UNIDAD N 3: EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "UNIDAD N 3: EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS"

Transcripción

1 Mtemátic Unidd - UNIDAD N : EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS ÍNDICE GENERAL DE LA UNIDAD Epresiones Algebrics Enters Polinomios..... Actividdes... 4 Vlor Numérico del polinomio Concepto de ríz de un polinomio. 4 Actividdes... 5 Operciones con Polinomios Sum (Rest) de Polinomios Multiplicción de Polinomios Productos Especiles: Cudrdo de un binomio Cubo de un binomio Diferenci de cudrdos División de Polinomios División de un polinomio por un polinomio culquier División de un polinomio por un binomio (Regl de Ruffini). 8 Teorem del Resto Actividdes... 9 Fctorizción de Polinomios Fctor Común.. 0 Trinomio Cudrdo Perfecto Diferenci de Cudrdos..... Fctorizción por medio de ríces: Teorem Fundmentl del Algebr..... Determinción de ls ríces pr un polinomio de primer grdo.. Determinción de ls ríces pr un polinomio de segundo grdo.... Determinción de ls ríces rcionles pr un polinomio de grdo mor que dos con coeficientes enteros Actividdes... 5 Ejercicios prácticos.. 6 Fcultd de Ciencis Ects Físics Nturles - U N S J -

2 Mtemátic Unidd - ÍNDICE REDUCIDO DE TEMAS DE LA UNIDAD ESTA UNIDAD CONTIENE LOS SIGUIENTES TEMAS: EXPRESIONES ALGEBRAICAS VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO OPERACIONES CON POLINOMIOS EN UNA INDETERMINADA FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS DISTINTOS CASOS DE FACTORIZACIÓN CONSEJOS A TENER EN CUENTA ANTES DE EMPEZAR: LEER CON MUCHA ATENCIÓN LOS CONTENIDOS. PONER ÉNFASIS EN LOS EJEMPLOS. RESOLVER MINUCIOSAMENTE LOS EJERCICIOS. CONSULTAR LAS DUDAS QUE PUEDAN SURGIR. Fcultd de Ciencis Ects Físics Nturles - U N S J -

3 Mtemátic Unidd - EXPRESIONES ALGEBRAICAS Es un conjunto de letrs números ligdos por operciones (sum, rest, multiplicción división). Ejemplos: Son epresiones lgebrics ) V = π r h, es un epresión lgebric en ls vribles r h. 5 b) 0 5 es un epresión lgebric en l vrible. 7 c) ( + b) - -.b es un epresión lgebric en ls vribles b. Alguns epresiones lgebrics en prticulr, con ls que se trbjrá en est sección, reciben el nombre de polinomios. POLINOMIOS Un polinomio de grdo n, en l indetermind es un epresión lgebric de l form: En el cul: P() = n n + n- n , n 0 n, n-,...,, 0, son números reles denomindos: coeficientes. es un vrible denomind: vrible rel. n es un número nturl que indic el grdo del polinomio. Pr tener en cuent: Si el polinomio es de grdo cero, se llm polinomio constnte. El coeficiente de l mor potenci de se llm coeficiente principl. Si el coeficiente principl es, el polinomio se dice mónico. El coeficiente 0 se llm término independiente. El polinomio de un solo término (no nulo) se llm monomio, el de dos (no nulos), binomio, etc. Dos monomios son semejntes si tienen l mism prte literl. Si l polinomio no le fltn términos se lo llm polinomio completo. El polinomio puede estr ordendo (en form creciente o decreciente), o desordendo. Fcultd de Ciencis Ects Físics Nturles - U N S J -

4 Mtemátic Unidd - 4 Si todos los coeficientes son nulos, incluso 0, el polinomio no tiene grdo se llm polinomio nulo. Desfío: Averigu cómo se denomin los polinomios que sólo tienen dos términos; los que tienen sólo tres términos. Esto es interesnte, pues más delnte los utilizremos mu menudo. ACTIVIDADES. Decir si ls siguientes epresiones son polinomios, en cso de no serlo indicr porqué. ) P() = b) Q() = c) R() = Indicr el grdo de cd uno de los siguientes polinomios: ) P() = + 4 b) P() = c) P() = Indicr si los polinomios están completos, ordendos o mbos. En cso de no estrlo escribirlos completos ordendos en form decreciente. ) P() = 4 + b) P() = Sbiendo que: ( + b) + + (c+ ) d c = , clculr, b, c, d. Dos polinomios son igules si sus monomios semejntes son igules VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO Ddo un polinomio P(), l sustituir l vrible por un número se obtiene un número que se denot P() que es el vlor numérico de P() pr =. Ejemplo: Encontrr el vlor numérico del polinomio P() = + 4 pr = P() = +. 4 = 6 Se dice que es ríz del polinomio P() si sólo si P() = 0. Fcultd de Ciencis Ects Físics Nturles - U N S J -

5 Mtemátic Unidd - 5 ACTIVIDADES Hllr el vlor numérico de los siguientes polinomios e indicr si es ríz. ) P() = + 4, pr = b) P() = + 4 +, pr = 0 OPERACIONES CON POLINOMIOS Pr operr con polinomios result conveniente completrlos ordenrlos en form decreciente, unque pr l sum (rest) producto no es imprescindible. Sum (rest) de Polinomios L sum (rest) de dos polinomios es otro polinomio que se obtiene sumndo (restndo) los monomios semejntes. Ejemplos: Sen P( ) = Q( ) = , determinr: ) P( ) + Q( ) b) P( ) Q( ) ) Completndo ordenndo los polinomios ubicándolos de mner que resulten encolumndos los monomios semejntes, result: P() Q() P() + Q() b) P() Q() P() Q() Multiplicción de Polinomios Pr multiplicr dos polinomios se plic l propiedd distributiv del producto respecto de l sum luego se sumn los monomios semejntes. Fcultd de Ciencis Ects Físics Nturles - U N S J -

6 Mtemátic Unidd - 6 Ejemplo: Ddos los polinomios R() = 4 + S() = , obtener R() S() En efecto: R( ) S( ) = ( 4 + ) ( )= = = = Productos Especiles: Cudrdo de un binomio "El cudrdo de un binomio es siempre un trinomio, llmdo trinomio cudrdo perfecto, formdo por el cudrdo del primer término más el duplo del primero por el segundo más el cudrdo del segundo término". ( b) =..b + b Ejemplo: Se A () = 5 +, determinr A (). A () es lo mismo que [ A () ] A().A() = ( 5 + )( 5 + ) = = = [ A () ] 5.5. Aplicndo l propiedd, result: [ A () ] = = Cubo de un binomio El cubo de un binomio es siempre un cutrinomio, llmdo cutrinomio cubo perfecto, formdo por el cubo del primer término más el triplo del cudrdo del primero por el segundo, más el triplo del primero por el cudrdo del segundo, más el cubo del segundo término." ( b ) =.. b +..b b Ejemplo: Se B () = +, determinr B().B().B() = [B()] B().B().B() = ( + ). ( + ) ( + ) = ( ).( + ) = Fcultd de Ciencis Ects Físics Nturles - U N S J -

7 Mtemátic Unidd - 7 = = = = [B()].. Aplicndo l propiedd, result: [B()] = = Cso prticulr (Diferenci de cudrdos) El producto de l sum por l diferenci de dos términos es igul l diferenci de los cudrdos de mbos, es decir ( + b). ( b) = b Ejemplo: Se R() = P() = +, entonces R(). P() = ( ) ( + ) Aplicndo l propiedd: R(). P() = ( ) ( + ) = 4 O por producto de binomios, tenemos: R(). P() = ( ) ( + ) = + 4 = 4 División de un polinomio por un polinomio culquier Dividir un polinomio D() (dividendo) por otro polinomio Q() (divisor) de grdo menor o igul que D(), es obtener dos polinomios: C() (cociente) R() (resto), únicos, tl que: D() = Q(). C() + R() D() C() Q() R() Q() Ests igulddes provienen de efectur l división: D() R() Q () C () Tener en cuent que: L división se reliz emplendo el mismo lgoritmo que se utiliz pr dividir números reles. Es imprescindible ntes de efectur l división completr ordenr en form decreciente el polinomio D(). Mientrs que el polinomio Q() sólo debe estr ordendo en form decreciente Ejemplo: Sen D() = Q() = + +, clculr D() : Q() Fcultd de Ciencis Ects Físics Nturles - U N S J -

8 Mtemátic Unidd - 8 Se ordenn mbos polinomios se complet D() _ Luego: C() = + R() = + Cso prticulr de división de polinomios cundo el divisor se un binomio de l form: Q() = ( ) o Q() = ( + ) En este cso es posible plicr el método conocido como: Regl de Ruffini. Ejemplo de plicción de l Regl de Ruffini. Sen D() = Q() =, clculr D() Q(). ) En primer lugr h que completr ordenr en form decreciente el polinomio D() = ) Proceder como se indic en el siguiente esquem: Coef. de D() = Resto R() Coef. de C() El grdo del polinomio cociente es un grdo menor que el grdo de D(), por lo tnto: Cociente: C() = Resto: R() = 9 Al dividir D() en Q() por el lgoritmo de l división, D() result: D() = C().Q() + R() Fcultd de Ciencis Ects Físics Nturles - U N S J -

9 Mtemátic Unidd - 9 Si el resto R() = 0, entonces D() = C(). Q(); esto indic que D() es divisible por Q(). TEOREMA DEL RESTO El vlor numérico que tom el polinomio D() en =, es decir D(), coincide con el resto de dividir D() por (-) D() R = D() C() El teorem nterior es de grn utilidd pues nos permite segurr que: Si = es ríz de D() entonces D() es divisible por ACTIVIDADES. Colocr Verddero ó Flso según correspond, justificr ) + = +... b) + = c) = + 0,5.... Sen los polinomios: M() = 5 ; N() = + ; K() =. Clculr: ) M() + 4N() + K() f) M() : K() b) M() N() g) M(). K() c) M() + N() K() h) [M()] d) M(). N() i) [N()] e) M() : N(). Aplicr l regl de Ruffini pr clculr ls siguientes divisiones verificr el resto por el teorem de resto. ) P() = , Q() = b) P() = , Q() = + 4. Encontrr un polinomio P() tl que: A() B() + P() = , siendo: A() = B() = Fcultd de Ciencis Ects Físics Nturles - U N S J -

10 Mtemátic Unidd Al multiplicr P() por se obtuvo 5 4. Cuánto vle P()? 6. Al dividir M() en se obtuvo 5. Cuánto vle M()? 7. Indicr, sin relizr l división, si los siguientes polinomios son divisibles: ) P() = + ; Q() = b) P() = ; Q() = + 8. Hllr el vlor de "k" pr que los siguientes polinomios sen divisibles ) P() = + k 8 Q() = b) P() = ( + k) + k 5 Q() = FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Qué es fctorer un polinomio? Fctorizr o fctorer un polinomio signific escribirlo como producto de fctores (cd fctor es un polinomio irreducible). Cómo se hce? Pr fctorizr un polinomio es necesrio recordr lgunos csos sencillos de fctorizción de polinomios: Fctor Común Scr o etrer fctor común signific identificr en todos los términos del polinomio ddo quellos fctores que se repiten, gruprlos epresr el polinomio originl como producto de un monomio, constituido por los fctores comunes, por un polinomio con términos en los que fltn los fctores presentes en el monomio. Ejemplos: ) Ddo P() = Es fácil ver que todos los números son divisibles por que ls letrs son divisibles por, por lo tnto es el fctor común todos los términos, luego etremos qued el polinomio fctoredo de l siguiente form: P() = ( 9 + ) Fcultd de Ciencis Ects Físics Nturles - U N S J -

11 Mtemátic Unidd - b) Ddo R() = 8 b 5 6 b c z b 4 c 4 z, fctorizdo qued R() = b ( 4 b c z b c 4 z ) Trinomio Cudrdo Perfecto Al estudir el cudrdo de un binomio se obtuvo como resultdo un trinomio, llmdo trinomio cudrdo perfecto: P() = ( ) = + Pr sber si un trinomio es un cudrdo perfecto, se debe nlizr:. Si dos de los términos son cudrdos perfectos, en ese cso h que buscr sus bses.. Si el término restnte es el doble producto de ls bses. Ejemplo: P( ) = () (5)..5 = 0 Por lo tnto: = ( 5 ) Diferenci de Cudrdos Si el polinomio ddo es un binomio con mbos términos cudrdos perfectos, uno de ellos es negtivo, entonces se podrá fctorizr como el producto de l sum por l diferenci de ls bses de esos cudrdos. P() = = ( + ). ( ) Ejemplos: ) Se P() = 9 Ls bses son: 9 = () = () Luego el polinomio quedrá fctoredo: P() = 9 = ( + ).( ) b) Se R(s) = ( 9 s + 4 t ) = (4 t 9 s ) = ( t s). ( t + s) pues 4t = (t) 9s = (s) Fcultd de Ciencis Ects Físics Nturles - U N S J -

12 Mtemátic Unidd - Teorem Fundmentl del Álgebr. Fctorizción por medio de ríces Todo polinomio de grdo n tiene lo sumo n ríces. Por lo tnto es posible fctorizr el polinomio P() de grdo n, de l siguiente mner: Si P()= n n + n- n tiene n ríces,,..., n entonces P() = n ( ).( )... ( n- ).( n ), con n coeficiente principl. Ejemplo: Se el polinomio P() = sus ríces son: =, =, = Según el Teorem Fundmentl del Álgebr quedrá fctorizdo: P() = =. ( ).( ).( ()) = ( ).( ).( + ) El Teorem nterior es de grn utilidd, siempre que se conozcn ls ríces del polinomio. L pregunt es entonces, Cómo determinr ls ríces en distintos polinomios? A continución se presentn ls forms de fctorizr un polinomio plicndo el Teorem Fundmentl del Algebr de cuerdo l número de ríces que posee dicho polinomio, en concordnci con su grdo. Pr un polinomio de primer grdo (linel) P()= + b Ríces de polinomios de primer grdo Si el polinomio es de l form: P() = + b, con 0, pr determinr l ríz igulmos el polinomio cero, o se P() = 0, despejrmos. Luego el polinomio fctorizdo qued: P() = ( ) Fcultd de Ciencis Ects Físics Nturles - U N S J -

13 Mtemátic Unidd - Ejemplo: Fctorizr P() = 5 utilizndo el Teorem nterior. Pr encontrr su ríz igulmos cero despejmos, es decir: 5 = 0. Sumndo 5 mbos miembros, tenemos: = 5. 5 Dividiendo miembro miembro por, result = Luego = 5 es ríz de P() = 5. El polinomio P() fctorizdo qued: P() = ( 5 ). Pr un polinomio de segundo grdo P() = +b + c Ríces de polinomios de segundo grdo Si el polinomio es de l form: P() = +b + c, con 0, pr determinr ls dos ríces igulmos el polinomio cero, o se P() = 0 + b + c = 0 Pr encontrr los vlores de que verificn est iguldd se us l conocid fórmul:, b b 4c Estos vlores, pueden ser números reles distintos, números reles e igules números imginrios. Luego el polinomio fctorizdo qued: P() = ( ) ( ) Ejemplo: Ddo el polinomio P() = 5 + 6, determinr ls ríces fctorizrlo., = b b 4c = = = El polinomio P() fctorizdo qued: P() = ( )( ) = ( ).( ) Fcultd de Ciencis Ects Físics Nturles - U N S J -

14 Mtemátic Unidd - 4 Ríces de polinomios de grdo mor o igul dos Pr encontrr ls ríces de un polinomio de tercer grdo, (o mor) de coeficientes enteros, se deberá plicr el siguiente procedimiento: Ddo P () = n n + n - n con 0 0 Buscr los divisores de los términos 0 (independiente) n ( principl) Generr el conjunto de "posibles ríces" con tods ls frcciones Divisores de Divisores de 0 n Probr, utilizndo el Teorem del Resto, cd un de ests frcciones hst obtener un ríz de P(). Aplicndo Ruffini se divide P() en ( ) (siendo l primer ríz encontrd) se obtiene un polinomio de un grdo menor que el ddo. Si éste es dos, se plic el procedimiento de polinomios de grdo dos; si es mor se busc otr ríz se repite desde el pso nterior.. Los psos nteriores sólo sirven pr hllr ls ríces rcionles del polinomio, ls irrcionles ls complejs conjugds se determinn con otros lgoritmos.. Si 0 = 0, fctorer primero etrendo fctor común si el polinomio resultnte verific el enuncido, plicr el procedimiento enuncido. Ejemplo: Se P() = 5 + 6, encontrr sus ríces fctorizrlo 0 = 6 = Ls posibles ríces son: Divisores de Divisores de 0 n : 6, 6,,,,,, P( ) = ( ) ( ) 5 ( ) + 6 = 8 0 no es ríz de P() P( ) = = 0 es ríz de P() Dividir P() por ( ) usndo Regl de Ruffini C() = 6 R() = 0 Fcultd de Ciencis Ects Físics Nturles - U N S J -

15 Mtemátic Unidd - 5 Por lo tnto: P() = Puede epresrse: P() = ( 6). ( ) Determinr ls ríces de C( ) = 6 = 0 =, b b 4c 4.( 6) 5 = = = Por lo tnto ls ríces del polinomio P( ) son: =, =, = El polinomio P() fctorizdo es: P() =. ( ). ( ). ( + ) ACTIVIDADES. Fctorer los siguientes polinomios: ) P() = g) C() = b) R() = h) A() = 6 c) M() = 6 + z 4 8 z i) B() = 4 d) N() = 64 + z j) C() = e) T() = 6 4 k) D() = f) D() = 8 l) E() = Encontrr ls ríces de los siguientes polinomios fctorerlos según el Teorem Fundmentl del Álgebr. ) R() = + b) P() = c) Q(z) = z 5 5 z + 4 z + z 4 5 z + d) M() = Simplificr resolver: (Recordr que pr simplificr h que fctorizr previmente l epresión) ) d) : Fcultd de Ciencis Ects Físics Nturles - U N S J -

16 Mtemátic Unidd - 6 u v u v b) : u v u v e) c) 5 6 f) EJERCICIOS PRÁCTICOS Ejercicio : Determinr, si ls siguientes epresiones lgebrics, son polinomios. En cso firmtivo, indicr su grdo. d) ) b) e) c) f) 0, Ejercicio : Teniendo en cuent los siguientes polinomios, completr el cudro. R() = + ; N() = ; Q() = - + 4; H() = N() - H() R() + Q() - H() P() H() N() : H() Q() : R() N() : P() R R N() + R() P() R ; P() = 4 - Ejercicio : Aplicr l relción de l división P() = C()Q() + R(), pr encontrr un polinomio que dividido entre:, de cociente: + resto:. Ejercicio 4: Si H m 6 00 cero, de dicho polinomio., siendo m un número entero, verigur si 5 es un Ejercicio 5: Obtener el vlor de t, sbiendo que l dividir B 6 t binomio:, se obtiene resto 0. Fcultd de Ciencis Ects Físics Nturles - U N S J -, por el

17 Mtemátic Unidd - 7 Fcultd de Ciencis Ects Físics Nturles - U N S J - Ejercicio 6: Obtener ls siguientes potencis ) b c) b b) 5 d) b Ejercicio 7: Usndo el teorem Fundmentl del Algebr, fctorizr los siguientes polinomios. H T Q 0 5 R P Ejercicio 8: Ddo el polinomio fctorizdo, determinr el polinomio originl. ) P() =.( ).( + ) b) Q() = -..( + ).( - ) c) R() = -.( + ) d) S() = -.( ).( + ) Ejercicio 9: Averigur, cul es l respuest correct: 4 4 ) 4 4 b) Ejercicio 0: Reducir l mínim epresión simplificr: ) 9 9 d) z z z z z b) e) 9 6 : c) b b b b b f)

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112 FACULTAD DE INGENIERÍA - UNJ Unidd : olinomios UNIDAD olinomios Introducción - Epresiones lgebrics - Clsificción de ls epresiones lgebrics - Epresiones lgebrics enters 7 - Monomios 7 - Grdo de un monomio

Más detalles

Álgebra 1 de Secundaria: I Trimestre. yanapa.com. a n. a m = a n+m. (a. b) n = a n. b n. ;. (a n ) m = a n. m.

Álgebra 1 de Secundaria: I Trimestre. yanapa.com. a n. a m = a n+m. (a. b) n = a n. b n. ;. (a n ) m = a n. m. Álgebr 1 de Secundri: I Trimestre I: EXPRESIONES ALGEBRAICAS R Sen 1 Son epresiones lgebrics T 1 log R',, z 3 z A 1 TÉRMINO ALGEBRAICO TÉRMINOS SEMEJANTES ) 3z ; - 3z ; 6z Son términos semejntes b) b;

Más detalles

UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS

UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS Repúblic Bolivrin de Venezuel Universidd Alonso de Ojed Administrción Mención Gerenci y Mercdeo UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS Ing. Ronny Altuve Ciudd Ojed, Septiembre de 2015 Conjuntos Numéricos ) Los Números

Más detalles

UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS

UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS Repúblic Bolivrin de Venezuel Universidd Alonso de Ojed Administrción Mención Gerenci y Mercdeo UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS Ing. Ronny Altuve Ciudd Ojed, Myo de 2015 Operciones Básics con Frcciones Número

Más detalles

1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. CLASIFICACIÓN

1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. CLASIFICACIÓN http://www.cepmrm.es ACFGS - Mtemátics ESG - /0 Pág. de Polinomios: Teorí ejercicios. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. CLASIFICACIÓN Tnto en mtemátics, como en físic, en economí, en químic,... es corriente el

Más detalles

Clase 2: Expresiones algebraicas

Clase 2: Expresiones algebraicas Clse 2: Expresiones lgebrics Operr expresiones lgebrics usndo ls propieddes lgebrics de ls operciones sum y producto, propieddes de ls potencis, regls de signos y préntesis. Evlur expresiones lgebrics

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS: MONOMIOS Y POLINOMIOS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS: MONOMIOS Y POLINOMIOS EXPRESIONES LGERIS: MONOMIOS Y POLINOMIOS EXPRESIÓN LGERI.- Un epresión lgeric es culquier cominción de números letrs unidos por ls operciones ritmétics (sum, rest, multiplicción, división, potenci, (o)

Más detalles

Guía de álgebra básica para alumnos de nuevo ingreso. Academia de ciencias básicas

Guía de álgebra básica para alumnos de nuevo ingreso. Academia de ciencias básicas Guí de álgebr básic pr lumnos de nuevo ingreso Acdemi de ciencis básics ÁLGEBRA Álgebr es l rm de l Mtemátic que emple números, letrs signos pr poder hcer referenci múltiples operciones ritmétics. El término

Más detalles

el blog de mate de aida.: ECUACIONES 4º ESO pág. 1 ECUACIONES

el blog de mate de aida.: ECUACIONES 4º ESO pág. 1 ECUACIONES el blog de mte de id.: ECUACIONES º ESO pág. ECUACIONES ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Un ecución de segundo grdo tiene l form generl: +b+c=0. (El primer sumndo del primer miembro no puede ser nunc nulo,

Más detalles

CORPORACION UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACION SUPERIOR CUN DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS: MATEMATICAS

CORPORACION UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACION SUPERIOR CUN DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS: MATEMATICAS CORPORACION UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACION SUPERIOR CUN DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS: MATEMATICAS ACTIVIDAD ACADEMICA: LOGICA Y PENSAMIENTO MATEMATICO DOCENTE: LIC- ING: ROSMIRO FUENTES ROCHA UNIDAD

Más detalles

Ecuaciones de 1 er y 2º grado

Ecuaciones de 1 er y 2º grado Ecuciones de 1 er y º grdo Antes de empezr resolver estos tipos de ecuciones hemos de hcer un serie de definiciones previs, que irán compñds por lgunos ejemplos. Un iguldd lgebric está formd por dos epresiones

Más detalles

TEMA 3: Polinomios y fracciones algebraicas. Tema 3: Polinomios y fracciones algebraicas 1

TEMA 3: Polinomios y fracciones algebraicas. Tema 3: Polinomios y fracciones algebraicas 1 TEMA Polinomios y frcciones lgerics Tem Polinomios y frcciones lgerics ESQUEMA DE LA UNIDAD.- Operciones con polinomios...- Sum y rest de polinomios...- Producto de polinomios...- División de polinomios..-

Más detalles

Ejercicios. 1.- Simplificar: a) Calcular: x x. x x. x x. 2 e) 2 f)

Ejercicios. 1.- Simplificar: a) Calcular: x x. x x. x x. 2 e) 2 f) 80 Ejercicios.- Siplificr: ) f).- Clculr: ) 0 .7 Práctico: Epresiones Algebrics Ejercicio : Epresr con un onoio el áre de l prte sobred. Ejercicio : ) Verificr que el áre del trpecio de l figur es A =.

Más detalles

IES Fernando de Herrera 23 de octubre de 2013 Primer trimestre - Primer examen 4º ESO NOMBRE:

IES Fernando de Herrera 23 de octubre de 2013 Primer trimestre - Primer examen 4º ESO NOMBRE: IES Fernndo de Herrer de octure de 0 Primer trimestre - Primer exmen 4º ESO NOMBRE: ) Nomrr los principles conjuntos numéricos, explicitndo cuáles son sus elementos y ls relciones de inclusión entre ellos

Más detalles

Las expresiones algebraicas provienen de fórmulas físicas, geométricas, de economía, etc. Son expresiones

Las expresiones algebraicas provienen de fórmulas físicas, geométricas, de economía, etc. Son expresiones Definición de Polinomio Epresiones Algerics Epresión lgeric es tod cominción de números letrs ligdos por los signos de ls operciones ritmétics: dición, sustrcción, multiplicción, división potencición.

Más detalles

Conjuntos numéricos. Intervalos. Operaciones en el conjunto de números reales.

Conjuntos numéricos. Intervalos. Operaciones en el conjunto de números reales. Fich Técnic Conjuntos numéricos Intervlos Operciones en el conjunto de números reles Índice de tems: Conjuntos numéricos Intervlos Operciones y propieddes Módulo o vlor bsoluto de un número rel Conjuntos

Más detalles

56 CAPÍTULO 2. CÁLCULO ALGEBRAICO. SECCIÓN 2.4 Resolución de Ecuaciones de Segundo Grado

56 CAPÍTULO 2. CÁLCULO ALGEBRAICO. SECCIÓN 2.4 Resolución de Ecuaciones de Segundo Grado 56 CAPÍTULO. CÁLCULO ALGEBRAICO SECCIÓN.4 Resolución de Ecuciones de Segundo Grdo Introducción Hemos estudido cómo resolver ecuciones lineles, que son quells que podemos escribir de l form x + b = 0. Si

Más detalles

POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES

POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES www.mtesrond.net José A. Jiméne Nieto POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES. POTENCIAS DE NÚMEROS REALES.. Potencis de eponente entero L potenci de se un número rel eponente entero se define sí: n (

Más detalles

CUADERNO DE TRABAJO PARA LA CLASE NÚMEROS REALES

CUADERNO DE TRABAJO PARA LA CLASE NÚMEROS REALES FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA CUADERNO DE TRABAJO PARA LA CLASE NÚMEROS REALES NOMBRE ID SECCIÓN SALÓN Prof. Evelyn Dávil Tbl de contenido TEMA A. CONJUNTOS NUMÉRICOS... REGLA PARA LA SUMA DE NÚMEROS REALES...

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS A. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Cundo se quiere indicr un número no conocido, un cntidd o un expresión generl de l medid de un mgnitud (distnci, superficie, volumen, etc

Más detalles

a n =b Si a es múltiplo de b, entonces b es divisor de a. Números primos: son números cuyos únicos divisores son ellos mismos y el 1.

a n =b Si a es múltiplo de b, entonces b es divisor de a. Números primos: son números cuyos únicos divisores son ellos mismos y el 1. 1) NÚMEROS NATURALES Son números que sirven pr contr. Descomposición polinómic de un número. Ej : 1.34.567 1: Uniddes de millón : Centens de millr 3: Decens de millr 4: Uniddes de millr 5: Centens 6: Decens

Más detalles

El grado de un polinomio es el grado del monomio de mayor grado de los que lo forman.

El grado de un polinomio es el grado del monomio de mayor grado de los que lo forman. Lección 7:POLINOMIOS 7.- POLINOMIOS TÉRMINOS DE UN POLINOMIO Son cd uno de los monomios que formn un polinomio. Se identificn con l epresión término en (l prte literl que lo form). -6 se llmn términos

Más detalles

Módulo 12 La División

Módulo 12 La División Módulo L División OBJETIVO: Epresrá lguns propieddes de l división usndo propieddes de l división los inversos; epresr un numero rcionl de l form deciml frcción común vicevers. L división es un operción

Más detalles

ECUACIONES (4º ESO Op B)

ECUACIONES (4º ESO Op B) ECUACIONES ( ESO Op B) IDENTIDADES, IGUALDADES FALSAS Y ECUACIONES.- Un iguldd lgebric está formd por dos epresiones lgebrics (un de ells puede ser un número), seprds por el signo. Ejemplos.- + + 1 ( +

Más detalles

INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA (TÉRMINOS, ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN)

INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA (TÉRMINOS, ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN) Lortorio Tercero Básico Centro Integrl Empresril por Mdurez CIEM INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA (TÉRMINOS, ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN). Identific los elementos que se piden: ) Los términos de 5r +s ) Los términos

Más detalles

Apellidos: Nombre: Curso: 1º Grupo: C Día: 10 - XI- 14 CURSO Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba las soluciones obtenidas:

Apellidos: Nombre: Curso: 1º Grupo: C Día: 10 - XI- 14 CURSO Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba las soluciones obtenidas: EXAMEN DE MATEMÁTICAS ALGEBRA Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: C Dí: - XI- 4 CURSO 4-5. Hll el vlor de log log ), 4 log log b) log4 6 -log -log log 7 4 6. Clcul x pr que se cumpl: ) log 6,45,5 b) 5 +,58.

Más detalles

EXPONENTES Y RADICALES

EXPONENTES Y RADICALES . UNIDAD EXPONENTES Y RADICALES Objetivo generl. Al terinr est Unidd resolverás ejercicios probles en los que pliques ls lees de los eponentes de los rdicles. Objetivos específicos:. Recordrás l notción

Más detalles

Colegio San Patricio A Incorporado a la Enseñanza Oficial Fundación Educativa San Patricio

Colegio San Patricio A Incorporado a la Enseñanza Oficial Fundación Educativa San Patricio NUMEROS IRRACIONALES Conocemos hst hor distintos conjuntos numéricos: - Los n nturles: (, 8,.978), representdos por l letr N - Los n enteros: ( -, -, 8, 68), representdos por l letr Z - Los n rcionles

Más detalles

Módulo 14 Multiplicación de expresiones algebraicas. Exponentes

Módulo 14 Multiplicación de expresiones algebraicas. Exponentes Módulo 14 Multiplicción de expresiones lgebrics. Exponentes OBJETIVO: Identificr potenci, bse exponente de un expresión lgebric. Multiplicr dividir polinomios. Recordemos lguns definiciones básics. Un

Más detalles

Unidad 1: Números reales.

Unidad 1: Números reales. Unidd 1: Números reles. 1 Unidd 1: Números reles. 1.- Números rcionles e irrcionles Números rcionles: Son quellos que se pueden escriir como un frcción. 1. Números enteros 2. Números decimles exctos y

Más detalles

[FACTORIZACION DE POLINOMIOS]

[FACTORIZACION DE POLINOMIOS] 009 CETis 6 Ing. Gerrdo Srmiento Díz de León [FACTORIZACION DE POLINOMIOS] Documento que enseñ como fctorizr polinomios Pr fctorizr polinomios hy vrios métodos: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS. Scr fctor común:

Más detalles

Factorizar un polinomio consiste en convertir un polinomio en un producto de expresiones algebraicas.

Factorizar un polinomio consiste en convertir un polinomio en un producto de expresiones algebraicas. Fctorizr un polinomio consiste en convertir un polinomio en un producto de epresiones lgebrics. Cso 1. Monomio como fctor común. Un polinomio tiene fctor común sí y sólo sí todos los términos del polinomio

Más detalles

Ejemplo: Para indicar el conjunto (que llamaremos M), formado por los números 4, 6 y 8, escribimos: M = { 4, 6, 8}

Ejemplo: Para indicar el conjunto (que llamaremos M), formado por los números 4, 6 y 8, escribimos: M = { 4, 6, 8} NÚMEROS REALES. BREVE REPASO DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS En est unidd utilizremos ls notciones l terminologí de conjuntos. L ide de conjunto se emple mucho en mtemátic se trt de un concepto básico del que

Más detalles

POLINOMIOS. se denominan coeficientes.

POLINOMIOS. se denominan coeficientes. POLINOMIOS Polinomios. Generliddes Llmremos polinomios de grdo n en l vrile, tod epresión de l form: tl que: 0... n n 0 R; R; R;... ; n R n 0 siendo n N0 En tl epresión, l letr represent un número rel

Más detalles

Periodo III Universidad Técnica Nacional. Folleto del curso Precálculo. Universidad Técnica Nacional ( UTN ) Precálculo

Periodo III Universidad Técnica Nacional. Folleto del curso Precálculo. Universidad Técnica Nacional ( UTN ) Precálculo Universidd Técnic Ncionl Periodo III-0 Crrer: Bchillerto en Procesos Profesor: Msc. Gerrdo Arroyo Brenes. Folleto del curso P á g i n UNIDAD I: EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES (IR) Vlor bsoluto Es l

Más detalles

REPASO DE ECUACIONES (4º ESO)

REPASO DE ECUACIONES (4º ESO) TIPOS DE ECUACIONES.- REPASO DE ECUACIONES ( ESO) Eisten diversos tipos de ecuciones, entre ells estudiremos: Polinómics: En ells, l incógnit prece solmente en epresiones polinómics. El grdo de un ecución

Más detalles

EJERCICIOS DE LA ASIGNATURA DE ALGEBRA

EJERCICIOS DE LA ASIGNATURA DE ALGEBRA EJERCICIOS DE LA ASIGNATURA DE ALGEBRA 1 INTRODUCCION Estimdo estudinte, el prendizje de est rm de l mtemátic, requiere que se dominen completmente los siguientes conocimientos y procedimientos prendidos

Más detalles

Polinomios 3º Año Cód P r of. M a r í a d el L u já n Matemática M a r t í n ez P r of. M ir t a R o s i t o Dpto.

Polinomios 3º Año Cód P r of. M a r í a d el L u já n Matemática M a r t í n ez P r of. M ir t a R o s i t o Dpto. Polinomios Mtemátic º Año Cód. 0- P r o f. M r í d e l L u j á n M r t í n e z P r o f. M i r t R o s i t o Dpto. de Mtemátic POLINOMIOS Polinomios. Generliddes Llmremos polinomios de grdo n en l vrile,

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición

Más detalles

open green road Guía Matemática FRACCIONES ALGEBRAICAS profesor: Nicolás Melgarejo .co

open green road Guía Matemática FRACCIONES ALGEBRAICAS profesor: Nicolás Melgarejo .co Guí Mtemátic FRACCIONES ALGEBRAICAS profesor: Nicolás Melgrejo.co . Introducción El mnejo lgebrico es un herrmient básic que nos permite comunicr ides en el mbiente científico sin importr l lengu que ellos

Más detalles

GUIA Nº 3 ÁLGEBRA BÁSICA

GUIA Nº 3 ÁLGEBRA BÁSICA RECUERDA QUE: GUIA Nº ÁLGEBRA BÁSICA Un epresión lgeric es un cominción de números, vriles signos de operción. Dos o más términos son semejntes si difieren únicmente en su coeficiente. Sólo se puede dicionr

Más detalles

INDICADORES DE DESEMPEÑO

INDICADORES DE DESEMPEÑO INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMATICAS ASIGNATURA: MATEMATICAS DOCENTE: HUGO HERNAN BEDOYA TIPO DE GUIA: CONCEPTUAL-EJERCITACION PERIODO GRADO FECHA DURACION 8º A/B Myo

Más detalles

TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES.

TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES. TEMA. LOS NÚMEROS REALES... Repso de números enteros y rcionles - Operciones con números enteros - Pso de deciml frcción y de frcción de deciml - Operciones con números rcionles - Potencis. Operciones

Más detalles

Números Reales. Los números naturales son {1; 2; 3; }, el conjunto de todos ellos se representa por.

Números Reales. Los números naturales son {1; 2; 3; }, el conjunto de todos ellos se representa por. Se distinguen distints clses de números: Números Reles Los números nturles son {1; 2; 3; }, el conjunto de todos ellos se represent por. El primer elemento es el 1 y no tiene último elemento Todo número

Más detalles

( ) 4. Colegio Diocesano Sagrado Corazón de Jesús. MATEMÁTICAS I / 1º Bachillerato C y T LOGARTIMOS. log. log. log. 1 log log 3.

( ) 4. Colegio Diocesano Sagrado Corazón de Jesús. MATEMÁTICAS I / 1º Bachillerato C y T LOGARTIMOS. log. log. log. 1 log log 3. Colegio Diocesno Sgrdo Corzón de Jesús MATEMÁTICAS I / º Bchillerto C y T LOGARTIMOS Logritmos El ritmo de un número, m, positivo, en bse, positiv y distint de uno, es el eponente l que hy que elevr l

Más detalles

Colegio Técnico Nacional Arq. Raúl María Benítez Perdomo Matemática Primer Curso

Colegio Técnico Nacional Arq. Raúl María Benítez Perdomo Matemática Primer Curso Colegio Técnico Ncionl Arq. Rúl Mrí Benítez Perdomo Mtemátic Primer Curso Rdicción Se un número rel culquier, n un número nturl mor que 1, se llm ríz n esim de todo número rel, que stisfce l ecución n

Más detalles

3º) (Andalucía, Junio, 00) Determina una matriz A simétrica (A coincide con su traspuesta) sabiendo que:

3º) (Andalucía, Junio, 00) Determina una matriz A simétrica (A coincide con su traspuesta) sabiendo que: PROLEMS SORE MTRICES. PROFESOR: NTONIO PIZRRO. http://ficus.pntic.mec.es/pis NDLUCÍ-MTEMÁTICS PLICDS LS CCSSII: º) (ndlucí, Junio, 98) Si son dos mtrices culquier, es correct l siguiente cden de igulddes?:

Más detalles

3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: Log a a m = m, ya que a m =a m

3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: Log a a m = m, ya que a m =a m LOGARITMOS Ddo un número rel positivo, no nulo y distinto de 1, ( > 0; 0; 1), y un número n positivo y no nulo (n > 0;n 0), se llm ritmo en bse de n l exponente x l que hy que elevr dich bse pr obtener

Más detalles

1 VECTORES 1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Un mgnitud es un concepto bstrcto. Se trt de l ide de lgo útil que es necesrio medir. Ncen sí mgnitudes como l longitud, que represent l distnci entre

Más detalles

Cómo lo identificamos?

Cómo lo identificamos? Es un expresión lgeric de l form: ²++² Cómo lo identificmos? Tiene 3 términos, éstos se ordenn en potencis decrecientes. Not. Es decir: Dos términos son cudrdos perfectos, se identificn oteniendo su cudrd,

Más detalles

2. Cálculo de primitivas

2. Cálculo de primitivas 5. Cálculo de primitivs Definición. Se dice que un función F () es un primitiv de otr función f() sobre un intervlo (, b) si pr todo de (, b) se tiene que F () f(). Por ejemplo, l función F () es un primitiv

Más detalles

Manual de teoría: Álgebra Matemática Bachillerato

Manual de teoría: Álgebra Matemática Bachillerato Mnul de teorí: Álgebr Mtemátic Bchillerto Relizdo por José Pblo Flores Zúñig Álgebr: José Pblo Flores Zúñig Págin Contenido: ) Álgebr. Fctorizción. Simplificción de epresiones lgebrics. Ecuciones Álgebr:

Más detalles

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica Artículo de sección Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet (www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol. 12, N o 1. Agosto Ferero 2012. Fctorizción de polinomios. Sndr Schmidt Q. sschmidt@tec.c.cr Escuel

Más detalles

NÚMEROS REALES, R. Es el conjunto de números que se obtiene al unir el conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales.

NÚMEROS REALES, R. Es el conjunto de números que se obtiene al unir el conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales. NÚMEROS REALES, R CPR. JORGE JUAN Xuvi-Nrón Es el conjunto de números que se obtiene l unir el conjunto de los números rcionles con el conjunto de los números irrcionles. R= QI Los números reles poseen

Más detalles

Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/). Vol. 12, N o 1. Agosto Febrero 2012.

Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/). Vol. 12, N o 1. Agosto Febrero 2012. Artículo de sección Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol. 12, N o 1. Agosto Ferero 2012. Fctorizción de polinomios. Sndr Schmidt Q. sschmidt@tec.c.cr Escuel

Más detalles

UNIDAD 3 : ALGEBRA, POR FIN

UNIDAD 3 : ALGEBRA, POR FIN UNIDAD 3 : ALGEBRA, POR FIN JUSTIFICACIÓN : Y tenemos ide del trbjo de los números nturles, enteros, rcionles reles. Ahor plicremos su generlizción en los diversos ejercicios que nos present el álgebr

Más detalles

I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES.

I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES. I.E.S. PDRE SUÁREZ Álgebr Linel TEM I. Mtrices.. Operciones con mtrices. Determinnte de un mtriz cudrd.. Mtriz invers de un mtriz cudrd. MTRICES. DETERMINNTES.. MTRICES. Llmmos mtriz de números reles,

Más detalles

el blog de mate de aida: Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. Ecuaciones. pág. 1

el blog de mate de aida: Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. Ecuaciones. pág. 1 el de mte de id: Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles I. Ecuciones. pág. ECUACIONES Un ecución es un propuest de iguldd en l que interviene un letr llmd incógnit. L solución de l ecución es el vlor o vlores

Más detalles

1. Cuales son los números naturales?

1. Cuales son los números naturales? Guí de mtemátics. Héctor. de bril de 015 1. Cules son los números nturles? Los números nturles son usdos pr contr (por ejemplo, hy cinco moneds en l mes ) o pr imponer un orden (por ejemplo,. Es t es l

Más detalles

Cada función polinomial genera distintas gráficas en el plano cartesiano. Hay casos especiales de la función polinomial general.

Cada función polinomial genera distintas gráficas en el plano cartesiano. Hay casos especiales de la función polinomial general. Mtemátics.7 Operciones con epresiones lgebrics UNIDAD II. ALGEBRA.7. Operciones con epresiones lgebrics Polinomiles. Ls epresiones lgebrics pueden clsificrse en monomios, binomios, trinomios y polinomios.

Más detalles

OPERACIONES CON RADICALES

OPERACIONES CON RADICALES OPERACIONES CON RADICALES RAÍCES Y RADICALES L ríz n-ésim de un número, representd por n, es un operción sore que d como resultdo un número tl que n. Si n es pr, h dos resultdos posiles: positivo negtivo:,

Más detalles

Determinantes y la Regla de Cramer

Determinantes y la Regla de Cramer Determinntes y l Regl de Crmer Mtriz Invers Not: un mtriz cudrd que no tiene invers se llm mtriz singulr. Ejemplo: Hllr l invers de A. A 4 Si l plicr el método de Guss se obtiene ceros en los elementos

Más detalles

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 4 a 21

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 4 a 21 TEMA. NÚMEROS REALES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. Págin. Actividd personl, por ejemplo:,...,...,...,9...,8.... ) No, pues un deciml puede tener un número limitdo de cifrs o ser periódico. Por ejemplo,,

Más detalles

LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA.- Definición.- Se denomin ritmo en bse de un número, l eponente que es preciso elevr pr que resulte. debe ser un número positivo y distinto de l unidd. Pr epresr que y es el ritmo

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES

LÍMITES DE FUNCIONES LÍMITES DE FUNCIONES Se dice que un función y f() tiene límite "L" cundo l tiende "" y lo representmos por: f() L cundo pr tod sucesión de números reles que se proime "" tnto como quermos, los vlores correspondientes

Más detalles

REGLAS DE LOS PRODUCTOS NOTABLES

REGLAS DE LOS PRODUCTOS NOTABLES UNIDAD V.- PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIO N Productos Notbles ( (b ( (d (e ( REGLAS DE LOS PRODUCTOS NOTABLES Un producto notble (multiplicción es quel que se puede obtener su resultdo sin necesidd

Más detalles

es una matriz de orden 2 x 3.

es una matriz de orden 2 x 3. TEMA 7: MATRICES. 7.. Introducción l concepto de mtriz. 7.. Tipos de mtrices. 7.. El espcio vectoril de ls mtrices de orden m x n. 7.. INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE MATRIZ. Se define mtriz de orden m x n

Más detalles

SECCIÓN 3 DESCRIPCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES

SECCIÓN 3 DESCRIPCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES SEMANA I I I Números Positivos y Negtivos Representción gráfic: SECCIÓN DESCRIPCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES -5-4 - - - 0 4 5 Sentido izquierdo Sentido derecho El cero represent l usenci de l cntidd, y es

Más detalles

Matemáticas 3º ESO Fernando Barroso Lorenzo POLINOMIOS Y FACTORIZACIÓN POLINÓMICA

Matemáticas 3º ESO Fernando Barroso Lorenzo POLINOMIOS Y FACTORIZACIÓN POLINÓMICA Mtemátics º ESO Fernndo Brroso Lorenzo POLINOMIOS Y FACTORIZACIÓN POLINÓMICA. En cd cso escribe un polinomio que cumpl ls condiciones que se indicn. Con grdo coeficientes enteros. Trinomio de grdo sin

Más detalles

Concepto clave. La derivada de una función se define principalmente de dos maneras: 1. Como el límite del cociente de Fermat ( )( )

Concepto clave. La derivada de una función se define principalmente de dos maneras: 1. Como el límite del cociente de Fermat ( )( ) Concepto clve L derivd de un función se define principlmente de dos mners: 1. Como el límite del cociente de Fermt f ( ) lím x f ( x) f ( ) x. Como el límite del cociente de incrementos f ( x) lím x 0

Más detalles

IES Fernando de Herrera 13 de enero de 2014 Primer trimestre Examen de autoevaluación 1º Bach CCSS NOMBRE:

IES Fernando de Herrera 13 de enero de 2014 Primer trimestre Examen de autoevaluación 1º Bach CCSS NOMBRE: IES Fernndo de Herrer de enero de 04 Primer trimestre Exmen de utoevlución º Bch CCSS NOMBRE: 7 ) ) Representr en l rect rel: b) Qué número es el indicdo en el gráfico? 0 ) Clculr el resultdo simplificdo

Más detalles

Propiedades de la Potencia. Observación: La potencia no es distributiva con respecto a la suma ni a la resta.

Propiedades de la Potencia. Observación: La potencia no es distributiva con respecto a la suma ni a la resta. Propieddes de l Potenci Distributiv con respecto l producto ( = b Distributiv con respecto l división b b Producto de potencis de igul bse n = n + División de potencis de igul bse n n Potenci de potenci

Más detalles

RESUMEN 01 NÚMEROS. Nombre : Curso. Profesor :

RESUMEN 01 NÚMEROS. Nombre : Curso. Profesor : RESUMEN 01 NÚMEROS Nomre : Curso : Profesor : PÁGINA 1 Números Los elementos del conjunto N = {1, 2, 3, 4, 5, } se denominn Números Nturles. Los Números Crdinles corresponden l unión del conjunto de los

Más detalles

A modo de repaso. Preliminares

A modo de repaso. Preliminares UNIDAD I A modo de repso. Preliminres Conjuntos numéricos. Operciones. Intervlos. Conjuntos numéricos Los números se clsificn de cuerdo con los siguientes conjuntos: Números nturles.- Son los elementos

Más detalles

Expresiones Algebraicas

Expresiones Algebraicas CAÍTULO Epresiones Algerics En Espñ, donde l influenci áre fue muy importnte, surgió el término álger, se utilizó pr referirse l rte de restituir su lugr los huesos dislocdos y por ello, el término lgerist

Más detalles

GUIA DE MATEMATICA. Coeficiente numérico. Es toda combinación de números y letras ligados por los signos de las operaciones aritméticas.

GUIA DE MATEMATICA. Coeficiente numérico. Es toda combinación de números y letras ligados por los signos de las operaciones aritméticas. www.colegiosntcruzrioueno.cl Deprtmento de Mtemátic GUIA DE MATEMATICA Unidd: Álger en R Contenidos: - Conceptos lgericos ásicos - Operciones con epresiones lgerics - Vlorción de epresiones lgerics - Notción

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN LUIS FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS JURÍDICAS y SOCIALES DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS AREA DE MATEMATICA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN LUIS FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS JURÍDICAS y SOCIALES DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS AREA DE MATEMATICA UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN LUIS FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS JURÍDICAS SOCIALES DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS AREA DE MATEMATICA UNIDAD Nº. NÚMEROS REALES. UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN LUIS FACULTAD

Más detalles

NÚMEROS COMPLEJOS. Números reales Intervalos El conjunto R 2 Discos Números complejos Teorema fundamental del Álgebra

NÚMEROS COMPLEJOS. Números reales Intervalos El conjunto R 2 Discos Números complejos Teorema fundamental del Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS Números reles Intervlos El conjunto R 2 Discos Números complejos Teorem fundmentl del Álgebr NÚMEROS REALES Números nturles, enteros rcionles e irrcionles En mtemátics son importntes

Más detalles

Inecuaciones con valor absoluto

Inecuaciones con valor absoluto Inecuciones con vlor soluto El vlor soluto de un número rel se denot por y está definido por:, si 0 si 0 Propieddes Si y son números reles y n es un número entero, entonces: 1.. 3. n 4. n L noción de vlor

Más detalles

CURSO DE NIVELACIÓN 2012 EJERCITARIO TEÓRICO DE MATEMÁTICA I

CURSO DE NIVELACIÓN 2012 EJERCITARIO TEÓRICO DE MATEMÁTICA I CURSO DE NIVELACIÓN 0 EJERCITARIO TEÓRICO DE MATEMÁTICA I 0 EJERCITARIO TEÓRICO DE MATEMÁTICA I. Con relción l potencición, se firm que es un operción: ) Conmuttiv. ) Distriutiv respecto l sum. 3) Distriutiv

Más detalles

Formalización de los Números Reales. M. en I. Gerardo Avilés Rosas

Formalización de los Números Reales. M. en I. Gerardo Avilés Rosas Formlizción de los Números Reles M. en I. Gerrdo Avilés Ross Agosto de 016 Tem Formlizción de los Números Reles Objetivo: El lumno plicrá ls propieddes de los números reles y sus subconjuntos, pr demostrr

Más detalles

UNIDAD 2 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

UNIDAD 2 EXPRESIONES ALGEBRAICAS UNIDAD EXPRESIONES ALGEBRAICAS LECTURA N : LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y SU TERMINOLOGÍA Tomdo con fines instruccionles de: Gómez, T., González, N., Vergr, A. 000. Mtemátics Básics. Crcs: Universidd Alejndro

Más detalles

el blog de mate de aida: Matemáticas I. Ecuaciones. pág. 1

el blog de mate de aida: Matemáticas I. Ecuaciones. pág. 1 el log de mte de id: Mtemátics I. Ecuciones. pág. ECUACIONES Un ecución es un propuest de iguldd en l que interviene un letr llmd incógnit. L solución de l ecución es el vlor o vlores de l incógnit (o

Más detalles

COLEGIO SAN FRANCISCO DE SALES Prof. Cecilia Galimberti

COLEGIO SAN FRANCISCO DE SALES Prof. Cecilia Galimberti COLEGIO SAN FRANCISCO DE SALES - 0 - Prof. Cecili Glimerti MATEMÁTICA AÑO B GUÍA N - NÚMEROS IRRACIONALES NUMEROS IRRACIONALES Conocemos hst hor distintos Conjuntos Numéricos: - Los n nturles: (, 8,.8),

Más detalles

Álgebra Lineal. 1) (Junio-96) Considérese el sistema de ecuaciones lineales (a, b y c son datos; las incógnitas son x, y, z):

Álgebra Lineal. 1) (Junio-96) Considérese el sistema de ecuaciones lineales (a, b y c son datos; las incógnitas son x, y, z): Mtemátics II Álgebr Linel (Junio-96 Considérese el sistem de ecuciones lineles ( b c son dtos; ls incógnits son : b c c b b c Si b c son no nulos el sistem tiene solución únic. Hllr dich solución. (Sol:

Más detalles

Problemas resueltos. Parte teórica. Y esto es justamente el resultado obtenido en primer lugar pero de manera algebraica. Atención a lo siguiente!

Problemas resueltos. Parte teórica. Y esto es justamente el resultado obtenido en primer lugar pero de manera algebraica. Atención a lo siguiente! Productos Notles I Atención lo siguiente! Si nos piden multiplicr: ( + )( + ) otendremos: ( + )( + ) = + + + o se: ( + ) = + + Lo nterior, es un resultdo otenido lgericmente l multiplicr dos inomios. Sin

Más detalles

GUIA Nº: 7 PRODUCTOS NOTABLES

GUIA Nº: 7 PRODUCTOS NOTABLES CORPORACION UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACIÓN SUPERIOR CUN DEPARTAMENTO DE INGENIERIAS Y CIENCIAS BÁSICAS FUNDAMENTOS DE MATEMATICAS PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION GUIA Nº: 7 PRODUCTOS NOTABLES Productos

Más detalles

2 Números racionales positivos

2 Números racionales positivos Progrm Inmersión, Verno 0 Nots escrits por Dr. M Nots del cursos. Bsds en los pronturios de MATE 00 y MATE 0 Clse #: miércoles, de junio de 0. Números rcionles positivos. Consceptos básicos del conjunto

Más detalles

LECTURA N 7: OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

LECTURA N 7: OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS LECTURA N : OERACIONES CON EXRESIONES ALGEBRAICAS Mteril recopildo con fines instruccionles por: Gómez, B., Gómez, T., González, N., Moreno, E., Rojs, M. 00. Epresiones Algebrics. Crcs: UNEFA. Vlor Numérico

Más detalles

Potencias y radicales

Potencias y radicales Potencis y rdicles. Rdicles Definición Llmmos ríz n-ésim de un número ddo l número que elevdo n nos d. por ser n n Un rdicl es equivlente un potenci de eponente frccionrio en l que el denomindor de l frcción

Más detalles

Aplicando las propiedades conocidas de las operaciones entre número reales, obtenemos:

Aplicando las propiedades conocidas de las operaciones entre número reales, obtenemos: Curso de Nivelción en Mtemátic Ecuciones Un prolem de ingenio frecuente es: Pensr un número. Sumrle 5. Multiplicr por el resultdo. A lo que se otiene, restrle 9. Dividirlo por. Restrle 8. ECUACIONES Si

Más detalles

DETERMINANTES K K. A cada matriz n-cuadrada A = (a ij ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por det (A), A o = K

DETERMINANTES K K. A cada matriz n-cuadrada A = (a ij ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por det (A), A o = K DETERMINANTES A cd mtriz ncudrd A ( ij ) se le sign un esclr prticulr denomindo determinnte de A, denotdo por det (A), A o n n n n nn K Un tbl ordend n n de esclres situd entre dos línes verticles, llmd

Más detalles

PROGRESIONES ARITMETICAS

PROGRESIONES ARITMETICAS PROGRESIONES ARITMETICAS. Hllr l sum de los primeros cien enteros positivos múltiplos de 7. L sum de n términos de un progresión ritmétic viene dd por l expresión: + n Sn n Aplicndo pr 00 términos: + 00

Más detalles

según los valores del parámetro a.

según los valores del parámetro a. Selectividd hst el ño 9- incluido EJERCICIOS DE SELECTIVIDD, ÁLGER. Ejercicio. Clificción ái: puntos. (Junio 99 ) Se considern ls trices donde es culquier núero rel. ) ( punto) Encontrr los vlores de pr

Más detalles

73 ESO. E = m c 2. «El que pregunta lo que no sabe es ignorante un. día. El que no lo pregunta será ignorante toda la vida»

73 ESO. E = m c 2. «El que pregunta lo que no sabe es ignorante un. día. El que no lo pregunta será ignorante toda la vida» 73 ESO dí. «El que pregunt lo que no se es ignornte un El que no lo pregunt será ignornte tod l vid» E = m c ÍNDICE: MENSAJES OCULTOS 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Más detalles

Unidad 2. Fracciones y decimales

Unidad 2. Fracciones y decimales Mtemátics Múltiplo.º ESO / Resumen Unidd Unidd. Frcciones y decimles FRACCIONES NÚMEROS DECIMALES EXPRESIÓN, 8, 9 SIGNIFICADO FRACCIONES EQUIVALENTES 0 30 0 0 Prte de un unidd Prte de un cntidd ORDENACIÓN

Más detalles

Multiplicar y dividir radicales

Multiplicar y dividir radicales Multiplicr y dividir rdicles 1 Repso Simplificr: 000 4 0 18 1000 4 4 4 10 4 0 0 ( ( ) 0 8) 0 0 0 8 Multiplicción de rdicles Si y son números reles, n n n n n Podemos decir que cundo multiplicmos rdicles

Más detalles

pág. 71 LIMITES 1. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerda del curso pasado los límites de sucesiones.

pág. 71 LIMITES 1. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerda del curso pasado los límites de sucesiones. LIMITES. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerd del curso psdo los límites de sucesiones. L sucesión 4 4 n 4 n es especilmente interesnte. Empezmos desrrollndol. n,5,7...,44... Se trt de un sucesión

Más detalles

Teorema fundamental del Cálculo.

Teorema fundamental del Cálculo. Sesión Teorem fundmentl del Cálculo (TFC) Tems Teorem fundmentl del Cálculo. Cpciddes Conocer y comprender el TFC. Aplicr el TFC en el cálculo de derivds e integrles definids.. Introducción I. Brrow Inglés.

Más detalles

Los números racionales:

Los números racionales: El número rel MATEMÁTICAS I 1 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL 1.1. El conjunto de los números reles. Como y sbes los números nturles surgen de l necesidd de contr, expresr medids, pr

Más detalles