Nivelación de Cálculo

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1 Guí de Conceptos y Ejercicios Aplicdos l Cálculo Desrrolldos y Propuestos 1. Potencis. Nivelción de Cálculo Ejeplo plicdo l cálculo: Clcul el siguiente líite: n n lí 5 Pr desrrollr este ejercicio de cálculo, dees ser cóo plicr ls propieddes de ls potencis pr descoponer l expresión.. Ls propieddes de ls potencis 1 ue necesits recordr son ls siguientes: Propieddes de Coposición Propieddes de Descoposición n n n n n n n n n n n n. Aplicndo ls propieddes, verás ue l descoposición uedrá sí: n n n 9 lí lí lí lí 0 0 n 5 n 5 5 n 5 n 5 5 Que, en este cso, corresponde l resultdo finl del ejercicio. EJERCICIOS PROPUESTOS. Descopone o copone ls siguientes expresiones, plicndo ls propieddes: ) ) 4 n5 n5 n1 4x1 x 5 5x 7 7 x x 4 4 4x 1 Ests propieddes son plicles ls ríces, de cuerdo l concepto presentdo en l siguiente págin. Propieddes de Coposición se refiere coponer o unir expresiones con potencis de cuerdo cierts condiciones. Se refiere con Propieddes de Descoposición, descoponer o seprr expresiones con potencis. 1

2 .. Ríces. Ejeplo plicdo l cálculo: Deterin l integrl de l función: f x 4 x. Pr desrrollr este ejercicio de cálculo, dees ser cóo rcionlizr y siplificr frcciones lgerics.. Ls Propieddes de ls Ríces ue necesits recordr, y ue son usds coúnente, son ls siguientes: Propieddes de Coposición Propieddes de Descoposición p p p p p. Un ríz corresponde un potenci de exponente frccionrio, es decir: p c. Por lo tnto pr clculr l integrl, es conveniente plicr l definición, entonces tendrás: 4 4 x dx x dx... Expresión ue es de integrción ucho ás direct. EJERCICIOS PROPUESTOS. Descopone, copone o reduce ls siguientes expresiones rdicles, plicndo ls propieddes y l definición de Ríz, coo potenci de exponente frccionrio: ) 0 xy 15 ) x 1 x 1 1 x x 6 x Rcionlizción. Ejeplo plicdo l cálculo: Clcul el siguiente líite: lí x 5 x4 x 4 Pr desrrollr este ejercicio de cálculo, dees ser rcionlizr y siplificr frcciones lgerics.. Al sustituir el vlor x 4 en l frcción lgeric, se nul el nuerdor y el denoindor: 4 5 0?, por lo tnto es necesrio rcionlizr l frcción pr siplificr Propieddes de Coposición se refiere coponer o unir expresiones con ríces de cuerdo cierts condiciones. Se refiere con Propieddes de Descoposición, descoponer o seprr expresiones con ríces.

3 . Considereos l frcción x 5, entonces l rcionlizr, uedrá lo siguiente: x 4 x 5 x 5 x 5 x 4 1 x 4 x 5 x 4 x 5 x 4 x 5 x 5 c. Ahor, l sustituir, ued: lí x lí x 4 x x4 x4 Que, en este cso, corresponde l resultdo finl del ejercicio. EJERCICIOS PROPUESTOS. Rcionliz ls siguientes expresiones: ) ) x1 x 1 x x 9 x x x 4 x x 1 x. Productos Notles. Ejeplo plicdo l cálculo: Clcul l integrl: x dx Pr resolver este ejercicio de cálculo, deerás utilizr étodos de resolución ue prenderás ás delnte, pero tién puedes plicr conceptos de productos notles y resolver directente.. Los productos notles ás utilizdos son los siguientes: Nore Térino por Expresión Algeric Desrrollo Cudrdo de Binoio Su por Diferenci Cuo de Binoio Producto de dos Binoios con un Térino en Coún x x x x. Por lo tnto, plicndo el cuo de inoio, tendrás: x dx x x x dx 7x 54x 6x 8 dx

4 7x dx 54x dx 6x dx 8 dx 7 x dx 54 x dx 6 x dx 8 1 dx... Expresión ue pese estr descopuest es ás térinos, es ucho ás sencill de integrr. EJERCICIOS PROPUESTOS. Desrroll los siguientes productos notles: x x ) x 7x 5 ) x 1 14x 5y 7x 4. Fctorizción. Ejeplo plicdo l cálculo: Clcul el siguiente líite: x 4x 1 lí x x 9 Pr desrrollr este ejercicio de cálculo, dees ser de ué for fctorizr y siplificr frcciones lgerics. Ls fctorizciones ás utilizds son ls siguientes: Nore Desrrollo Diferenci de Cudrdos Diferenci de Cuos Su de Cuos Trinoio de Segundo Grdo x x x x. Al sustituir el vlor x en l frcción lgeric, se nul el denoindor y el nuerdor: 4 1 0?. Por lo tnto dees siplificr l frcción, plicndo fctorizción. 9 0 c. Consider l frcción: x 4x 1, entonces x 9 x 7 x x x x 4x 1 x 9 x 7. x x 4x 1 x d. Ahor, l sustituir, teneos lo siguiente: lí lí. x x 9 x x 6 Que, en este cso, corresponde l resultdo finl del ejercicio. EJERCICIOS PROPUESTOS. Fctoriz y siplific ls siguientes frcciones lgerics: ) ) x x x x 1 x 5x 6 x 9 x 9x 0 x x 0 4

5 x 1 x x x 4 x 8 5. División de Polinoios. Ejeplo plicdo l cálculo: Clcul l siguiente integrl: x dx x1 Pr desrrollr este ejercicio de integrles, el nuerdor dee ser de enor grdo ue el denoindor.. Pr ese efecto, deerás dividir lgericente, coo se uestr continución, donde x Dividendo ; y x 1 Divisor : x x 1 x x 1 Cuociente x x 0 x x x x x1 Resto. El resultdo de l división se expres sí: c. L integrl se trnsfor en lo siguiente: Dividendo Resto Cuociente. Divisor Divisor x Resto dx Cuociente dx x x 1 dx x 1 Divisor x 1 x x 1 dx dx... x1 Que corresponde integrles directs (siples y/o sencills), coo prenderás edid ue vnces en el curso. EJERCICIOS PROPUESTOS. Clcul ls siguientes divisiones lgerics: ) ) x x 5 x x x 1 x 1 x x x x 1 4 x x x 1 5 x x x x 1 5

6 6. Logritos 4. Ejeplo plicdo l cálculo: Clcul l derivd de l función: f x xx 1 ln x. Desrrollr este ejercicio de cálculo es ucho ás sencillo, si plics l descoposición de logritos usndo ls propieddes.. Ls propieddes pr descoposición de logritos son ls siguientes: Logrito Bse n log log log n n n Logrito Nturl ln ln ln logn logn logn ln ln ln p n ln p logn p log p ln p p logn logn p p ln ln. Aplicndo ls propieddes, verás ue l descoposición ued sí: xx 1 ln lnx x 1 ln x lnx ln x 1 ln x x Expresión ue pese estr descopuest es ás térinos, es ucho ás sencill de derivr. EJERCICIOS PROPUESTOS. Descopone ls siguientes expresiones logrítics: log x x ) x1 log x ) ln x 1 x 1 4ln 4 1x 4x log log 1 x 5 7. Ecuciones de Prier Grdo. Ejeplo plicdo l cálculo: Deterin l síntot de l función: f x logx Verás ue generlente, este procediiento es PARTE DE UN EJERCICIO, y deerás considerr ue l síntot se deterin igulndo el rguento del logrito cero. 4 Es MUY iportnte ue recuerdes ue: lne 1 p lnp lne e p 6

7 . Tendrás entonces ue igulr el rguento cero, es decir: x 0 Ec. de Prier Grdo.. Resuelves l ecución: x 0 x x. c. Esto iplic ue l síntot es l rect perpendiculr l eje X ue ps por gráfic, prece en líne segentd: x, y ue en l siguiente EJERCICIOS PROPUESTOS. Resuelve ls siguientes Ecuciones de Prier Grdo: x 1 7x 5 ) 4x 5x 1 x 1 6x ) 9x 1 x 1 x 5x 1 x x 7x x 1 x 1 x 5 x 4 8. Ecuciones de Segundo Grdo. Ejeplo plicdo l cálculo: Deterin l intersección l eje X de l función: f x x 50. Verás ue generlente, este procediiento es PARTE DE UN EJERCICIO, y deerás considerr ue l intersección se deterin igulndo l función cero.. Tendrás entonces ue y f x x 50 0 x 50 0 Ec. de Segundo Grdo.. L fórul pr resolver ecuciones de segundo grdo de l for 4c x. x x c 0, es: x1 5 c. Entonces, pr x 50 0 x 5 4 x 5 c 50 7

8 d. Por lo tnto l intersección corresponde los puntos 5,0 y 5,0 siguiente gráfic:, ue precen destcdos en l EJERCICIOS PROPUESTOS. Resuelve ls siguientes Ecuciones de Segundo Grdo: 4x x 0 ) xx 5x ) x x 44 x 9x 1 x 5 x x 5x 4 x 5 x 1 0x x Sistes de Ecuciones de Prier Grdo. Ejeplo plicdo l cálculo: 9 x Descopone en frcciones prciles l expresión: x x 10 Verás ás delnte ue este procediiento es PARTE DE UN EJERCICIO (Integrles, por ejeplo), y pr resolverlo, es necesrio descoponer l frcción en frcciones ás sencills.. Pr este procediiento, ue prenderás durnte el seestre, se dee fctorizr el denoindor y seprr en, pr este cso, dos frcciones: 9 x A B x x 5 x x 5.. Multiplicos l iguldd por el MCM y teneos lo siguiente: 9 x A x 5 B x 9 x Ax 5A Bx B A B 1 x 9 A B x 5A B Sist. de Ecuciones de Prier Grdo. 5A B 9 c. Aplicndo el Método de Reducción (hy vrios, ue deerás recordr), tendrás lo siguiente: A B 1 Multiplics l prier ecución por 5A B 9 A B Sus s ecuciones 7A 7 A 1 B 5A B 9 d. L descoposición ued sí: 9 x 1, lo ue es ás sencillo resolver. x x 10 x x 5 8

9 EJERCICIOS PROPUESTOS. Resuelve los siguientes Sistes de Ecuciones de Prier Grdo: ) ) x y 7 x y 1 4x y 5 x y 11 x y 5x y 8 x y 11 x y 1 4 x 1 y x 5 y Sistes de Ecuciones de Segundo Grdo. Ejeplo plicdo l cálculo: Deterin l intersección entre l circunferenci de rdio r 5 y l función f x x 1. Verás ás delnte ue este procediiento es PARTE DE UN EJERCICIO, y pr resolverlo, es necesrio deterinr puntos en coún entre ls gráfics.. L circunferenci de rdio tiene coo ecución f x y x 1. x y 5 x y 5, deás, teneos ue. Pr deterinr l intersección, deeos resolver: x y 5 y x 1 Sist. de Ecuciones de Segundo Grdo. c. Aplicndo el étodo de Sustitución, tendrás lo siguiente: x y 5 Sustituyes l ecución "" en l "1" x x 1 5 x x x y x x1 x x 4 0 x 4 x 1 c4 d. Por lo tnto los puntos de intersección, l sustituir en ls ecuciones, son,1 y 1, destcdos en l siguiente gráfic:, ue precen 9

10 EJERCICIOS PROPUESTOS. Deterine ls soluciones de los siguientes Sistes de Ecuciones de Segundo Grdo: Deterin l intersección entre y x e y x 1. ) Deterin l intersección entre y x e y x. ) Deterin l intersección entre y x e y x. Deterin l intersección entre y x e y x. x y 0. x y Inecuciones. Ejeplo plicdo l cálculo: Deterin el doinio de l función: f x x. Verás ue, generlente, este procediiento es PARTE DE UN EJERCICIO, y pr resolverlo, es necesrio deterinr cundo el rdicndo es positivo.. L siguiente es un Tl ue entreg los diferentes csos pr deterinr soluciones de un inecución: Desiguldd Intervlo Gráfic x,, x x x,,,,,,. Pr el cso del prole, el rdicndo (o rguento de l ríz) dee ser yor o igul cero, es decir: x 0. c. Resuelves entonces, despejndo x y plicndo ls propieddes de ls inecuciones: x 0 x Dof,, cuy gráfic corresponde : EJERCICIOS PROPUESTOS. Resuelve ls siguientes inecuciones: 4x x 5 ) 75x x ) x 5x 11 4x x 1 5x 1 x x 1 x 10

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