convexo (cerrado) genérico. El estudio de la frontera de un conjunto convexo resulta de gran importancia, pues determinados puntos (o estructuras) de la frontera capturan una gran cantidad de información sobre el propio conjunto (tanto en dimensión finita como infinita). Los poliedros (politopos convexos tridimensionales), especialmente los regulares, han fascinado a la humanidad desde la antigüedad. La construcción de los cinco sólidos regulares en R 3 (tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro) en el Libro XIII, fue uno de los puntos más relevantes del famoso Los Elementos de Euclides ( A.C.). Estos poliedros reciben el nombre de sólidos platónicos, debido a que Platón ( A.C.) hace mención expresa de ellos en el Timeo, uno de sus diálogos. En él exponía sus ideas sobre estos sólidos, siendo también conocidos como los cuerpos cósmicos ya que representaban la composición y armonía de las cosas: la Tierra estaba formada por átomos agrupados en forma de cubos, pues éste es el poliedro más sólido de los cinco ; el fuego, de tetraedros, ya que éste es el elemento más pequeño, ligero, móvil y agudo ; el aire, de octaedros, por ser el de tamaño, peso y fluidez, en cierto modo intermedios ; y el agua, de icosaedros: éste es el más móvil y fluido de los elementos; debe tener como forma propia o semilla, el icosaedro, el sólido más cercano a la esfera y, por tanto, el que con mayor facilidad puede rodar ;

2 22 Estructura de la frontera de un conjunto convexo. Los politopos finalmente, el universo (o éter) estaba figurado en el dodecaedro: la forma del dodecaedro es la que los dioses emplean para disponer las constelaciones en los cielos; Dios lo utilizó para todo cuando dibujó el orden final. Figura 2.1: Representación de 5 los elementos en los cuerpos cósmicos, según Platón. La primera demostración conocida del hecho de que sólo existen 5 poliedros regulares en R 3 se remonta a los pitagóricos (Pitágoras, A.C.), y podría resumirse como sigue: Obsérvese en primer lugar que cada vértice debe ser común, al menos, a tres caras para que se forme un sólido. Además, la suma de los ángulos interiores de las caras que se encuentran en cada vértice debe ser menor que 360 (la figura se cierra, no es plana). Así pues, las distintas posibilidades son: Los ángulos del triángulo equilátero miden 60. Por tanto, en un vértice pueden concurrir 3, 4 ó 5 de ellos. Así se obtienen el tetraedro, el octaedro y el icosaedro. Los ángulos del cuadrado miden 90. En consecuencia, sólo pueden concurrir 3 en cada vértice. Esto nos proporciona el cubo. Los ángulos del pentágono regular valen 108. Poniendo 3 de ellos en cada vértice se obtiene un dodecaedro. Con los siguientes polígonos no es posible formar poliedros regulares: los ángulos interiores de una hexágono miden 120 o y no es posible poner tres juntos sin llegar al límite de 360 o ; los ángulos interiores de los siguientes son mayores. Muchos piensan que los pitagóricos fueron los primeros en observar este hecho, aunque su historia es mucho más antigua: los arqueólogos han hallado imágenes de los sólidos en piedra considerablemente más remotas. Figura 2.2: Tierra, fuego, universo, agua y aire. Figuras recogidas en un yacimiento neoĺıtico de Escocia ( A.C.).

3 2.1 La estructura facial de un conjunto convexo. 23 Ya en el siglo XVI, en su tratado Mysterium Cosmographicum, Kepler ( ) defendía la idea de que las órbitas (circulares) de los planetas estaban en proporción con los radios de las esferas inscritas en sólidos platónicos dispuestos uno dentro de otro. Sólo tras conocer los resultados de las observaciones de Tycho Brahe, Kepler concluyó que tal modelo era erróneo y que los planetas se movían describiendo trayectorias elípticas. En los propios comentarios y grabados de la obra de Kepler antes citada se puede observar cómo aún sobrevivía en esta época tan tardía la asociación entre elementos y poliedros establecida por Platón. La investigación de los politopos convexos en dimensión tres ha sido una de las principales fuentes de la Teoría de Figura 2.3: Representación del universo de Grafos Planos, y gracias al buen desarrollo de esta teoría, los Kepler. poliedros son, relativamente, bien conocidos. Sin embargo, los politopos en dimensión cuatro y superior suponen un desafío considerablemente mayor para los matemáticos, lo que ha supuesto el desarrollo de una teoría sorprendentemente profunda y compleja, fundamentalmente de naturaleza algebraica, en un intento por entender su estructura. Además del gran interés que tienen por sí mismos, los politopos juegan un papel esencial en muy diversos campos, como en la ya mencionada Teoría de Grafos, en Cristalografía, para medir conjuntos convexos, en Programación Lineal, en Teoría de Juegos o en Geometría Combinatoria, entre otros La estructura facial de un conjunto convexo. Sumario. Caras i-dimensionales. Caras expuestas. Cono soporte y cono normal de K en un punto x. Vector normal exterior. Puntos r-singulares y puntos regulares Sin duda alguna, todos estamos familiarizados con el término cara cuando éste se aplica a los poliedros convexos, tales como cubos, prismas triangulares, pirámides cuadrangulares, etc. En la presente lección vamos a introducir el concepto de cara para conjuntos convexos (cerrados) arbitrarios, lo que nos permitirá describir la estructura de la frontera relativa de un conjunto convexo. Definición 2.1. Una cara de un conjunto convexo cerrado K de R n es un subconjunto convexo F de K de forma que, siempre que λx + (1 λ)y F, donde x, y K y 0 < λ < 1, entonces ambos puntos x, y F.

4 24 Estructura de la frontera de un conjunto convexo. Los politopos O, dicho de otro modo, una cara de K es un subconjunto convexo F K tal que cada segmento está contenido en F. [x, y] K con F relint[x, y] Se considera que tanto el conjunto vacío como el propio conjunto K son caras de K, denominadas caras impropias de K; todas las demás caras se dicen propias. Además, para hacer referencia a la dimensión de las caras se hablará de i-caras del conjunto. En lo sucesivo, representaremos por F (K) el conjunto de todas las caras del conjunto K, y por F i (K) el conjunto de todas las caras i-dimensionales de K. Algunas propiedades elementales, que se deducen directamente de la definición son las siguientes: Las 0-caras son los puntos extremos del conjunto. Las caras de un conjunto convexo cerrado K son cerradas. Si F K es una cara de K, entonces F relint K =. En particular, F relbd K y dim F < n. Proposición 2.2. Si K es un conjunto convexo cerrado de R n : i) La intersección de cualquier colección no vacía de caras de K es una cara de K. ii) Si F es una cara de K y G es una cara de F, entonces G también es una cara de K. iii) Si F 1, F 2 F (K) son dos caras distintas de K, entonces relint F 1 relint F 2 =. Esto permite deducir además que el sistema { relint F : F F (K) } es una descomposición disjunta de K. Si H es un hiperplano soporte al conjunto K, entonces H K es una cara de K. Esto nos permite establecer la siguiente definición: Definición 2.3. La intersección de un conjunto convexo cerrado K de R n con uno de sus hiperplanos soporte recibe el nombre de cara expuesta de K (o i-cara expuesta de K). De nuevo, los conjuntos y K se consideran caras expuestas y se denominan impropias. Al igual que ocurría para las caras de un conjunto convexo cerrado K (véase la Proposición 2.2), se puede demostrar que: Proposición 2.4. La intersección de cualquier colección no vacía de caras expuestas de K es una cara expuesta de K. Sin embargo, la propiedad (ii) de la Proposición 2.2 no tiene contrapartida para las caras expuestas: una cara expuesta G de una cara expuesta F del conjunto K no tiene por qué ser, necesariamente, una cara expuesta de K.

5 2.1 La estructura facial de un conjunto convexo. 25 Definición 2.5. Sean K un cuerpo convexo y x un punto de K. Definimos el conjunto P (K, x) := { λ(y x) : y K, λ > 0 } = λ>0 λ(k x). Entonces S(K, x) = cl P (K, x) recibe el nombre de cono soporte de K en x. Claramente P (K, x) es un cono convexo, y además, P (K, x) = aff K x si, y sólo si, x relint K. Evidentemente, el cono soporte S(K, x) puede representarse de la forma S(K, x) = H (K, u) x, x H(K,u) donde la intersección se toma sobre todas las direcciones u S n 1 para las que x se encuentra en el hiperplano soporte H(K, u) (si x relint K, se adopta el convenio usual de que la intersección de una familia vacía de subconjuntos de R n es igual a R n ). Definición 2.6. Se define el cono normal de K en x como N(K, x) := { u R n \{O} : x H(K, u) } {O}. Si x K H(K, u), entonces se dice que u es un vector normal exterior a K en x. Por lo tanto, N(K, x) no es otra cosa que el conjunto de todos los vectores normales exteriores a K en x junto con el vector nulo. Claramente, N(K, x) es un cono convexo cerrado, y además N(K, x) = S(K, x), esto es, N(K, x) y S(K, x) son conos convexos duales. Un hecho interesante es que el cono normal está estrechamente relacionado con la proyección métrica: el Lema 1.17 nos aseguraba que si x K, entonces el hiperplano H que pasa por el punto más próximo p(k, x) = p K (x), ortogonal al vector u(k, x), soporta K; de aquí se deduce que N(K, x) = p 1 K (x) x. El siguiente resultado describe el comportamiento de los conos soporte y normal respecto a la suma y la intersección de conjuntos. Teorema 2.7. Sean K y L dos cuerpos convexos de R n. i) Si x K e y L, entonces S(K + L, x + y) = S(K, x) + S(L, y), N(K + L, x + y) = N(K, x) N(L, y). ii) Si x K L y relint K relint L, entonces S(K L, x) = S(K, x) S(L, x), N(K L, x) = N(K, x) + N(L, x).

6 26 Estructura de la frontera de un conjunto convexo. Los politopos Los conos normales conducen, de forma natural, a una clasificación de los puntos singulares de la frontera de un cuerpo convexo. Definición 2.8. Sea K un cuerpo convexo con O int K y sea x un punto de la frontera de K. Decimos que x es un punto r-singular de K si dim N(K, x) n r. Un punto (n 2)-singular se denomina, simplemente, punto singular. En particular, un punto 0-singular verifica que dim N(K, x) = n, y es lo que se conoce comúnmente por un vértice de K. Si el hiperplano soporte a K en x es único, es decir, si x es no singular, entonces x se llama regular. En consecuencia, el cuerpo convexo K se dice regular si todos sus puntos frontera son regulares Los politopos. Sumario. Los k-politopos. Los sólidos platónicos. Paralelotopos, k-símplices y k-crosspolitopos. Vértices, aristas y caras de un politopo. Politopos simpliciales y simples. Zonotopos. Teorema Principal de los Politopos. La fórmula de Euler- Poincaré. Aproximación por politopos. Se define un politopo como la envoltura convexa de un conjunto finito (posiblemente vacío) de puntos en R n. Es por tanto la generalización natural de un polígono en el plano y un poliedro en dimensión tres. De forma más general, se da el nombre de k-politopo a un politopo de dimensión k. Además de los famosos sólidos platónicos, conocemos ya algunos ejemplos sencillos de politopos: i) Los paralelotopos: politopos generados mediante la suma de un número finito de vectores linealmente independientes de R n. Entre ellos, los más sencillos son los cubos: un cubo n-dimensional no es más que el producto cartesiano [ 1, 1] n. ii) Los k-símplices: politopos generados por la envoltura convexa de k + 1 puntos afínmente independientes. iii) Los crosspolitopos: en general, un crosspolitopo k-dimensional es la envoltura convexa de k segmentos linealmente independientes en R n cuyos puntos medios coinciden. Tal crosspolitopo se dice regular si todos los segmentos tienen la misma longitud y son además mutuamente ortogonales. Si P es un politopo, se denominan vértices, los puntos extremos de P, aristas o lados, las 1-caras de P, y simplemente

7 2.2 Los politopos. 27 caras, las caras (n 1)-dimensionales de P. Existen además dos clases muy importantes de politopos: los llamados simpliciales y los simples. Definición 2.9. Un politopo de R n se dice simplicial si todas sus caras (propias) son símplices, es decir, si toda cara (n 1)-dimensional tiene n vértices. Un politopo de R n se dice simple si todo vértice está contenido en n caras (n 1)-dimensionales. Estos dos conceptos están ligados por la polaridad: si dos politopos P y Q son duales, entonces uno de ellos es simple si, y sólo si, el otro es simplicial, y viceversa La estructura facial de un politopo. Los vértices de un politopo P = conv{x 1,..., x k } son los puntos extremos de P, y coincidiesen a su vez con los puntos x 1,..., x k si, y sólo si, para cada i = 1,..., k, x i conv j i x j. Los politopos son los cuerpos convexos que tienen una cantidad finita de puntos extremos. Otras propiedades de los politopos son las siguientes: Si H es un hiperplano soporte de un politopo P = conv{x 1,..., x k }, entonces H P = conv ( H {x 1,..., x k } ), y por tanto la intersección H P es un politopo. Es innecesaria la distinción entre caras y caras expuestas: en efecto; se demuestra que toda cara propia de un politopo P es la intersección de P con algún hiperplano soporte H a P. En particular, cada punto extremo de un politopo es un punto expuesto. Además si F es una cara propia de P, como existe un hiperplano H con F = H P = conv ( H {x 1,..., x k } ), se puede concluir que toda cara es la envoltura convexa de un subconjunto de los vértices. Si P y Q son dos politopos en R n y α R, entonces P + Q y αp son también politopos. En particular: Definición La suma vectorial de un número finito de segmentos en R n es un politopo que recibe el nombre de zonotopo. Un politopo se ha definido como la envoltura convexa de un número finito de puntos. De manera alternativa, se puede ver como la intersección de un número finito de semiespacios:

8 28 Estructura de la frontera de un conjunto convexo. Los politopos Teorema Todo politopo es la intersección de una cantidad finita de semiespacios cerrados. Teorema Toda intersección acotada de una cantidad finita de semiespacios cerrados es un politopo. La caracterización de los politopos establecida por los Teoremas 2.11 y 2.12 suele recibir el nombre de Teorema Principal de los Politopos. Lema El cuerpo polar de un politopo es de nuevo un politopo. Por ejemplo, si consideramos los cinco sólidos platónicos, se tiene que el cubo y el octaedro son politopos duales, que el dodecaedro y el icosaedro son también polares y que el tetraedro es dual de sí mismo. La siguiente elegante construcción, puramente geométrica, del dodecaedro a partir del icosaedro (y viceversa) permite intuir esa dualidad existente entre ambas figuras: Imaginemos dos pentágonos regulares y horizontales, situados uno sobre el otro, y rotemos el superior, dentro de su plano, un ángulo de 36. Conectemos entonces los vértices mediante 10 triángulos isósceles, lo que nos da un poliedro que, usualmente, recibe el nombre de antiprisma. Claramente, para una distancia adecuada entre los pentágonos, dichos triángulos serán equiláteros. Finalmente, sustituyamos los dos pentágonos por sendos capuchones formados por 5 triángulos equiláteros. Hemos construido un icosaedro. Si ahora conectamos los puntos medios de las caras triangulares adyacentes, obtenemos los 12 pentágonos regulares que forman las caras del dodecaedro. Ya sabemos que toda cara de un politopo P es la envoltura convexa de un subconjunto de sus vértices. Sea V el conjunto de los vértices de P. La pregunta surge entonces de forma natural: Qué subconjuntos W del conjunto de los vértices V van a determinar una cara de P? El siguiente resultado proporciona la respuesta a la cuestión anterior: Proposición Sea W un subconjunto del conjunto de los vértices V de un politopo P. Entonces conv W es una cara de P si, y sólo si, (aff W ) conv(v \W ) =. De forma general, se establece el siguiente teorema sobre la estructura facial de los politopos: Teorema 2.15 (La estructura facial). Si F (P ) es el conjunto de todas las caras de un politopo P, entonces: i) Para cualesquiera dos caras F y G de F (P ), la intersección F G es una nueva cara de P que incluye todas las caras que están contenidas tanto en F como en G. ii) Para cualesquiera dos caras F y G de F (P ), existe una cara de P, denominada la cara común de F y G, que contiene a ambas, y que está incluida a su vez en cualquier otra cara que contenga, tanto a F como a G.

9 2.2 Los politopos La fórmula de Euler. En 1752, Euler descubrió que, para los politopos 3-dimensionales, se verificaba la hoy conocida fórmula f e + v = 2, donde f representa el número de caras, e el número de aristas y v el número de vértices del politopo. El caso general fue demostrado por Poincaré en 1899, por lo que dicha relación se conoce a menudo con el nombre de fórmula de Euler-Poincaré. Vamos a representar por f r (P ) el número de r-caras que presenta un n-politopo P de R n para r = 1, 0, 1,..., n, donde f 1 (P ) = f n (P ) = 1. De forma general, si r < 1 ó r > n se considera que f r (P ) = 0. Teorema 2.16 (La fórmula de Euler-Poincaré, ). Sea P un m-politopo no vacío en R n. Entonces m 1 ( 1) r f r (P ) = 1 ( 1) m Aproximación de cuerpos convexos por politopos. r=0 Dado que disponemos de una métrica en la familia K n de los cuerpos convexos de R n, la métrica de Hausdorff, podemos estudiar la aproximación de cuerpos convexos arbitrarios por otros particulares. La aproximación de cuerpos convexos generales por politopos es una herramienta extremadamente útil en numerosas investigaciones. Vamos a señalar aquí únicamente los hechos más básicos referentes a la aproximación por politopos. Teorema Sean K un cuerpo convexo de R n y ε > 0. Entonces, existe un politopo P K n verificando que P K P + εb n, y por tanto, con δ(p, K) ε. Teorema 2.18 (Teorema de aproximación). Sea K un cuerpo convexo de R n que contiene el origen en su interior. Entonces, para cada λ > 1, existe un politopo P K n verificando que P K λp.

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