No obstante, cuando intentamos hacer lo mismo con los números racionales y reales vemos que. con como lo hicimos con. es diferente de los conjuntos

Transcripción

1 Departameto de Matemáticas Guía Iducció Matemática Objetivos: Eteder el pricipio del bue orde Realizar demostracioes matemáticas por medio del pricipio de iducció matemática El pricipio del bue orde: iducció matemática Dados dos eteros diferetes sabemos que o. Si embargo, esto tambié es cierto si, e vez de ser eteros, x y so úmeros racioales o úmeros reales. Qué hace especial a la Z e este caso? Supogamos que tratamos de expresar el subcojuto z x, y, y x y y x de Z, mediate los símbolos de desigualdad > y. Vemos que podemos defiir el cojuto de los elemetos positivos de Z como Z x Z x 0 x Z x. No obstate, cuado itetamos hacer lo mismo co los úmeros racioales y reales vemos que Q x Q x 0 y R x R x 0, Pero o podemos represetar Q o R co como lo hicimos co Z El cojuto Z es diferete de los cojutos Z Q o R por el hecho de que todo subcojuto o vacío X de cotiee u etero tal que sea a X, para todo x X ; es decir, cotiee u elemeto meor (o míimo). Esto o ocurre para o. Estos cojutos e si mismos o cotiee elemetos míimos: o existe u úmero racioal positivo i u úmero real positivo míimo. Si q es u úmero racioal positivo, etoces, como 0 q / q, tedríamos u úmero racioal positivo más pequeño q /. X Estas observacioes da lugar a la siguiete propiedad del cojuto Z de Z z. Este pricipio sirve para distiguir a Q o R. Pero coduce a algo que sea iteresate o útil desde el puto de vista matemático? La respuesta es u rotudo SI es la base de ua técica de demostració coocida como iducció matemática. Esta técica os ayudara co frecuecia para demostrar ua proposició matemática geeral relacioada co los eteros positivos, cuado alguos casos de esa proposició sugiera u patró geeral. Q R

2 Ahora estableceremos la base de esta técica de iducció. Teorema Pricipio de iducció fiita o pricipio de iducció matemática. Sea ua proposició matemática abierta (o u cojuto de tales proposicioes abiertas), e la que aparece ua o varias veces la variable, que represeta a u etero positivo. a) Si S() b) siempre que etoces es verdadera: y S() S( ) sea verdadera (para algú será verdadera; etoces S() Z S() S() particular, pero elegido al azar), es verdadera para todo Z Demostració: Sea ua proposició abierta co las codicioes (a) y (b), y sea F t Z S( t) es falsa. Queremos mostrar que, así que para obteer ua cotradicció supoemos que. Etoces, por el pricipio del bue orde, F tiee u elemeto míimo s. como es verdadera, por lo que s > y, e cosecuecia, S() F S F s z S(( s ) ) S( s) es verdadera, lo que cotradice que surge de la hipótesis F. Por lo tato. F. sf. La cotradicció Hemos utilizado el pricipio del bue orde e la demostració del pricipio de iducció matemática. Tambié es cierto que el pricipio de iducció matemática os sirve para demostrar el pricipio del bue orde si embargo, o os detedremos e este puto por ahora. E esta secció, uestro pricipal objetivo es compreder y utilizar el pricipio de iducció matemática. E el euciado del teorema, la codició de la parte (a) se cooce como la base de la iducció, mietras que la parte (b) se cooce como el paso iductivo. La elecció de e la primera codició del teorema o es obligatoria. Lo úico que se ecesita es que la proposició abierta sea verdadera para u primer elemeto 0 z Para que el proceso de iducció tega u lugar de iicio. No ecesitamos que S ) sea S() verdadera como base de la iducció. El etero 0 podría ser 5 o. Icluso podría ser 0 o egativo, puesto que el cojuto z juto co {0} o cualquier cojuto fiito de eteros egativos sigue siedo bie ordeado. (Si hacemos ua demostració por iducció y partimos de 0, os fijamos e el cojuto de todos los eteros egativos cosecutivos 0 0 y z.) E estas circustacias, podemos expresar el pricipio cuatificadores, como, uido co. ( 0 de iducció fiita, usado

3 Podemos compreder mejor la razó de la validez de este método de demostració usado uestra ituició, juto co la situació que se preseta e la figura E la parte (a) de la figura vemos las primeras cuatro fichas de ua disposició (ordeada) fiita de dichas de domio, cada ua puesta de forma vertical. El espacio que hay etre dos fichas cosecutivas es siempre el mismo y es tal que si cualquier ficha (digamos, la - ésima) se empuja hacia la derecha, etoces golpeara la siguiete ( ) -esima. Este proceso se represeta e la figura. (b). Nuestra ituició os hace pesar que este proceso cotiuara: la ( ) -esima ficha golpeara (a la derecha) la ( ) -esima, etcera x La parte (c) de la figura idica que la verdad de S ) proporcioa el empuje (a la derecha) 0 de la primera ficha (e ). Esto proporcioa la base de la iducció y poe e movimieto el proceso es verdadera, S ( ) es verdadera, lo que os proporcioa el paso iductivo y cotiua el proceso de caída de fichas. Etoces, podemos iferir el hecho de que S () es verdadera para toda 0 si imagiamos todas las fichas sucesivas cayedo (hacia la derecha) Ejemplo S() Para cualquier Z, i 3 ( )( ) / Demostració: para i, la proposició abierta ( 0 S( ) : i i 3 ( )/.

4 i Se covierte e S() : i ()( ) /. Así, S() es verdadera y teemos uestra base para la iducció. U puto de iicio para comezar la iducció. Si supoemos que el resultado es cierto para (para algú z ), queremos establecer uestro paso iductivo mostrado que la verdad de obliga a aceptar la verdad de. [La hipótesis de la verdad de es uestra hipótesis de iducció.] Para establecer la verdad de, ecesitamos mostrar que S( ) S() S() S( ) Hacemos lo siguiete. i ( )( ) i. i i ( ) i i ( ) ( ) ( ), ya que estamos supoiedo la verdad de S(). Pero ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ), Lo que establece el paso iductivo [codició (b)] del teorema. E cosecuecia, por el pricipio de iducció fiita, es verdadera para todo S() z Ahora que hemos obteido la formula para la suma i i de dos formas os desviaremos u poco del tema pricipal y estudiaremos u ejemplo que usa esta formula de la suma. Ejemplo Ua ruleta tiee úmeros del al 36 pitados e ella de maera aleatoria. Mostraremos que, idepedietemete de la posició de los úmeros, hay tres úmeros cosecutivos (e la ruleta) que suma 55 o más. Sea x cualquier úmero de la ruleta. Cotamos e direcció de las maecillas del reloj a partir de x, y llamamos a los demás úmeros x, x3,..., x36. para que el resultado sea falso, debemos teer x x x3 55, x x3x4 55,..., x34 x35 x36 55, x35 x36 x 55 y x 36 x x 55. E estas 36 desigualdades, cada uo de los térmios x, x,..., x36 aparece exactamete tres veces, por lo que cada uo de los eteros,,,36 aparece tres veces. Si sumamos las 36 desigualdades, teemos que 3 i 36(55) 980 pero 36 i i (36)(37) / 666 y esto os da la cotradicció 998 = 3(666)< ii

5 La siguiete formula para ua suma os lleva de la primera potecia a los cuadrados. Ejemplo 3 i Demuestre que para cualquier z, i ( )( )( ) / 6 Demostració: Aquí trabajamos co la proposició abierta S( ) : i i ( )( )( ) / 6 Base de la iducció: comezamos co la proposició S() y vemos que i i ()( )(() / 6 Por lo que S() es verdadera. Paso iductivo: supogamos ahora la verdad de supogamos que S() para u z (particular), es decir, i i ( )( ) / 6, Es ua proposició verdadera (al reemplazar por ). De esta hipótesis queremos deducir la verdad de S( ) : i i ( )(( ) )(( ) ) / 6 = ( )( )( 3) / 6 Si usamos la hipótesis de iducció S (), vemos que i i... ( ) i ( i ( )( )( ) / 6 ( ) ) De esto teemos

6 i i ( ) ( )( ) / 6 ( ) ( ) ( 7 6) / 6 = ( )( )( 3) / 6, y el resultado geeral se obtiee por iducció matemática. Ates de presetar más resultados e los que utilizamos el pricipio de iducció matemática para establecer su validez, observamos el iicio de las demostracioes de los ejemplos y 3. E ambos casos, simplemete reemplazamos la variable por, obteemos igualdades secillas y verificamos si so verdaderas. Si cosideramos que era defiitivamete más complicado establecer el paso iductivo e el resto de estas demostracioes, talvez os pregutemos por que hay que preocuparse por la base de la iducció. Por ello, vamos a aalizar el siguiete ejemplo. Ejemplo 4 Si z, establezca la validez de la proposició abierta S( ) : i i 3... ( ) / Esta vez vamos directamete al paso iductivo. Si supoemos la verdad de la preposició S( ) : i i 3... ( ) /. Para algú (particular), queremos ver si podemos iferir la verdad de la proposició z S( ) : i i 3... ( ) = ( 3 4) /. ( ) ( ) Como lo hicimos ateriormete, usamos la hipótesis de iducció y hacemos el cálculo siguiete: i 3... ( ) i ( ) ( ) / ( ) i i = ( ) / ( ) / ( 3 4) /. Por lo tato, para cualquier Z, se tiee que S ( ) S( ). pero ates de decidir si aceptamos la proposició S() como verdadera, recosideremos el ejemplo, dode apredimos que i ( ) /, para todo z. por lo tato, podemos usar estos dos i resultados (el ejemplo recié establecido ) para cocluir que

7 Así, teemos que todo ( ) / z, i ( ) / ( i ( ) /. ) /, Lo que implica que ( ) y 0. ( Algo está mal!) si, etoces i pero ( ) / ( ) /. Así, S() o es verdadera pero tal vez pesemos que este resultado úicamete idica que elegimos el puto de iicio icorrecto tal vez o todo Si embargo, si usamos el argumeto aterior, sabemos que para cualquier puto iicial si fuera verdadera, etoces 0 z, S( 0 ) S() sea verdadera pare todo 0 3 ( 0 0 ) / i i 0 del resultado del ejemplo, teemos i ) /, i 0 ( 0 tedríamos 0 ; así, o teemos u puto de iicio. 7 o todo 37. por lo que uevamete Este ejemplo debe idicar al lector la ecesidad de establecer la base de la iducció; si importar lo fácil que sea verificarla. Ejemplo 5 Progresioes geométricas Otra formula importate es la suma de cualquier progresió geométrica: Por ejemplo para a y q se obtiee la formula: Demostremos por iducció que para todo se tiee

8 (B) Veamos que para, a( q p() : a aq q ) es verdadera.. (P) Supogamos que para algú, la siguiete igualdad es verdadera. Demostremos que la proposició p( ) : a aq aq aq aq q a q q es verdadera Otra forma de probar la formula (.) es como sigue. Sea

9 Multiplicado ambos miembros de la igualdad aterior por q: Restado miembro a miembro las dos igualdades ateriores: Ejemplo 6 Suma de los primeros cuadrados. La suma de los primeros cuadrados se puede hallar usado la formula: La prueba por iducció es como sigue. Sea, (B) (p) es verdadera, ya que (P) Supogamos que p() es verdadera, es decir, supogamos que Demostremos que

10 ( 3 p ( ) : 3 ( ) es verdadera 6 Otra forma de probar (.3) es haciedo uso del producto otable: de dode obteemos Esta igualdad es valida para cualquier. E particular para obteemos las igualdades:,,3,, respectivamete, Si escribimos

11 Y hacemos uso de la formula Al sumar miembro a miembro las igualdades ateriores obteemos: Realizado operacioes algebraicas teemos: De forma aáloga a la aterior puede hallarse formulas para potecias superiores de los etero, 3, dode es u etero positivo Ejemplo 7 Suma de los primeros úmeros impares. Probaremos por iducció que: es verdadera para todo. (B) De la igualdad, Cocluimos que (p) es verdadera

12 (P) supogamos que p() es verdadera, es decir, supogamos que la siguiete igualdad se cumple: Necesitamos mostrar que, es verdadera. De la misma forma como se verificó (.) si utilizar iducció matemática, podemos ecotrar otra maera de probar la fórmula para la suma de los primeros úmeros impares. Bibliografía Ralph Grimaldi. Matemática discreta y combiatoria. Pretice Hall. 3ª Ed Kolma, Busby y Ross. Estructuras de matemáticas discretas para la computació. Pearso Educació. 3ª Ed. 997 K. Ross y C. Wright. Matemáticas discretas. Pretice Hall. ª Ed Richard Johsobaugh. Matemáticas discretas. Grupo Editorial Iberoamericaa. 998