CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E0800

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1 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E0800 (1) Determine la ecuación de la recta tangente a la curva 5 2 y +8 4 y 2 3(y ) 2 =1 en el punto (1, 1) (2) Cuando se epande aire a temperatura constante, su presión y su volumen, satisfacen PV 14 = C donde C es una constante Si en un momento determinado el volumen es de 400 cm 3 y la presión es de 80 KPa, disminuyendo ésta a razón de 10 KPa/min, con qué razón aumenta el volumen en ese instante? (3) Supóngase que las siguientes son las gráficas de f y f, para una función f: R R f f A partir de las gráficas de f y f, determine dónde es creciente y dónde es decreciente f; sus intervalos de concavidad; máimos y mínimos relativos y puntos de infleión (4) Dos barcos salen al mismo tiempo; uno de un muelle, con dirección sur y con velocidad de km/h El otro parte hacia el muelle desde un punto que se encuentra a 15 km al oeste, a 10 km/h En qué momento se encuentran más cercanos estos dos navíos? (5) Sea f() = Determina los intervalos de monotonía y de concavidad de f; máimos y mínimos locales y puntos de infleión Usando esta información, esboza la gráfica de f canekazcuamm: 2/ 3/ 06 1

2 2 TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E0800 Respuestas (1) Determine la ecuación de la recta tangente a la curva 5 2 y +8 4 y 2 3(y ) 2 =1 en el punto (1, 1) El punto estará sobre la curva si sus coordenadas =1&y = 1 satisfacen la ecuación de la curva Veámoslo; ponemos 1 en lugar de & y, con lo cual tenemos: 5(1) (1) 4 (1) 2 3[(1) 5 + (1) 3 ] 2 = =13 3 4=13 12 = 1 y verificamos que el punto está sobre la curva, efectivamente Hallemos ahora la pendiente de la tangente derivando implícitamente con respecto a 10y +5 2 y y yy 6(y )(5y 4 y +3 2 )=0 Trasponiendo términos y factorizando y : y ( y 30y y 4 )= 10y 32 3 y y ; despejando y y = 10y 323 y y ; y 30y y 4 y ahora en el punto (1, 1): y (1, 1) = = = 2 13 es la pendiente de la recta tangente; su ecuación entonces es: y 1= 2 13 ( 1) y = y = (2) Cuando se epande aire a temperatura constante, su presión y su volumen, satisfacen PV 14 = C donde C es una constante Si en un momento determinado el volumen es de 400 cm 3 y la presión es de 80 KPa, disminuyendo ésta a razón de 10 KPa/min, con qué razón aumenta el volumen en ese instante? En la ecuación PV 14 = C se tiene que P & V son funciones de t Derivamos entonces implícitamente respecto a t: d dt (PV14 )= d dt C P d dt V 14 + V 14 d P =0 P (14)V 04dV dt dt + V 14dP dt =0; despejamos dv dt : 14PV 04dV = V 14dP dt dt dv V 14dP dp dt = dt dv V 14PV 04 dt = dt 14P ; sustituimos V = 400 cm 3, P = 80 KPa y dp = 10 KPa/min y obtenemos dt dv dt = (400 cm3 )( 10 KPa/min) =357 cm 3 /min 14(80 KPa)

3 TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E Luego entonces (ya que dv dt > 0), el volumen aumenta 357 cm3 /min (3) Supóngase que las siguientes son las gráficas de f y f, para una función f: R R f f A partir de las gráficas de f y f, determine dónde es creciente y dónde es decreciente f; sus intervalos de concavidad; máimos y mínimos relativos y puntos de infleión Intervalos de monotonía: f es creciente en (, 2), (0, 2) y (3, + ) Es decir f () > 0; f es decreciente ( 2, 0) y (2, 3) Es decir, f () < 0 Intervalos de concavidad: f es cóncava hacia arriba en ( 32 ) ( ) 5, 1 yen 2, + Es decir, f () > 0 ( f es cóncava hacia abajo en, 3 ) ( yen 1, 5 ) Es decir, f () < Máimos y mínimos: Tiene etremos f en 2, 0, 2 y en 3 En 2 y en 2 hay máimos relativos; en 0 y en 3 hay mínimos relativos Puntos de infleión: Hay puntos de infleión en 3 2,1y5 2, pues f () =0 (4) Dos barcos salen al mismo tiempo; uno de un muelle, con dirección sur y con velocidad de km/h El otro parte hacia el muelle desde un punto que se encuentra a 15 km al oeste, a 10 km/h En qué momento se encuentran más cercanos estos dos navíos? Usamos la siguiente figura:

4 4 TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E t 15 d(t) t La distancia entre ambos barcos es d(t) = ( t) 2 +( t) 2 = 500t 2 300t + 2 de la cual queremos hallar su mínimo, por lo que buscamos sus puntos críticos d 1000t 300 (t) = 2 500t 2 300t + 2 =0 t = 3 10 h en donde d(t) pasa de ser decreciente a ser creciente, luego es el mínimo, y es ( ) 3 d = = km 10 (5) Sea f() = Determina los intervalos de monotonía y de concavidad de f; máimos y mínimos locales y puntos de infleión Usando esta información, esboza la gráfica de f Calculemos la derivada de f() = : f () = = = Para >0, f() es creciente si 6 15 > 0 15 < 6 ( 6 < Luego f() es creciente en 0, ( Y decreciente en 6 Análogamente para <0: ( 6 )15, + ) 15 si 0 ) 15 ( ) 15 f() es creciente si < 0 15 > >

5 TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E Pero como ( ) 15 6 > 0, f() nunca es creciente para <0, luego es decreciente en (, 0) Calculemos ahora la segunda derivada de f(): f ( ) () = 2 6 = = 2 8 = Como 8 5 > 0, siempre que 0, el signo de la segunda derivada nos lo da el numerador Luego f() es cóncava hacia arriba si > < < 54 ( 27 Es decir si, 1 Y es convea si )15 ( )15 27, 0 y (0, + ) 1 0 < = ( ) 15 ( ) = 0 1 Calculemos los puntos críticos, además de = 0, donde f() tiene un mínimo relativo, el origen (0, 0) pues ahí la función pasa de ser decreciente a ser creciente: f () = =0 6= = 6 ( ) 15 6 = donde f() tiene un máimo relativo pues ahí la función pasa de ser creciente a ser decreciente en el punto ( 6 ) 15 ( ) 6 ( 6 6, Los puntos de infleión se obtienen donde la segunda derivada cambia de signo; es decir, calculemos cuando f () =0 ) = = = 54 ( 54 0 = 0 [ ( 27 Donde f() tiene un punto de infleión, pues en el punto 1 ) 15 ) 15 ( ) 6 ( 27 27, gráfica de f() pasa de ser cóncava hacia arriba a ser cóncava hacia abajo o convea Tenemos que: f() es creciente en (0, ); f() es decreciente en (, 0) y en (032411, + ); f() es cóncava hacia arriba en (, ); ) ) la curva

6 6 TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E0800 f() es cóncava hacia abajo en ( , 0) (0, + ); (0, 0) es un mínimo local; (032411, ) es un máimo local; ( , ) es punto de infleión; f() =0 2 5 = = 6 ( 1) = 0 =0y =1 =0&1 Dibujamos ahora la gráfica de la función f(): f()