Facultad de Informática. Módulo 2 Números. Matemática 0 UNLP. Curso de Ingreso 2013 Matemática 0 Página 1

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1 Fcultd de Iforátic Mteátic 0 UNLP Curso de Igreso 01 Mteátic 0 Pági 1

2 Fcultd de Iforátic Coteido T1. T NÚMEROS NATURALES: (N) Orde Usul 4. NÚMEROS ENTEROS: (Z) 4 4 Regl de los sigos 4 Ley de Mootoí 5 Ejercicio 5 Núeros Pres e Ipres 5 Divisibilidd 5 5. NÚMEROS RACIONALES: (Q) 6 7 Orde e Q 7 4. NÚMEROS IRRACIONALES: (I) 8 5. NÚMEROS REALES: (R) Propieddes 8 5. Poteci de u úero rel y expoete etero Rdicció Rciolizció de Deoidores Potecis de Expoete Rciol Curso de Igreso 01 Mteátic 0 Pági

3 Fcultd de Iforátic MÓDULO Este ódulo tiee por objetivo recordr y clrificr ls propieddes de ls opercioes e los cojutos uéricos que se cosider iprescidibles pr seguir delte. Al filizr el iso el luo debe ser cpz de: ) Idetificr los distitos tipos de úeros b) Aplicr correctete ls propieddes de ls opercioes. 1. NÚMEROS NATURALES: (N) Este cojuto de úeros, que es de crdil ifiito, prece coo su obre lo idic e for turl, ás precisete cudo el hobre ecesitó cotr objetos, por ejeplo: los dís de l se so 7. Este cojuto, sibolizdo co l letr N, tiee coo eleetos: N= { 0,1,,...,0,1,...15,15,... } y est sucesió cotiú idefiidete. Co los turles tbié se puede expresr ordeietos, por ejeplo: se orde los plets prtir del sol, l Tierr es el tercero y Mrte es el curto. Adeás dds dos coleccioes de objetos se puede coprr sus ctiddes: L tierr tiee eos stélites que Júpiter Surge ls siguietes preguts: N tiee prier eleeto?, cuál es?, tiee últio eleeto? Cosidereos ls dos opercioes fudetles e N, su y producto, y veos sus propieddes: 1) L su de dos úeros turles es u úero turl. ) El 0 es tl que sudo co culquier otro úero o lo odific. ) Si se cosider úeros turles l su de los dos prieros ás el tercero result igul que si l priero se le su el resultdo de l su de los otros dos. 4) L su de úeros turles es couttiv. 1) Expresr sibólicete ls 4 propieddes teriorete eucids. Curso de Igreso 01 Mteátic 0 Pági

4 Fcultd de Iforátic ) Eucir ls propieddes del producto de úeros turles, e leguje corriete y sibólicete. ) Cuál es l propiedd que elz l su y el producto de turles? Defiirl. Orde Usul Ddos y b ε N se cuple: < b, > b ó = b.. NÚMEROS ENTEROS: (Z) E N, l rest sólo está defiid si el iuedo es yor o igul l sustredo. Pr que dich operció o se t restrigid se creó el cojuto de eteros egtivos (otdo por - N). Pr ello pr cd ε N se itroduce el opuesto de, otdo - tl que Etoces Z = N U (-N) + (-) = 0 Los úeros egtivos se cosider eores que 0 e el orde usul de los eteros. A los turles se los ll eteros positivos, siedo yores o igules que 0. Iportte Cudo u úero se siboliz co letrs, por ejeplo, l preseci de u sigo - te el iso o sigific que es egtivo sio que es el opuesto de. 1) Eucir ls propieddes de l su y el producto de úeros eteros ) Hllr todos los úeros ivertibles de Z Regl de los sigos Es POSITIVO el producto de dos eteros positivos o egtivos. Es NEGATIVO el producto de u positivo y u egtivo (e culquier orde). (+).(+) = + (+).(-) = - (-).(-) = + (-).(+) = - Curso de Igreso 01 Mteátic 0 Pági 4

5 Fcultd de Iforátic Ley de Mootoí Si, b y c Z y b + c b+ c Ejercicio Ejeplificr l Ley de Mootoí co distits cobicioes e los sigos de, b y c. Núeros Pres e Ipres Detro del cojuto de los eteros se distigue dos subcojutos cuy uió copoe Z, ellos so el cojuto de los úeros pres y el cojuto de los úeros ipres. DEFINICIÓN U úero etero es pr si y sólo si existe u etero k tl que = k. DEFINICIÓN U úero etero es ipr si y sólo si es el siguiete de u úero pr. Por lo tto si es ipr se cuple que = k + 1, co k Z. Divisibilidd Se, b Z, decios que b divide si existe u etero k tl que = k b. 1) Hllr los divisores del 0. ) Justificdo clrete cd pso probr que + b= + c b= c ) Íde ) + b= 0 b= Otro cocepto iportte e l teorí de Núeros Eteros es el de Núero Prio. Curso de Igreso 01 Mteátic 0 Pági 5

6 Fcultd de Iforátic DEFINICIÓN U úero etero se dice prio si tiee exctete 4 divisores: l uidd, el propio úero y sus respectivos opuestos. 1) Se A= { 0,1,,,4,5,6,7,8,9 }.Hllr los eleetos prios de A. Justificr. ) Si u úero es prio, qué se puede decir de su opuesto? ) Hllr l descoposició e prios del úero 40.. NÚMEROS RACIONALES: (Q) L operció de dividir o es siepre posible e el cojuto Z de los úeros eteros. Veos: puede efecturse 1: 4 pues existe u etero, el, tl que 4. = 1. Pero, o ocurre lo iso co 4: 1 ó - : 7, por lo tto est iposibilidd os coduce plir Z defiiedo u cojuto e el que l divisió se relizble e dicho cojuto. Vos defiir hor forlete este uevo cojuto que se deoi cojuto de los úeros rcioles y se siboliz co l letr Q. Q = {/;, ε Z y 0} Los úeros rcioles puede surse, restrse, ultiplicrse y dividirse y el resultdo es u úero rciol. E Q se defie l su y el producto de for que ls propieddes de ests opercioes se coserv: Ddos: c c d + bc c. c y Q se defie l su + = y el producto. = b d b d bd b d b. d Se dice que Ejeplos b c y d so equivletes si y sólo si d = bc. 9 es equivlete ,, so equivletes. Curso de Igreso 01 Mteátic 0 Pági 6

7 Fcultd de Iforátic U operció etre rcioles o se odific si reeplzos uo de ellos por otro que se equivlete. L su tiee ls siguietes propieddes: ) Ley de cierre. b) Asocitiv. c) Couttiv. d) Existeci del eutro. e) Existeci del opuesto. El producto tiee ls siguietes propieddes: ) Ley de cierre. b) Asocitiv. c) Couttiv. d) Existeci del eutro. e) Existeci del iverso pr todo eleeto o ulo. Y por supuesto que existe u propiedd que elz ls dos leyes de coposicioes iters y es l propiedd distributiv. 1) Eucir cd u de ls propieddes teriores sibólicete. ) Hllr el error e el siguiete cálculo: = + 6 pues = Etoces 4 - = 6 y luego ( ) = ( ) = Orde e Q Ddos c b d Q se dice: b es eor o igul que c d y se ot c b d si y sólo si d bc. b es yor o igul que c d c y se ot si y sólo si d bc. b d Curso de Igreso 01 Mteátic 0 Pági 7

8 Fcultd de Iforátic 1) Order de eor yor 1 5 6,,, 1,,,, ) Se - 4 < < ) Hllr ε Z tl que se cupl lo terior b) Ide si ε Q ) Probr que etre dos úeros rcioles distitos, hy otro rciol. 4. NÚMEROS IRRACIONALES: (I) Si u úero o es decil excto o decil periódico, o represet u úero rciol. Este tipo de úeros se ll irrcioles, o se, so quellos que o puede expresrse coo cociete de dos eteros co 0. Etre los ás coocidos figur,, π. 5. NÚMEROS REALES: (R) Se ll úeros reles quellos úeros que so rcioles o irrcioles. Al cojuto de todos ellos lo otreos co R. Sobre R defiios dos opercioes: Su (+) y Producto (.) de l er usul y u relció < de orde. 5.1 Propieddes Aliceos ls propieddes de cd u de ells. Propieddes de l su 1) L su es couttiv. ) L su es socitiv. ) Existe el eleeto eutro de l su. 4) Todo úero rel tiee opuesto. Curso de Igreso 01 Mteátic 0 Pági 8

9 Fcultd de Iforátic Escribir sibólicete ls 4 propieddes teriores. Probr ls siguietes igulddes, resltdo ls propieddes utilizds. ) (-) = b) Si pr u ε R es + b = b = 0 Propieddes de l ultiplicció 5) L ultiplicció es couttiv. 6) L ultiplicció es socitiv. 7) Existe el eleeto eutro de l ultiplicció. 8) Todo úero rel distito de cero tiee iverso. Expresr sibólicete ls propieddes 5) 8) 9) Propiedd Distributiv: Si, b, c ε R,. (b+c)=.b +.c Probr que si 0 y b = c b = c b = 0 = 0 ó b = 0 (-1) = - Resltr ls propieddes utilizds. Propieddes de orde 10) Pr todo ε R, se cuple que: < 0, = 0 ó > 0. 11) Si, b ε R, > 0, b > 0 b > 0. 1) Pr todo, b ε R, si < b b < 0. 1) Ddos, b y c ε R. Probr: ) > b + c > b + c b) > b y c > 0 c > b c c) > b y c < 0 c < b c ) Pr todo, b ε R co > 0 y b > 0, >b <=>. > b. b 5. Poteci de u úero rel y expoete etero Recordeos que si ε R y ε N, 0, etoces = veces. Por coveció si 0, - 1 = Curso de Igreso 01 Mteátic 0 Pági 9

10 Fcultd de Iforátic Y que. = = = 1. Y l regl de ls potecis de igul bse sigue siedo válid. Propiedd de ls potecis. L poteci es distributiv respecto l producto y l cociete. Se, b ε R y ε Z. (.b) =.b (:b) = : b Result uy siple sistetizr el producto, cociete y poteci, de potecis de igul bse. +. = - : = co 0. ( ) = Luego hor surge l siguiete pregut, l poteci es distributiv respecto de l su? L respuest es NO, veos u ejeplo: ( + ) = 5 = 5 + = 4+ 9= 1 Luego ( + b ) +b 1) E los siguietes cálculos se h coetido errores l plicr propieddes. Idicr dichos errores y corregirlos. ) (.. ) = ( ) = (5 ) :(5 ) = 5 :5 = 1 b) (7) 7.7 c) = = 7 = ( 7) = (7 ) 7 d) 0 0 (7 14) + 5 = 1 ) Aplicdo ls propieddes de l poteci, probr que: ) [ 1 ( ) : ( + ) = 8 Curso de Igreso 01 Mteátic 0 Pági 10

11 Fcultd de Iforátic b) c) (10. ) :( ) = ( ) = ) Clculr: ) b) (1 ).( ) 4 =... 1 ( 1):( ) : + 11 = ) Respoder y justificr: ) < < 5 < < ( 5) b) ( ) ( ) 1 1 < < < < 5. Rdicció DEFINICIÓN Se b ε R y ε N, >1, existe u úero c tl que c =b y este úero c es lldo l ríz -ési de b c = b c = b Ejeplos ( ) 64 = 4 pues -4 = 64 ( ) ( ) 6 =± 6 pues 6 = 6 = 6 Veos hor si existe lgu restricció pr l rdicció e R. Supogos que se dese clculr 9 o se buscr u úero b ε R tl que b= = 9 b 9 ( ) 64 = 4 pues 4 = 64 ( ) ( ) 64 =± 8 pues 8 = -8 =64 Tl úero o existe pues b es positivo. Curso de Igreso 01 Mteátic 0 Pági 11

12 Fcultd de Iforátic E cosecueci, si se trbj e R: existe si R y es ipr ó 0 y es pr. Etoces: Si es ipr el resultdo es úico. Si es pr y el rdicdo es positivo el resultdo o es úico. Ejeplos Propieddes de l rdicció ( ) 64 = 4 pues 4 = 64 ( ) ( ) 64 =± 8 pues 8 = -8 =64 Ddos, b R tles que existe cuple: y b se b. =. b : b = : b Respecto de l su y l rest ± b ± b Aliceos hor l siguiete pregut: Es siepre posible siplificr u ríz? Veos u ejeplo: 6 ( ) 6 8 = 64 =± ( ) ( ) 6. 8 = 8 = 8 = L respuest es: NO siepre es posible siplificr u ríz: Si l bse de l poteci del rdicdo es egtiv veos que se pierde u solució. Qué sucede cudo el ídice de l ríz y el expoete so igules? Si es ipr 4 = 64 = 4 ( 4) = 64 = 4 El resultdo es l bse de l poteci Si es pr = 16 =± ( ) = 16 =± Curso de Igreso 01 Mteátic 0 Pági 1

13 Fcultd de Iforátic El resultdo es l bse de l poteci y su opuesto. Pr evitr est bigüedd se debe teer e cuet el vlor ritético de l ríz. El vlor ritético de l ríz -ési de es: si es ipr y si es pr Ríz Aritétic: Si es ipr Si es pr = = E = prticulr 6. Rciolizció de Deoidores E uchs cuestioes e que se preset frccioes cuyo deoidor es u expresió irrciol, coviee trsforrls e otrs equivletes de deoidor rciol. Est rciolizció se logr siepre, ultiplicdo uerdor y deoidor de l frcció por u expresió irrciol coveiete. Si ebrgo, es t coplicd l frcció obteid que sólo e csos uy secillos tiee utilidd práctic. Se rcioliz el deoidor de tod expresió del tipo A ± b ó bie A ± c ultiplicdo los dos térios por l expresió cojugd b ó bie c respectivete 1) Clculr: ) b)( 1+ 5) 0 c) ( ) Curso de Igreso 01 Mteátic 0 Pági 1

14 Fcultd de Iforátic ) So corrects ls igulddes? 50 = 5. ) b) 1 =. c) =. ) Rciolizr los deoidores: ) 4 b) c) 7 4) Hllr el error e ls siguietes deostrcioes: ) R =. Deostrció: ( ) ( ) b) b R b =1. Deostrció: = = = ( ) ( ) ( ) b 1= 1 b b 1 = 1 b b 1= 1 b b+ b 1= b+ 1 b b 1= 1 b 1+ 1= 1+ 1 b= b= 1 5) Teiedo e cuet l propiedd: etoces (deostrrl) y order: ). y 5 b) +. y + 5 c) 1 1 y d) y 16 6) Respoder V ó F y justificr: Si, b R ) b. =. b ( ) ( ) b) + b = +..b+ b +, b R b b Curso de Igreso 01 Mteátic 0 Pági 14

15 Fcultd de Iforátic ( ) c) b = b d) = b b + b. b = b e)( ) ( ) Supuests defiids ls ríces (o se, se puede relizr l operció e los reles) f) + b= + b g) b. =. b 7. Potecis de Expoete Rciol Vos hor ver que sigificdo heos de tribuir l síbolo, siedo u úero rciol. Defiireos est operció de odo que coicid co l y coocid e el cso =1 y que stisfg ls iss regls de cálculo pr potecis ordiris: 1) Sbeos que si h k Z Por lo tto, dreos es h h., ( ) k = tl sigificdo que se ( ) = = k. =, o se Lo cul tiee setido e el cpo rel pr < 0 sólo si es ipr. ) Si 0, pr que subsist l ley de ultiplicció de potecis de igul bse sudo los expoetes, heos de tribuir 0 =1, pr que se =. = ) Por l is rzó co 0, result 0 = 1. Luego, 1 = h de ser tl que ultiplicdo por, Co ests covecioes se evit el uso de rdicles, co l vetj que el cálculo co ls potecis sí geerlizds sigue ls iss leyes que cudo los expoetes so úeros turles. Curso de Igreso 01 Mteátic 0 Pági 15

16 Fcultd de Iforátic 1 1 1).., siplificr ) b. b. b, siplificr ) c. c c 4 4, siplificr 4) 4. b b b., siplificr 5) Expres el úero e l for b, dode y b so úeros eteros ) Siplific. Curso de Igreso 01 Mteátic 0 Pági 16

17 Fcultd de Iforátic 1 x ( x ) 4x ( 16x ) 4 ( 4b ) b ( 9b ) 1 ( rs) ( r s) ( xy) ( xy) ) Siplific l expresió y rcioliz el deoidor cudo se propido x y 4 81rs 5 8 8x 4x. y y ) Coloc el síbolo = ó, pr que el eucido resultte se verddero, siepre que l expresió teg sigificdo. Justific tu respuest. Curso de Igreso 01 Mteátic 0 Pági 17

18 Fcultd de Iforátic r ( ) ( r ) ( ) x y b b ( ) r x y r 1 1 c c Curso de Igreso 01 Mteátic 0 Pági 18