REPASO DE LA FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

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Rubén Villalobos Sandoval
hace 7 años
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1 REASO DE LA FACTORIZACIÓN DE OLINOMIOS OLINOMIO IRREDUCIBLE O RIMO.- Un polinomio ( x se llama irreducible o primo, si ( x o más polinomios con grado. Según esta definición: o Todos los polinomios de grado son irreducibles no se puede expresar como producto de dos o Algunos polinomios de grado > son también irreducibles, entre ellos algunos polinomios de grado (aquellos cuya ecuación asociada no tiene ninguna solución FACTORIZACIÓN DE OLINOMIOS EN FACTORES IRREDUCIBLES.- Un polinomio se puede descomponer en factores de muchas formas: 3 Ejemplo.- ( x = x x x +, se puede expresar: ( x = x 3 x x + = ( x ( x = ( x + ( x x + = ( x + ( x De todas ellas hay una sola forma de descomponerlo en factores irreducibles: ( x = ( x + ( x Esta factorización es la que vamos buscando siempre. En general, para factorizar un polinomio seguiremos las siguientes pautas: º.- Intentamos sacar factor común todo lo que se pueda: 3 Ejemplo: ( x = x x + x = x ( x x + con lo que hemos conseguido una primera factorización de ( x, en la que los factores: x es irreducible (por ser de grado, y ( x x +, aún no sabemos si es o no irreducible; así que intentamos seguir factorizándolo. º.- Intentamos identificar el polinomio que queda, con alguna identidad notable: Ejemplo: Es ( x + x el desarrollo de alguna identidad notable?, sí, es ( 3 Luego: ( x = x x + x = x ( x x + = x ( x x. Con esto el polinomio queda factorizado en producto de polinomios primos: x y ( x doble (ambos de grado. 3º.- FACTORIZACIÓN DE OLINOMIOS DE º GRADO: Si el polinomio que quedaba sin factorizar no se puede identificar con una de las identidades notables y es un polinomio de º grado: para poder factorizarlo, se resuelve su ecuación asociada ( ( x = 0.

2 Una vez resuelta, puede ocurrir que: a Tenga dos soluciones reales y distintas: x { r, s} polinomio de º grado se descompone en factores de la siguiente forma: ( x = coeficiente principal ( x r ( x s Ejemplo: Factorizar en polinomios irreducibles: ( x = 6x x =. En este caso se demuestra que el (polinomio de º grado ± 6x x = 0 x = + 48 =, 3 Luego la factorización de este polinomio es: ( x = 6 x + b Tenga una sola solución real: x = s (solución doble. En este caso se demuestra que el polinomio de º grado se descompone en factores de la forma: ( x = coeficiente principal ( x s ( x s = coeficiente principal ( x s Ejemplo: Factorizar en polinomios irreducibles: ( x = 4x 4x + (polinomio de º grado 4 ± ± 0 4 4x 4x + = 0 x = = = = (solución doble Luego la factorización de este polinomio es: ( x = 4 x = 4 x c No tenga soluciones reales: En este caso ( x no se puede descomponer en factores, con lo que ( x es primo o irreducible (y se habría terminado la factorización. Ejemplo: Factorizar en polinomios irreducibles: ( x = 4x + solución ( x es irreducible (polinomio de º grado 4x + = 0 x = x = ± R no tiene 4 4 (no se puede factorizar. 4º.-Si no podemos usar las técnicas de factorización anteriores, se utiliza el método de factorización que se estudia a continuación, basado en los conceptos siguientes: TEOREMA DEL RESTO.- El resto, r, de la división de un polinomio ( x entre otro de la forma ( a numérico de ( x para x = a, ( a : r ( ( ( a x : x a = 3 Ejemplo: Al hacer la división de ( 4x + 3 : ( x + x coincide con el valor x (aplicamos la regla de Ruffini:

3 r = 6 or otro lado: ( = ( 4 ( + 3 = = 3 6. Observamos que ambos resultados coinciden. Este teorema permite: Calcular el resto de la división sin realizarla (calculando ( a Calcular ( a sin sustituir en ( x la x por a (buscando el resto de la división ( x :( a Ejercicio: Dado el polinomio ( x = x a El resto de la división de ( x : ( x + b El valor numérico de ( x. Calcula:, sin efectuar la división. para x = 3, sin sustituir la x por 3. x. RAÍZ DE UN OLINOMIO.- Un número real a es una raíz de un polinomio ( x, si el valor numérico de ( x Ejemplo: es una raíz del polinomio 4 ( x ( = 0 x = a es raíz de a x, porque: ( = 4 = Dado un polinomio ( x, su ecuación asociada es: ( x = 0. 0 para x = a vale 0. La ecuación asociada al polinomio ( x : ( x = 0, tiene como soluciones todas las raíces de ( x a es raíz de ( x x = a es solución de ( x = 0. Ejemplo: ara calcular todas las raíces del polinomio: ( x = x + x 6 : Se resuelve su ecuación asociada: x ± + x 6 = 0 x = Luego las raíces de ( x 4 ( 6, son 3 y ± = 5 ± 5 = = { 3,}

4 TEOREMA DEL TÉRMINO INDEENDIENTE.- Las raíces enteras ( Z de un polinomio ( x, se encuentran entre los divisores de su término independiente. 3 Ejemplo.- ( x = 6x + x 4x 4 tiene como término independiente -4. Los div ( 4 = { ±, ±, ± 4} son las posibles raíces enteras de ( x. ( = = 9 0 ( = = 3 0 ( = = 80 0 ( = 6 ( ( 4 = 0 ( 4 0 ( 4 0 La única raíz entera de ( x es -. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA.- Un polinomio de grado n tiene como mucho n raíces reales (entre enteras y no enteras Teniendo en cuenta todo esto, usemos un ejemplo para estudiar el método de factorización que nos falta: 4 3 Ejemplo: ( x = 6x x 8x + x + Utilizamos el teorema del resto y la división de polinomios por la regla de Ruffini para calcular todas las raíces enteras del polinomio (dichas raíces se encuentran entre los divisores enteros del término independiente, por el teorema del término independiente: o Buscamos la primera raíz entera (, probando (en orden entre los divisores enteros, {, ± } del término independiente (, el primero de ellos que haga que el resto sea 0 (pues por el teorema del resto: ( r ( ( = 0 es raíz de ( x x : x =. Y como el resto de la división de ( x : ( x 3 ( x = ( x ( 6x es 0, la división es exacta y se cumple que: ±,, en el que el primer factor es primo y el segundo factor no se sabe aún si lo es, o no. 3 o Repetimos el proceso con el siguiente factor ( 6x, teniendo en cuenta que el divisor del término independiente del polinomio inicial que ha sido raíz antes, puede volver a ser raíz del factor que intentamos factorizar, pero los divisores del término independiente del polinomio inicial que no han sido raíces anteriores, tampoco pueden ser raíces del factor: 6 3 x = ( x + ( 6x x ( x = ( x ( x + ( 6x x

5 o Repetimos el proceso hasta conseguir que el último cociente sea de grado (si se puede o de grado (si no conseguimos llegar a un cociente de grado, como ocurre en nuestro ejemplo: gr div(={ ±, ± } gr =R div(-={ ±, ± } - -6 gr =R div(-={ ±, ± } El polinomio 6x x (de º grado, que es el último cociente que hemos obtenido, no tiene raíces enteras; pero puede que tenga raíces reales no enteras, así que intentamos factorizarlo con el criterio de los polinomios de º grado( punto 3º: ( x = 6x x (polinomio de º grado ± 6x x = 0 x = + 48 =, 3 La factorización de este polinomio es: 6 x x = 6 x + Luego la factorización completa de ( x es: 3 ( x = ( x ( x + 6 x x + que también se puede expresar con todos sus coeficientes enteros de la forma: ( x = ( x ( x + 6 x + = ( x ( x + 3 x + = x x + 3x x +, en la que todos los factores son irreducibles (por ser de grado y ( ( ( ( tienen sus coeficientes enteros. CÁLCULO DEL OLINOMIO UTILIZANDO SUS RAÍCES.- ara calcular un polinomio de grado n, cuyas raíces reales son: r...,, r, rn, y que tenga a a como coeficiente principal, se procede de la misma forma que con los polinomios de º grado. El polinomio factorizado es: ( x = coeficiente principal ( x r ( x r... ( x Es decir: ( x = a ( x r ( x r... ( x r n r n

6 Ejemplo.- El polinomio de grado 3, cuyas raíces son: 3, y - (doble que tiene como coeficiente principal al 5, es: 3 ( x = 5 ( x 3 ( x + = 5 ( x 3 ( x + 4x + 4 = 5 ( x + 4x + 4x x = 3 3 ( x + x 8x = 5x = 5 x 3 ( x = 5x 40x 60 Ejercicios: Factorizar en polinomios irreducibles con coeficientes enteros: 4 3 a x + 3x 8x x ( Sol: x ( x ( x + (x b 6x 5x + 6x + 4x 8x ( Sol: x ( x (x + (3x 4 3 c 4x 4x 35x + 36x 9 ( Sol: ( x 3 ( x + 3 (x 4 3 d x + x + 8x + 4 ( Sol: ( x + ( x e 4x 5x 5x + 6 ( Sol: ( x + ( x (x ( x + 3 f 9x + x x x 8 ( Sol: ( x (3x + (3x 4 x g 6x x + 3x ( Sol: x ( x ( x + (3x + ( x h 0x + 9x 8x 6 ( Sol: ( x + (x 3 (5x + i 9x + x x + 6x 4 ( Sol: x ( x + (3x j 4 x x ( Sol: x ( x ( x + (4 x + a Resolver las ecuaciones asociadas a los polinomios anteriores. b Calcula todas las raíces reales de los polinomios anteriores.

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