Operaciones con funciones lineales

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1 LECCIÓN 7.2 Operaciones con funciones lineales Combine standard function types using arithmetic operations. También, A-CED.1.2, F-BF.1.1, F-LE.1.2, F-LE.2.5? PREGUNTA ESENCIAL Cómo puedes usar operaciones con funciones lineales para representar situaciones de la vida real? Sumar y restar funciones lineales Puedes sumar y restar funciones lineales de la misma manera que sumas y restas dos expresiones lineales. Al sumar y restar funciones, asegúrate de usar una letra diferente para nombrar cada función, como h(x) = f(x) + g(x). EJEMPLO 1 Matemáticas al instante Dadas las funciones lineales f(x) = 2x + 9 y g(x) = 6x - 1, halla las funciones nuevas. A h(x) = f(x) + g(x) h(x) = (2x + 9) + (6x - 1) h(x) = (2x + 6x) + (9-1) h(x) = 8x + 8 Sustituye f(x) y g(x). Combina los términos semejantes. Simplifica. B j(x) = f(x) - g(x) j(x) = (2x + 9) - (6x - 1) Sustituye f(x) y g(x). j(x) = (2x + 9) - 6x + 1 Multiplica por 1. j(x) = (2x - 6x) + (9 + 1) j(x) = -4x + 10 Combina los términos semejantes. Simplifica. REFLEXIONA 1. Razonamiento crítico James cree que f(x) - g(x) y g(x) - f(x) son iguales cuando f(x) = 3x + 6 y g(x) = 5x + 2. Tiene razón? Explica tu respuesta. ES TU TURNO 2. Dadas f(x) = 3x + 4 y g(x) = -x + 2, halla la suma h(x) = f(x) + g(x) y la diferencia j(x) = f(x) - g(x). personal en matemáticas Lección

2 Matemáticas al instante Multiplicar funciones lineales y funciones constantes Multiplicar una función lineal por una función constante es como multiplicar dos expresiones entre sí. Al multiplicar una función lineal por una constante, el resultado también es una función lineal. EJEMPLO 2 Mis notas Dadas las funciones lineales f(x) = 4 y g(x) = -3x + 2, halla la función lineal h(x) = f(x) g(x). h(x) = f(x) g(x) h(x) = (4)(-3x + 2) h(x) = -12x + 8 Sustituye f(x) y g(x). Usa la propiedad distributiva para multiplicar. REFLEXIONA 3. Razonamiento crítico Enrique sabe que f(x) es una función constante y que g(x) = 5x + 6. Si f(x) g(x) = 0, determina f(x). 4. Explica el error Kelly piensa que el producto de f(x) = 6 y g(x) = 4x + 8 es 24x + 8. Tiene razón? Si no, explica su error. personal en matemáticas ES TU TURNO Dadas la función constante f(x) y la función lineal g(x), halla la función lineal h(x) = f(x) g(x). 5. f(x) = 7, g(x) = 4x f(x) = -3, g(x) = 2x f(x) = 1_ 2, g(x) = 14x Unidad 2A

3 Sumar modelos lineales A menudo, para resolver problemas de la vida real, puedes escribir funciones lineales para representar la situación y luego sumar las funciones lineales, como hiciste en el ejemplo 1. EJEMPLO 3 En el mundo Harriet viaja de su casa al trabajo en un taxi de la empresa Taxi Amigo, que cobra $5 más $1.35 por milla. Después del trabajo, regresa a su casa en un taxi de la empresa Gran Taxi, que cobra $2 más $1.85 por milla. Halla la cantidad total de dinero que gastó Harriet en ambos viajes en taxi como una función de x, la distancia en millas entre su casa y su trabajo. Matemáticas al instante PASO 1 Escribe f(x), el costo del viaje con Taxi Amigo, como una función de x. f(x) = x PASO 2 Escribe g(x), el costo del viaje con Gran Taxi, como una función de x. g(x) = x Image Credits: Beyond/Corbis PASO 3 Escribe t(x), el costo total de ambos viajes en taxi, como una función de x. Halla la suma de los costos de ambos viajes en taxi. t(x) = f(x) + g(x) t(x) = ( x) + ( x) t(x) = (1.35x x) + (5 + 2) t(x) = 3.2x + 7 Sustituye f(x) y g(x). Combina los términos semejantes. Simplifica. El costo de los viajes de Harriet se puede representar con t(x) = 3.2x + 7. REFLEXIONA 8. Qué pasa si? Describe el cambio en t(x) si Harriet viaja con la empresa Taxi Amigo para ir a su trabajo y regresar a su casa. ES TU TURNO 9. Se funda un club de tenis para niños y niñas. Durante el primer año, se asocian 4 niños y 5 niñas. A partir de entonces, cada año se asocian 2 niños y 1 niña. Sea t el número de años desde que se fundó el club. Halla una fórmula para la función f(t), que representa el número total de socios del club. Charla matemática Prácticas matemáticas Qué representa el número 7 en esta situación? personal en matemáticas Lección

4 Multiplicar modelos lineales y constantes Algunas situaciones de la vida real se representan con funciones constantes. Para multiplicar estas funciones, usa los mismos pasos que en el ejemplo 2. Matemáticas al instante EJEMPLO 4 En el mundo Una empresa telefónica cobra $20 mensuales por el servicio más $0.05 por minuto de llamada. Al costo total se le suma un impuesto del 8%. Halla la cantidad en concepto de impuesto sobre una cuenta mensual por t minutos de llamadas. Mis notas PASO 1 Escribe f(t), la cantidad cobrada por la empresa telefónica sin el impuesto por el servicio y t minutos de llamadas. f(t) = t PASO 2 Escribe g(t), la tasa de impuesto aplicada a la cantidad cobrada por la empresa telefónica. g(t) = 0.08 PASO 3 Escribe h(t), el impuesto cobrado por una cuenta mensual con t minutos de llamadas. Halla el producto de la cantidad cobrada por la empresa telefónica f(t) y la tasa de impuesto constante g(t). h(t) = f(t) g(t) h(t) = ( t) (0.08) h(t) = t Sustituye f(t) y g(t). Usa la propiedad distributiva para multiplicar. La cantidad en concepto de impuesto sobre una cuenta mensual por t minutos de llamadas es h(t) = t. personal en matemáticas REFLEXIONA 10. Interpreta la respuesta Interpreta el número 1.6 de la forma simplificada de h(t) del ejemplo 4. ES TU TURNO 11. En la Cafetería del Sol, trabajan 8 empleados, cada uno de los cuales compra un café grande. Durante el día, venden x cafés grandes a los clientes. El café grande cuesta $1.75. Escribe una función c(x) que represente la cantidad de dinero que gana la Cafetería del Sol con la venta de cafés grandes. 222 Unidad 2A

5 Práctica con supervisión Dadas las funciones f(x) = 3x + 9 y g(x) = -2x + 5, halla las funciones nuevas. (Ejemplo 1) EJEMPLO 1. h(x) = f(x) 2 + g(x) h(x) = (3x + 9) + ( ) h(x) = (3x + ) + (9 + ) h(x) = 2. j(x) = f(x) g(x) j(x) = ( ) - (-2x + 5) j(x) = ( + 2x) + ( - 5) j(x) = Dada una función constante f(x) y una función lineal g(x), halla la función h(x) = f(x) g(x). (Ejemplo 2) 3. f(x) = 4, g(x) = 2x + 3 h(x) = f(x) g(x) h(x) = 4( ) h(x) = 4. f(x) = -2, g(x) = 4x - 1 h(x) = f(x) g(x) h(x) = (4x - 1) h(x) = 5. Colton está preparando bolsas de galletas para regalar. Tiene 120 galletas con trocitos de chocolate y pone 3 en cada bolsa de regalo. También tiene 75 galletas de azúcar y pone 2 en cada bolsa de regalo. Escribe la función f(x) que representa cuántas galletas le quedan después de preparar x bolsas de regalo. (Ejemplo 3)? 6. Brenda va a comprar en línea 6 boletos para un concierto. Cada boleto cuesta $15, más un recargo por servicio de x dólares. Escribe la función g(x) que muestra la cantidad total de dinero que Brenda pagará por los boletos. (Ejemplo 4) ÉNFASIS EN LA PREGUNTA ESENCIAL 7. Cuál es la relación entre la suma de las funciones lineales y las fórmulas de las funciones? Lección

6 Nombre Clase Fecha 7.2 Práctica independiente F-BF.1.1 personal en matemáticas Dadas las funciones f(x) y g(x), halla la función h(x)=f(x)+g(x). 8. f(x) = 2x + 9, g(x) = 8x f(x) = 17x - 1, g(x) = 5x En una escuela, están recaudando dinero para comprar pupitres nuevos. Han recaudado $400 en donaciones y organizan una cena con un costo de $10 por persona. Cada persona que asiste a la cena compra una rifa que cuesta $2, y el ganador de la rifa se lleva $500. a. Escribe una fórmula para la función R(t), la ganancia que obtiene la escuela con la rifa. 10. f(x) = -x - 2, g(x) = 4x - 3 Dadas las funciones f(x) y g(x), halla la función h(x) = f(x) - g(x). 11. f(x) = 4x + 10, g(x) = -2x f(x) = 3x - 1, g(x) = 12x + 2 b. Escribe una fórmula para la función D(t), el dinero recaudado con las donaciones y la cena. c. Describe cómo la función T(t), la cantidad total de dinero recaudado por la escuela para comprar pupitres nuevos, se relaciona con R(t) y D(t). Luego, escribe una fórmula para T(t). 13. f(x) = 6x + 7, g(x) = x + 6 Dadas las funciones f(x) y g(x), halla la función h(x)=f(x) g(x). 14. f(x) = 3, g(x) = 7x f(x) = -2, g(x) = 4x f(x) = 1_, g(x) = 9x Se organiza una fiesta de cumpleaños para 20 personas en una sala de juegos. La comida cuesta $5 por persona y cada juego cuesta $1 por vez. Supón que cada invitado juega el mismo número de juegos, x. a. Escribe una fórmula para la función C(x), el costo total por persona. b. Escribe una fórmula para la función n(x), el número de personas que asisten a la fiesta. c. Describe cómo se puede obtener la función T(x), el costo total de la fiesta, a partir de las funciones C(x) y n(x). Luego, escribe una fórmula para T(x). 224 Unidad 2A

7 19. Sean f(x) = 3, g(x) = -2x + 5 y h(x) = x - 4. a. Halla la función j(x) = f(x) [ g(x) + h(x)]. b. Halla la función k(x) = [ f (x) g(x)] + [ f (x) h(x)]. 21. Usa la información de la tabla que está a continuación para responder las siguientes preguntas. x f(x) g(x) a. Usa la tabla para escribir fórmulas para las funciones f(x) y g(x). c. Halla la función l(x) = j(x) - k(x). d. Explica cómo podrías hallar l(x) sin hallar j(x) ni k(x). b. Halla la suma h(x) = f(x) + g(x) y la diferencia j(x) = f(x) - g(x). c. Compara las funciones h(x) y j(x) cuando x = Un departamento de policía emite multas por exceso de velocidad de $50 más un dólar adicional por cada milla por hora que el conductor sobrepasa el límite de velocidad. La mitad del dinero recaudado con las multas se destina a comprar equipos nuevos para los agentes de policía. Escribe una fórmula para la función E(x), la cantidad de dinero para comprar equipos nuevos obtenido con una multa por conducir x millas por hora por encima del límite de velocidad. 22. Una computadora nueva tiene un valor de $1,000 y su valor disminuye $150 por año. Una impresora nueva tiene un valor de $100 y su valor disminuye $5 por año. a. Escribe una fórmula para el valor combinado de la computadora y la impresora en función de t, el tiempo en años desde que se compró el equipo. b. Cuándo tendrán la computadora y la impresora un valor combinado de $480? c. Cuando la computadora tenga un valor de $100, cuál será el valor combinado de la computadora y la impresora? Lección

8 23. Randy y Heloise abren cuentas de ahorros. Randy abre su cuenta de ahorros con $7 y deposita $10 por semana. Heloise abre su cuenta de ahorros con $82 y retira 5 dólares por semana. a. Escribe una función r(x) para representar la cantidad total de dinero que Randy tiene en su cuenta de ahorros después de x semanas. b. Escribe una función h(x) para representar la cantidad de dinero que Heloise tiene en su cuenta de ahorros después de x semanas. c. Escribe una función a(x) para representar el total combinado de ambas cuentas de ahorros después de x semanas. d. Cuando Randy tiene $47 en su cuenta de ahorros, cuál es el total combinado de ambas cuentas? e. Cuando Heloise tiene $47 en su cuenta de ahorros, cuál es el total combinado de ambas cuentas? ENFOQUE EN ALTA CAPACIDAD DE RAZONAMIENTO Área de trabajo 24. Justifica tu razonamiento Imagina que V(t) es una función lineal que representa el número de varones que asisten a una escuela en el año t y que M(t) es una función lineal que representa el número de mujeres que asisten a la misma escuela en el año t. Qué representa la función T(t) = M(t) + V(t)? 25. Persevera en la resolución de problemas Dada la función f(x) = 3x + 3, halla la función g(x) tal que f(x) + g(x) = 0 y f(x) - g(x) = 2 f(x). 26. Contraejemplos Kendra dice que f(x) - g(x) nunca puede ser igual a g(x) - f(x). Da un ejemplo de funciones f(x) y g(x) que contradiga su afirmación. Justifica tu ejemplo. 226 Unidad 2A