CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES. Unidad didáctica 8. Introducción a la integración INTEGRAL INDEFINIDA

Transcripción

1 INTEGRAL INDEFINIDA CONCEPTOS BÁSICOS: PRIMITIVA E INTEGRAL INDEFINIDA El cálculo de integrales indefinidas de una función es un proceso inverso del cálculo de derivadas ya que se trata de encontrar una función cuya derivada coincida con una función dada. Dada una función real de variable real f() definida en [a,b], se llama primitiva de f() en [a,b] a toda función F() tal que F ' = f, [a,b]. Ejemplo : F()= es una primitiva de la función f()= ya que F' = = f También son primitivas de f()= las funciones F ()= +, F ()= -5, F = + ya que verifican: F ' = F ' = F ' = = f Proposición: Si F() es una primitiva de f() en [a,b], entonces cualquier primitiva de f() en [a,b] es de la forma F()+C con C Ejemplo : Todas las primitivas de la función f()= son de la forma F()= +C siendo C Todas las primitivas de la función f()=e - son de la forma F()=-e - +C siendo C Se llama integral indefinida de f() al conjunto de todas sus primitivas y se denota como f d, es decir: f ( ) d = F ( ) + C siendo C y F() una primitiva de f() A la función f() se le denomina función integrando y a la constante C, constante de integración. Ejemplo : Ûd = +C Û5 d = 5 d +C ln C = + d C = + Observación: No toda función de una variable tiene primitivas y por tanto, integral indefinida. En este apartado sólo se consideran las funciones cuya integral indefinida se puede epresar mediante una combinación finita de funciones elementales. Como consecuencia de la linealidad de la derivada se deducen las siguientes propiedades (linealidad de la integral):. f + g d = f d+ g d. kf d = k f d k Ejemplo : ( ) d = d + d = d d = + C INTEGRALES INMEDIATAS Hay casos en los que la integral indefinida se calcula de forma inmediata, ya que la función integrando es la derivada de una función conocida. Se llaman integrales inmediatas a aquellas cuya epresión puede ser obtenida a partir de la tabla de derivadas de las funciones elementales. A continuación, se eponen las integrales inmediatas más utilizadas, siendo la segunda columna una generalización de la primera. Proyecto de innovación ARAGÓN TRES

2 a+ a d = + C si a a + ( ) ( ) a+ a f f f d = + C si a a + d = ln + C f d = ln f ( ) + C f d C = + f f d = f + C a a d = + C si a > 0 ln a f f a a f d = + C si a > 0 ln a e d e = + C f f e f d = e + C send= cos + C sen f f d = cos f + C cosd= sen + C cos f f d = sen f + C d tg C cos = + d + arc tg = + C f cos + f ( f ) f d = tg f + C d = arctg f + C d = arc sen + C f ( f ) d = arcsen f + C A partir de esta tabla y utilizando las propiedades de linealidad de la integral se pueden calcular algunas integrales indefinidas. Ejemplo 5 (relativo a integrales que se resuelven aplicando la primera columna de la tabla anterior) a) b) c) 5 7 ( ) d = d + 5 d - 7 d + d= C = C d = d d + d = d d + d = + ln + C = + + ln + C d = d d = + C = + C = + C = + C d = d + d = + + C ln e 5sen + cos d = e d 5 send + cos d = e + 5cos + sen + C d) e) f) 5 d d d = -5 = arctg - 5 arcsen + C + + Proyecto de innovación ARAGÓN TRES

3 Ejemplo 6 (relativo a integrales que se resuelven aplicando la segunda columna de la tabla anterior) a) ( ) d, al ser la función integrando una potencia de base (-)veamos si se puede aplicar la igualdad de la tabla a+ a ( f ) dada por: ( f ) f d = + C con a = a + Para ello se necesita tener en la función integrando la derivada de la base que en este caso es -, por lo que se multiplica y divide por este número y aplicando la linealidad de la integral queda: ( ) ( ) ( ) d = ( ) d ( ) ( ) d = + C = + C 8 b) + ( ) ( ) ( ) d = d = d = d = + C = + C = + C d = ln C d d d = = = + + C c) e) En este caso, la función integrando se ha multiplicado y dividido por para tener la derivada del radicando y se ha multiplicado y dividido por para tener la derivada de la raíz. f) e d = e d = e ( ) d = e + C sen sen g) cos d = + C ln d d h) = 5 = + + C i) sen cos d = cos d = cos d = + C INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE Dada la integral f d, si consideramos como una función de otra variable, = g(t), entonces d = g'(t) dt, y sustituyendo en la integral inicial se obtiene f( g( t)) g'( t) dt. En el caso de que esta segunda integral sea más sencilla que la primera, se resuelve en la variable t y posteriormente se deshace el cambio de variable sustituyendo t en función de. En resumen, para realizar un cambio de variable en una integral se realizan los siguientes pasos:.- Se elige el cambio de variable que se quiere realizar indicando la epresión que relaciona la variable inicial con la nueva variable t..- Se calcula d en función de la variable t y dt..- Se sustituye en la integral la variable y d por las epresiones en la variable t y dt. La nueva integral obtenida solamente debe depender de t..- Se resuelve esta integral, obteniendo la solución en la variable t. 5.- Se deshace el cambio de variable, dando el resultado en la variable inicial. Ejemplo 7: a) d, esta integral no es inmediata ya que no se ajusta a ningún caso de la tabla. Para resolverla se hace el cambio de variable = t, elevando al cuadrado queda = t y despejando, Diferenciando la igualdad anterior se obtiene d = t dt. = t + Proyecto de innovación ARAGÓN TRES

4 Sustituyendo el cambio en la integral inicial y resolviendo la integral obtenida queda: t + t + t d = t dt = tdt ( t ) dt t dt dt t C = + = + = + + t t d = + + C Deshaciendo el cambio resulta e d b), para resolver esta integral se hace el cambio de variable e = t e + Diferenciando la igualdad anterior queda e dt dt d = dt, es decir, d = = e t Sustituyendo en la integral inicial y resolviendo se obtiene: e d t dt t t + = ln( ) = dt = dt = dt = dt dt = t t + + C e ( t + ) t t + t + t + + t + e d Deshaciendo el cambio de variable resulta: = e ln( e + ) + C e + Observación: Las integrales inmediatas generalizadas (segunda columna) también se pueden calcular mediante cambio de variable. Ejemplo 8: a) ( ) d, esta integral es inmediata como se ha comprobado en el ejemplo 6, pero también se puede resolver t = realizando el cambio de variable dt = d Sustituyendo en la integral inicial y resolviendo se obtiene: dt t ( ) d = t = t dt = + C = ( ) + C 8 cos d b), esta integral es inmediata y se puede resolver aplicando la tabla, ya que es fácil obtener en el numerador la sen derivada del radicando. También se puede resolver mediante el cambio de variable Sustituyendo en la integral inicial y resolviendo se obtiene: t = sen dt dt = cos d cos d = / / t cos d = dt = t dt = + C = t + C = ( sen ) + C sen t INTEGRACIÓN POR PARTES Sean u(), v() funciones derivables, teniendo en cuenta que la derivada del producto es: integrando queda: u v ' = u' v + u v' ( u v)' d = u ' v d + u v ' d, es decir, uv = u'( v ) d + uv ' d Despejando el último sumando se obtiene: u v ' d = u v - u ' v d Teniendo en cuenta que du= u () d y dv= v () d, en la práctica la fórmula de integración por partes se escribe: udv= uv vdu Proyecto de innovación ARAGÓN TRES

5 La epresión de integración por partes permite escribir una integral en función de otra, y será útil si ésta última es más sencilla que la inicial. Algunas veces es necesario emplear el método varias veces o bien combinarlo con otros métodos. Ejemplo 9: a) ( + ) e d Para resolver la integral, se consideran las siguientes partes: Aplicando la fórmula de integración por partes queda: u = + du = d de donde se obtiene dv = e d v = e b) ( + ) e d = ( + ) e e d = ( + ) e e + C ( 5)cosd u = 5 du = d Se consideran las siguientes partes: de donde se obtiene dv = cos d v = sen Aplicando la fórmula de integración por partes queda: = = ( 5)cos d ( 5)sen sen d ( 5)sen send Para resolver la integral u = du = d de donde se obtiene dv = sen d v = cos send, se aplica de nuevo el método de integración por partes: Por tanto, send = cos cos d = cos + sen + C Sustituyendo en la integral inicial se obtiene: c) ln d Para resolver la integral, se consideran las siguientes partes: Aplicando la fórmula de integración por partes queda: ( 5)cos d = ( 5)sen + cos sen + C du = d u = ln de donde se obtiene dv = d v = ln d = ln d = ln d + C = ln + C = ln + C 6 Observación: a En general, las integrales del tipo P, sen, n e d P n a d P n cos a d siendo P n () un polinomio de grado n, se resuelven utilizando el método de integración por partes tomando u = P n (). Sin embargo, en las integrales del tipo P ln d, se toma u = ln n INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES Se denomina función racional a cualquier función de la forma: m P a0 + a + + am = siendo a Q n i,b j œ b + b + + b 0 En este apartado únicamente consideraremos funciones racionales en las que las raíces de Q() sean reales. Algunas funciones racionales se integran de forma inmediata; entre otras las fracciones simples A de la forma (a + b) n con n n Proyecto de innovación ARAGÓN TRES 5

6 Ejemplo 0: d a) = ln( 5) + C 5 b) ( ) ( ) ( ) + d = + d = + C = + C + + c) d) e) ( ) 5 d = ln( 5 ) + C 5 d d d = = = ln( + ) + C ( + ) ( ) d = 7 + d = + d = + C = + C + P Si la integral d Q Caso I: Si grado P ( ) ( ) no es inmediata, se procede de la siguiente forma: grado Q se realiza la división de los polinomios Sea C ( ) el cociente de la división y R( ) el resto, se cumple que: grado R Por tanto, < grado Q P = + Q R d C d d Q La integral C d es inmediata y la integral resolver como se indica en el caso II. P R = C + Q Q con R d en caso de que no sea inmediata, se puede Q Ejemplo : + a) d, como el grado del polinomio del numerador no es menor que el del denominador, se realiza la división: Por tanto, = + / + Integrando se obtiene d = d + d = + ln( ) + C + b) d, como el grado del polinomio del numerador es mayor que el del denominador, se realiza la división: / Por tanto, + 5 = Integrando se obtiene d = + + d = ln( ) + C grado P grado Q Caso II: Si P Q < se factoriza Q() (Ver Unidad didáctica ) para descomponer en suma de fracciones simples de la siguiente forma: - Por cada raíz real simple a, se considera una fracción del tipo A a constante real a determinar. donde A es una Proyecto de innovación ARAGÓN TRES 6

7 - Por cada raíz real múltiple a de multiplicidad r, se cosideran las r fracciones siguientes A ( a) A r..., ( a ) r donde A, A,..., A r son constantes reales a determinar. Para determinar las constantes anteriores, se iguala el cociente P Q P simples consideradas. Una vez determinadas, la resolución de la integral Q de las integrales de las fracciones simples, aplicando la propiedad de linealidad. A, a a la suma de las fracciones se reduce al cálculo Ejemplo : + a) d, como el grado del polinomio del denominador es mayor que el del numerador, en este caso no hay que realizar la división. Se calculan las raíces del denominador para factorizarlo: 5± 5 5± = 0, = = =, por tanto, = ( )( ) Se descompone como suma de fracciones simples + A B A( ) + B( ) = + = ( )( ) Para determinar las constantes A y B, al ser iguales los denominadores se igualan los numeradores: + = A( ) + B( ) y en esta igualdad se dan dos valores a la variable (preferentemente los valores de las raíces de Q() por simplicidad en los = = A A = cálculos): = = B Por tanto, la integral inicial queda: + d = d + d = ln( ) + ln( ) + C b) = d + ( ) Se descompone el cociente de polinomios como suma de fracciones simples teniendo en cuenta que es raíz doble del polinomio del denominador: A B A( ) + B = = B = + = = A( ) + B ; ( ) ( ) ( ) = 0 0 = A + B A = B = Por tanto, la integral inicial queda: ( ) = ln( ) ( ) ln( ) ln( ) d + d = + d = + + C = + C + ( ) c) + d, factorizando el polinomio del denominador queda + = ( + ) Teniendo en cuenta que =0 es una raíz doble y =- es simple, la descomposición en fracciones simples de A B C A( + ) + B( + ) + C = + + = = A( + ) + B( + ) + C + + ( + ) + es Dando valores a la variable obtenemos un sistema de ecuaciones cuyas soluciones son las constantes a determinar: Proyecto de innovación ARAGÓN TRES 7

8 = 0 = B B = = = C( ) C = 8 = = A + B + C A = B + C = + = A = Por tanto, la integral inicial queda: B d = d + d + d = ln + + ln( + ) + C = ln + ln( + ) + C d) d 5 Se calculan las raíces del denominador para factorizarlo: ± + 0 ± 9 5 = 0, = = =, por tanto, 5 = 5( ) ( ) = Se descompone 5 como suma de fracciones simples A B A(5 + ) + B( ) = + = ( )(5 + ) Para determinar las constantes A y B, al ser iguales los denominadores se igualan los numeradores: = A(5 + ) + B( ) Dando dos valores a la variable : = = 9A A = = = B B = Por tanto, la integral inicial queda: d d d 5 d d 5d = = + = = ln( ) ln(5 + ) + C 5 ( )(5 + ) A B Observación: En este ejercicio se ha considerado la descomposición en fracciones simples = A B lugar de = + para que sea más sencillo el cálculo de las constantes en Proyecto de innovación ARAGÓN TRES 8