Problemario 1: Teoría de Conjuntos y Espacios Muestrales

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1 UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR CO3121 PROBABILIDADES PARA INGENIEROS PROBLEMARIO Problemario 1: Teoría de Conjuntos y Espaios Muestrales Trae los diagramas de Venn para verifiar que para ualquier par de onjuntos A y B se umplen las Leyes de Morgan (1.3) Tres eventos se muestran en el siguiente diagrama de Venn: A B C Reproduza la figura anterior sombreando la región que orresponda a ada uno de los siguientes eventos: a) A I B b) ( AU B) I C ) ( AI B) U C d) ( AI B) U C Supóngase que el onjunto universal onsta de los enteros positivos del 1 al 10. Sean A = {2, 3, 4}, B = {3, 4, 5} y C = {5, 6, 7}. Anote los elementos de los siguientes onjuntos: a) A I B b) B A U ) ( B ) ( ) A I d) AI ( BI C) e) ( A I ( BU C) ) Supóngase que el onjunto universal U está dado por U = {x 0 x 2}. Sea los onjuntos A y B definidos omo sigue: A = { x ½ < x < 1} y B = { x ¼ x 1½}. Desriba los onjuntos siguientes: a) ( A U B) b) AU B ) ( B) AI d) A I B Supóngase que el onjunto universal onsta de todos los puntos (x, uyas oordenadas son enteros no negativos. Indique los elementos de los onjuntos siguientes: A = { (x, x² + y² 6}, B = { (x, 1 xy 4} C = A B D = A C 1

2 1.6.- Los artíulos provenientes de una línea de produión se lasifian omo defetuosos (D) y no defetuosos (N). Se observan los artíulos y se anota su ondiión. Este proeso ontinúa hasta que se produzan dos artíulos defetuosos o se verifiquen uatro artíulos, ualesquiera que ourra primero. Desribir el Espaio Muestral (S) para este experimento Desribir el Espaio Muestral para los siguientes experimentos: a) Una aja on N bombillas tiene r (r < N) unidades on filamentos rotos. Éstas se prueban una por una, hasta que se enuentra una defetuosa. b) Supóngase que las bombillas anteriores se prueban una por una, hasta que se prueban todas las defetuosas Considérense uatro objetos, a, b, y d. Supóngase que el orden en el ual se anotan estos objetos representa el resultado de un experimento. Sean A y B los eventos definidos omo sigue: A = {a está en primer lugar}; B = {b está en el segundo lugar} a) Anotar los elementos del Espaio Muestral. b) Anotar todos los elementos de los eventos A B y A U B Se lanza una moneda tres vees onseutivas, desriba el Espaio Muestral en ada uno de los siguientes asos: a) Si interesa el resultado de ada lanzamiento. b) Si interesa el número total de aras Se arrojan dos dados y se observan los puntos de ada dado: a) Desriba el Espaio Muestral. b) Desriba los siguientes suesos: i) Sale al menos un tres. ii) Sale a lo sumo un tres. iii) Sale exatamente un tres. iv) La suma de los puntos es siete. Problemario 2: Propiedades de las Probabilidades y Métodos de Conteo Indique para que asos se umple que: P ( AU B) = P( A) + P( B), y para que asos se umple que: P ( AU B) < P( A) + P( B). Asuma que todos los elementos del Espaio Muestral S tienen P > Supongamos que el espaio muestral S = A U B y P(A B) = 0.2 Hallar: a) El máximo valor posible para P(B), de tal manera que se umpla P(A) P(B) b) P ( A ), sabiendo que P(B) = 0.7 ) P( A I B ) Supóngase que A y B son eventos para los uales P(A) = x, P(B) = y, y P(A B) = z. Expresar ada una de las probabilidades siguientes en términos de x, y y z. a) ( A B ) A B A B P A I B P U b) P( I ) ) P( ) U d) ( ) Supóngase que A, B y C son eventos tales que P(A) = P(B) = P(C) = ¼, P(A B) = P(C B) = 0 y P(A C) = ⅛. Calular la probabilidad de que al menos uno de los eventos A, B o C ourra. 2

3 2.5.- En una habitaión se enuentra el siguiente grupo de personas: 5 hombres mayores de 21, 4 hombres menores de 21, 6 mujeres mayores de 21 y 3 mujeres menores de 21. Se elige una persona al azar. Se definen los eventos siguientes: A = {la persona es mayor de 21}; B = {la persona es menor de 21}, C = {la persona es hombre}, D = {la persona es mujer}. Evaluar lo siguiente: a) ( B D) P A I C P U b) ( ) Se lanza una moneda 8 vees, hallar la probabilidad de que: a) se obtengan exatamente 5 aras. b) se obtengan a lo sumo 4 sellos Un argamento de 1500 transformadores ontiene 400 defetuosos y 1100 no defetuosos. Se eligen al azar 200 transformadores (sin substituión) y se lasifian. a) Cual es la probabilidad de que se enuentren exatamente 90 transformadores defetuosos? b) Cuál es la probabilidad de que se enuentren al menos 2 transformadores defetuosos? Un lote onsta de 10 artíulos sin defeto, 4 on pequeños defetos y 2 on defetos graves. Se eligen dos artíulos al azar (sin substituión), enontrar la probabilidad de que: a) ambos sean buenos b) ambos tengan defetos graves ) al menos uno sea bueno d) a lo más uno sea bueno e) exatamente uno sea bueno f) ninguno tenga defetos graves g) ninguno sea bueno En un juego de Poker de 52 artas, se extraen 4 de ellas sin reposiión. a) Determine la probabilidad de que por lo menos una arta sea un As. b) Determine la probabilidad de que las uatro artas tengan el mismo olor Una aja ontiene esferas numeradas 1, 2, 3,, n. Se esogen dos esferas al azar. Enontrar la probabilidad de que los números sobre las esferas sean enteros onseutivos, si: a) Las esferas se esogen sin substituión, b) Las esferas se esogen on substituión. Problemario 3: Probabilidad Condiional, Teorema de Bayes e independenia La siguiente tabla ontiene las probabilidades orrespondientes a las interseiones de los eventos indiados: B B A A a) Hallar P(A B) b) Hallar P(B A) ) Hallar P( A B) d) Hallar P( B A) Una aja ontiene 4 tubos malos y 6 buenos. Se saan 2 a la vez. Se prueba uno de ellos y se enuentra que es bueno. Cuál es la probabilidad de que el otro también sea bueno? 3

4 3.3.- Se tienen 20 artíulos, 12 de los uales son defetuosos y 8 no defetuosos. Se inspeionan uno después de otro. Si estos artíulos se esogen al azar, uál es la probabilidad de que: a) Los dos primeros artíulos inspeionados sean defetuosos? b) Los dos primeros artíulos inspeionados sean no defetuosos? ) Entre los dos primeros artíulos inspeionados haya uno defetuoso y uno no defetuoso? Un bolso ontiene tres monedas, una de las uales está auñada on dos aras, mientras que las otras dos monedas son normales. Se esoge una moneda al azar y se lanza uatro vees en forma onseutiva. Si ada vez sale ara, Cuál es la probabilidad de que ésta sea la moneda on dos aras? Un examen para detetar la presenia de un virus, deteta al virus en un 95% de los asos, uando este esta presente; pero puede presentar un falso resultado positivo en un 2% de los asos. Si en determinada poblaión la enfermedad aparee en alrededor del 0.3% de las personas, alule: a) La probabilidad de que el examen resulte positivo, b) La probabilidad de que una persona tenga la enfermedad dado que el resultado fue positivo. ) Qué tan bueno y onfiable es este examen? Qué podría haer para mejorarlo? En una fábria de pernos, las máquinas A, B y C fabrian 25, 35 y 40% de la produión total, respetivamente. De lo que produen, 5, 4 y 2% respetivamente, son pernos defetuosos. Se esoge un perno al azar y resulta ser defetuoso. Cuáles son las probabilidades respetivas de que el perno provenga de la máquina A, la B o la C? Se lanza un dado y de manera independiente se esoge al azar una arta de una baraja de Poker. Cuál es la probabilidad de que: a) el dado muestre un número par y la arta sea de un palo rojo? b) el dado muestre un número par o la arta sea de un palo rojo? Se lanza un dado n vees, Cuál es la probabilidad de que 6 salga al menos una vez en los n lanzamientos? Un tubo al vaío puede provenir de ualquiera de tres fabriantes on probabilidades P1 = 0.25, P2 = 0.50 y P3 = Las probabilidades de que el tubo funione orretamente son iguales a 0.1, 0.2 y 0.4, respetivamente, para los tres fabriantes. Calular la probabilidad de que un tubo elegido al azar funione orretamente Existen 2 aminos para ir de A hasta B, y 2 aminos para ir desde B a C. Cada uno de los aminos tiene probabilidad p de estar bloqueado, independientemente de los otros. Hallar la probabilidad de que haya un amino abierto de A a B, dado que no hay amino de A a C. Problemario 4: Distribuión de una Variable Aleatoria Disreta Se sabe que el 65% de los onsumidores de erveza de una omunidad prefiere la mara lasifiada omo A. Si se esogen al azar 10 personas, alular la probabilidad de que: a) ninguno prefiera la erveza A, b) exatamente uatro prefiera la erveza A, ) a lo sumo uatro prefieran la erveza A, d) al menos seis prefieran la erveza A, 4

5 4.2.- De un lote que ontiene 25 artíulos, 5 de los uales son defetuosos, se eligen 4 al azar. Sea X el número de artíulos defetuosos enontrados. Obtener la distribuión de probabilidad de X si: a) los artíulos se esogen on substituión. b) los artíulos se esogen sin substituión Un estanque ontiene 500 pees de los uales 300 están marados. Un pesador logra saar 50 pees. Hallar la probabilidad de que: a) 20 de los pees estén marados, b) Ninguno de los pees este marado Un depósito guarda 1000 artíulos, 100 de los uales son defetuosos. Un inspetor toma uno de los artíulos al azar, y si no es defetuoso lo devuelve al lote. Sea N el número de inspeiones de objetos no defetuosos, que se realizan antes de enontrar el primer objeto defetuoso. Calular la probabilidad de tener 25 N La probabilidad de que el lanzamiento de un ohete sea exitoso es igual a 0.8. Supóngase que se haen ensayos hasta que ourren 3 lanzamientos exitosos. a) Cuál es la probabilidad de que sean neesarios 6 intentos? b) Cuál es la probabilidad de que sean neesarios menos de 6 intentos? En la situaión desrita en el problema 4.5 suponga que los ensayos de lanzamientos se haen hasta que ourren tres lanzamientos onseutivos exitosos. a) Cuál es la probabilidad de que sean neesarios 6 intentos? b) Cuál es la probabilidad de que sean neesarios menos de 6 intentos? ) Cuál es la probabilidad de que sean neesarios mas de 7 intentos? Si X tiene una distribuión de Poisson y si P(X = 0) = 0.2, alular P(X > 2): Suponer que la probabilidad de que un artíulo produido por una máquina espeial sea defetuoso es igual a 0.2. Si 10 artíulos se seleionan al azar, Cuál es la probabilidad que no se enuentre más de un artiulo defetuoso? Usar las distribuiones binomial y de Poisson y omparar las respuestas Supóngase que X tiene una distribuión de Poisson. Si P(X = 2) = ⅔P(X = 1), alular P(X = 3) Supóngase que un libro de 585 páginas ontiene 43 errores tipográfios. Si estos errores están distribuidos aleatoriamente a lo largo del libro, Cuál es la probabilidad de que 10 páginas seleionadas al azar estén libres de errores? (Suponga que el número de errores por página tiene una distribuión de Poisson.) 5

6 Problemario 5: Distribuión de Variables Aleatorias Continuas Sea X una variable aleatoria ontinua on funión de densidad: 2 (4x 2x ) si 0< 2 f ( x) 0 si x (0,2) a) Halle el valor de. b) Enuentre la funión de distribuión (aumulada). ) Halle P(X > 1) Suponga que la siguiente gráfia representa una la funión de densidad de la variable X: f(x) (a, b) x = a x = b a) Cual es la relaión entre a y b? b) Grafique la funión de distribuión aumulada Suponga que la Variable X se distribuye uniformemente sobre [ a, a], donde a > 0. Determine el valor de a para que las siguientes probabilidades sean satisfehas: a) P(X > 1) = ⅓ b) P(X < ½) = La duraión de una llamada, en minutos, es una variable aleatoria exponenial on parámetro λ = 1/10. Si una persona llega inmediatamente antes que usted a un teléfono públio, enuentre la probabilidad de que usted tenga que esperar: a) más de 10 minutos; b) entre 10 y 20 minutos Sea X una variable aleatoria de distribuión exponenial on parámetro λ. Calular P(1/X x) El tiempo de vida en semanas de ierto tipo de lámpara es una variable aleatoria Y uya distribuión viene dada por: y F( = 1 e, si y 0 a) Demuestre que F tiene las propiedades de una funión de distribuión b) Calule la densidad f de F ) Calule la probabilidad de una lámpara de este tipo dure durante al menos 2 semanas Sea X una variable aleatoria on distribuión Normal on parámetros µ = 12 y σ = 3. Halle: a) P(X > 3) b) P( X 12 < 4) ) P( X 10 > 2) El gasto semanal en mantenimiento en una empresa puede modelarse on una distribuión normal de media Bs y desviaión estándar Bs Cuánto se debería presupuestar para mantenimiento semanalmente, de modo que la probabilidad de que la antidad presupuestada sea exedida, sea de tan sólo 0.1? 6

7 Problemario 6: Distribuiones Multivariadas. Distribuiones Marginales y Condiionales. Independenia Dos dados son lanzados. Sean X = menor valor obtenido y Y = mayor valor obtenido.: a) Halle todas las probabilidades asoiadas al par de variables (X, Y). b) Halle el valor de la distribuión (aumulada) onjunta de F(2, 3). ) Halle las probabilidades marginales de g(x = 3) y de g(y = 3). d) Halle la probabilidad ondiional de X dado que Y = 3, para todos los valores posibles de X. e) Son X e Y independientes? Suponga que se saan dos artas al azar de una baraja de 52 artas. Sea X el número de ases obtenidos y Y el número de reinas obtenidas. a) Obtener la funión de probabilidad onjunta de (X, Y). b) Obtener las funiones de probabilidad marginal de X y de Y. ) Obtener la funión de probabilidad ondiional de X dado Y Dos ápsulas se seleionan aleatoriamente de un reipiente que ontiene tres aspirinas, dos ápsulas de Tempra y uatro ápsulas de Saridón. Sea X el número de aspirinas y sea Y el número de Tempras que se obtienen de entre las dos apsulas extraídas del reipiente. a) Halle la funión de probabilidad onjunta de (X, Y). b) Halle F(1,1) ) Halle las funiones de probabilidad marginales de X y de Y. d) Halle la funión de probabilidad ondiional de X dado que Y = Supongamos que la funión de densidad onjunta de X e Y está dada por x+ y si 0< 1, 0< y< 1 0 en otros asos a) Hallar F(x, b) Halle las densidades marginales de Y. ) Halle las densidad ondiional de X dado Y Un estudio en un grupo de adolesentes muestra que el número de horas diarias, X que un adolesente dedia a ver televisión y el número de horas diarias Y, que dedia a estudiar o haer tareas tienen aproximadamente la siguiente densidad onjunta: x 2 y 2e si 0<, 0< y< 0 en otros asos a) Hallar F(x, b) Cual es la probabilidad de que un adolesente vea televisión por más de una hora y que estudie menos de una hora? ) Cual es la probabilidad de que un adolesente dedique mas tiempo a estudiar que a ver televisión? 7

8 d) Cual es la probabilidad de que el tiempo que dedia un adolesente a estudiar y a ver televisión sea de mas de una hora? e) Cual es la probabilidad de que el tiempo que dedia un adolesente a ver televisión sea de menos de a horas? f) Si sabemos que un adolesente vio 2 horas de televisión, Cual es la probabilidad de que haya estudiado por más de una hora? Son X e Y independientes? Sea X e Y dos variables aleatorias de densidad onjunta: = kxy, si x 0, y 0, x + y 1 a) Enontrar el valor de k que hae que sea una funión de densidad de probabilidad. b) Halle las densidades marginales de ada variable. ) Halle la densidad ondiional f(x. d) Son X e Y independientes? Demuestre que, el par (X, Y), tiene distribuión uniforme sobre el retángulo (a, b) x (, d) si, y solo si, las variables X e Y son independientes, X ~ Unif (a, b) y Y ~ Unif (, d) Tenemos la distribuión de probabilidad trivariada: z ( x+ e para 0< 1, 0< y< 1, z> 0 y, z) 0 en otros asos a) Enuentre P[(X, Y, Z) A], donde A es la región: A = {( x, y, z) : 0< y< 1, z< 1} b) Enuentre la densidad marginal onjunta de X y Z ) Enuentre la densidad marginal de X solamente. d) Enuentre la densidad ondiional f (y x, z) e) Enuentre la densidad ondiional f (y, z x) Problemario 7: Valor Esperado. Media. Varianza. Covarianza. Correlaión. Esperanza Condiional. Funión Generadora de Momentos Sea Y una variable aleatoria on la distribuión dada en la siguiente tabla. y P(Y= Enuentre: a) E(Y), b) E(Y²), ) E(1/Y), d) E(Y² 1), e) var(y), f) desv.est.(y), g) M Y (t), h) M (0), i) M (0). Y Y 8

9 7.2.- Las 5 primeras repetiiones de un experimento uestan $10.00 ada una, y todas las subsiguientes tienen un valor de $5.00 ada una. Suponer que el resultado se repite hasta obtener el primer resultado exitoso. Si la probabilidad de un resultado exitoso es siempre igual a 0.9 y si las repetiiones son independientes, Cuál es el osto esperado de la operaión ompleta? Se sabe que un lote ontiene 2 artíulos defetuosos y 8 no defetuosos. Si estos artíulos se inspeionan al azar, uno después del otro hasta saar los dos defetuosos. a) Cuál es el número esperado de artíulos que se deben esoger para inspeión a fin de saar todos los defetuosos? b) Cuál es la varianza de la antidad de artíulos esogidos? Un juego de Lotto onsiste en esoger 6 números de 54. Si el jugador aierta a los 6 números premiados, reibe $10,000,000.-, Si el jugador aierta a 5 números, reibe $100,000.- y si aierta a 4 reibe $1, No hay premios para menos de 4 aiertos. Si el jugador paga $4.- por partiipar, Cuál es su utilidad esperada (ganania esperada menos el osto por jugar)? Calular el valor esperado y la varianza de una variable aleatoria on distribuión: a) Binomial(n, p) b) Geométria(p) ) Poisson(λ) d) Uniforme(a, b) e) Exponenial(α) f) Normal(µ, σ²) Si Y = ax + b, donde a y b son onstantes, exprese la funión generadora de momentos de Y en términos de la funión generadora de momentos de la variable aleatoria X Suponga que la variable aleatoria X tiene una distribuión exponenial(α), a) Enuentre su funión generadora de momentos b) Enuentre E(X), E(X²) y var(x) a partir de la funión generadora de momentos ) Enuentre la funión generadora de momentos de Y = bx +, donde b y son onstantes. d) Enuentre E(Y) y var(y) Dos ápsulas se seleionan aleatoriamente de un reipiente que ontiene tres ápsulas de Aspirina, dos ápsulas de Tempra y uatro ápsulas de Saridón. Sea X el número de Aspirinas y sea Y el número de Tempras que se obtienen de entre las dos apsulas extraídas del reipiente. a) Enontrar E(X), E(X²), var(x), E(Y), E(Y²), var(y), E(XY), ov(x, Y) y orrelaión(x, Y). b) Halle E(X + Y) y var(x + Y). ) Enontrar E(X y = 1), E(X² y = 1) y var(x y = 1) Sea X e Y dos variables aleatorias de densidad onjunta: = 24xy, si x 0, y 0, x + y 1 a) Enontrar E(X), E(X²), var(x), E(Y), E(Y²), var(y), E(XY), ov(x, Y) y orrelaión(x, Y). b) Calule E(4X + Y + 3) y var(4x + Y + 3). ) Enontrar E(X, E(X y = ½), E(Y x), E(X², var(x, var(x y = ½) y var(y x). 9

10 Tenemos la distribuión de probabilidad trivariada: z ( x+ e para 0< 1, 0< y< 1, z> 0 y, z) 0 en otros asos a) Enuentre E(X), E(Z), E(X + Z), E(X²), E(Z²), var(x), var(z), E(XZ) y ov(x, Z) b) Enuentre E(Y x, z), E(Y x = ½, z = 5), E(Y² x, z) y var(y x, z) ) Enuentre E(X + Y z) Problemario 8: Funiones de Variables Aleatorias. Desigualdad de Chebyshev. Ley general de los grandes números. Teorema del Límite Central. Aproximaión Normal a la Binomial Sea X una variable aleatoria on distribuión exponenial on parámetro α. Sea Y = 1/X. a) Calule la densidad de Y usando el método de la funión de distribuión. b) Calule la densidad de Y usando el método de transformaión. ) Verifique que f ( también es una densidad de probabilidad Sea F(x) el valor de la funión de distribuión aumulada de la variable aleatoria ontinua X en el punto x, Enuentre la densidad de probabilidad de Y = F(X) Sea X una variable aleatoria on distribuión normal estándar. Sea Z = X². Enuentre f(z) Sea X una variable aleatoria on la siguiente densidad de probabilidad x (1 x) para 0< 1 f ( x) 0 en otros asos a) Enuentre la probabilidad de que X tome un valor en el rango de ±2 desviaiones estándar de la media. b) Usando la desigualdad de Chebyshev, obtenga la probabilidad mínima para ualquier variable aleatoria de que tome un valor en el rango de ±2 desviaiones estándar de la media. ) Compare ambas probabilidades, la del iniso a) y la del b) Demuestre el resultado de la varianza de la media muestral (fórmula (8.7)) Demuestre el resultado del valor esperado de la varianza muestral (fórmula (8.8)) Una máquina dispensadora de bebida esta ajustada para que la antidad de bebida surtida por vaso sea una variable aleatoria on una media de 200 mililitros y una desviaión estándar de 15 mililitros. Cual es la probabilidad de que el promedio de la antidad de bebida dispensada en 36 operaiones (vasos) sea de por lo menos 204 mililitros? Si Xi, i = 1, 2,, 10 son variables aleatorias independientes on distribuión uniforme(0, 1). 10 Calule una aproximaión para P X i > 6. i= 1 10

11 8.9.- Se lanza una moneda 16 vees. Estime en forma aproximada las siguientes probabilidades: a) La probabilidad de obtener 6 aras y 10 rues. b) La probabilidad de obtener 6 aras o menos ) La probabilidad de obtener más de 6 aras Una ompañía es ontratada para realizar una enuesta de salida para un referendo revoatorio. Para el reporte de los resultados, se le pide una onfiabilidad del 95% de que la proporión estimada de gente que va a votar SI no diste de mas del 3% del verdadero valor de la proporión. Tome en uenta que la antidad de votos SI por muestra tiene una distribuión Binomial(n, p), donde n es la antidad de enuestas de la muestra y p es la verdadera proporión de SI. a) Utilizando Chebyshev, enontrar la antidad mínima de enuestas de salida requeridas. b) Enontrar la antidad mínima de enuestas requeridas. Usar la aproximaión Normal a la Binomial. 11