Volumen I TEORÍA DE POLINOMIOS

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1 Volume I ÁLGEBRA CAÍTULO TEORÍA DE ARENDIZAJES ESERADOS: Ideifica las epresioes maemáicas, sus variables y cosaes. Efecúa operacioes co poliomios. Ideifica los poliomios especiales. EXRESIONES MATEMÁTICAS So aquellas represeacioes de úmeros y leras uidas por los diferees operadores maemáicos. a a log a ab a EXRESIONES ALGEBRAICAS Se deomia epresió algebraica al cojuo de úmeros, leras y sigos que idica ua serie de operacioes a efecuar co odos los úmeros que aparece e la epresió y co los represeados por leras. a b ac c EXRESIONES NO ALGEBRAICAS (E. o A.) Epresioes Epoeciales... Epresioes Logarímicas... Epresioes Trigooméricas... Epresioes de Ifiios Térmios... Térmio Es cada ua de las pares compoees de la epresió y que aparece uidas co las oras por los sigos y. Los érmios de la epresió so: a b; ac ; c. a b ac c Coeficiee Es el facor umérico de la pare lieral de cada érmio. El coeficiee de ab es, y como es eero, quiere decir que ab esá repeido veces como sumado; luego ab ababababab. Cuado u érmio o lleva coeficiee se sobreeiede que ése es la uidad. Así, pues bc equivale a bc. Térmios Semejaes So aquellos érmios que iee la misma pare lieral, eso es, las mismas leras co los mismos epoees. El epoee de que esá a veces afecadas las leras de ua epresió algebraica idica las veces que ua lera se oma como facor. a b; a b; 7a b; a b Así: a b c equivale a a.a.b.b.b.c LAS EXRESIONES ALGEBRAICAS SE CLASIFICAN EN:. E.A. RACIONAL:.. E.A.R. ENTERA: Se dice que ua epresió algebraica es racioal cuado o hay igua eracció de raíz ere las operacioes que ha de efecuarse co los úmero represeados co sus leras. a b; a b 7ab ; ab 678 Se dice que ua epresió algebraica es eera respeco a ua lera, si esa o forma pare de igú divisor o deomiador. a 7b 6.. E.A.R. FRACCIONARIA: Se dice que ua epresió algebraica es fraccioaria respeco a ua lera, si ésa forma pare del divisor o deomiador. a b MONOMIO OLINOMIO Llámese así a la epresió que cosa de u solo érmio cuyos epoees so eeros posiivos. (a;b) a b Q(a;b) a b Es la epresió algebraica c o m p u e s a d e v a r i o s moomios uidos por los sigos y (a;b) 8a ab b. E.A. IRRACIONAL: Se dice que ua epresió algebraica es irracioal cuado eise eracció de raíz ere las operacioes que ha de efecuarse co los úmero represeados co sus leras. ab; a b ; ab cd oliomios 7

2 ÁLGEBRA Volume I GRADO DE UN OLINOMIO Es la caracerísica que disigue a ua familia de poliomios ese grado se halla segú la caidad de variables. OLINOMIO DE UNA SOLA VARIABLE El grado esá dado por el mayor epoee de la variable. 6 (a) a 8a 9a es de grado 6 7 Q(b) a 8b a b es de grado OLINOMIO DE DOS O MÁS TÉRMINOS CON UNA VARIABLE El grado o grado absoluo esá dado por el mayor grado de los moomios que ierviee, mieras que el grado relaivo (G.R.) esará dado por el mayor epoee de la variable e referecia. 7 (a;b) a b 7a b 8a b { } { } { } El grado absoluo es el mayor ;8;9 9 G.R.(a) mayor ;;7 7 G.R.(b) mayor ;; MONOMIOS DE VARIAS VARIABLES El grado o grado absoluo será la suma de los epoees de odas sus variables, mieras que su grado co respeco a ua variable o grado relaivo será el epoee de la variable e referecia. (a;b) a b Es de grado absoluo 7 G.R.(a) es G.R.(b) es Represeació geeral de poliomio de ua sola variable. () a0 a a a... a dode : a 0; a ; a ; a ;...; a so coeficiees a 0 coeficiee pricipal a ér mio idepediee sop: El grado del moomio cosae es cero ecepo el moomio ulo. ESECIALES HOMOGÉNEOS ORDENADOS COMLETOS So aquellos poliomios e el que cada érmio iee el mismo grado absoluo. (; y) y 7 y Si los epoees de ua variable presea u orde ya sea ascedee o descedee respeco a esa variable. 7 () (; y) y 7 y So aquellos poliomios que presea odos sus epoees desde el mayor hasa el érmio idepediee. Q() 7 IDÉNTICOS IDÉNTICAMENTE NULO Dos o más poliomios so idéicos si esas iee los mismos coeficiees. Sea: () y Q() a b c Si : () º Q() eoces a; b; c So aquellos poliomios que iee odos los coeficiees igual a cero. Q() (a ) (b ) c Si Q() º 0 eoces : a ; b ; c 8 oliomios

3 Volume I ÁLGEBRA oliomios EN TODO OLINOMIO OCURRE: La suma de coeficiees (Scoef.), se evalúa haciedo que las variables valga UNO. Así: Sea: u poliomio ÞScoef( ) ) (;y) (;y (;) El érmio idepediee (T.I.), se evalúa haciedo que las variables valga CERO. Así: Sea: u poliomio Þ T.I.( ) ) (;y) (;y (0;0) TEOREMAS. E odo poliomio compleo e ua variable, el úmero de érmios es igual a su grado aumeado e. * º 8 9 I M M M M M M M M M KM M M M M M M M ML vemos que es de grado 6 y iee 7 érmios. Si u poliomio es compleo y ordeado respeco a ua variable, eoces la diferecia de los grados relaivos a su variable de dos érmios cosecuivos se diferecia e ua uidad. () 8 { 9 { { { { T T T T T6 T $ ) º T º T º T º T DEFINICIONES ADICIONALES OLINOMIO MÓNICO O NORMALIZADO oliomio de ua sola variable cuyo coeficiee pricipal es uo. Ejemplo: 7 () 7 7 (y) y 7y CONSTANTES oliomio de ua o más variables de la forma: Si: K¹0 eoces defiimos el grado d e l p o l i o m i o cosae como CERO. (;y) 7 (;y) $ % Si: K0 eoces E()º0 es llamado poliomio idéicamee ulo, cuyo g r a d o o e s á defiido. EJERCICIOS RESUELTOS m. Si la epresió: () m m se reduce a u moomio. Halle la suma de coeficiees de () Solució: m Þ m y. (). () 8 ()7 \ å coef(())7. Halle "" para que la epresió : N() sea u moomio de segudo grado : Solució : N(). Þ. Sea : () ( ) y (0) Calcule : () Solució : () (0) (). 9 () () ().9 6 EJERCICIOS ROUESTOS. Si : () 8 Halla : y y z z. Se defie : Halle el equivalee de ( ) ( ). Calcule el valor de "m " sabiedo que se cumple : (m) m() ( ) () (). Halle m y p para que el poliomio sea de grado y la diferecia de sus grados relaivos a e y sea. m p p m p p m p p (; y) y 9 y y. Halle el valor de "" e : ( ) ( ) ( ) si la suma de coeficiees y el ér mio idepediee de: æ ö () suma ç è ø 9

4 ÁLGEBRA Volume I CAÍTULO RODUCTOS NOTABLES So cieros producos que se caraceriza por que sus resulados se obiee por simple ispecció u observació. Ere las pricipales, eemos:. Triomio cuadrado perfeco... ( y) y y.. ( y) y y Observació: ( y) (y ), Î!. Ideidades de Legedre.. ( y) ( y) ( y ).. ( y) ( y) y.. ( y) ( y) 8y( y ). Diferecia de cuadrados.. ( y)( y) y Observació: ( m y )( m y ) m y. Desarrollo de u riomio al cuadrado.. ( y z) y z (y yz z).. ( y z) y z (y yz z).. ( y z) [(y z )] (y z ). Suma y diferecia de cubos.. ( y)( y y ) y.. ( y)( y y ) y 0 6. Desarrollo de u biomio al cubo 6.. ( y) y y y Observació: 7. Desarrollo de u biomio co u érmio e comú abc 8. Ideidad de Arga d y y( y) 6.. ( y) y y y y y( y) ( y) ( y) ( y ) ( y) ( y) y( y ) 7.. ( a)( b) (a b) ab 7.. ( a)( b)( c) (a b c) (ab bc ac) 8.. ( )( ) 8.. ( y y )( y y ) y y 9. Desarrollo de u riomio al cubo 9.. ( y z) y z ( y)(y z)( z) 9.. ( y z) y z ( y z)(y yz z) yz 9.. ( y z) ( y z)( y z ) ( y z ) 6yz 9.. ( y z) y z (y z) y ( z) z ( y) 6yz 0. Ideidad de Gauss 0.. y z yz ( y z)( y z y yz z) 0.. ( y)(y z)( z) yz ( y z)(y yz z). Ideidad de Lagrage.. (a b )( y ) (a by) (ay b).. (a b c )( y z ) (a by cz) (ay b) (bz cy) (bz cy) (az c) Observació: i. Co dos variables. a É b y (a by) (ay b) (a b )( y ) ii. Co res variables a É b y c z (a by cz) (ay b) (bz cy) (az c) (a b c )( y z ). Ideidades auiliares.. ( y z y yz z ( y) (y z) ( z).. ( y)(y z)( z) yz ( y z)(y yz z).. ( y) (y z) (z ) ( y)(y z)(z ).. yz( y z y yz z) ( y z) y z.. y( y y )( y) ( y) y y( y)( y y ) ( y) y.7. ( y)( z)(y z) ( y z) y z.8. ( )( ).9. ( )( ) 7.0. ( )( ). Implicacioes oables Si: ¹ 0 i. a ii. a iii. a a. Ideidades codicioales Si: y z 0; se verifica que: roducos Noables

5 Volume I ÁLGEBRA.. y z (y yz z).. y z yz.. ( y z ) ( y z ) æ öæ ö æ y z y z y z ö.. ç ç ç ç è øè ø è ø æ öæ ö æ y z y z y z ö.. ç ç ç ç è øè ø è 7 ø.6. y z yz(y yz z) ' ' '.7. si : y z y yz z Ù ; y; z Î Observació: ROBLEMAS RESUELTOS. Si: ; ¹. Halle el valor simplificado de a) b) c) 0 d) e) Resolució: Luego:. Sabiedo que e y so úmeros reales ales que: y (y ) y Calcule el valor simplificado de: V y a) b) c) d) e) Resolució: Muliplicado la igualdad por dos: y y Formado riomio cuadrado perfeco: Haciedo: Þ y z ' Si : y z y y z z Ù ;y;z Î Þ ÎN Þ y z 0, ( )( ) 0, \ y y 0 ( y) ( ) 0 y y,reemplazado e V y y 6y V,luego V y y y Si: f( ) ; evalúe f a) b) 0 c) d) e) Resolució: ROBLEMAS ROUESTOS. Si se verifica la igualdad: Halla el valor umérico de: 0 a) b) c) d) e) y. Si: ; halle: E y compare: y y Columa A columa B E E E a) A es mayor que B b)a es meor que B c) No se puede deermiar d) No uilice esa opció! e) A es igual a B y. Si se cumple: y ; idica el meor valor de y a) b) c) d) e). Si se verifica la igualdad: Deermia el valor umérico de:. Si se verifica las codicioes: 0 luego Deermie el valor umérico de: yz reemplazado: f( ) f simplificado: f 0 0 a) 6 b) c) d) e) f y z 9... I y z... II y yz z... III 8 a) b) c) d) e) roducos Noables

6 ÁLGEBRA Volume I CAÍTULO BINOMIO DE NEWTON ARENDIZAJES ESERADOS: Ifiere el desarrollo de dos érmios elevados a u epoee posiivo, ambié eero egaivo y fraccioario. Uiliza el facorial y úmero combiaorio e la epasió de u Biomio de Newo. Evalúa las diferees propiedades e casos pariculares de u Biomio de Newo. FACTORIAL DE UN NÚMERO NATURAL NOTACIÓN:! ó (se lee facorial de ) Se defie: ì Si 0 ó! í î... Si Î N Ù ³ Defiició Coveció! 0! ROIEDADES.!...() Þ!()!. Si: a! b! Þ a b "a,b Î! SEMIFACTORIAL..6...; si es par!! í î...; si es impar NOTACIÓN: NÚMERO COMBINATORIO C k Se lee: combiació de elemeos omados de k e k. Defiició: ROIEDADES: Sea ;kî! ; ³ k ( ) a) Combiacioes complemearias. b) Suma de combiacioes c) Degradació de ídices! ;k Î k C k ; k!k! ³ k k k 0 C C ; C C Ù C k k k C C C k C C ; C C ; C C k k k k k k k k k DESARROLLO DEL BINOMIO Cuado es u úmero aural a) Coados de izquierda a derecha b) Coados k C k de derecha y a izquierda k k es Cel kérmio y de lugar (k) además 0 k ROIEDADES Sea:. El úmero B de érmios y ; de Îsu N desarrollo es (). La suma de los coeficiees de su desarrollo es.. La suma de los epoees de odos los érmios es: a b. Si es par, eise u érmio ceral que ocupa el lugar ß ö ç è ø a b c C y CUANDO ES UN NUMERO RACIONAL (o aural) Coeficiee biomial se defie por: æö... k ç Dode: Î!; èkî! ø k! FORMA GENERAL DEL DESARROLLO Buscamos el desarrollo de () Î! o aural. NOTA: El úmero de érmios æö æde ö su ædesarrollo ö es ilimiado ( ) ç ç ç... (Térmio è0ø geeral) è ø èø æö k Þ k ç èk øotencia DE Forma del desarrollo (fórmula de Leibiz) e el desarrollo de: (abc...) / Î!. Dode: k k k k a b (,y)! a b g a b c... å a b c... a! b! g! NÚMERO DE TÉRMINOS a b g... Ù{ a, b, g,... } Ì Z 0 El desarrollo de: Dode: primera base a seguda base Î! TÉRMINO GENERAL 0 a C C a C a... C a æ ö ç a ¹ ¹ ¹ ç I MMb KM c ML... ;a b c... Ejm. è m ér Cuáos mios ø érmios eise e: (yzw)? ( m )! Resolució: N ér mios! m! Biomio de Newo

7 Volume I ÁLGEBRA æ ö ç ( )! y z w Þ N T 6 ç I MM KM ML! ROBLEMAS RESUELTOS ( )! è m ø Resolució: æ/ ö ç è ø ( ) por fórmula. Simplifique: Resolució:! ( )! ( )! R!! R R ( ). \ Al R reducir: C C C M Resolució: 007 C! éë ( ) ( )( )! [ ] [ ] ùû se obiee: ß öæ öæ ö ç ç ç 6 è øè øè ø \ 6 ROBLEMAS ROUESTOS ) Reduzca: E ( )! ( )! ( )! Rpa:... ) ara que valor de se cumple que: C 7 C8 C7 C 8 C M C8 C8 009 C M C8. Reduce: Rpa: C C C C ) Calcula (Î! ) de modo que uo de los érmios del desarrollo de:, sea de la forma Resolució: C C C C T 7 C C 9 a(y). æ ö A (,y) ç y è y ø Rpa:... ) Cuáos érmios eeros se obiee al desarrollar? 7 7 C C9 C C T 9 7 C C9 7 6C C C C9 T C. Si u érmio C9del desarrollo ( C C de: 9 ) æ y ö Deermie B ç,y a è ø 7 es y 9 9 ( 9 9) 99 Rpa:... ) Halle el úmero de solucioes (; y; z) eeros posiivos de la iecuació: yz<0 Rpa:... Resolució: k k º k C k a y y Þ ep" y " k Ù ep" " k. Halla el érmio e el desarrollo de: \ ½ () Biomio de Newo

8 ÁLGEBRA Volume I CAÍTULO FACTORIZACIÓN DE ASÍ: MULTILICACIÓN E() Ý º ( )( ) FACTORIZACIÓN FACTORIZADO SOBRE!;! ;!!; cojuo campo FACTORIZACIÓN: Es la descomposició de u poliomio de grado posiivo e la muliplicació idicada de sus facores primos sobre u deermiado cojuo o campo umérico. El poliomio El poliomio El poliomio El poliomio E Ý () ( ) Ý () S() Ý 7( )( ) Q () Ý ( )( i)( i) esá facorizado sobre esá facorizado sobre esá facorizado sobre esá facorizado sobre oliomio sobre u cojuo o campo, se llama así cuado sus coeficiees pereece a ese cojuo o campo umérico. IMORTANTE T() º 7 es primo! (coeficiee so coprimos) A? CC F<E;? sobre el cojuo OJO E() º 6 No es primo! A? CC F<E;? sobre el cojuo e! (coeficiee o so coprimos) RIMO e! Se eiede por poliomio primo o facor primo a aquel que es divisible por si mismo. () Ý 7 I M KM L <A S() No es primo pues o es poliomio móico ß ö veamos: S() º ç èim KML ø D BAC ser móico OJO MEJOR Facor primo se eiede como facor irreducible de u poliomio sobre u cojuo o campo umérico. Al facor de u poliomio ambié se le llama divisor, que o ecesariamee es RIMO. ASÍ: De: CONTEO DE FACTORES E Ý ( )( ) () Se iee: MEJOR Facores o facores oales (F.T) Facores primos (F. ) Facores Algebraicos (F.A) F. F.T ( ) 6 Facores compuesos o facores o primos (F. o ) ( )( ) ( ) ( )( ) Epoee de () Epoee de () F.A F.T 6 F. o. F.A F. { Facorizació de oliomios

9 Volume I ÁLGEBRA GENERALMENTE: De: Se iee: F º ( { ) a ( ) b ( ) q... ( ) g () { { { RIMOS Número de facores primos (F.) Número de facores o facores oales (F.T) (a)(b)(q)...(g). Número de facores algebraicos (F.A.) F.T Número de facores o primos (F. o.) F.A F. OBSERVACIONES: Todo poliomio de primer grado E()m es irreducible o primo e cualquier CAMO NUMÉRICO. Como! Ì! Ì! e esos caso sólo cosideraremos el meor cojuo, lo demás es obvio. CRITERIO ARA FACTORIZAR FACTOR COMÚN AGRUACIÓN IDENTIDADES ASA SIMLE ASA DOBLE Se Se Es Es Sirve para facorizar poliomios de 6 érmios Forma geeral ASA DOBLE ESECIAL Sirve para facorizar poliomios de cuaro grado Forma: T A B C D E DIVISORES BINÓMICOS e especial Se Elige las bases comues afecadas al meor epoee así Seleccioa coveieemee los érmios de al maera que geere u facor comú así la aplicació imediaa de alguos producos oables por ejemplo se aplica Aplicable siguiedo pasos: los cuales so m m m ( ;y) a b y cy d { ey { { f Si le fala u érmio, complee co cero e el coeficiee. rocedimieos 6 Uiliza para facorizar poliomios de grado mayor o igual a res rocedimieos ( ;y) º a y b y Facor comú: luego ( ;y) º y (a y by) ( ;y) y z y y agrupado de e (;y) (;y) º º ( ( luego y y z) z)( facores primos y(y y) yz z) A A M B B (A (A e: B)(A B)(A T() eoces B) AB T() ( )( ) facores primos B ) (;y) * Descompoer los eremos * rueba de aspa * Escribir los facores º así y luego ( ;y ) º ( )( ) aso : Aspa Simple: aso : Aspa Simple: 6 aso : Aspa Simple: 6 luego Los facores se adopa horizoalmee aso : Deermie el rago de los posibles valores racioales. ì Divisoresdel T.I ü RR V ± í ý î Divisoresdel C.. þ aso : E base a esos valores realiza evaluacioes hasa coseguir algú valor que logre aularlos. aso : a ra c o s e g u i r o ro s f a c o re s aplicaremos Ruffii cuaas veces sea ecesario.. Dode: T.I.: Térmio idepediee C.. Coeficiee ricipal.v.: osibles valores racioales RR: osible raíces racioales primos sobre! Tambié: (;y) º æ ö ç ( ) è ø primos sobre! OJO Cuado odo los érmios del poliomio so posiivos, solamee probaremos los valores egaivos para. Facorizació de oliomios

10 ÁLGEBRA Volume I Sea el poliomio: TEOREMAS f es facorizable sobre! si y solo si COROLARIO: * El riomio es facorizable sobre! Þ si y solo si su discrimiae D b ac es u cuadrado perfeco ( D K ;K Î ) Todo poliomio cúbico: Ý b c d; a ¹ 0 y { b;c;d} Ì que () o admie raíz racioal, es primo sobre! Dado : ' f Ý p q; { p;q} Ì () p q Î f Ý a b c /{a;b;c} Ì {0} () o compleamos el poliomio para aplicar el "ASA DOBLE Q Ý 6 9 ESECIAL () Ý 0 6 Se debe eer Eoces los facores primos será: Me fala 0. De la epresió: Se iee Ý ( )( ) EJERCICIOS RESUELTOS E Ý b c d q; a ¹ 0 y { b;c;d;q) Ì Si () E () o se facoriza por aspa doble especial, ampoco por divisores biómicos, eoces E() es poliomio primo sobre!! Si el poliomio primiivo f() puede facorizarse como el produco de dos poliomios de coeficiees racioales, eoces puede facorizarse como el produco de dos poliomio de coeficiees eeros. Idica el grado del produco de los facores o primos. F Ý () a) b) c) d) e) 9 0. Facoriza: EJERCICIOS RESUELTOS 0. Idica el úmero de facores primos del poliomio: Resolució: or F Ý y Gauss: y (;y) Dado forma: a b c abc (a b c)(a b c ab ac bc) Luego idica el úmero de facores 0 primos. T Ý 8 y z y z 6 z 9y z (;y;z) a) b) c) d) e) 6 0. U facor primo de: es: E Ý a) () b) c) F º ( y) () ( y)() (;y) Se obiee facores primos y so: y; y yy y facores º algebraicos ( y )( y y y) d) e) 0. Luego de facorizar: 0. Facoriza: Resolució: 7 Sumado E Ý y resado () 7 E Ý () 7 º ( ) por aspa simple ( ) Þ Fialmee: ( ) Þ E Ý ( )( ) esá facorizado () 0. Facoriza: Señala la suma de coeficiees de u facor primo. º ( ) ù () ë û a) b) c) d) e) 0. Facoriza: Luego idica el facor primo 0 de segudo 6 E Ý grado () a) b) c) d) e) Resolució: Q Efecuado Ý ( )( () operacioes ) ( previamee: ) 6 Facorizació de oliomios

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