APUNTES ALGEBRA SUPERIOR

Transcripción

1 APUNTES ALGEBRA SUPERIOR Apuntes del Docente Esp. Pedro Alberto Arias Quintero. Departamento De Ciencias Básicas, Unidades Tecnológicas de Santander.

2 Contenido MATRICES Y DETERMINANTES... ELEMENTOS DE UNA MATRIZ:... Explicaciones generales... Tipos de Matrices.... Matriz columna:... Matriz fila:... Matriz cuadrada:... Matriz rectangular:... Matriz traspuesta:... Matriz Simétrica:... Matriz Asimétrica:... Matriz nula:... 6 Matriz opuesta:... 6 Matriz Diagonal:... 6 Matriz escalar:... 6 Matriz Triangular:... 6 OPERACIONES CON MATRICES... Suma y resta de matrices... Producto de matrices... Producto por un escalar... 8 División de matrices... 9 DETERMINANTES... 1 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES MENORES Y COFACTORES Teorema... MATRIZ ADJUNTA... 6 Operaciones en renglones de matrices... 6 Cambio de renglones... 6 Multiplicar un renglón por un número... Sumar renglones... Sumando múltiplos de renglones...

3 MATRICES Y DETERMINANTES Que es una Matriz: Se llama matriz de orden m n a todo conjunto rectangular de elementos a ij dispuesta en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma: Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Tienen también muchas aplicaciones en el campo de la física. MATRICES Una matriz es una tabla ordenada de escalares ai j de la forma La matriz anterior se denota también por (ai j ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a i j ). Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matriz con m filas y n columnas se denomina matriz m por n, o matriz m x n. Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B,..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b,... Ejemplo: donde sus filas son (1, -, ) y (0,, -) y sus

4 ELEMENTOS DE UNA MATRIZ: Una matriz es una tabla rectangular de números reales dispuestos en filas y columnas del modo: Abreviadamente se puede expresar A = (aij ). Cada elemento de la matriz lleva dos subíndices. El primero de ellos i, indica la fila en la que se encuentra el elemento, y el segundo, j, la columna. Así el elemento a está en la fila y columna. Las matrices siempre se representarán con letras mayúsculas. Ejemplos: Son ejemplos de matrices los siguientes: A tiene filas y columnas, diremos que su tamaño es x. Qué elemento es a1?. B tiene filas y columnas, diremos que su tamaño es x. Qué elemento es b?. C tiene filas y columnas, diremos que su tamaño es x. Qué elemento es c?. En general, si una matriz A tiene m filas y n columnas, diremos que su tamaño o dimensión es m x n (se lee m por n ), siempre en primer lugar el nº de filas y en segundo lugar el de columnas. Explicaciones generales matriz x fila columna El primer número nos indica el número de filas que tiene la matriz. El segundo indica la cantidad de columnas que tiene la matriz. Ejemplo: filas La matriz es x columnas

5 Si la matriz es A las posiciones de cada número son ai j i es la fila y j es la columna donde se encuentra posicionado el número en la matriz A. Si la matriz es B las posiciones de cada número son bi j i es la fila y j es la columna donde se encuentra posicionado el número en la matriz B. Ejemplos: a A a a a a a 1 a a a 1 b B b b b b b 1 b b b 1 En la siguiente matriz indica la posición del número circulado. 1 A Tipos de Matrices. Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m x 1. Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1x n. Es decir, A= (a11 a1... a1n). Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n x n (aunque es lo mismo). Los elementos aij con i = j, o sea aij forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonal secundaria.

6 Matriz rectangular: La que tiene distinto número de filas que de columnas: Matriz traspuesta: Dada una matriz A, su matriz se representa por At, la cual se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera columna de At, la segunda fila de A es la segunda columna de At y así sucesivamente. De la definición se deduce que si A es de orden m x n, entonces At es de orden n x m. La traspuesta se representa con una t o T por índice de la letra que representa el nombre de la matriz. Ejercicio # Cuál es la matriz traspuesta de: Respuesta: Matriz Simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aj= aj Matriz Asimétrica: Una matriz cuadrada se dice que es anti simétrica si A = At, es decir aij= -aji.

7 Matriz nula: Es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0. Matriz opuesta: Sabemos que el opuesto de es. El opuesto de - es La matriz opuesta a otra es la que obtiene al cambiar de signo a cada uno de sus elementos. Por supuesto, su nombre aparecerá con el signo opuesto: Matriz Diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos. Matriz escalar: Es una matriz diagonal (y en consecuencia, una matriz cuadrada) con todos los elementos de la diagonal iguales. Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos: Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aj =0, i < j. Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aj = 0, j < i. Ejemplos:

8 OPERACIONES CON MATRICES Suma y resta de matrices Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden X y otra de X, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices. Ejemplo: Para sumar o restar más de dos matrices se procede igual. No necesariamente para poder sumar o restar matrices, éstas tienen que ser cuadradas. Ejemplo: Producto de matrices Para poder multiplicar dos matrices, la primera debe tener el mismo número de columnas que filas la segunda. La matriz resultante del producto quedará con el mismo número de filas de la primera y con el mismo número de columnas de la segunda.

9 Es decir, si tenemos una matriz X y la multiplicamos por otra de orden X, la matriz resultante será de orden X. ( ) ( ) = ( ) Se puede observar que el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa, ya que en el ejemplo anterior, si multiplicamos la segunda por la primera, no podríamos efectuar la operación. por, puesto que la primera matriz no tiene el mismo número de columnas que filas la segunda. Supongamos que A = (ai j ) y B = (bi j ) son matrices tales que el número de columnas de A coincide con el número de filas de B; es decir, A es una matriz m X p y B una matriz p X n. Entonces el producto AB es la matriz m X n cuya entrada ij se obtiene multiplicando la fila i de A por la columna j de B. Esto es, Ejemplo: 1.. Producto por un escalar El producto de un escalar k por la matriz A, escrito k A o simplemente ka, es la matriz obtenida multiplicando cada entrada de A por k:

10 Ejemplo: Entonces: División de matrices La división de matrices se define como el producto del numerador multiplicado por la matriz inversa del denominador. Es decir, sean las matrices A y B tal que A/B = AB-1: Si una matriz está dividida entre un escalar, todos los términos de la matriz quedarán divididos por ese escalar. Ejemplo: RESUMEN Suma de matrices Para poder sumar matrices deben de tener el mismo orden, ambas matrices deben tener el mismo número de filas y columnas. Definición de suma: Si A = (ai j) mxn y B = (bi j) mxn entonces su suma es A + B = (ai j + bi j) mxn. Ejemplo: Suma las matrices A + B 1 + = 6 A 1 B Suma a1 1 + b1 1 8

11 Elemento neutro Producto de un escalar + = 10 Suma a1 + b1 + = 9 Suma a 1 + b = 1 Suma a + b

12 Definición: Si ka = k(ai j) mxn Debes multiplicar cada número de la matriz por el escalar. Ejemplo: Opera A 1 A 1 A Inverso aditivo (resta) A 1 B 1 Opera A B B A El orden es igual que en la suma pero debes fijarte muy bien en los signos. Multiplicación de matrices: Para poder multiplicar debemos revisar primero el número de filas x columnas Si tenemos que una matriz es x y la otra x se puede multiplicar si Matriz A Matriz B El tamaño de la respuesta es x x x Debe ser igual entonces si se puede multiplicar Si los números centrales son iguales entonces se puede multiplicar y el tamaño de la respuesta son los números de los extremos x Resuelve el siguiente ejercicio e indica si se puede multiplicar las matrices o no, y cuál es el tamaño de la matriz de la respuesta. Matriz A Matriz B se puede multiplicar? Tamaño de respuesta x x

13 x 6 6 x x x 6 x 8 8 x x x x x x 1 1 x x x x x Ejemplo: ) Reviso el tamaño de la matriz A = x B = x Como son iguales se puede multiplicar. El tamaño de la matriz de la Se opera asi: ) Siempre se toma la primera matriz con la fila 1 (horizontal) con la 1 columna (vertical) marcada en la matriz

14 Respuesta:

15 DETERMINANTES A cada matriz n-cuadrada A = (ai j ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por det (A), A o Una tabla ordenada n n, no es una matriz. n de escalares situada entre dos líneas verticales, llamada determinante de orden La función determinante apareció por primera vez en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales. Veremos que es una herramienta indispensable en el estudio y obtención de éstas. DETERMINANTES DE ORDEN UNO Y DOS Los determinantes de orden uno y dos se definen como sigue: = a11

16 Así, el determinante de una matriz 1 1 A = (a11 ) es el propio escalar a 11, es decir, det (A) = a 11 = a11. Ejemplos: a) Dado que el determinante de orden uno es el mismo escalar, tenemos det () =, det(-) = -, det (x+) = x+. b) Determinante Orden dos DETERMINANTES DE ORDEN TRES Consideremos una matriz arbitraria A = (ai j ). El determinante de A se define como sigue: Obsérvese que hay seis productos, cada uno formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo).

17 Ejemplo: Calcular el valor del determinante: = (-) (-1) = = 6 El determinante de la matriz x A = (ai j ) puede reescribirse como: det (A) = a 11 (a a - a a ) - a 1 (a 1 a - a a 1 ) + a 1 (a 1 a - a a 1 ) =

18 que es una combinación lineal de tres determinantes de orden dos, cuyos coeficientes (con signos alternantes) constituyen la primera fila de la matriz dada. Esta combinación lineal puede indicarse de la forma siguiente: Nótese que cada matriz contienen su coeficiente. se obtiene suprimiendo en la matriz inicial la fila y la columna que Ejemplo: Para demostrar que la propiedad anterior se cumple, trabajaremos con : = (8+) - (0-10) + 1(0+) = = 6

19 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES Las propiedades de los determinantes, que enunciaremos a continuación, son válidas cualquiera que sea su orden. No obstante, para facilitar su comprensión, utilizaremos determinantes de orden y. Las comprobaciones de las mismas se pueden hacer fácilmente desarrollando los determinantes. 1ª El determinante de una matriz cuadrada coincide con el determinante de su traspuesta, es decir: Det ( A ) = Det ( A t ) ª Si intercambiamos dos filas o dos columnas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo aunque son iguales en valor absoluto. ª Si multiplicamos todos los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada por un número k, su determinante queda multiplicado por dicho número.

20 Como generalización de esta propiedad, si multiplicamos todos los elementos de una matriz cuadrada de orden n por un número k, su determinante queda multiplicado por k n, es decir: Det (k. A) = k n. Det ( A ). ª El determinante del producto de dos matrices cuadradas del mismo orden es igual al producto de los determinantes de dichas matrices: Det ( A. B ) = Det ( A ). Det ( B ). ª Si una matriz cuadrada tiene todos los elementos de una fila o columna nulos, su determinante es cero.

21 6ª Si una matriz cuadrada tiene dos filas o dos columnas iguales su determinante es cero. ª Si una matriz cuadrada tiene dos filas o columnas proporcionales su determinante es cero. 8ª Si todos los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada se descomponen en dos sumandos, entonces su determinante es igual a la suma de dos determinantes que tienen en dicha fila o columna el primero y el segundo sumando respectivamente, siendo los restantes elementos iguales a los del determinante inicial. 9ª Si una fila o columna de una matriz cuadrada es combinación lineal de dos o más de las restantes filas o columnas, su determinante es cero.

22 10ª Si a una fila o columna de una matriz cuadrada se le suma otra paralela a ella, su determinante no varía. 11ª Si a una fila o columna de una matriz cuadrada se le suma otra paralela a ella multiplicada por un número, su determinante no varía. El conocimiento de las propiedades de los determinantes nos permiten, por ejemplo, simplificar el cálculo de determinantes de orden mayor que, a los que no se puede aplicar directamente la regla de Sarrus. Como se comentó anteriormente, en la página Determinantes de cualquier orden: "para calcular el determinante de una matriz de orden es necesario calcular determinantes de orden. Y si la matriz fuera de orden, habría que calcular 0 determinantes de orden (puesto que al desarrollarlo por los adjuntos de una fila o columna cualquiera se obtendrían determinantes de orden y, cada uno de éstos, a su vez, se puede descomponer en determinantes de orden ).". En las escenas siguientes se describe el proceso para calcular un determinante de orden o buscando "ceros", hasta obtener un determinante de orden, que se puede calcular directamente. MENORES Y COFACTORES. En esta sección se calcularán determinantes haciendo uso de dos conceptos, el de menor de un determinante y el de cofactor de un elemento. Se llama menor del elemento aik de un determinante D de al determinante Mik de orden que se obtiene al eliminar el renglón i y la columna k de D.

23 Ejemplo 1. Obtener los menores M1 y M1 del determinante D de. Para M1 eliminamos el renglón 1 y la columna para obtener De la misma forma, se elimina el renglón y la columna 1 para tener Se llama cofactor del elemento aik del determinante D, al menor Mik con el signo denota Aik, esto es (-1) i+k y se (1) Ejemplo. Obtenga los cofactores A1 y A1 del determinante D dado: De acuerdo con la fórmula (1) el cofactor A1 está dado por Y de la misma forma

24 Expansión por cofactores de un determinante. Se puede probar el siguiente Teorema Todo determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de un renglón (o columna) cualquiera por sus cofactores correspondientes. Esto es () es el desarrollo del determinante D por el renglón i, y similarmente () es el desarrollo del determinante D por la columna k. Las expresiones () y () son fórmulas completamente generales, cualquier determinante de cualquier dimensión se puede evaluar usando estas fórmulas. Ejemplo. Desarrollar por cofactores del segundo renglón y calcular el valor del determinante D. Para expandir D, por cofactores del segundo renglón, calculamos primero los cofactores A1, A y A de los elementos del segundo renglón.

25 Entonces Ejemplo. Desarrollar por cofactores de la primera columna y calcular el valor del determinante D del ejemplo para verificar que obtenemos el mismo valor. Para expandir por cofactores de la primera columna, primero evaluamos los cofactores A11, A1, A1 de los elementos de la primera columna: Entonces Ejemplo. Considere la matriz A y calcule su determinante det A Para evaluar el determinante de A usamos la fórmula () que permite desarrollar un determinante por cofactores de una columna. Observe que la primera columna de A consta de tres ceros y un. Desarrollando por la columna (1) se tiene

26 Aún falta evaluar el determinante de x, que desarrollamos por cofactores de la columna porque dos de sus elementos son ceros, entonces Ejemplo 6. El determinante de una matriz triangular. Considere la matriz B triangular, calcule det B Entonces, desarrollando por cofactores de la primera columna, y desarrollando los menores correspondientes de la misma forma, se tiene Así que, el determinante de una matriz triangular es el producto de sus elementos en la diagonal principal.

27 MATRIZ ADJUNTA La matriz adjunta es aquella en la que cada elemento se sustituye p or su adjunto. Se llama adjunto del elemento a ij al menor complementario anteponiendo: El signo es + El signo es - si i+j es par. si i+j es impar. Ejemplo Operaciones en renglones de matrices Hay operaciones básicas usadas en los renglones de una matriz cuando está usando la matriz para resolver un sistema de ecuaciones lineales. El objetivo usualmente es conseguir que la parte izquierda de la matriz se parezca a la matriz identidad. Las tres operaciones son: Cambiar renglones Multiplicar un renglón por un número Sumar renglones Cambio de renglones Puede cambiar los renglones de una matriz para obtener una matriz nueva.

28 En el ejemplo anterior mostrado, movimos el Renglón 1 al Renglón, el Renglón al Renglón, y el Renglón al Renglón 1. (La razón para hacer esto es conseguir que el 1 esté en la esquina superior izquierda.) Multiplicar un renglón por un número Puede multiplicar cualquier renglón por un número. (Esto significa multiplicar cada entrada en el renglón por el mismo número.) En este ejemplo, hemos multiplicado el Renglón de la matriz por 1/. (Esto nos arroja el 1 que necesitamos en el Renglón, Columna.) Sumar renglones También puede sumar dos renglones juntos, y reemplazar un renglón con el resultado. Por ejemplo, en la matriz que resultó del último ejemplo, podemos sumar los renglones y juntos, entrada por entrada: Luego, reemplazamos el Renglón con el resultado. Sumando múltiplos de renglones Dijimos que únicamente hay tres operaciones, y así es. Pero usando la combinación de las dos últimas operaciones, podemos sumar múltiplos enteros de renglones a otros renglones, para hacer que las cosas vayan más rápido. Retrocediendo un paso, tenemos la matriz: Ahora en lugar de solo sumar el Renglón + Renglón, sume el Renglón + ( Renglón ): Luego reemplace el Renglón con el resultado.

29 De esta forma, obtenemos un 0 en el Renglón, Columna. Podemos hacer esto nuevamente para tener un 0 en el Renglón, Columna 1. Aquí, multiplicamos el Renglón 1 por, sumamos al Renglón, y reemplazamos el Renglón con el resultado. Mostraremos unos pocos pasos más, para obtener la matriz identidad en la izquierda (y así resolver el sistema). El paso siguientes es sumar el Renglón + ( Renglón ) para tener un 0 en el Renglón, Columna. Enseguida, necesitamos un cero en el Renglón 1, Columna. El último paso es solo una aplicación de la segunda operación, multiplicar un renglón por un número. Ahora tenemos la solución como una ordenada triple (1, 0, ). Nota importante: Si las ecuaciones representadas por su matriz original representan líneas idénticas o paralelas, no podrá obtener una matriz identidad usando estas operaciones de renglones. En este caso, la solución o no existe o hay infinitamente muchas soluciones al sistema.