Definición: Dada una función f(x), diremos que la función F(x) es una función primitiva de f(x) en el intervalo [a, b], cuando se verifica que:

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1 TEM : L INTEGRL INDEFINID.- Integrl indeinid. Deiniciones..- Propieddes de l integrl indeinid..- Integrles inmedits..- Métodos de integrción..- Integrl indeinid. Deiniciones Deinición: Dd un unción, diremos que l unción F es un unción primitiv de en el intervlo [, b], cundo se veriic que: [ b] F,, * Ejemplo: Dd l unción, entonces F es un primitiv de, F es otr primitiv, F 7 es otr,... porque l derivr F, F y F se obtiene. Proposición: Si F es un primitiv de y es un constnte, entonces F tmbién es un primitiv de. Demostrción: L demostrción es evidente: Si F es un primitiv de F F F F F es tmbién primitiv de. Pero tmbién se d l proposición invers, es decir: Proposición: Si F y G son dos unciones primitivs de en [, b], entonces su dierenci es un constnte, es decir R : F G, siendo un constnte, pr todos los puntos de dicho intervlo.. Demostrción: Por hipótesis F y G son unciones primitivs, entonces por deinición de primitiv se veriic que F y G, y en tl cso tenemos que: F G F G F G [, b] 0 Pero y hemos visto con nterioridd que si un unción tiene derivd 0 en todos los puntos de un intervlo entonces dich unción es constnte en dicho intervlo, luego eiste constnte tl que: F G, b [ ] En virtud de los nteriores resultdos podremos dr l siguiente deinición de integrl indeinid:

2 Deinición: Llmremos integrl indeinid de un unción l conjunto de tods ls primitivs de l unción, es decir, dd un unción primitiv F de entonces llmremos integrl indeinid de l conjunto: { F : R } dicho conjunto lo representremos como d F. * Ejemplo: Dd l unción, como F es un primitiv de dich unción, l integrl primitiv será el conjunto de tods ls unciones que resultn de sumrle un número rel dich unción, es decir: d, R * Observción: Es undmentl tener siempre presente que l integrl indeinid de un unción es un conjunto de unciones..- Propieddes de l integrl indeinid d k b k d k d R c g d d g d L demostrción de ests propieddes es muy sencill bsándose en ls propieddes de ls derivds..- Integrles inmedits. L tbl de integrles inmedits es un consecuenci direct de l tbl de derivds que y conocemos puesto que estmos hciendo el proceso inverso. Ls integrles inmedits que debemos conocer son ls siguientes:

3 TIPOS Tipo potencil d n n d n Tipo logrítmico d L d L Tipo eponencil. e. d e.. d L Tipo coseno sen d cos. sen. d cos Tipo seno cos sen cos. d sen Tipo tngente d tg cos d cos tg Tipo cotngente d sen cot g d sen cot g Tipo rc sen rc cos d rc sen d rc sen TL DE INTEGRLES INMEDITS EJEMPLOS d. d d e d L e e e d e.9. d d L d sen d.sen d e cos..cos sen cos d d Tipo rco tng. -rc cotng. d rc tg d rc tg tg d tg d tg cos tg 0 0 cos 0 cot g d cot g d cot g sen 6 6 sen d d 6 cot g d d e d d e e e d d rcsen rcsen e rctg rc tg 9 d d d

4 .- Métodos de integrción. En este prtdo vmos ver los siguientes métodos: - Integrles que se simpliicn previmente o que se descomponen. - Integrles que se trnsormn en inmedits. - Integrción por sustitución o cmbio de vrible - Integrción por prtes - Integrción de unciones rcionles..- Integrles que se simpliicn previmente o se descomponen lguns veces, ntes de relizr l integrl correspondiente, se procede simpliicr l epresión por si de es orm se puede integrr mejor. Posteriormente, hciendo uso de ls propieddes de ls integrles, se descomponen en otrs más sencills, trnsormándose en un simple sum de integrles más elementles. Vemos lgunos ejemplos: d Desrrollndo por l órmul del cudrdo de un binomio: sí, d d d d d 7 d Descomponiendo l rcción en sum de rcciones: Por tnto, 7 d 7 d d 7d d 7 7

5 7 d Trnsormndo ls ríces en potenci, descomponiendo en sum de rcciones y simpliicndo, tenemos: Por lo que l integrl nos qued: d d d d ctg sen d cos sec 0 0 Si epresmos ls rzones trigonométrics en rzones simples, nos quedrá: 9 9 d ctg sen cos sec cos sen sen cos cos d d cos send y preprndo un poco l cos: cos send cos send sen d porque sensen cos sí pues: ctg sen d send cos cos sec sen d cos

6 ..- Integrles que se trnsormn en inmedits unque prezc que son diíciles de relizr y que requieren un método lborioso, hy integrles que se pueden resolver medinte el uso de l tbl de integrles inmedits sin más que introducir lgunos cmbios o modiicciones. Vemos lgunos ejemplos: d d sen cos cos sen d d L sen sen cos cos sen cos bst plicr d L rcsen e rcsen d.. e d e. rcsen bst plicr. e. d e d.sec d tg sec bst plicr d cos tg d d tg sec.sec bst plicr d cos tg. L d d rctg L bst plicr L d rc tg tg cos sen d d L sen bst plicr d L d d L bst plicr d rcionl, se hce de orm inmedit L observ que unque es d d rtg rcionl, se hce de orm inmedit bst plicr d rc tg observ que unque es 6

7 ..- Integrción por sustitución o cmbio de vrible El método de integrción por sustitución o cmbio de vrible consiste en trnsormr l integrl dd, medinte un cmbio de vrible en otr inmedit o más sencill de integrr. Dd l integrl d, si hcemos el cmbio de vrible gt, entonces tenemos que: g t y d g t dt derivndo por lo que l integrl inicil qued trnsormd en d g t g Ejemplos: t dt d Hcemos el cmbio t d dt Sustituyendo en l integrl result: dt t t d t dt t b d Hcemos el cmbio t d tdt tdt Despejmos en orm decud: d y hor sustituimos: tdt t d. d t. t dt 9 y que del cmbio t se deduce que t c d Hcemos el cmbio t o tmbién, elevndo l cudrdo, - t Dierencindo l iguldd nterior, d t.dt Por otr prte, de - t result t Sustituyendo result: 7

8 t t d.tdt dt. t rctgt rctg d sen cos d El cmbio que podemos relizr es el siguiente: sent Por ser impr en cos De dicho cmbio result: cosddt y sustituyendo en l integrl propuest obtenemos: sen cos d sen.cos.cos d t t dt t t sen sen t t dt e d t t d tdt tdt dt rcsen t t t t rcsen..- Método de integrción por prtes. El método de integrción por prtes consiste en trnsormr l integrl dd, medinte un trnsormción básic en l dierencil del producto, en otr integrl inmedit o más sencill que l de prtid. Dicho método sólo se plicrá cundo los restntes métodos en nuestro cso, el de sustitución no nos solucione nuestr integrl. L integrción por prtes se bs en l conocid órmul: u dv u v v du, donde u y v son dos unciones dierencibles. Not: L cuestión está en que un epresión de l integrl debemos llmrle u y otr debemos llmrle dv y prtir de ells debemos recuperr du, medinte derivción, y tmbién v, medinte integrción. * Demostrción: Sen u y v dos unciones dierencibles culesquier, entonces: du v du v u dv Despejndo: u dv du v v du 8

9 Integrndo mbos ldos y teniendo en cuent que l integrl de l derivd de un unción es l mism unción tenemos que: d u v v du u v v u dv du es decir, u dv u v v du Ejemplos: I e d Pr relizr l integrl pedid, un epresión debemos llmrle u y otr debemos llmrle dv y prtir de ells debemos recuperr du y tmbién v. Llmmos Obtenemos derivndo u du d dv e. d v e d e integrndo on estos dtos podemos empezr plicr l órmul de integrción por prtes u dv u v v du I e d e e d y simpliicndo, llegmos l conclusión: I e d e e b I rc tg d u rc tg du dv d v d Donde u lo hemos derivdo pr obtener du y dv lo hemos integrdo pr hllr v. plicndo l órmul que hemos indicdo nteriormente, I.rctg. d L integrl resultnte es de tipo logrítmico: I.rctg d.rctg L 9

10 c I sen d u dv sen d du v d sen d cos I cos cos d. * veces hy que repetir l integrción por prtes como en este cso: u dv cos d du d v cos d sen cos d sen sen d sen cos Y volviendo l epresión * obtenemos el resultdo inl: I cos sen cos Tipos de integrles que se resuelven por prtes: n n e d u dv e d n n send u dv send n n cos d u dv cos d n n lnd u ln dv d rctgd u rctg dv d rcsend u rcsen dv d rccod u rccos dv d. Método de integrción de unciones rcionles. Observción previ: Y hemos visto cómo se integrbn lguns de ests unciones, ls del tipo rcotngente y ls del tipo logritmo es decir, cundo el numerdor er un múltiplo de l derivd del denomindor, pero como es evidente ésts suponen sólo un pequeñ prte de ls unciones rcionles que nos podemos encontrr. sí, en este prtdo, vmos mplir un poco el número de ls unciones rcionles que podmos integrr unque sólo un poco, pues el número de ells que quedrán uer de nuestro lcnce será todví inmenso, por ser ests unciones bstnte recuentes. Debemos tener presente que eisten muchos otros métodos de integrción pr otros tipos de unciones, pero que no podemos ver por lo limitdo del tiempo o porque no entrn dentro de nuestrs necesiddes. Un vez dicho esto, comentremos que el método de integrción de unciones rcionles está bsdo en l descomposición de l rcción en sum de rcciones más sencills. demás, vmos suponer que el grdo del numerdor es menor que el grdo del denomindor, pues en cso contrrio, se hce l división y después se integr el cociente más el resto prtido por el divisor, es decir, si p d donde el grdo de p es igul o myor que el de q, entonces, dividiremos p entre q q, obteniendo un cociente c y un resto r 0

11 pq.cr de donde q r c q r c q q p Por tnto, d q r d c d q r c q p donde c es un polinomio, y por tnto se integr ácilmente, y r y tiene grdo menor que q, que es el verddero problem. Por tnto, vmos integrr d q p pero suponiendo que el grdo del numerdor es menor que el grdo del denomindor y demás, nos limitremos ls unciones rcionles cuyo denomindor tiene ríces reles, es decir que se puede descomponer en ctores de grdo. no veremos el cso en el que el denomindor teng ríces imginris Pr ello vmos distinguir los siguientes csos:...- Integrción de unciones rcionles sólo con ríces simples en el denomindor:...- Integrción de unciones rcionles con ríces múltiples en el denomindor:...- Integrción de unciones rcionles con ríces simples y múltiples en el denomindor:...- Integrción de unciones rcionles con ríces complejs simples...- Integrción de unciones rcionles sólo con ríces simples en el denomindor: Vmos suponer que l hcer l descomposición de Q en ctores primos Ruini, obtenemos lo siguiente: Q k. n El número k que prece l principio será igul l coeiciente del término de myor grdo, que vmos suponer que es pr simpliicr en cso contrrio sólo hy que scr dicho número uer de l integrl. Un vez ctorizdo el denomindor, el método consiste en descomponer l unción rcionl en otrs unciones rcionles más simples que podremos integrr ácilmente. El proceso el es siguiente pr simpliicr vmos hcerlo suponiendo que el denomindor tiene grdo, unque se hrí igul se el grdo que se: P Q P hor debemos hllr los vlores de, y, pr lo que sumremos ls tres rcciones e igulremos coeiciente coeiciente el numerdor de es sum con P: Q P

12 Ejemplo: 8 6 d En primer lugr vmos descomponer el denomindor por Ruini: sí pues,. Siguiendo entonces lo visto nteriormente, tenemos que: 8 6 omo los denomindores son igules, entonces los numerdores tmbién deben serlo: 8 6 Y dndo vlores preerentemente, ls ríces del denomindor, hllmos los vlores, y Si 8 Si Si Es decir, hemos conseguido epresr 8 6 Pr terminr, bst integrr cd uno de esos sumndos: 8 6 Ln d d d d Ln Ln Ln...- Integrción de unciones rcionles con ríces múltiples en el denomindor: En ls misms condiciones del prtdo nterior, vmos suponer hor que el denomindor descompone de l siguiente orm: Q n Pr simpliicr l eplicción del método vmos suponer tmbién que n, de donde hbrá que generlizrlo culquier potenci. En ese cso l descomposición en este cso será l siguiente:

13 P Q P prtir de quí el método es ectmente igul que es nterior. Ejemplo: d Siguiendo lo nterior vmos descomponer en rcciones más simples, teniendo en cuent que l descomponer el denomindor obtenemos que: De hí, igulndo los numerdores, tenemos que: Igulndo coeiciente coeiciente tenemos que: 0 0 Est orm empled pr clculr los coeicientes diiere de l empled nteriormente, unque podemos clculrlos tmbién de quell orm sustituyendo tres vlores culquier rrib recomendble siempre sustituir el vlor de l ríz que nos d el vlor de directmente. Un vez hech l descomposición, remtmos: d d d...- Integrción de unciones rcionles con ríces simples y múltiples en el denomindor: Por último, vmos suponer que el denomindor tiene tnto ríces simples como múltiples. Por ejemplo un denomindor del tipo: Q ombinndo los dos métodos nteriores, l descomposición se hrí de l siguiente orm: E D P Q P

14 prtir de hí procederímos de l mism orm que ntes. Ejemplo 6 d Siguiendo igul que ntes, vmos descomponer en rcciones más simples, teniendo en cuent que l descomponer el denomindor obtenemos que: 6 6 De hí, igulndo los numerdores, tenemos que: 6 Y dndo tres vlores preerentemente, ls ríces del denomindor, hllmos, y Si Si - Si 0 6 Es decir, hemos conseguido epresr Por lo que: d d d d 6 Ln Ln Ln Ln...- Integrción de unciones rcionles con ríces complejs simples en el denomindor: Vmos suponer que l hcer l descomposición de Q obtenemos: Q d. d... d k. b c Entonces: P k... Q d d d b c Ls primers rcciones on de los tipos y vistos y ltrí ver como se integr l últim rcción, que se suelen denominr del tipo neperino-rcotngente. k

15 lculo de un primitiv. Donde bc no tiene ríces reles.tipo rctg. b c L técnic es hcer cmbios de vrible pr plicr l primitiv de rctg. Un ejemplo: d d d. Hcemos el cmbio esperdo: t,obtenemos: d dt dt rctg t c rctg t c En generl: d d d b c b c b c b c b b. Hcemos el cmbio esperdo: c b b t c b, obtenemos: dt rctg t d dt c b t c b c b b rctg c c b c b c m n lculo de un primitiv β:. Tipo log-rctg. Donde bc no tiene ríces b c reles. L técnic es descomponer l primitiv en dos según su numerdor y hcer cmbios de vrible pr plicr l primitiv del rctg en un de ells y el logritmo neperino en l otr. Un ejemplo: t d dt 8 8 d d d ln t rctg ln rctg. En generl: n n m n b b m b c m m d m d b c b c d t dt

16 m b m n b m b n b m d b c b c d d b c b c n b m m ln b c m d. b c Donde est últim primitiv es de ls de tipo rco- tngente estudids en el cso nterior. m m 6

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