2 PROPIEDADES DIELÉCTRICAS A BAJA FRECUENCIA

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1 2 PROPIEDADES DIELÉCTRICAS A BAJA FRECUENCIA 2.1 INTRODUCCIÓN A bajas frecuencias la permitividad de un dieléctrico polar presenta una dependencia con la frecuencia debida únicamente al mecanismo de la polarización orientacional, mientras que las contribuciones debidas a los mecanismos de polarización iónica y electrónica presentan contribuciones constantes. El comportamiento en frecuencia de este mecanismo orientacional es del tipo de relajación, que en el caso del modelo de Debye viene caracterizado por un tiempo de relajación τ. Los condensadores en capa fina se obtienen mediante la técnica de evaporación sucesiva en alto vacío. Esencialmente están constituidos por una capa dieléctrica de espesor del orden de 1 μm, entre dos capas metálicas que actúan de armaduras. La estructura del condensador se representa en la figura 1. Figura 1 Además de las múltiples aplicaciones en el campo de los recubrimientos ópticos, los dieléctricos en capa fina presentan también importantes aplicaciones en el campo de la microelectrónica, como son los condensadores y los dispositivos MOS. El objetivo de esta práctica es medir la dependencia de la parte real y la parte imaginaria de la permitividad de un dieléctrico (SiO x ) en el rango de bajas frecuencias (5-1x10 5 Hz). Se realiza la representación de Cole-Cole para determinar los parámetros de ajuste al modelo de Davison-Cole. 2.2 FUNDAMENTO TEÓRICO Permitividad relativa compleja La capacidad de un condensador plano con dieléctrico el vacío o el aire viene expresada por la conocida relación: S C0 = ε 0 (1) d La permitividad de un material caracteriza la respuesta del material al polarizarse bajo la acción de un campo eléctrico. Esta respuesta depende de la frecuencia del campo aplicado y puede presentar un retraso temporal por lo que en general será un valor complejo (ε r '-jε r ") y los valores de la parte real e imaginaria dependerán de la frecuencia. Cuando entre las armaduras de C 0 se coloca un medio dieléctrico de permitividad compleja, el valor de la capacidad será: C = (ε r '-jε r ")C 0. Si además el dieléctrico tiene una cierta conductividad σ no nula, presentará una cierta resistencia R = d/σs (=ε 0 /σc 0 ). El circuito equivalente para representar este comportamiento, es la R en paralelo con C (ya que tanto R como C experimentan la misma diferencia de potencial). La admitancia de este paralelo es: 2-1

2 Y 1 C σ = + jc ωε r jωε r ' C0 (2) R 0 ω = + '' C0 + ε Puente de impedancias El puente de impedancias es un aparato de medida que en un determinado rango de frecuencias (5Hz - 13MHz), aplica una tensión alterna de amplitud constante y de una frecuencia preseleccionada, y mide las componentes de la corriente en fase y en cuadratura con la tensión de la señal aplicada. A partir de estos valores calcula la admitancia compleja: Y = Re( Y ) + j Im( Y ) (3) En el modo de medida de capacidad ( C ), el puente de impedancias presenta el resultado de la medida identificando la admitancia experimental (3) con el modelo dado en (2). En concreto a partir de la componente en cuadratura, deduce el valor de la capacidad: C = ε r ' C0 = Im( Y ) /ω (4) mientras que del cociente entre ambas componentes se deduce el valor de la tangente del ángulo de pérdidas Q, o de su inversa D = Q -1 : Re( Y ) ε r '' +σ / ωε 0 r D = = (5) Im( Y ) ε ' r Una vez obtenidos los valores experimentales de C y D, estamos interesados en deducir los valores de ε r ' y de ε r ". El valor de ε r ' se deduce directamente de la expresión (4) si se conocen los parámetros geométricos S y d. Sin embargo la expresión (5) en general no proporciona directamente el valor de ε r ", ya que aparece una contribución de σ, sino un valor "eficaz" ε r " * que podemos expresar formalmente como: * ε r '' * D = donde ε r '' = ε r '' + σ / ωε 0 (6) ε r ' Modelos teóricos de la permitividad dieléctrica Las dependencias de ε r '(ω) y ε r "(ω) para la polarización dipolar vienen dadas en el modelo de Debye para un sólo tiempo de relajación τ por las expresiones: ε '( ) ε ε 1+ ω τ r0 r r ω = ε r + (7) 2 2 ε ''( ) ( ε ) ε ωτ 1+ ω τ r0 r r ω = (8) 2 2 En la práctica, muy pocos dieléctricos siguen estrictamente el modelo de Debye, aunque presentan un comportamiento cualitativamente similar. Davison y Cole sugirieron la siguiente fórmula empírica: ε ε ε ( ω) (9) * r r0 r = ε r + 1 ( 1+ jωτ ) n 2-2

3 con (0 n<1), que incluye el modelo de Debye como caso particular para n = 0. En la figura 2 se representa como varía el diagrama de Cole-Cole para distintos valores del parámetro n. Se observa que para n=0 (comportamiento tipo Debye), la gráfica Cole-Cole es una circunferencia si se utiliza la misma escala para las unidades de ε r '(ω) y ε r "(ω). Figura 2 En las Figuras 3 y 4 se representan como varían las dependencias de ε r '(ω) y ε r "(ω) para distintos valores de n y τ respectivamente. Figura 3 Figura 4 El valor máximo de ε r " se encuentra para una frecuencia 1/τ que en los líquidos polares poco viscosos (como por ejemplo el agua), se encuentra situada habitualmente en la región de las microondas (τ 10-9 s, f 10 9 Hz). Sin embargo en los materiales sólidos los valores del tiempo de relajación τ suelen ser mucho más grandes. Los materiales obtenidos en capa fina presentan defectos cristalinos como pueden ser vacantes o átomos intersticiales. Estos defectos originan la aparición de barreras de potencial separadas por distancias grandes en comparación con las magnitudes moleculares. Esto da lugar a fenómenos de relajación con valores de τ del orden de algunos segundos, y por tanto presentan un máximo de ε r " para una frecuencia del orden de algunas décimas de Hz. 2-3

4 Si además el material presenta una conductividad σ, la ε r " * presentará una contribución σ/ωε o que se añade a ε r " y que será dominante a bajas frecuencias. Este efecto se ilustra en las figuras 5 y 6 para el agua, que tiene un comportamiento tipo Debye. Figura 5 Figura Circuito equivalente para un dieléctrico con relajación tipo Debye El comportamiento de un dieléctrico con relajación tipo Debye se puede simular con el circuito equivalente de la figura 7. Figura 7 El condensador C 2 sin resistencia serie representa los dipolos rápidos del material. El condensador C 1 en serie con R tiene un tiempo de relajación para su carga y descarga τ = R 1 C, y representa los dipolos lentos. Para bajas frecuencias (ω<<1/τ), el proceso de carga y descarga es suficientemente lento para que los dos condensadores se carguen, y la capacidad equivalente tiende al valor C 1 +C 2. Para altas frecuencias (ω>>1/τ), el condensador C 1 no es capaz de cargarse y descargarse al ritmo de la variación del potencial aplicado, y es como si no estuviera, siendo la capacidad equivalente C 2. Nota: Aunque el circuito equivalente es útil para simular un comportamiento físico, hay que tener presente que el origen físico del fenómeno es muy distinto en ambos casos. En un material con comportamiento tipo Debye el origen es intrínseco al material que está formado por dipolos que necesitan un tiempo relativamente grande para cambiar su orientación, y por tanto la correspondiente carga libre en las armaduras del condensador. En el circuito equivalente el origen es extrínseco debido a la presencia de la resistencia R en serie que retrasa la carga y descarga del condensador. 2-4

5 2.3 REALIZACIÓN EXPERIMENTAL Material Analizador de impedancias (HP 4192A LF Impedance Analyzer) que puede medir en el rango de frecuencias de 5 a 13 Mhz. Caja conteniendo el circuito equivalente. Caja conteniendo el condensador de SiO x. Regulador de temperatura Procedimiento experimental Las medidas se realizan en el modo de circuito paralelo. Realizar la medida de Re(Y) y Im(Y) equivalentes para el circuito equivalente de forma manual para las frecuencias de 100 Hz y 1 khz. Deducir los valores de ε req ' y ε req " * para el condensador equivalente a la asociación, de espesor d y superficie S (ver valores numéricos en la caja). Realizar la medida de Re(Y) y Im(Y) equivalentes para el circuito equivalente en el rango de frecuencias de 100 Hz a 10 5 Hz. Ambos condensadores tienen una ε r independiente de la frecuencia, un mismo valor del espesor d y distintos valores de superficie S 1 y S 2. El proceso de medida se controla mediante el programa ANALYZER a través de la interfase IEEE-488. Realizar la medida a temperatura ambiente de Re(Y) y Im(Y) equivalentes para el condensador de SiO x en el rango de frecuencias de 5 Hz a 10 5 Hz. El proceso de medida y de ajuste de parámetros se realiza como en los apartados anteriores, OPCIONAL: Repetir el proceso de medida para otras temperaturas (no superar 80 ºC. Consultar con el profesor el manejo del controlador de temperatura) Presentación de resultados Para el circuito equivalente: Deducir los valores de ε r ' y ε r " *, para la frecuencia de 100 Hz haciendo el cálculo correspondiente. Mediante el software que se facilita (consultar al profesor), comparar las dependencias ε req '(ν) y ε req "(ν) experimentales con el modelo teórico, y comprobar que verifican una dependencia tipo Debye (n=0). Deducir los parámetros dieléctricos del ajuste con el modelo de Debye y comprobar que verifican: ε r0 =(C 1 +C 2 )d/[ε 0 (S 1 +S 2 )], ε r =C 2 d/[ε 0 (S 1 +S 2 )], τ=rc 1 para una conductividad nula. Para el condensador de SiO x : Mediante el software suministrado, comparar las dependencias ε r '(ν) y ε r "(ν) experimentales con el modelo teórico, y deducir los parámetros dieléctricos del material que sean accesibles. Se procede del siguiente modo: o o Representación de Cole-Cole (ver Figura 2): Esta representación es totalmente insensible al valor del parámetro τ. La parte lineal de la representación permite calcular bien los parámetros ε r, y n. Representación de epsilon en función de la frecuencia: en esta representación se pueden deducir los otros parámetros: ε ro, σ y τ, donde σ da cuenta de la contribución de la conductividad (σ/ωε 0 ) a la parte imaginaria de la permitividad. 2-5

6 Representar el diagrama de Cole-Cole con los puntos experimentales (puntos sin línea) y la dependencia calculada (línea sin puntos). Notar que en los dos ejes las escalas han de ser las mismas. Representar en gráficas distintas las dependencias de ε ' r, ε '' r, y de tangδ= ε '' ' '' r / ε r (con ε r sin la contribución debida a la conductividad), de manera análoga a la Figura 3, y la dependencia con la frecuencia debida a la conductividad Elementos de discusión Interpretar el significado físico de los valores observados de ε r ' para altas y bajas frecuencias. Comparar el tiempo de relajación deducido con el del agua. Discutir el ajuste del modelo con los datos experimentales. Intentar explicar las posibles discrepancias. 2.4 BIBLIOGRAFIA Apuntes de la asignatura. J.M. Albella y J.M. Martínez, Física de los dieléctricos, Ed. Marcombo, Barcelona L. Eckertová, Physics of thin films, Plenum Press, New York,

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