Autor: Jorge Mauricio Oviedo 1

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1 odelos Economércos ulecuaconales de Esmacón de Demandas Auor: Jorge aurco Ovedo Resumen: En ese arículo se efecúa una revsón de los prncpales éodos Economércos para esmar ecuacones smuláneas de demanda consderando dversos supuesos sobre los érmnos de errores. Se analzan las propedades de los esmadores se los comparan con los de ínmos Cuadrados. Se exraen sugerencas en cuano a la uldad aplcabldad de cada uno de ellos. Palabras clave: Ssemas de Ecuacones Smuláneas, ínmos Cuadrados Ordnaros, ínmos Cuadrados en dos eapas, ínmos Cuadrados en res eapas, SUR. jovedo@eco.unc.edu.ar

2 .- Inroduccón os modelos economércos nrucoros aprenddos en los cursos de grado, se caracerzaban por consur modelos en donde los verdaderos procesos generadores de daos provenían de modelos de una smple ecuacón lneal en los parámeros, es decr, los modelos en ue úncamene había una varable dependene Y una o varas varables explcaoras. A saber: n n u arcalmene: Y + u Y + En los msmos se vo, a ravés del Teorema Gauss-arkov, ue los esmadores obendos por el éodo de los ínmos Cuadrados Ordnaros CO, resulaban ser lneales, nsesgados de varanza mínma denro del conjuno de odos los esmadores nsesgados posbles sempre ue se cumpleran los supuesos de E u, E u u I, exaca especfcacón lneal en los parámeros ue las varables ndependenes o explcavas no son esocáscas son fjas en muesras repedas o, en caso de serlo, se dsrbuen ndependenemene del érmno de perurbacón. os odelos de Ecuacones Smulaneas surgen para capar la posbldad más realsa ue los valores observados Y, provengan de un proceso generador de daos en donde ésos son creados en forma smulanea muuamene nerdependenes vía una nerconexón enre ellos. Eso ocurre cuando no solamene la Y es deermnada por las, sno ue además algunas de las son a su vez deermnadas por Y. En oras palabras, cuando ha una relacón causal en las dos dreccones o una relacón smulánea enre Y algunas de las, lo cual hace ue la dsncón enre varable dependene varable explcaora sea de poco valor. Es mejor ener un conjuno de varables ue pueden ser deermnadas smuláneamene por oras eso es lo ue efecvamene se hace en los modelos de ecuacones smulaneas. os ssemas de ecuacones smuláneas se dsnguen por esar conformadas por varas ecuacones en las cuales ha un número de varables endógenas o varables deermnadas conjunamene un número de varables predeermnadas, o deermnanes esas a su vez pueden ser varables exógenas, reardadas o no, varables endógenas reardadas. En esos modelos se esman los parámeros de las ecuacones enendo en cuena la nformacón sumnsrada por odas las ecuacones del ssema. Un supueso mplíco en esos pos de modelos es ue los valores observados corresponden sempre a suacones de eulbro, es decr no se concbe la posbldad de obener daos en algún momeno de ranscón haca el eulbro. En un modelo general lneal ue conenga ecuacones esrucurales en varables endógenas o conjunamene dependenes K varables predeermnadas, la relacón -ésma en el momeno observacón puede escrbrse en forma escalar como: Y + + Y γ u G G γ K k ; o en forma marcal: YΓ + B u,..., n donde : γ γ γ γ γ γ B ; Γ ; O O k k k γ γ γ ; T

3 Y [ ] ; [ x x ] ; [ u u ] K u Se mponen además las sguenes supuesos al modelo esadísco: E[ e ],,..., Eee [ ] I,,...,, j,..., j T Eee [, ] Σ I T a marz Γ es no sngular 3 plm E/T Según lo aprenddo hasa ahora uno nenaría aplcar CO en forma ndependene a cada una de las ecuacones con respeco a las +K- varables explcavas - Y s K s para hallar los esmadores B Γ, pero s uno efecúa esa accón se enconrará con ue dchas esmacones no solamene serán sesgadas sno ambén nconssenes es decr ue a medda ue el amaño de la muesra crece ndefndamene los esmadores no convergen al verdadero valor del parámero, permanecendo el sesgo. Eso se debe a ue las - varables endógenas resanes ue aparecen en una ecuacón cualuera esarán correlaconas con el érmno de perurbacón de la ecuacón consderada, pueso ue por ser cada una de las varables argumenos aleaoros, una perurbacón en una, alguna o odas las resanes - afecaran el valor del ermno de error de dcha ecuacón uen luego nflurá en las demás ecuacones. Es decr el ermno de perurbacón de cada ecuacón depende de los valores ue asuman las G- varables endógenas resanes vceversa. De esa manera se vola uno de los supuesos del eorema de Gauss-arkov, hacendo ndeseable la aplcacón dreca de los CO a cada una de las ecuacones. Para ello, demosraremos dchas afrmacones a connuacón Consecuencas de la aplcacón dreca de CO Para demosrar ue el esmador por mínmos cuadrados es nconssene sesgado consderemos la sguene ecuacón: YΓ + B + e Algunos elemenos de Γ B generalmene pueden omar el valor de cero menras ue es cosumbre selecconar una varable endógena del lado zuerdo de la ecuacón. Eso es llamado normalzacón es logrado fjando un coefcene, dgamos γj, con el valor -. Así, con algunas manpulacones s es necesaro, se ene: Donde: Yγ + Y γ e Yγ + + e γ [ Y ] + e Z δ + e

4 γ Γ γ γ, B, δ γ Y [ Y Y, ] [, ] Z [ Y ] m + m, Kk + k. a marz Y conene auellos m varables endógenas ue no aparecen en la -ésma ecuacón; eso es, sus coefcenes asocados γson cero. a marz conene auellas k varables predeermnadas ue no aparecen en la -ésma ecuacón, o sea, sus coefcenes asocados son cero. El esmador mínmo cuadráco de δ es: Su valor esperado es ˆ Z Z Z δ E ˆ δ E Z Z Z [ ] [ ] + δ E[ Z Z Z e] δ El úlmo érmno de la expresón aneror no desaparece a ue Z conene varables endógenas ue son conjunamene deermnadas con por ende no son ndependenes de e. Con lo cual el esmador es sesgado. Adconalmene, a medda ue el amaño de la muesra crece el esmador no converge en probabldad al verdadero valor del parámero a ue ˆ δ δ + Z Z T Z e T δ plm plm[ / ] plm[ / ] El úlmo érmno, no converge en probabldad al vecor nulo a ue Z [Y ] conene a Y, el cual no es ndependene del érmno de error u, ndependenemene del amaño de la muesra. De esa manera los esmadores mínmo-cuadrácos son sesgados e nconssenes. Forma Reducda Cuando se expresa a las vrables endógenas en érmnos de las predeermnadas, dcha reespresón se denomna Forma Reducda. Específcamene, s pos mulplcamos el ssema por Γ - reacomodando érmnos se ene: donde: YΓ + B U Y Π + V, K, T π π Π BΓ O [ π π ] πk π K v v V UΓ O [ v v ] vk v K

5 os supuesos esocáscos sobre V se sguen drecamene de los de u. S u es la -ésma fla de U v la -ésma fla de V, enonces: v uγ Ya ue odos los vecores u enen meda gual a cero marz de covaranzas Σ, se sgue ue E v E u Γ Γ E u [ ] [ ] [ ] var v E[ vv ] Γ Γ Euu Γ Σ Γ Adconalmene, como Eu, us, enonces Ev, vs para odo dsno de s. a forma reducda ndvdual será: π + v S es no esocásca, se verfcará: EV E[ ET ] S es aleaora enonces el plm V/T plm[- U/T Γ-] Enonces los Esmadores ínmo Cuadrácos para la -ésma ecuacón seran πˆ para odo el ssema ˆ Π Y os msmos serán nsesgados conssenes. De esa manera, a ue es posble esmar los parámeros de la forma reducdad demanera nsesgada conssene dada la relacón enre la forma esrucural la reducda B Π Γ Γ ΣΓ a cuesón ue emerge es s los parámeros esrucurales pueden ser úncamene dervados de las esmacones de la forma reducda alguna ora nformacón sobre la forma esrucural. Eso nos conduce al problema de la denfcacón.

6 Ese po de suacones pueden obenerse en un modelo clásco de oferas demandas de un ben en donde una aleracón en las funcones de Demanda u Ofera ocasonarían aleracones en el preco candad observada con lo cual el preco no será ndependene de las candades ofrecdas demandadas. En vrud de la no-deseabldad de la aplcacón de CO a ese modelo, lo ue se nena hacer es reexpresar el ssema orgnal dado en su forma esrucural, es decr al como surge de la realdad sendo un fel nerpree de la msma de modo al de ue cada varable endógena muesre su dependenca sólo con respeco a las varables predeermnadas los érmnos de perurbacón. De esa manera, al ser por defncón las varables predeermnadas ndependenes de los érmnos de perurbacón manenendo el supueso de rudo blanco para u, sería efcene esmar ese nuevo ssema de ecuacones por CO en forma ndependene a cada una de las ecuacones a ue los esmadores así obendos serán nuevamene los mejores al enrar en vgenca una vez más el Teorema de Gauss-arcov. arcalmene: YΓ + B u, K, T Y Π + v donde: Π BΓ v u Γ Una vez obendo los esmadores de Π el paso sguene es nenar recuperar los parámeros de la forma esrucural a ravés de los esmadores de los parámeros de la forma reducda vía la relacón Π BΓ. Como se puede dlucdar, la marz Π es de orden K, por lo ano, conene GK elemenos. as marces B Γ conenen como máxmo + K elemenos. Por ende, exse una nfndad de esrucuras de B Γ ue corresponden a cualuer marz Π dada. Esa mposbldad de recuperar los parámeros en un caso general conlleva al raameno del problema de la denfcacón es decr el análss de los casos las condcones bajo las cuales ese proceso de recupero se orna facble. Así se pueden presenar res suacones: Que se pueden obener esmacones úncas de los parámeros esrucurales en cuo caso dremos ue la ecuacón esa exacamene denfcada Que se obengan mas de una esmacón de los parámeros esrucurales pero un numero fno de los msmos en cuo caso se dce ue la ecuacón esa sobredenfcada Que se obengan nfnos valores para las esmacones de los parámeros esrucurales por ende hacendo mposble su recuperacón, dcéndose en ese caso ue la ecuacón esá subdenfcada. Eso surge por la fala de nformacón necesara para consrur una funcón a ravés de la forma reducda Supongamos ue mercado con oferas demandas lneales donde candad preco son endógenos sn ener nnguna varable predeermnada. En ese caso, las dos recas serán subdenfcadas porue lo ue se obendrán serán sólo punos de core, sn saber s es una msma funcón de ofera con dsnas demandas o vceversa, o s son funcones dsnas en cada puno. a suacón sería ora s por ejemplo se oma como varable exógena relevane el ngreso de los consumdores explcando su demanda. De esa manera, puede asegurarse ue cada puno perenece a una msma ofera en core con dferenes demandas según sea el ngreso dado. A connuacón se analzará condeenmeno el problema de la Idenfcacon se daran defncones mas precsas de lo enuncado anerormene.. El problema de la Idenfcacón as precsamene, sea Y u vecor observables de varables aleaoras, una esrucura S es una especfacaón complea de la funcón de densdad de, dgamos f. El conjuno de odas las esrucuras posbles, S, es llamado un odelo. El problema de la denfcacón consse en hacer nferencas sobre S dada S las observacones. Para hacer las cosas mas precsas supongamos ue es generado por una funcón de densdad paramérca:

7 f / S f / α Donde α es un vecor real k-dmensonal. a funcón f se supone conocda pero α no. Enonces la esrucura es descrpa medane un puno en R k menras ue el odelo como un subconjuno de R k. En general se dce ue dos esrucuras S α S α son observaconalmene euvalenes s f / α f / α, En base a esas consderacones se procederá a analzar las condcones bajo las cuales dos esrucuras de ssemas de ecuacones son observaconalmene euvalenes. YΓ + B + u,..., T Donde Y, u, son la -ésma flas de Y, E respecvamene. Supongamos ue u ene densdad Pu/Σ, luego la densdad conjuna asocada a u, u,... u será: T P u / Σ Hacendo cambo de varables por susucón de u mulplcando por el Jacobano de la ransformacón, la densdad conjuna de,... T condconada en los parámeros será: P,..., / Γ, B, Σ, Γ P u / Σ T T T T T Γ P Γx B/ Σ S pre-mulplcamos el ssema orgnal por una marz no sngular arbrara F, cada ecuacón será reemplazada por una combnacón lneal de cada una de las ecuacones orgnales. Eso es: Donde ω es u F, Y ΓF + BF + u F YΓ + B ω,..., T P ω / F Σ F F P u / Σ la densdad conjuna de,... T condconada bajo la nueva esrucura será: T T T T T ΓF P ω / F Σ F Γ F F P u / Σ T T Γ P u / Σ T

8 Con lo cual las funcones de densdad de ambas esrucuras son déncas en consecuenca observaconalmene euvalenes. Obsérvese ue elgendo F B -, una esrucura observaconalmene euvalene es la forma reducda del ssema de ecuacones. A raíz de eso, odas las esrucuras creadas por una posmulplcacón de la esrucura orgnal por una marz orgnal endrán la msma forma reducda. De esa manera las condcones para euvalenca observaconal se pueden esablecer as: B B Γ Γ, Γ ΣΓΓ Σ Γ exse F no sngular, Γ Γ F B B S no ha resrccones a pror en los parámeros del ssema cualuer marz no sngular F podría ser admsble en el sendo ue la esrucura ransformada sasface las resrccones del modelo. S sobre la base de la eoría económca podemos esablecer resrccones a pror cualuer modelo ransformado debe sasfacer las msmas resrccones s la ransformacón se aún admsble. Se dce ue la -ésma ecuacón del ssema esá denfcada s solo s odas las ransformacones admsbles F enen la sguene esrucura: F c j Es decr la -ésma columna de F debe ser un múlplo escalar del vecor unaro cuos elemenos son odos ceros excepo la -ésma columna ue conene un uno. Obsérvese ue cuando posmulplcamos B G por F sus -ésmas columnas solo son cambadas por un múlplo escalar. Exendendo dcha defncón al ssema compleo, se ene ue el ssema es denfcado s solo s odas las ecuacones esán denfcadas, o euvalenemene la marz admsble de ransformacón es dagonal. A los efecos de deermnar las condcones para denfcar una ecuacón, defnamos: Γ A B De modo al ue a, la -ésma columna de A conenga los parámeros de la -ésma ecuacón. Sea R r J x + K J x marces de consanes, respecvamene, al ue oda la nformacón a pror acerca de la ecuacón -ésma del modelo, ncluendo la resrccón de normalzacón, pueda ser escra como: R a r Así se puede hacer la sguene observacón: Sabemos ue la -ésma columna de AF es Af, donde f es la -ésma columna de F. Ya ue F es admsble, los coefcenes esrucurales reslanes sasfacen la resrccón RAf r. Sn embargo, para ue la -ésma ecuacón esé denfcada, f debe ser gual a j, el -ésmo vecor unaro. Efecvamene j es una solucón de RAf r porue RAj Ra r. Enonces para ue RAf r enga solucón únca gual a f j, se reuere ue Rango RA.

9 Teorema: Condcón de Rango: a -ésma ecuacón esá denfcada s solo s Rango RA Corolaro: Condcón de Orden Una condcón necesara para la denfcacón de la -ésma ecuacón es ue J, el número de resrccones lneales ncluda la normalzacón, debe ser maor o gual ue el número de varables endógenas del ssema. S R exclue la condcón de normalzacón, enonces el rango de RA debe ser - el orden de R debe ser J >. S la normalzacón nclue las resrccones, enonces el eorema el corolaro conducen a las sguenes defncones:.- os parámeros de la -ésma ecuacón esán sn denfcar o subdenfcados s Rango RA <..- os parámeros de la -ésma ecuacón esán perfecamene denfcados s Rango RA Rango R 3.- os parámeros de la -ésma ecuacón esán sobredenfcados s Rango RA Rango R > Una versón alernava más prácca de la condcón de rango es la sguene: Una ecuacón esá denfcada sólo s se puede consrur por lo menos un deermnane dferene de cero de orden -x-, a parr de los coefcenes de las varables endógenas predeermnadas excludas de esa ecuacón, pero ncludas en las demás. éodos de Esmacón Habendo a señalado las condcones ue hacen facble la recuperabldad de los parámeros se pasará a connuacón a dar un breve comenaro acerca de los méodos exsenes ue permen soluconar el problema de la nconssenca ue presenan la aplcacón dreca de los CO. Esos méodos surgen a parr de la búsueda de solucones alernavas cuando se vola el supueso de no aleaoredad en las varables explcavas, a su vez, de la no exsenca de correlacón gual a cero enre ellas las perurbacones. éodos unecuaconales o de nformacón lmada: En esos méodos, se esma cada ecuacón separadamene, ulzando sólo la nformacón sobre los coefcenes conenda en dcha ecuacón. Enre esos méodos esán: ínmos Cuadrados Ordnaros CO: Como a se señaló anes, los esmadores ue surgen de aplcar el méodo no son conssenes. Sn embargo, ese méodo es más robuso frene a los errores de especfcacón ue oros méodos, además las predccones de modelos esmados por él pueden ser mejores ue las correspondenes a modelos esmados por méodos de ecuacones smuláneas, por lo ue puede resular convenene presenar esmacones CO de las ecuacones esrucurales juno a las de oros méodos como referenca o norma de comparacón. ínmos Cuadrados Indrecos CI: consse en esmar por CO los coefcenes de la forma reducda luego recuperar los esmadores de los parámeros de la forma esrucural vía un ssema de ecuacones. Sólo es aplcable cuando las ecuacones del modelo esán exacamene denfcadas, a ue sólo en ése caso se puede obener valores úncos para los coefcenes de la forma reducda. os esmadores de los parámeros así obendos heredan odas las propedades asnócas de los esmadores de la forma reducda, asegurándonos así de ue sean conssenes pueden ser asnócamene efcenes s las perurbacones se dsrbuen normalmene pero no gozan de ésas propedades para muesras chcas. Ver Gujara, Cap. 7 Seccón 3 Pág: 36

10 ínmos Cuadrados en Dos Eapas CE: Es úl para modelos cuas ecuacones esán sobredenfcadas, a ue presena una forma de ponderar las solucones múlples. a dea básca ue subace en el méodo es la de reemplazar las varables endógenas, ue esán correlaconadas con las perurbacones, por funcones lneales de varables exógenas; así, a ue esas varables no presenan correlacón con dchas perurbacones, las esmacones de los parámeros ue conseguremos serán conssenes. Se elge cada funcón lneal de manera ue esé lo más alamene correlaconada posble con la varable endógena ue reemplaza. El méodo reuere dos aplcacones sucesvas de CO. Prmeramene se regresan las varables endógenas conra odas las varables predeermnadas del ssema. a esmacón obenda para la varable endógena se ulza como dao en las ecuacones se aplca nuevamene CO sobre la ecuacón ue nclue la esmacón. os esmadores así obendos son conssenes. Además se puede aplcar ano para ecuacones sobredenfcadas como exacamene denfcadas. En ese úlmo caso los esmadores serán déncos a los obendos por ínmos Cuadrados Indrecos. Se puede demosrar ue ése méodo es una aplcacón parcular del méodo de las varables nsrumenales ue busca reemplazar los regresores por varables alamene correlaconados con ellos escasamene con los érmnos de perurbacón. áxma Verosmlud con Informacón mada VI Ese méodo consse en elegr como esmadores de los parámeros esrucurales auellos valores ue hacen máxma la funcón de verosmlud de la ecuacón respecva sujeo a elegr valores ue cumplan con la condcón de rango. Es decr ese méodo ane los caso de sobredenfcacon elge denro del grupo de valores posbles auellos ue maxmcen la funcón de verosmlud de la ecuacón sendo un reuso prevo el conocmeno de la dsrbucón de densdad del érmno de perurbacón de la ecuacón. Además se puede aplcar ano para ecuacones sobredenfcadas como exacamene denfcadas. En ese úlmo caso los esmadores serán déncos a los obendos por ínmos Cuadrados Indrecos. éodos de ssemas o de nformacón complea: En esos méodos, a dferenca de los anerores, se esman en conjuno odas las ecuacones del ssema, usando las resrccones sobre los parámeros de odas ellas. Son asnócamene más efcenes ue los méodos con nformacón lmada en la medda ue la especfcacón del modelo sea la correca. ínmos Cuadrados en Tres Eapas: consse en esmar cada una de las ecuacones del modelo por el méodo de los CE, calcular los resduos par esmar la marz de varanzas covaranzas auí se suponen rudo blanco en cada ermno de perurbacón de cada ecuacón se perme la exsenca de correlacón conemporánea heerocedascdad enre las ecuacones para fnalmene aplcar mínmos cuadrados generalzados facbles al modelo compleo. Ese méodo es más efcene asnócamene ue el de CE en la medda ue la especfcacón del modelo sea la correca endrá gual efcenca en el caso de ue no exsa correlacón conemporánea n heerocedascdad enre los errores de cada una de las ecuacones, o en el caso ue odas las ecuacones esén exacamene denfcadas. áxma verosmlud con Informacón complea: Auí lo ue se preende es hallar el conjuno de esmadores de la forma esrucural ue hacen máxma la probabldad de ocurrenca de los valores muesrales de las varables endógenas predeermnadas, es decr se nena maxmzar una funcón de verosmlud para odo el modelo smuláneamene. Ese méodo es caro compuaconalmene en el sendo ue arroja ssemas de ecuacones no lneales sumado al hecho de ue los esmadores ue se obenen bajo una dsrbucón normal mulvarane son exacamene guales a los de los de C3E hacen ue ese méodo sea menos preferdo ue ése úlmo. Además se puede aplcar ano para ecuacones sobredenfcadas como exacamene denfcadas. En ese úlmo caso los esmadores serán déncos a los obendos por ínmos Cuadrados Indrecos.

11 Implemenacón en Evews: Creando el Objeo Ssem Para esmar los parámeros de un Ssema de Ecuacones en Evews, se debe prmero crear un nuevo objeo especfcar el ssema de ecuacones. Para ello se debe hacer Clc en Obje/New Obje/Ssem. Cuando se cree el ssema la venana aparecerá en blanco ahí se deberá especfcar el ssema descrbendo con exo las ecuacones poencalmene algunas líneas descrbendo los nsrumenos los valores ncales de los parámeros en caso de modelos no lneales. Declaracón de las ecuacones Para ngresar las ecuacones por fórmulas se debe emplear las expresones esándares de Evews. as ecuacones deben ser ecuacones de comporameno con coefcenes desconocdos érmnos de error mplícos. as ecuacones pueden ser no lneales en sus varables, coefcenes o ambas, pudéndose agregar resrccones cruzadas en los coefcenes de las ecuacones usando los msmos coefcenes en dferenes ecuacones. Por ejemplo: cx + cx + c3x3 z c3 + cz + -cx S se desea agregar la resrccón C+C+C3, la msma se puede mponer especfcando la ecuacón como: cx + cx + -c-cx3 S la ecuacón no posee el sgno gual por ejemplo cx + c + 4^ Evews nerpreará la expresón complea gual al érmno de error. No deben nclurse en la especfcacón ecuacones ue represenen dendades. De ser necesaro se deberá resolver el modelo para elmnar de él las dendades especfcar en Evews el modelo resuelo lbre de ellas. Varables Insrumenales

12 S se planea esmar el ssema usando ínmos Cuadrados en Eapas, 3 Eapas o G, se deben especfcar las varables a ser usadas en la esmacón. Se pueden especfcar los msmos nsrumenos para odas las ecuacones o nsrumenos dsnos para cada ecuacón. De esa manera exsen dos manera de especfcar los nsrumenos. S uno desea usar los msmos nsrumenos para odas las ecuacones se debe nclur una línea de comando cua snaxs comence o INST seguda por una lsa de varables exógenas a ser usadas como nsrumenos. Por gdp- o -4 x gov Indca a Evews usar las ses varables como nsrumenos para odas las ecuacones ue se lsarán a connuacón. Para especfcar nsrumenos dsnos para cada ecuacón se debe agregar al fn de cada segudo por la lsa de nsrumenos. Por ejemplo: cs cs- nv- gov nv gdp- gov a prmer ecuacón usa CS-, INV-, GOV, una consane como nsrumenos menras ue la segunda usa GDP-, GOV, una consane. Idenfcacón os creros de denfcacón exgen ue debe haber al menos anos nsrumenos, ncluendo consanes, en cada ecuacón como varables exsen del lado derecho de cada una de ellas. S dchos reuermenos no se cumplen, Evews mosrará un cuadro de error. Esmacón Una vez creado especfcado el ssema, uno puede presonar el boon de esmacón para selecconar el méodo de esmacón por medo de un cuadro de dalogo S uno seleccona alguno de los méodos de esmacón por G, Evews solcara se seleccones algunos opcones específcas para ese méodo. S uno seleccona la opcón roulada como Iden

13 weghng marx, Evews esmará el modelo usando déncos ponderadores usará los coefcenes esmados la especfcacón G ue se ndue para compuar una marz de covaranzas ue es robusa a heerocedascdad en las seccones cruzadas Whe o a heerocedascdad correlacón conemporánea. S dcha opcón no se seleccona Evews usará los ponderadores G en la esmacón cómpuo de lo marz de covaranzas. Cuando uno seleccona la opcón G-Tme seres HAC, el cuadro de dálogo adconalmene mosrará opcones para especfcar la marz de ponderacón opcones para el Kernel para deermnar la forma funconal del nucleo usado para ponderar las auocovaranzas al compuar la marz de ponderacón. Saldas de las Esmacones as saldas de la esmacón del ssema conene los parámeros esmados, sus errores esandares los esadíscos para cada uno de los coefcenes en el ssema. Adconalmene Evews reporará el deermnane de la marz de resduos en el caso del méodo de áxma Verosmlud con Informacón Complea, el valor maxmzado de la verosmud Tamben se ncluen un resumen de los esadíscos de cada ecuacón como los errores esándares de la regresón, suma de cuadrados de resduos, ec.

14 APÉNDICE.- ínmo Cuadrados Generalzados Hasa ahora se han raado casos de esmacón de modelos lneales en donde los supuesos en los ue se generaban los daos respondan a odas las condcones ue hacan aplcables el Teorema de Gauss- arkov arrojando por ende esmadores nsesgados efcenes. Dchos supuesos eran: - as s son fjas en muesras repedas no esocáscas. - El rango de la marz es de rango compleo no exse dependenca lneal enre las observacones 3- Correca especfcacón del modelo en el sendo de ue el verdadero proceso generador de daos provena de una relacon exacamene lneal enre las varables además ue no se comeen errores por nclur o exclur varables de mas. 4- Eu θ 5- V u I es decr, errores no auocorrelaconados con varanza consane e gual para odos homoscedáscos. Cuando ese ulmo supueso no se cumple la aplcacón dreca de los CO conducen a esmadores ue dejan de ser efcenes. Además cuando se comee el error de no percaarse o de hacer caso omso a de la exsenca de auocorrelacon /u homoscedascdad se ncurrra además en el error de subesmar la varanza del esmador conllevando eso ulmo a predccones erróneas en cuano a nervalos de confanza es de hpóess. Aconnuacon sedesarrolaran esas deas de un lenguaje mas formal. Consderemos un modelo como del ejercco en donde ahora V u aplcando drecamene CO al modelo se endrá mco mco mco E Y, + mco + + u reemplazo por el V : u E u E mco ue como claramene se observa los esmadores conservan aun su nsesgabldad Con respeco a su varanza se ene V V V V mco mco mco mco E[ ] E[ uu E uu esa expresón para la varanza de los esmadores. A connuacón se vera ue exsen oros esmadores de los parámeros ue poseen una varanza menor. Para ue el eorema de Gauss-arkov connue en vgenca lo ue habra ue hacer nenar hallar una ransformacón de los daos orgnales de modo al ue los errores asocados a dchos daos ransformados no exban auocorrelacon n heeroscedascdad. a exsenca de dcha ransformacón será el hecho ue marue la enrada en vgenca del Teorema de Gauss-arkov en el sendo de ue la aplcacón de CO a los daos ransformados generará esmadores nsesgados efcenes de los ]

15 parámeros. Ya ue ω es una marz defnda posva, por ser esa una marz de varanzas covaranzas, sempre exsra ora marz al ue perma expresarla como sgue - - a ue la exsenca de H garanza la exsenca de H H H HH I V u HH H H V u E uu H ] uu E[ H V u u E u V u E u H E u u Y u H H Y H : H H H H H Eu se endra modelo por el ahora se premulplca S θ + + con lo cual se logro hallar la ransformacón de los daos adecuada para elmnar la heeroscedascdad la auocorrelacon, hablando la aplcacón de CO a los daos ransformados para obener esmadores de los parámeros nsesgados efcenes al como lo predce el Teorema de Gauss- arkov. Esos nuevos esmadores son denomnados esmadores por mnmos cuadrados generalzados CG. a expresón para los esmadores CG, la prueba de ue sguen sendo nsesgados la expresón ue adopan Su marz de Varanzas covaranzas se muesra como sgue: sgue sendo nsesgado + + mcg mcg mcg mcg mcg E u E E u Y H H H H Y ] ] [ V V uu E V uu E V E V mcg mcg mcg mcg mcg Esa expresón a la ue se arrbo es la varanza correspondene a los esmadores de varanza mínma por el eorema de Gauss-arcov por ende será nferor ue la de aplcar CO a los daos sn ransformar. Ese hecho se puede demosrar vía el calculo de la dferenca enre ambas arrojando eso una marz semdefnda posva. Para hallar la marz H ue ransforme los daos se pueden segur varas maneras. Una de eelas sera aplcando una descomposcón de Cholesk a ω, ora sera planeando un ssemas de ecuacones. Noese además ue es esencal conocer con exacud para en funcón de eso obener H a ue sera omposble esmar odos sus elemenos al msmo empo s esos fuesen odos dsnos en vrud de ue sera mas los parámeros a esmar ue los daos con ue se cuenan para hacerlo. ω Una consderacón mporane sobre el ema es ue cuando se comee el error de no percaarse o de hacer caso omso a de la exsenca de auocorrelacon /u homoscedascdad se ncurrra además en

16 el error de subesmar la varanza del esmador conllevando eso ulmo a predccones erróneas en cuano a nervalos de confanza es de hpóess ue se hagan sobre los esmadores. V Falsa < V < V mco como se djo en el parrafo aneprecedene ane la mposbldad de obener esmacones sobre odos los parámeros de la marz ω surge la necesdad de hacer algunas suposcones adconales sobre el po de auocorrelacon como la ue se realza en el ejercco. a Tambén en esos casos puede suceder ue el esmador de la varanza muesral sea sesgado con respeco al valor del parámero. Generalmene lo subesma, convréndose eso en una grave pelgro a la hora de realzar las nferencas. A connuacón se efecúa una demosracón del msmo e Y e Y e [ I e + u u e e u u u u E e e E e e Y donde [ I ] + u, E[ r u u ] E[ r uu ] r[ E uu ] ], smérca e dempoene a ue puede demosrarse ue [ I r e e r E E n k n k a raza de es dsna de n-k sempre ue resdual e e/n-k es sesgado. mcg mco ] θ I, por lo ano el esmador de la varanza Para conclur vale desacar ue prevenrse de la auocorrelacón /o heeroscedascdad varanzas de los errores dsnas enre sí es una area de suma mporanca no rval, porue permrá mponer barreras a odos los pelgros de la esmacón clásca por CO. Para eso, ha ener en cuena ue son dversas las causas ue llevan a la pérdda de la propedad de rudo blanco a los errores. Enre esas esán: el error en la especfcacón de la forma funcona, omsón o nclusón varables relevanes, ec. Para conocer s es lógco o no el supueso de rudo blanco de los errores se puede conar con la observacón de los dgramas de dspersón, con los correlogramas con algunos es de hpóess como el de Durbn Wason. Para el caso de esuemas auorregresvos de prmer orden, exse un esadísco ue perme deermnar s ése esá presene enre las perurbacones o no; dcho esadísco es el de Durbn-Wason se defne así: d n e n e e Podemos defnrlo alernavamene medane algunos pasos algebracos como: e + e ee d e

17 ee e d sendo ρ ˆ e e e enonces d ρˆ Ha ue ener en cuena ue el esadísco se basa en algunos supuesos sobre el modelo, a saber, ue el msmo nclue un érmno ndependene, ue las varables son fjas en muesras repedas, ue las perurbacones u se generan medane un proceso auorregresvo de prmer orden se dsrbuen en forma normal mulvarane por úlmo ue el modelo no nclue valores rezagados de la varable dependene como una de las varables explcavas. Para poder rechazar o no la hpóess nula de ue no ha auocorrelacón enre las perurbacones, se han abulado valores crícos máxmos mínmos para poder omar una decsón. Esos límes dependen del número de observacones del número de varables explcavas del modelo. No desarrollará auí el crero de decsón para esas pruebas de hpóess pero sí se pueden reparar brevemene en los límes de varacón del esadísco. Dependendo de los valores ue asuma ρˆ, sendo ue -< ρˆ <: < d < 4.- El méodo SUR Ane deermnadas suacones el nvesgador puede verse en la necesdad de modelar esmar conjunamene varas ecuacones ue en aparenca no represenen smulanedad enre las msmas. Sn embargo, los errores aleaoros pueden presenar algún grado de correlacón conemporánea en la medda ue nvolucren a facores comunes no medbles /o no observables será esa correlacón no percbda la ue haga ue resule más efcene esmar odas las ecuacones smuláneamene no una por una por ínmos Cuadrados Ordnaros. En la eoría económca exsen nnumerables ejemplos de esmacones conjunas. Se puede raar de ajusar la demanda de deermnado ben a lo largo del empo en dferenes regones. Se podrían, a su vez, enconrar las demandas de dferenes benes ue esán relaconados a ben como susuos o complemenaros, caso ése del ejercco a realzar. a nversón en el empo de dsnas frmas es oro caso ípco. a correlacón del érmno de perurbacón de dsnas ecuacones en un momeno del empo es conocda como correlacón conemporánea dsna a la auocorrelacón, ue es la correlacón en el empo en una msma ecuacón. a écnca apropada de esmacón conjuna es conocda como Seemngl Unrelaed Regressons -Ecuaons- SUR, o regresones aparenemene no relaconadas.

18 El méodo SUR es ulzado por lo general en la esmacón de un conjuno de ecuacones ulzando seres de empo, pero es gualmene úl para daos de core ransversal. El méodo Sur puede ser consderado como un méodo para combnar daos de seres de empo core ransversal. De una manera más formal la suacón de modelzacón ue propca la aplcacón de ese nuevo méodo es: + e con,, K,, donde candad de ecuacones donde claramene se observa las dferencas con los problemas radconales de esmacón, a ue ahora se debe relaconar seres de empo con cores ransversales, exsendo no sólo la posbldad de auocorrelacón enre los errores para cada observacón de una ecuacón, sno ue además pueden ocurrr nerrelacones enre las perurbacones de dos ecuacones vecor e conra el vecor e. j ÉTODO SUR Dado + e con,, K,,. Donde cada es T x, la marz es de T x K, los son de K x las perurbacones de T x. Dados los amaños, el modelo se puede reducr a: O e + e e Y Tx TxK Kx + e Tx Donde K surge de la suma de los K de cada ecuacón. Cada ecuacón, como se djo anerormene, posee rudo blanco en los dsurbos, pudéndose esmar por CO separadamene. El problema surge cuando al hacer eso, no consderamos las relacones enre las ecuacones correlacón conemporánea. Para enconrar enonces la marz de covaranzas de odo el ssema, a parr de la marz Σ ue conene las varanzas de los dsurbos de cada ecuacón, se deben recordar la propedad de homoscedascdad, las covaranzas enre las ecuacones con j, ue reflejan las correlacones conemporáneas, con lo cual se ene j

19 Σ O Hacendo el produco de kronecker enre la marz aneror una dendad de orden T, se obene lo sguene: Σ I T O O O O O O O O O A esa marz la llamaremos Φ represenará la marz de V COV relevane. S nosoros conocemos a Φ, podemos esmar los coefcenes por CG, deducendo del álgebra marcal ue: I I ] [ ˆ ] [ ˆ Φ Φ Σ Σ El nuevo esmador posee una menor varanza a ue ene en cuena la correlacón conemporánea enre los dsnos vecores de las perurbacones de las dferenes ecuacones Sn embargo exsen dos casos parculares en ue se obenen resulados déncos al aplcar CO sobre cada ecuacón al aplcar SUR no se producen ganancas al raar a las ecuacones como ssema. a Cuando las correlacones conemporáneas son guales a. Ello es obvo, a ue es la exsenca de dcha correlacón lo ue provoca ue las ecuacones esén relaconadas.

20 33 b Cuando las varables explcaoras de cada ecuacón son las msmas. 3 as varables explcavas de odas las ecuacones son las msmas, por lo ue no se produce una gananca al raarlas en forma conjuna, a ue no se agrega nnguna varable explcava a cada varable dependene. Por lo ano, la esmacón a ravés de CO nos proporcona la msma solucón ue el méodo SUR. Ello se puede demosrar parendo del esmador SUR, ulzando algunas propedades del produco de Kronecker observando ue, al ser odas las marces guales, enonces I. Por lo ano: SUR - Σ I Σ I I Σ II I Σ I Σ Σ I - Σ Σ I I I I I CO Cuando no se conoce a la marz de V COV Φ, se opa por consrurla a ravés de los errores muesrales de la sguene forma: - CO e CO ˆ j T eˆ eˆ j eˆ eˆ j T T Aunue sea sesgada en muesras peueñas. Para evar el sesgo, se suele dvdr el sumaoro por T K/. a dfculad aparece cuando el modelo nclue ecuacones con dferenes números de parámeros, a ue en dcho caso no se cuena con guales grados de lberad para las dsnas ecuacones, en especal al calcular las covaranzas enre dos

21 ecuacones de dsnos grados de lberad. Una alernava neresane es ulzar como dvsor T- k, donde k es la meda del número de coefcenes de las ecuacones. Dcho dvsor posee la venaja de ue s odas las ecuacones poseen el msmo número de coefcenes, provee de esmadores nsesgados. S defnmos a la marz de los esmadores de las varanzas covaranzas del modelo como $ Σ, el esmador CG del modelo cuando la marz de varanzas covaranzas es desconocda, es: - I I SUR Σ Σ Ese esmador es conocdo como el esmador Sur de Zellner es el ue se ulza por lo general en la prácca. Resrccones - Condcón de Engel: w w w a condcón de Engel esablece ue la suma de las elascdades ngreso de cada ben, ponderadas por la parcpacón en el gaso oal p x /, debe ser gual a uno. S se desarrollamos esa suma: p p p p p p Debemos observar s la suma del gaso ue en cada ben se produce, luego de un ncremeno en el ngreso, es gual a uno. Es decr, ue el ncremeno del gaso en los n benes ue se consumen deben agoar la oaldad del ncremeno en el ngreso. d d p d p d p Homogenedad: para 3,, Recordando ue los coefcenes represenan las elascdades preco 3,, e ngreso 4 ; debemos comprobar la propedad de homogenedad de grado cero de las funcones de demanda de ese po para cada ecuacón. a mporanca de esa caracerísca radca en su defncón: Al mulplcar odos los precos por un valor δ

22 arbraro, dsno de cero, la candad demandada no varará s ambén mulplcamos nuesro ngreso por el msmo valor. Económcamene la condcón de homogenedad ndca ue el consumdor no padece lusón moneara en el sendo de ue a la hora de consumr solo se fja en precos reales no nomnales. o dcho anerormene se puede raducr formalmene como sgue: 3 A p 4 p p 3 A A δ δ p 3 δ p δ p 3 δ p p p 3 4 Se demuesra ue al cumplrse la propedad, el exponene de δ se anula dejando como consecuenca una dendad enre ; es decr, las candades demandadas de ese ben en el momeno no vararon. 3- Smería: a condcón de smería esablece ue la elascdad cruzada de un ben con respeco a oro j, expresada como proporcón de la parcpacón en el ngreso del ben j, más la elascdad-rena del ben, debe ser gual a la elascdad cruzada del ben j con respeco al ben, expresada como proporcón de la parcpacón en el ngreso del ben, más la elascdad-rena del ben j., o dcho formalmene: j w j j 4 + j4 w + para, j,,3 j Donde: w p / sendo,,3 represena la parcpacón en el presupueso del ben - T ésmo. Se debe ulzar: w T p / SUR Ieravo a meodología ue se expuso para obener los esmadores SUR cuando la marz de varanzas covaranzas era desconocda conssía en calcular en una prmera eapa los esmadores CO de cada una de las demandas, ulzarlos para obener los vecores de errores: - e CO CO Con dchos vecores obenemos el esmador de las varanzas covaranzas: e ej j T-k T T-k e e j

23 Formando una marz esmada de las varanzas covaranzas a parr de los esmadores anerores, esamos en condcones de obener el esmador SUR, dado por: - SUR Σ I Σ I Suele ulzarse ambén oro esmador SUR a ravés de un proceso eravo con los esmadores de las varanzas covaranzas los esmadores de los coefcenes del supermodelo. Una vez obendo los esmadores SUR de los coefcene, se los ulza para esmar nuevamene la marz de varanzas covaranzas. A parr de la nueva esmacón de las varanzas covaranzas, aplcamos nuevamene la defncón aneror obenemos en una segunda eapa un nuevo esmador SUR. Ese esmador SUR de segunda eapa puede ser ulzado para esmar nuevamene la marz de varanzas covaranzas. A parr de dcha nueva marz, podemos obener un esmador SUR en una ercera eapa; así de forma consecuva hasa ue se produzca una convergenca a un valor esable. Dcha convergenca llevara a ue dos eracones sucesvas sean smlares. No se repe el oupu proporconado por los programas a ue resula exacamene el msmo reproducdo en la seccón aneror. No ha gananca al ulzar el proceso eravo a ue los esmadores CO ue permen obener el esmador de la marz de varanzas covaranzas son los msmos ue luego se obenen al esmar el supermodelo. Por lo ano, los esmadores de los parámeros de las demandas ue se ulzarían para obener en una segunda eapa el nuevo esmador de la marz de varanzas covaranzas son los msmos ue se ulzaron en el prmer paso. Es decr, loas nuevas esmacones por SUR en la segunda eapa serán los msmos ue los de la prmera eapa. SUR RESTRINGIDO Para esmar el modelo planeado enendo en cuena resrccones obre las funcones de demanda, se debe esudar con deenmeno cómo se consruen los esmadores del SUR Resrngdo. a ecuacón desarrollaba el esmador por CG cuando la marz de Varanzas Covaranzas Φ, se defnía: Φ Σ I T. Cuando se ene nsero las resrccones en érmnos del ssema de ecuacones R r, se obene un ercer vecor de coefcenes alernavos al de

24 CO CG lbre. Cabe aclarar ue ese vecor se forma con el supueso de ue la H R r es cera. a opmzacón ahora surge de mnmzar la suma de los cuadrados de los errores sujeo a las see lmacones: n Y Σ I Y sujeo a: R r Resolvendo la CPO se obene: ˆ ˆ mcg + CR RCR r R ˆ mcg, donde C Φ El problema ue se nos planea es el de no poder conar con la verdadera marz de varanzas covaranzas por ello debemos ulzar CGE esmados consrudo con la marz [ ˆ ] T Σ ˆ j de donde cada elemeno ˆ K K j eˆ eˆ j. T K / De esa manera, se puede hallar ambén a Φˆ Σˆ I coefcenes esmados para H cera ueda como sgue: con lo ue el vecor de ˆ ˆ mcg + Cˆ R RCR ˆ r R ˆ mcg. TEST DE CORREACION CONTEPORANEA

25 En la prmera pare del rabajo, al descrbr las caraceríscas del modelo SUR, enfazamos la exsenca de correlacón no nula enre los errores de cada uno de los grupos o ecuacones del ssema. a msma se defne como conemporánea jusamene porue relacona perurbacones en un msmo período de empo. Saber s exse correlacón conemporánea o no es mporane a ue s no exse, aplcar CO a cada ecuacón por separado es an efcene como SUR. Tesear s exse correlacón conemporánea es úl para deermnar s es o no es necesaro aplcar SUR. Para el ejercco de demandas, ln + ln p + ln p + 3 ln p3 + 4 ln + e,, 3 se uere esablecer s nflue en el consumo del ben el comporameno del ben j. De esa manera, del ssema: Se puede deducr ue las correlacones se deben buscar conrasando los e con los e para un msmo. Sabendo ue: j smplemene s los j son nulos o no. T e e j T K / ; lo ue se uere probar es j H j j H A Al menos una covaranza gual a cero. Consrumos el esadísco del ulplcador de agrange. El msmo se arma en base a los coefcenes de correlacón muesral r: λ T r j j con número de ecuacones. El esadísco, en el líme, se dsrbue asnócamene Ch cuadrado con -/ grados de lberad la candad de covaranzas dsnas exsenes en la marz Σ.

26 TEST DE A VAIDEZ DE AS RESTRICCIONES Para verfcar la Hpóess nula R r, debemos enconrar un esadísco capaz de segur una dsrbucón asnóca aproxmada ue sea conocda. Para eso, parendo de la nocón de ue: ˆ ~ N ; C ; por lo ano, por propedad de las marces: Rˆ ~ N r ; RCR bajo la hpóess nula cera. Sabendo las caraceríscas del exponene de una Normal ulvarada, podemos descfrar ue: g R r RCR ˆ R ˆ r ~ χ J. Donde J es el número de resrccones. El úlmo paso anes de ulzarlo para el conrase de hpóess ene ue ver con la mposbldad de conar con la verdadera varanza, por ello, se consrurá un ĝ ue surge de cambar C por Ĉ ˆ ˆ por. De esa manera, d gˆ χ. J H R r H A R r α 5% Exse oro es consrudo sobre la base de un esadísco con dsrbucón ue ende a una F. Se pare de la nocón de las sumas de cuadrados lbres resrngdos: ˆ λ F ˆ gˆ / J Σˆ I ˆ / T K d F J; T K Puede demosrarse ue el denomnador converge en probabldad a uno, por lo ue puede ser omdo:

27 g λ ~ F J F J, T K O de forma euvalene: λ F e r er e e/ J ee / T K/ Y el valor observado de ese esadísco debe ser comparado con el valor críco eórco de una dsrbucón F con J,T-K grados de lberad para un nvel de confanza α. S el valor observado es maor ue el críco, se rechaza la hpóess nula planeada; en caso conraro, no se puede rechazar la hpóess nula. Cual es el sgnfcado en cada caso? S la reduccón en la suma de cuadrados de los resduos debdo a la esmacón lbre sn resrccones no es sufcenemene grande, no habrá pruebas para rechazar la hpóess nula de ue las resrccones son váldas. Por el conraro, s esa reduccón es sufcenemene grande, la hpóess nula de ue las resrccones son váldas se rechazará a ue al no consderarlas la suma de cuadrados de los resduos dsmnue consderablemene. Ambos esadíscos son asnócamene euvalenes en muesras fnas el esadísco F llevará al rechazo de la hpóess nula en un numero menor de casos ue el esadísco, por lo ue responde a una aproxmacón más conservadora. Por úlmo, cabe consderar el efeco de ulzar el dvsor T-K/ en el esmador de Σ. os esadíscos F serán menores ue s ulzáramos el dvsor T, por lo ano la hpóess nula será rechazada en un número menor de veces.

28

29 BIBIOGRAFÍA: CHIANG, Alpha: Economía aemáca. Ed. cgraw-hll. 998 GREENE, Economercs Anals. Prence Hall. 995 GUJARATI, Damodar : Economería Básca. Ed. cgraw-hll. 99 JOHNSTON, J. : éodos Economércos. Ed. Vvens Vves Tercera Edcón. JUDGE, GRIFFITHS, HI, UTKEPOH: The Theor and Pracce Of Economercs. Second Edon. Wle Seres. 985 ADDAA, G. S. : Economería. Ed. cgraw-hll WOODRIDGE, J. Economercs Analss Of Cross Secons and Pnale Daa.. The IT Press

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