Introducción a Matrices y Eliminación Gaussiana

Transcripción

1 Introducción a Matrices y Eliminación Gaussiana 1

2 Sistema de Ecuaciones Matricial 2

3 Definición Una matriz es un arreglo rectangular de valores llamados elementos, organizados por filas y columnas. Ejemplo: A Notas: 1. Las matrices son denotadas con letras mayúsculas. 2. Para hacer referencia de los elementos de una matriz indicamos la fila y la columna donde se encuentran. a 12 = a 2 = 6 a 22 = 2 fila columna fila columna fila columna

4 Ejemplo Las posiciones de los elementos de la siguiente matriz A = son a 11 = 2, a 12 =, a 1 =, a 21 = 1, a 22 = 0 y a 2 = 4.

5 Dimensión de una matriz La dimensión o el orden de una matriz es el número de filas por el número de columnas de la matriz. Ejemplo: A La dimensión de la matriz A es x 2 filas columnas B La dimensión de la matriz B es 2 x Nota: El producto del número de filas por el número de columnas nos indica el número de elementos que tiene la matriz.

6 Cuál es el orden de las siguientes matrices?

7 Ejemplo Sea M una matriz que contiene 12 elementos, cuál de las siguientes podría ser la dimensión de M? a) 4 x b) x 4 c) 6 x 2 d) 12 x 1 e) todas las anteriores f) ninguna de las anteriores

8 Matrices Equivalentes Se dice que dos matrices son equivalentes si cumple con las siguientes condiciones: son del mismo tamaño sus elementos correspondientes son iguales. Ejemplos

9 Matrices Especiales El vector fila es una matriz con una sola fila y varias columnas; es decir, su dimensión es 1 x n El vector columna es una matriz con una sola columna y varias filas; es decir, su dimensión es n x La matriz cero es una matriz con todos sus elementos iguales a cero matriz cero con dimensión 2x

10 Matrices especiales (cont.) Una matriz cuadrada es una matriz que tiene la misma cantidad de filas que columna. 1 A 2 2 B Dado una matriz cuadrada, los elementos donde los índices de las filas y las columnas son iguales se denominan los elementos sobre la diagonal de la matriz. A a a a a a a a a a 1 2 elementos sobre la diagonal 10

11 Matriz Triangular Superior Una matriz cuadrada A se dice que es una matriz triangular superior si todas las entradas debajo de la diagonal principal son cero.

12 12 Matriz Identidad La matriz de identidad es una matriz con todos los elementos de la diagonal iguales a 1 y todos los demás elementos fuera de la diagonal iguales a cero. Dos matrices A y B son iguales si sus dimensiones son iguales y si sus elementos correspondientes son iguales. A B I A B I

13 Operaciones con matrices 1. Multiplicación por un escalar Dado una matriz A de dimensión m x n y c un número real, el producto ca es una matriz de dimensión m x n obtenida multiplicando cada elemento de A por la constante c. A A

14 Operaciones con matrices Ejemplo: Determine C si C = B = B y Solución: 14

15 Operaciones con matrices 2. Suma y resta Para sumar o restar dos matrices A y B, las mismas tienen que tener dimensiones iguales. La suma o la resta de A y B, denotada A+B ó A-B, se obtiene sumando o restando los elementos correspondientes. A B

16 Operaciones con matrices Ejemplo: Dado A y B determine 1)C = B A 2)D = 2A + B A = Solución: B =

17 Matrices y Eliminación Gaussiana Matriz Aumentada: Cada fila una matriz aumentada corresponde a una ecuación del sistema. Signo de Igualdad Ej) Fila 2 es equivalente a: x - 2y + z = -6 Cada número en las primeras columnas representa el coeficiente de una misma variable.

18 Eliminación Gaussiana Eliminación Gaussiana es un método para resolver sistemas de ecuaciones en el cual se usan MATRICES para organizar la solución. Eliminación Gaussiana (Reducción por filas ) Matriz Aumentada Forma Escalonada Reducción por filas: El proceso de reducción por filas usa las siguientes OPERACIONES LICITAS sobre una fila de la matriz para resolver sistemas de ecuaciones. 1.) Intercambiar 2 filas dentro de la matriz. 2.) Multiplicar /Dividir una fila entera por una constante..) Sumar/Restar dos filas para reemplazar una fila.

19 Ejemplo La última fila representa la ecuación 4x = 8. Resolvemos la ecuación representada por la tercera fila 4x = 8 x = 2 De la segunda fila de la matriz se obtiene x 2 + x = 4 x = 4 x 2 = 2 De la primera fila se obtiene 2x 1 + 4x 2 2x = 2 2x 1 + 4(2) 2 2 = 2 2x = 2 2x 1 = 2 4 2x 1 = 2 La solución del sistema es (-1, 2, 2). x 1 = 1

20 Eliminación Gaussiana para resolver un sistema de ecuaciones 1. Escribir la matriz aumentada del sistema. 2. Usar operaciones elementales sobre filas para construir una matriz equivalente en forma form escalonada.. Escribir el sistema de ecuaciones que corresponde a la matriz escalonada resultante. 4. Usar sustitución invertida para determinar la solución del sistema. 20

21 21 Ejemplo 1: Eliminación de Gauss z y x z y x z y x Considere el siguiente sistema de ecuaciones. La matriz aumentada para este sistema es:

22 22 Ejemplo 1: Eliminación de Gauss z y x z y x z y x Paso 1: Obtener 1 en la posición A 11 0.R 1 R z y x z y x z y x

23 2 Ejemplo 1: Eliminación de Gauss Paso 2: Eliminar el coeficiente de la variable x de la 2da y ra ecuación z y x z y x z y x

24 Ejemplo 1: Eliminación de Gauss Paso : Eliminar el coeficiente de la variable y de la ra ecuación. 1R 2 +R R Paso 4: El elemento A 22 debe ser 1 -R 2 R 2 (1/168)R R Paso : El elemento A debe ser 1 Matriz en forma escalonada 24

25 Ejemplo 1: Eliminación de Gauss De la fila, z = 4 De la fila 2, y -14.z = -61 y (4) = 61 y = - De la fila 1, x 2y + 2.z = 18 x 2 (- ) + 2. (4) = 18 x = 2 La solución del sistema es (2, -, 4). 2

26 Ejemplo 2: Eliminación de Gauss Resolver el siguiente sistema de ecuaciones usando matrices y eliminación gausiana. x + 2y + z = 1 4x + y + 6z = 2 x + 8y + 10z = 26

27 Ejemplo : Eliminación de Gauss Cuando se deberían intercambiar dos ecuaciones o dos filas? Consideremos el siguiente conjunto de ecuaciones. La matriz aumentada correspondiente es: 2

28 Example : Gauss Elimination La Ecn. (1) (Fila 1) no se puede usar para eliminar la x de las Ecns. (2) y () (Filas 2 y ). Intercambiar Fila 1 con Fila 2 y la matrix aumentada se convierte en: Ahora podemos dividir la fila 1 entre 4 para tener 1 en A 11 y continar realizando los pasos necesarias para resolver el sistema usando eliminación gausiana. 28

29 Ejemplo 4: Eliminación de Gauss Un Centro de Jardinería compra semillas de flores al por mayor. Luego, mezcla y envasa las semillas para uso en jardines caseros. El centro produce con mezclas diferentes de semillas de flores: Algo Salvaje", Querida Mamá" y Cajón de Medicina". 1) Un kilogramo de la mezcla de semillas Algo Salvaje contiene 00 gramos de semillas de flores silvestres, 20 gramos de semilla de equinácea y 20 gramos de semilla de crisántemo. 2) La mezcla Querida Mamá se compone de % de semilla de crisántemo y 2% de semillas de flores silvestres. ) La mezcla Cajón de Medicina contiene 90% de las semillas de equinácea, y 10% de una semilla que el Centro siempre tiene disponible.. 29

30 Ejemplo 4: Eliminación de Gauss Cont En una orden reciente, el Centro recibió 1 gramos de semilla de flores silvestres, 1 gramos of Echinacea seed and 21 gramos of Chrysanthemum seed. Use matrices y Eliminación de Gauss para determinar la cantidad de cada mezcla que la tienda puede preparar. 0

31 Ejemplo 4: Eliminación de Gauss Solución: Asignar variables a la cantidad de cada mezcla que se va a producir. X = Cantidad de Algo Salvaje Y = Cantidad de Querida Mamá Z = Cantidad de Cajón de Medicina Formar las ecuaciones que describen las mezclas. 0.X + 0.2Y + 0Z = 1g 0.2X + 0Y + 0.9Z = 1g 0.2X + 0.Y + 0Z = 21g Aplicar eliminación gaussiana a la matriz. 1

32 Práctica: Use Eliminación Gaussiana para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones. a) x + 2y + z = -4 x + 4y + z = -18 4x - z = -4 b) y - 2z = 19 x - y + 4z = -1 x + z = - 6 c) 2x + y - z = 1 x - 2y + z + 2 = 0 4x + y + z = 9 d) x + 2y + z - = 0 x - y + z - 4 = 0 x + y + 1z - 10 = 0