Matrices y operaciones con Matrices.
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- Andrea Bustamante Parra
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1 Matrices y operaciones con Matrices En clases anteriores hemos usado arreglos rectangulares de números, denominados matrices aumentadas, para resolver sistemas de ecuaciones lineales Denición Una matriz es un arreglo rectangular de números Los números en el arreglo se denominan los elementos de la matriz 2 3 0, 4 [ ] 2 0 3, e π 2 0 2, ( 3, ( 4 El tamaño de una matriz se describe en términos del número de renglones y de columnas que contiene La primera matriz de nuestro ejemplo tiene tres renglones y dos columnas, de modo que su tamamño es 3 por 2 (que se escribe 3 x 2 Una matriz con una sola columna se denomina matriz columna (vector columna, y una matriz con un solo renglón se denomina matriz renglón (vector renglón Es común usar mayúsculas para denotar las matrices y minúsculas para las cantidades numéricas (escalares Una matriz A con n renglones y n columnas se denominará matriz cuadrada de orden n 2 Igualdad de matrices Dos matrices son iguales si son del mismo tamaño y sus elementos correspondientes son iguales 3 Suma y resta de matrices Si A y B son matrices del mismo tamaño, entonces la suma A + B es la matriz que se obtiene al sumar los elementos de A con los elementos correspondientes de B, y la diferencia A B es la matriz que se obtiene al restar los elementos de B de los elementos correspondientes de A No es posible sumar o restar matrices de diferentes tamaños las matrices: La matriz a a A 2 b b, B 2 a 2 a 22 b 2 b 22 a + b A + B a 2 + b 2 a 2 + b 2 a 22 + b 22 En general, si denotamos a A por (a ij y B por (b ij, podemos escribir: A + B (a ij + (b ij (a ij + b ij las matrices: A 0 2 4, B Entonces: Eduard Rivera Henao Álgebra Lineal
2 4 Multiplicación de una matriz por un escalar 2 A + B , A B En general, si A,B y C son matrices: A + B B + A A + (B + C (A + B + C 4 Multiplicación de una matriz por un escalar Si A es cualquier matriz y k es cualquier escalar, entonces el producto ka es la matriz que se obtien al multiplicar cada elemento de la matriz A por k Se dice que la matriz ka es un multiplo escalar de A A a a 2, k R a 2 a 22 a a ka k 2 a 2 a 22 Usando la notación alterntiva: ka k(a ij (ka ij ka ka 2 ka 2 ka 22 las matrices: A , B, C ( Tendremos: 2A 4 6 8, ( B , C ( Si A, A 2,, A n son matrices del mismo tamaño y c, c 2,, c n son escalares, entonces una expresión de la forma c A, c 2 A 2,, c n A n se denomina combinación lineal de A, A 2,, A n con coecientes c, c 2,, c n 5 Matriz cero Una matriz que tiene todos sus elementos iguales a cero, se denominará matriz cero Resulta evidente entonces que: A A A Si denimos la matriz A como (A; la cual llamaremos negativa de A, entonces A + ( A A + ( A A + ( A a a 2 + ( a 2 a 22 a a 2 a 2 a 22 a a 2 + a 2 a 22 a a 2 a 2 a 22 ( Así, A + ( A 0 En general la diferencia A B está denida como A B A + ( B
3 6 Multiplicación de un vector y una matriz 3 6 Multiplicación de un vector y una matriz Sea A un vector como una pareja ordenada de números reales: A (a, a 2, esta forma de escribir el vector A también lo podemos llamar vector renglón Podemos denotar el vector A por el símbolo ( a a 2 donde a es el primer elemento y a 2 es el segundo elemento del vector Un vector escrito en esta forma se llama vector columna Usando esa terminología, podemos hablar de la matriz ( a a 2 a 2 a 22 como formada por los vectores renglón (a, a 2 y (a 2, a 22 ; o formada por los vectores columna a a2 y a 2 a 22 Sea C (c, c 2 un vector renglón (matriz x 2 y A una matriz 2 x 2 El producto de C y A será el vector renglón (matriz x 2 denotado por CA y denido: ( a a CA (c, c 2 2 a a2 (c a 2 a, c 2, (c 22 a, c 2 2 a 22 CA ((c, c 2 (a, a 2, (c, c 2 (a 2, a 22 CA (c a + c 2 a 2, c a 2 + c 2 a 22 Determinar CA y CB C (2, 3, A 2 9, B CA (2, 3 CB (2, 3 7 Multiplicación de matrices 2 9 ((2, 3 (2, 4, (2, 3 (9, ( 8, 9 5 ((2, 3 (, 7, (2, 3 (5, ( 9, 4 Si A es una matriz m x r y B es una matriz r x n, entonces el producto AB es la matriz m x n cuyos elementos se determinan como sigue Para encontrar el elemento en el renglón i y en la columna j de AB, se consideran únicamente el renglón i de la matriz A y la columna j de la matriz B Se multiplican entre sí los elementos correspondientes del renglón y la columna mencionados y luego se suman los productos resultantes Sea R una matriz x n (vector renglón y C una matriz n x (vector columna, el producto entre R y C es: c RC c 2 r r 2 r n r c + r 2 c r n c n c n
4 8 Propiedades de la aritmética matricial 4 Observamos que el número de columnas de la matriz R debe coincidir con el número de renglones de la matriz C, para que el producto esté denido Además podemos recordar el concepto de producto punto de dos vectores para hallar el producto de las dos matrices anteriores si las tomamos como vectores renglón y columna, respectivamente Veámos: c R C c 2 r, r 2, r n ( r, r 2, ( r n c, c 2, c n r c + r 2 c r n c n c n Considerando las matrices A , B Como A es una matriz 2 x 3 y B es una matriz 3 x 4, el producto AB es una matriz 2 x 4 Para determinar, por ejemplo, el elemento en el renglón 2 y la columna 3 de AB, sólo se consideran el renglón 2 de A y la columna 3 de B Después se multiplican entre sí los elementos correspondientes y se suman los productos obtenidos ( 2 (4 + (4 ( + ( (2 0 Así, AB En este caso el producto BA no está denido, ya que el número de columnas de B no coincide con el número de renglones de A 8 Propiedades de la aritmética matricial Suponiendo que los tamaños de las matrices son tales que las operaciones indicadas se pueden efectuar, las siguientes reglas de la aritmética matricial son válidas A+BB+A A+(B+C(A+B+C A(BC(ABC A(B+CAB+AC (B+CABA+CA a(b+cab+ac (a+bcac+bc a(bc(abc a(bc(abcb(ac
5 8 Propiedades de la aritmética matricial 5 Existen diferencias entre la multiplicación de escalares y matrices; por ejemplo, si a,b,c son números reales con a 0, tendremos que: ab ac si y sólo si b c, en donde podemos cancelar el factor a En el caso de matrices, AB AC no implica que entonces B C; veámos: Podemos calcular Además A, B AB AC 2, C Aunque AB AC, donde A 0; observamos que B C La multiplicación entre matrices no siempre es conmutativa, pero siempre será asociativa Veámos: vericaremos que A (ABC A(BC AB , B, C (ABC ( Ahora, Así, (ABC A(BC 3 0 BC A(BC 0 27 ( Calcular De las propiedades sabemos que: ( (7, a(bc (abc B(aC Por lo tanto: ( (7, ( (7, ( (7, , (7, 9 4 ((7, 9 ( 2, 4, (7, 9 (, 3 ( 4 26, ( 5,
6 9 Ejercicios propuestos 6 9 Ejercicios propuestos Calcular: ( Determinar kca a b c k 2, C (, 3, A k, C (4, 7, A k, C (2, 2, A En cada uno de los siguientes ejercicios determinar A + B, AB, BA, 2A, 3B, 2A 3B, (2A(3B a b c A 0, B 0 0 A, B A 3, B Si A es una matriz de orden 2, determinar (A B(A + B ¾Es A 2 B 2 (A B(A + B para todos A, B de orden 2? 5 Si A es una matriz de orden 2, entonces AA será tambien de orden 2 y será denotado por A 2 Por otra parte, como (AAA A(AA, usaremos A 3 para denotar, ya sea (AAA o A(AA Si 2 A, 3 Determinar A 2, A 3 6 Si K k I, K 2 k 2 I, donde k, k 2 son números reales e I es la matriz unitaria de segundo orden, 0 I, 0 mostrar que: a b K + K 2 (k + k 2 I K K 2 (k k 2 I
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