TEMAS 1 y 3.- NÚMEROS REALES Y ÁLGEBRA- 1

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1 1º Bachillerato - Matemáticas I Dpto de Matemáticas- I.E.S. Motes Orietales (Izalloz)-Curso 2011/2012 TEMS 1 y 3.- NÚMEROS RELES Y ÁLGEBR TIOS DE NÚMEROS. ROXIMCIONES DECIMLES Tipos de úmeros (ágs 26,27,28 y 42) Números racioales: Q. So todos los úmeros que se puede escribir e forma de fracció. Recuerda que ua fracció es el cociete idicado de dos úmeros eteros. or tato, Q = { a b / a, b Z, b 0 } demás, si e ua fracció el umerador es divisible por el deomiador se obtiee u úmero etero. - Números racioales o eteros. So todas las fraccioes que NO da lugar a úmeros eteros. Cuado calculamos su expresió decimal siempre obteemos u úmero decimal exacto o periódico. Hay varios tipos de úmeros racioales: - Números eteros: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} El cojuto de los úmeros eteros está formado a su vez por los úmeros aturales N = {0, 1, 2, 3,...} y sus opuestos Z - = {-1,-2,-3, }, llamados eteros egativos Todos estos úmeros so racioales porque los podemos expresar e forma de fracció. Números irracioales: I = Números que NO se puede expresar e forma de fracció. or ejemplo, π, las raíces o exactas, etc Los irracioales tiee ua expresió decimal ilimitada o periódica. Números reales: R. Está formado por los úmeros racioales y los irracioales Números o reales (llamados úmeros complejos). rocede de hallar raíces cuadradas de úmeros egativos Ejercicio ág 28 : El proximacioes de úmeros (ágs 37,38,39 y 42) proximar u úmero real es tomar otro úmero próximo a él. Si sólo coocemos el valor aproximado, etoces Las aproximacioes más comues so: el redodeo y el trucamieto e < k 2 = cota de error Cuado tomamos ua aproximació de u úmero, se llama orde de aproximació al orde de la última cifra decimal que se toma. El orde de aproximació lo vamos a represetar co la letra k or ejemplo, si la aproximació tiee 1 cifra decimal, k = 1 décima = 0,1 ; si tiee 2 cifras, k = 1 cetésima = 0,01; etc El error absoluto de ua aproximació: e = v r - v a, siedo v r el valor real y v a el valor aproximado Si el valor real tiee ifiitas cifras, etoces e < k = cota de error El error relativo de ua aproximació es el cociete etre el error absoluto y el valor exacto: e e R =. vr El error relativo o lleva uidades y se suele expresar e forma de porcetaje, llamado error porcetual ág 38 : El 1 - Luis ha redodeado el úmero 2,75 a las décimas y a ha trucado el úmero 283 a las deceas. Calcula el porcetaje de error relativo que ha cometido cada uo y explica qué aproximació es la mejor, la de Luis o la de a - Si tomas como valor de 11 la aproximació 3,316, qué cota de error absoluto y relativo has cometido? 1

2 1º Bachillerato- Matemáticas I Dpto de Matemáticas- I.E.S. Motes Orietales (Izalloz)-Curso 2011/ OLINOMIOS Divisió de poliomios. Regla de Ruffii Divisió etre moomios: x m : Bx = ( : B) x m - Divisió de poliomios: Q R C = dividedo, Q = Divisor, C = cociete, R = resto. Se cumple que = Q. C + R Si la divisió es exacta (R = 0), etoces es divisible por Q y se cumple que = Q.C Regla de Ruffii: Es u método para dividir u poliomio etre u biomio del tipo x + a ó x - a. Este método es mucho más rápido que el método tradicioal. 1 verigua si la divisió : Q es exacta y haz la prueba de la divisió, siedo = (3x 2 2x) 2 + x 3 - (2x+1)(2x 1) Q = 2 x 2 2 Cuáto ha de valer a y b para que la siguiete divisió sea exacta? (x 4 5x 3 + 3x 2 + ax + b) : (x 2 5x + 1) 3 Usado la regla de Ruffii, averigua cuáto debe valer m para que el resto de la divisió (mx 2 x 3 + 3):(x+2) valga -9. ara el valor de m hallado, idica cuál es el cociete de la divisió Factorizació de poliomios.(ágs 70 y 71) Raíz de u poliomio Si el valor umérico de u poliomio para x = a es cero, se dice que a es ua raíz del poliomio Las raíces eteras de u poliomio siempre so divisores del térmio idepediete del poliomio. Luego para hallar las raíces eteras de u poliomio buscamos de etre los divisores del térmio idepediete aquellas que da valor umérico 0. odemos hallar el valor umérico usado el teorema de resto, que dice: El valor umérico de u poliomio (x) para x = a coicide co el resto de la divisió (x) : (x - a). Factorizar u poliomio es expresarlo como producto de otros poliomios del meor grado posible Hay varios métodos para factorizar u poliomio: 1) Método de "sacar factor comú". Se usa cuado el poliomio o tiee térmio idepediete. Se saca factor comú el mcd de todos los coeficietes y la meor potecia de x que aparezca e el poliomio. 2) Método de las igualdades otables. Se usa cuado el poliomio se puede expresar como cuadrado de ua suma, cuadrado de ua resta o suma por diferecia. 3) Método de la divisió. Se usa cuado o se puede aplicar los métodos ateriores. Se halla ua raíz " a " del poliomio y se divide el poliomio etre (x - a), etoces (x) = (x a ). C(x), Después se vuelve a repetir el proceso co el cociete obteido. El método acaba cuado el cociete o tega raíces eteras o tega grado 1 ág. 71: El 1 y 2 ; ág. 92: El FRCCIONES LGEBRICS Ua fracció algebraica es aquella que lleva algua letra e el deomiador Simplificació de fraccioes algebraicas (ágs 72 y 88) ara simplificar ua fracció algebraica, se factoriza umerador y deomiador y después se simplifica los factores que se repita e umerador y deomiador. Tambié se puede simplificar dividiedo umerador y deomiador por el mcd Ejercicio ág. 92 : El 4-2 -

3 1º Bachillerato- Matemáticas I Dpto de Matemáticas- I.E.S. Motes Orietales (Izalloz)-Curso 2011/ roducto, cociete y potecia de fraccioes algebraicas (ág 74) roducto: Q. R S = R QS otecia: Q = Q Cociete: Q : R S = Q. S R = S QR ág. 74: El 3 y Suma y resta de fraccioes algebraicas (ág 73) - Co el mismo deomiador: Q + R Q = + R Q - Co distito deomiador: E este caso, se reduce a comú deomiador usado el mcm de los deomiadores, y se aplica lo aterior. ág. 73: El 1 y Operacioes combiadas co fraccioes algebraicas Se realiza por este orde: 1º) Multiplicacioes 2º) Sumas y restas ág. 92: El 5 y 6 Si hubiese parétesis o corchetes se haría primero las operacioes detro de ellos 4.- RDICLES Cocepto de radical. Solucioes de u radical (ág 31) Si tiees que resolver la ecuació x 5 = 32, sabes que x = 5 32 = se llama radical. (5 es el ídice y 32 es el radicado). E geeral, la solució de ua ecuació del tipo x = a, dode N, 2, se expresa de la forma: x = a y se llama radical o raíz ( es el ídice y a es el radicado) Las raíces o siempre so exactas. or ejemplo, o es exacta porque o hay igú úmero atural que elevado al cubo os de 100. Eso o quiere decir que o se pueda calcular. Se puede hallar ua aproximació por tateo o co la calculadora cietífica or tateo: Buscamos el primer úmero atural que elevado al cubo se pase de 100; este úmero es 5, pues 5 3 = 125. Luego, 4 < < 5 ; Si el ídice es 2, se llama raíz cuadrada y se expresa a El úmero de solucioes de u radical depede del ídice y del radicado Co la calculadora cietífica: 100 x 1/y El resultado es u úmero irracioal. 3 = Radicado positivo Ídice par 2 solucioes opuestas. or ejemplo, 4 81 = ± 3 Ídice impar 1 solució positiva. or ejemplo, = 5 1 verigua cuátas solucioes tiee los siguietes radicales y calcúlalas: a) 81 b) 4 16 c) -9 d) 3 8 e) 3-27 f) Radicado egativo Nigua solució. or ejemplo, solució egativa. or ejemplo, 3-8 = -2 2 Halla co la calculadora las siguietes raíces y expresa el resultado redodeado a las cetésimas: a) 19 b) 4 40 c)

4 1º Bachillerato- Matemáticas I Dpto de Matemáticas- I.E.S. Motes Orietales (Izalloz)-Curso 2011/ Radicales equivaletes. (ág 31) Relació etre radical y potecia: Cualquier radical se puede expresar e forma de ua potecia usado la siguiete fórmula: a m m/ = a Si m es múltiplo de etoces a m/ es ua potecia de expoete etero y por tato el radical da como resultado u úmero racioal. E otro caso, el valor obteido es u úmero irracioal Radicales equivaletes: Dos radicales so equivaletes cuado tiee la misma solució. or ejemplo 5 32 y 3 8 so equivaletes, porque los dos vale lo mismo: 5 32 = 2, 3 8 = 2 mplificar u radical es obteer otro equivalete pero de ídice mayor ara amplificar u radical se multiplica el ídice del radical y el expoete del radicado por el mismo úmero atural o ulo. Esto se puede hacer sólo si el radical tiee solució a m.p = a m.p (p N, p 0) Simplificar u radical es obteer otro equivalete pero de ídice meor ara simplificar u radical se expresa el radicado e forma de potecia de la meor base posible. Después: - Si el expoete es múltiplo del ídice, se pasa a potecia y se calcula dicha potecia - Si el expoete NO es múltiplo del ídice, se pasa a potecia y simplificamos el expoete; luego pasamos la potecia a raíz Reducir varios radicales a comú ídice es obteer otros radicales, todos co el mismo ídice y equivaletes a los iiciales. ara reducir radicales al mismo ídice se toma como ídice comú: p = mcm de todos los ídices Se divide p etre cada ídice y el resultado se multiplica por el expoete del radicado ara ordear radicales se reduce primero a ídice comú y luego se ordea atediedo a los valores de los radicados Tambié se puede ordear calculado ua aproximació decimal co la calculadora ág. 31: El 1 y 2 ; ág. 45: El 10 y 11 ág. 46: El 18, 19 y OERCIONES CON RDICLES Multiplicació y divisió de radicales (ágs 32, 42 y 43) - Si tiee todos el mismo ídice, se deja el mismo ídice y se multiplica o divide los radicados - Si o tuviese el mismo ídice, etoces se reduce a comú ídice y se aplica lo aterior a b c = abc a b = a b ág. 32: El 5, 6 y otecia y raíz de u radical (ág 31) otecia de u radical: Se deja el mismo ídice y el radicado se eleva al expoete de la potecia ( m a ) = a m Como cosecuecia ( a ) = a = a Raíz de u radical: Se multiplica los ídices y se deja el mismo radicado m a m = a ág. 31: El 4 ; ág. 46: El

5 1º Bachillerato- Matemáticas I Dpto de Matemáticas- I.E.S. Motes Orietales (Izalloz)-Curso 2011/ Itroducció y extracció de factores e el radicado. Suma y resta de radicales (ágs 32 y 43) ara itroducir u factor e ua raíz teemos que elevarlo al ídice de la raíz B = B = B ara extraer factores de ua raíz teemos que factorizar el radicado. Sale fuera de la raíz los factores cuyo expoete es múltiplo del ídice Suma y resta de radicales: Sólo se puede sumar o restar térmios e los que aparezca la misma raíz. Si o aparece la misma raíz, la operació se deja idicada veces hay que simplificar el radical o sacar factores fuera para coseguir teer térmios co la misma raíz y poder sumarlos o restarlos ág. 32: El 8 ; ág. 46: El 25, 26 y Racioalizació de deomiadores (ágs 33 y 44) Racioalizar ua expresió radical co algua raíz e el deomiador es trasformarla e otra equivalete pero que NO tega igua raíz e el deomiador. 2º) El deomiador tiee 2 térmios y sólo tiee raíces cuadradas. Los térmios puede estar sumado o restado: Si está sumado: + C s Vamos a ver 2 tipos de racioalizació: Se multiplica, umerador y deomiador, por C s 1º) El deomiador tiee u solo sumado: B C m E este caso, se multiplica, umerador y deomiador por C m Si está restado: C s Se multiplica, umerador y deomiador, por + C s Las expresioes + C s y C s se dice que so cojugadas ua de la otra ág. 33 : El 9 y 10 ; ág. 46: 28 y 29 ágia web del profesor: