IES Fco Ayala de Granada Modelo 5 del 2015 (Soluciones) Germán-Jesús Rubio Luna SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS MODELO 5 DEL 2015 OPCIÓN A

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1 SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS MODELO 5 DEL 015 OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) Sea las matrices A = 1 0, B = y C = (1 5 putos) Resuelva la ecuació A X + B X = C. (1 5 putos) Calcule A 4 y A 80. Sea las matrices A = 1 0, B = y C = Resuelva la ecuació A X + B X = C. De A X + B X = C (A + B) X = C D X = C, co D = A + B = = Como det(d) = D = = 1-0 = 1 0, existe su matriz iversa D-1 = (1/ D ) Adj(D t ). Multiplicado la expresió D X = C, por D -1 por la izquierda teemos: D -1 D X = D -1 C I X = D -1 C X = D -1 C. Calculamos la matriz iversa D D t = 0 1 ; 1 0 Adj(Dt ) = - 1, luego D = (1/ D ) Adj(D t ) = (1/1) - 1 = Tambié se podría haber calculado por el método de Gauss A tiee iversa si mediate trasformacioes elemetales por filas de Gauss podemos llegar de (D I), a la expresió (I E), dode E = D (D I) = F - F , por tato D = - 1. X = D -1 C 1 0 = = Calcule A 4 y A 80. A = A A = = A 4 = A -1 0 A = = 1 0 = I, matriz idetidad de orde. 0 1 A 80 = (A 4 ) 0 = (I ) 0 = I, matriz idetidad de orde. EJERCICIO (A) 1 si x 0 Sea la fució f(x) = -x + 1 si 0 < x < 4. x - 8x + 17 si x 4 (1 putos) Represete gráficamete la fució f. (0 8 putos) Estudie su cotiuidad y derivabilidad. c) (0 5 putos) Calcule f (1) y f (5). 1 si x 0 Sea la fució f(x) = -x + 1 si 0 < x < 4. x - 8x + 17 si x 4 Represete gráficamete la fució f. Si x 0, f(x) = 1 que es ua fució costate y su gráfica es ua semirrecta paralela al eje de abscisas de altura 1. 1

2 Si 0 < x < 4, f(x) = -x + 1, cuya gráfica es u trozo de parábola co las ramas hacia abajo ( ), porque el úmero que multiplica a x es egativo, abscisa del vértice e la solució de f (x) = -x = 0, es decir x = 0. Vértice e V(0 +,1), y pasa por (4 -,f(4)) = (4 -,-15). Si x 4, f(x) = x - 8x + 17, cuya gráfica es u trozo de parábola co las ramas hacia arriba ( ), porque el úmero que multiplica a x es positivo, abscisa del vértice e la solució de f (x) = x - 8= 0, es decir x = 4. Vértice e V(4,f(4)) = V(4,1), y pasa por (5,f(5)) = (5,). Se observa que es cotiua e x = 0 y o es cotiua e x = 4, porque se cumple que: f(0) = lim f(x) = lim f(x). + f(0) = lim f(x) = lim (1) = 1, y lim f(x) = x 0 x 0 x 0 + f(4) lim f(x) lim f(x). x 4 x 4 + f(4) = lim f(x) = lim (x - 8x + 17) = 4 8(4) + 17 =1, y + + x 4 x 4 es cotiua e x = 4, f o es derivable e x = 4. U esbozo de la gráfica es lim (-x + 1) = = 1. x 0 + lim f(x) = x 4 lim (-x + 1) = = -15. Como f o x 4 Estudie su cotiuidad y derivabilidad. Si x 0, f(x) = 1 que es ua fució costate y por tato cotiua y derivable e todo R, e particular es cotiua y derivable e x < 0. Si 0 < x < 4, f(x) = -x + 1, que es ua fució poliómica y por tato cotiua y derivable e todo R, e particular es cotiua y derivable e 0 < x < 4. Si x 4, f(x) = x - 8x + 17, que es ua fució poliómica y por tato cotiua y derivable e todo R, e particular es cotiua y derivable e x > 4. Faltaría estudiar la cotiuidad y derivabilidad e x = 0 y e x = 4. Ya hemos visto que es cotiua e x = 0, pero o e x = 4. Resumiedo f es cotiua e R {4}. Como f o es cotiua e x = 4, tampoco es derivable e x = 4. Veamos si es derivable e x = 0, es decir si f (0-) = f (0+) 1 si x 0 0 si x 0 f(x) = -x + 1 si 0 < x < 4 ; f (x) = -x si 0 < x < 4. x - 8x + 17 si x 4 x - 8 si x > 4 Estudiaremos la cotiuidad de la derivada. f (0-) = lim f (x) = lim (0) = 0. f (0+) = lim f (x) = decir f(x) es derivable e R {4}. c) Calcule f (1) y f (5). Vemos que x = 1 está e 0 < x < 4, dode f (x) = -x, luego f (1) = -(1) = -. Vemos que x = 5 está e x > 4, dode f (x) = x - 8, luego f (5) = (5) - 8 =. lim (-x) = 0. Como f (0-) = f (0+), existe f (0), es x 0 + EJERCICIO 3 (A) (1 5 putos) Calcule la probabilidad de que al lazar dos dados, la suma de sus putuacioes sea u múltiplo de 4. (1 puto) De u experimeto aleatorio se cooce las siguietes probabilidades P(A C ) = 0 8, P(B C ) = 0 7,

3 P(A B) = 0 5. So A y B icompatibles? Calcule la probabilidad de que al lazar dos dados, la suma de sus putuacioes sea u múltiplo de 4. Sabemos que al lazar dos dados teemos 36 = 6x6 sucesos elemetales distitos posibles. La suma de las putuacioes so, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 1. Los múltiplos de 4 so el 4, el 8 y el 1. Veamos los sucesos elemetales que lo compoe: El 4 viee de (1,3), (3,1) y (,). El 8 viee de (,6), (6,), (3,5), (5,3) y (4,4). El 1 viee de (6,6). Vemos que hay e total 9 casos favorables (tres del 4, cico del 8 y uo del 1). p(suma múltiplo de 4) = (úmero de casos favorables)/(úmero de casos posibles) = 9/36 = 1/4 = 0 5. De u experimeto aleatorio se cooce las siguietes probabilidades P(A C ) = 0 8, P(B C ) = 0 7, P(A B) = = 0 5. So A y B icompatibles? ( ) Sabemos que p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B); p(a/b) = p A B ; p(b) = 1 - p(b C ); p(b) p(a C B C ) = {Ley de Morga} = p(a B) C = {suceso cotrario} = 1 - p(a B); p(a B C ) = p(a) - p(a B). A y B so icompatibles si p(a B) 0. De P(A C ) = 0 8, p(a) = 1 - P(A C ) = = 0. Aálogamete de P(B C ) = 0 7, p(b) = 1 - P(B C ) = = 0 3. Como p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B) = = 0, los sucesos A y B so icompatibles. EJERCICIO 4 (A) ( 5 putos) El servicio de ateció al cliete de ua empresa fucioa eficazmete si el tiempo medio de ateció es iferior o igual a 7 miutos. Se toma ua muestra de 36 clietes atedidos y se observa que el tiempo medio es de 8 miutos. Supoiedo que el tiempo empleado e ateder a u cliete sigue ua distribució Normal co variaza 16, platee u cotraste de hipótesis (H0 :µ 7), co u ivel de sigificació de 0 05, determie la regió crítica de este cotraste y razoe si se puede aceptar que ese servicio fucioa de forma eficaz. El servicio de ateció al cliete de ua empresa fucioa eficazmete si el tiempo medio de ateció es iferior o igual a 7 miutos. Se toma ua muestra de 36 clietes atedidos y se observa que el tiempo medio es de 8 miutos. Supoiedo que el tiempo empleado e ateder a u cliete sigue ua distribució Normal co variaza 16, platee u cotraste de hipótesis (H0 :µ 7), co u ivel de sigificació de 0 05, determie la regió crítica de este cotraste y razoe si se puede aceptar que ese servicio fucioa de forma eficaz. Del problema: H0 :µ 7 (tiempo de ateció es iferior o igual a 7 miutos), tamaño de la muestra = 36; tiempo medio x = 8, variaza = 16, desviació típica poblacioal = = 5, ivel de sigificació de α=5% = = 0 05, luego X N(µ,4), y la distribució muestral de medias X sigue tambié ua distribució ormal: 4 N( x, ) = N(8, 16 ) = N(8,1) Trabajaremos co lo ormal N(0,1), tipificada de la ormal muestral. Tambié se puede hacer co la distribució ormal muestral y es parecido a los itervalos de cofiaza. El problema la dividimos e cico etapas Etapa 1: Formulamos la hipótesis ula y la alterativa. Las hipótesis ula y alterativa so H0 :µ 7 (el tiempo medio de ateció es iferior o igual a 7 miutos) y H1 : µ > 7, lo cual os idica la direcció del cotraste, es u cotraste uilateral por la derecha, por tato la regió crítica está a la derecha del puto crítico z 1-α. Etapa : Calculamos el puto crítico que os dará la regió crítica y de aceptació. Para el ivel de sigificació es α = 0 05, teemos u ivel de cofiaza o probabilidad = 1 - α = De p(z z1-α) = 1 - α = = 0 95, mirado e las tablas de la N(0,1), vemos que dicha probabilidad o 3

4 viee e la tabla, y los valores más próximos es y que correspode a 1 64 y 1 65, por tato el valor crítico es la media de ambos z 1-α = ( ) = 1 645, que separa la zoa de aceptació y la de rechazo. Lo observamos e u dibujo: Etapas 3 y 4: Poemos el estadístico del cotraste y calculamos el valor observado. X - µ 0 E este caso el estadístico de prueba de este cotraste es Z =, que sigue ua ley ormal N(0,1), y / x - µ el valor observado del estadístico de prueba será el úmero z 0 = = = 1. / 4/ 16 Etapa 5: Comparamos el valor observado co el puto crítico para tomar la decisió adecuada. Como el valor observado del estadístico de prueba z 0 = 1 está a la izquierda del puto crítico z 1-α = 1 645, estamos e la zoa de aceptació. Resumiedo, aceptamos la hipótesis ula H 0: µ 0 7 para u ivel de sigificació α = Co lo cual, co u ivel de sigificació del 5%, el tiempo medio de ateció es iferior o igual a 7 miutos. OPCION B EJERCICIO 1 (B) Sea el siguiete cojuto de iecuacioes: x - 3y 8; 3x + y 15; x + 3y 1; x 0; y 0. (1 puto) Dibuje el recito del plao determiado por estas iecuacioes. (1 puto) Determie los vértices de este recito. c) (0 5 putos) Maximice la fució F(x,y) = 5x + 9y e este recito, idicado el puto o putos dode se alcaza ese máximo. Sea el siguiete cojuto de iecuacioes: x - 3y 8; 3x + y 15; x + 3y 1; x 0; y 0. Dibuje el recito del plao determiado por estas iecuacioes. Determie los vértices de este recito. Maximice la fució F(x,y) = 5x + 9y e este recito, idicado el puto o putos dode se alcaza ese máximo. Fució a optimizar es F(x,y) = 5x + 9y. Restriccioes: x - 3y 8; 3x + y 15; x + 3y 1; x 0; y 0 Las desigualdades x - 3y 8; 3x + y 15; x + 3y 1; x 0; y 0, las trasformamos e igualdades, y sus gráficas ya so rectas, x - 3y = 8; 3x + y = 15; x + 3y = 1; x = 0; y = 0 Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y = x/3-8/3; y = -3x + 15; y = -x/3 + 4 x = 0; y = 0 Dibuje el recito covexo del plao determiado por estas iecuacioes 4

5 Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De y = 0 e y = -3x+15, teemos 0 = -3x+15 3x = 15 x = 5, y el vértice es A(5,0). De y = 0 e y = x/3-8/3, teemos 0 = x/3-8/3 x = 8, y el vértice es B(8,0). De y = x/3-8/3 e y = -x/3+4, teemos x/3-8/3 = -x/3+4 x-8 = -x+1 x = 0, co lo cual x = 10, e y = = 10/3 8/3 = /3, y el vértice es C(10,/3). De y = -x/3+4 e y = -3x+15, teemos -x/3+4 = -3x+15 -x+4 = -9x x = 1, co lo cual x = 1/7 = 3, e y = -3/3 + 4 = 3, y el vértice es D(3,3). Vemos que la regió factible es el polígoo coexo limitado por los vértices del recito, que so: A(5,0), B(8,0), C(10,/3) y D(3,3). Veamos la solució óptima de la fució F(x,y) = 5x + 9y e el recito aterior, así como los putos e los que se alcaza. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió covexa acotada, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(5,0), B(8,0), C(10,/3) y D(3,3). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. F(5,0) = 5(5) + 9(0) = 5; F(8,0) = 5(8) + 9(0) = 40; F(10,/3) = 5(10) + 9(/3) = 56; F(3,3) = 5(3) + 9(3) = 4. Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es 56 (el mayor valor e los vértices) y se alcaza e el vértice C(10,/3). EJERCICIO (B) Se cosidera la fució f(x) = x 3 - x + x. (1 3 putos) Halle el máximo, el míimo y el puto de iflexió de la fució. (0 6 putos) Calcule los putos de corte co los ejes. c) (0 6 putos) Obtega las ecuacioes de las rectas tagetes a la gráfica de f e los putos de abscisas x = 0 y x = 1. Se cosidera la fució f(x) = x 3 - x + x. Halle el máximo, el míimo y el puto de iflexió de la fució. Sabemos que si f ( = 0 y f ( < 0, x = a es u máximo relativo. Sabemos que si f ( = 0 y f ( > 0, x = a es u míimo relativo. Sabemos que si f ( = 0 y f ( 0, x = b es u puto de iflexió. f(x) = x 3 - x + x; f (x) = 3x - 4x + 1; f (x) = 6x - 4; f (x) = 6. 4 ± ± 4 4 ± De f (x) = 0 3x - 4x + 1 = 0 x = = =, de dode x = 1 y x = /6 = 1/3, que será los posibles extremos relativos. Como f (1) = 6(1) - 4 = > 0, x = 1 es u míimo relativo de la gráfica de f(x) y vale f(1) = = = 0. Como f (1/3) = 6(1/3) - 4 = - < 0, x = 1/3 es u máximo relativo de la gráfica de f(x) y vale f(1/3) = = (1/3) 3 - (1/3) + (1/3) = De f (x) = 0 6x - 4 = 0 x = 4/6 = /3, de dode x = /3 será el posible puto de iflexió. Como f (/3) = 6 0, x = /3 es el puto de iflexió de la gráfica de f(x) y vale f(/3) = = (/3) 3 - (/3) + (/3) = Calcule los putos de corte co los ejes. Para x = 0, puto (0,f(0)) = (0,0). Corte co el eje de ordeadas (OY). Para f(x) = 0 = x 3 - x + x = x (x - x + 1) = 0, de dode x = 0 y x - x + 1 = 0, luego x = ± 4-4 = = 1 ± 0, de dode x = 1(doble), y los putos de corte so (0,f(0)) = (0,0) y (1,f(1)) = (1,0). Cortes co el eje de abscisas (OX). 5

6 c) Obtega las ecuacioes de las rectas tagetes a la gráfica de f e los putos de abscisas x = 0 y x = 1. La ecuació de la recta tagete e x = 0 es: y f(0) = f (0) (x 0). f(0) = (0) 3 (0) + (0) = 0; f (0) = 3(0) 4(0) + 1 = 1. La recta tagete pedida es: y 0 = 1 (x 0), de dode y = x (bisectriz del primer y tercer cuadrate). La ecuació de la recta tagete e x = 1 es: y f(1) = f (1) (x 1). f(1) = (1) 3 (1) + (1) = 0; f (1) = 3(1) 4(1) + 1 = 0. La recta tagete pedida es: y 0 = 0 (x 0), de dode y = 0, que es ua recta horizotal de altura 0 (ecuació del eje de abscisas OX). EJERCICIO 3 (B) Ua empresa dedicada a la producció de jamoes ibéricos dispoe de dos secaderos, A y B, co distitas codicioes ambietales y de almaceamieto. E el secadero B se cura la tercera parte de los jamoes. El 5% de los jamoes curados e el secadero A so catalogados como Reserva, mietras que e el B este porcetaje asciede al 80%. Elegido u jamó al azar de uo de los secaderos, calcule la probabilidad de los siguietes sucesos: (1 5 putos) El jamó o es de Reserva. (1 puto) Si el jamó es de Reserva, que proceda del secadero A. Ua empresa dedicada a la producció de jamoes ibéricos dispoe de dos secaderos, A y B, co distitas codicioes ambietales y de almaceamieto. E el secadero B se cura la tercera parte de los jamoes. El 5% de los jamoes curados e el secadero A so catalogados como Reserva, mietras que e el B este porcetaje asciede al 80%. Elegido u jamó al azar de uo de los secaderos, calcule la probabilidad de los siguietes sucesos: El jamó o es de Reserva. Llamemos A, B, R y R C, a los sucesos siguietes, secadero A, " secadero B", jamó de reserva" y "o es jamó de reserva", respectivamete. Datos del problema p(b) = 1/3; p(r/a) = 5% = 0 5; p(r/b) = 80% = 0 8,. Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de ellas que parte de u mismo odo vale 1). Aplicado el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que el jamó o es de reserva es: p(o es de reserv = p(r C ) = p(a).p(r C /A) + p(b).p(r C /B) = (/3) (1/3) 0 = 17/ Si el jamó es de Reserva, que proceda del secadero A. Aplicado el teorema de Bayes, teemos: p( A R ) p( A).p(R/A ) (/3) 0'5 p(a/r) = = = = (5/13) C p(r) 1 - p(r ) 1 - (17/30) EJERCICIO 4 (B) De ua població Normal de media descoocida µ y desviació típica se extrae la siguiete muestra aleatoria simple de tamaño 10: (1 5 putos) Estime, mediate u itervalo de cofiaza, la media poblacioal para u ivel de cofiaza del 9%. Obtega su error de estimació. (1 puto) Qué tamaño muestral míimo sería ecesario para reducir ese error a la mitad, co el mismo ivel de cofiaza? 6

7 De ua població Normal de media descoocida µ y desviació típica se extrae la siguiete muestra aleatoria simple de tamaño 10: Estime, mediate u itervalo de cofiaza, la media poblacioal para u ivel de cofiaza del 9%. Obtega su error de estimació. Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, ) o X N(µ, ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: I.C. (µ) = x z 1 α,x + z1 α = (a, dode z1-α y zα = - z1-α so los putos críticos de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z1-α) = 1 - α Tambié sabemos que el error máximo de la estimació es E = z1 α = (b -, para el itervalo de la z 1- α. media, de dode el tamaño míimo de la muestra es = E. Datos del problema: = 10; x = ( )/10 = 4 35; = ; ivel de cofiaza = 9% = 0 9 = 1 - α, de dode α = 0 08, co la cual α = 0 08 = De p(z z1-α) = 1 - α = = 0 96, mirado e las tablas de la N(0,1), vemos que la probabilidad 0 96 o viee, y que la probabilidad más próxima es , correspode a z1-α = 1 75, por tato el itervalo de cofiaza pedido es: I.C.(µ) = x z 1 α,x + z1 α = 4'35 1' 75,4'35 + 1' (3 43,5 4568) Tambié sabemos que el error máximo de la estimació es meor que el radio del itervalo, es decir E z1 α = 1' Qué tamaño muestral míimo sería ecesario para reducir ese error a la mitad, co el mismo ivel de cofiaza? Datos del problema: Error = la mitad del aterior = E 1'75, =, igual ivel de cofiaza = 9% os da 10 z1-α = De error = E z1 α = 1'75 z 1- α., teemos que el tamaño míimo de la muestra es 10 E 1'75 = 1'75/ 10 = 40, es decir el tamaño míimo de la muestra es de = 40. = 7

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