TEMA 5: INTEGRACIÓN. f(x) dx.

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1 TEMA 5: INTEGRACIÓN. L integrl indefinid En muchos spectos, l operción llmd integrción que vmos estudir quí es l operción invers l derivción. Definición.. L función F es un ntiderivd (o primitiv) de l función f en el intervlo I si F () =f() pr todo I. Por lo que mbs F () = 3 +6yF () = 3 son ntiderivds de f() =3 en culquier intervlo. Teorem.. Si F y F son dos ntiderivds rbitrris de f en I, entonces F () F () =const. en I. Demostrción. Por definición de ntiderivd F = F = f en I, por lo que (F F ) () = pr todo I. Puesto que un función con derivd nul en un intervlo es un función constnte, tenemos que F () F () = const. Corolrio.3. Si F es un de ls ntiderivds de f en I, yg es otr ntiderivd de l función f en I entonces G tiene l form G() =F ()+C, dondec es un constnte. Definición.4. El conjunto de tods ls ntiderivds de l función f en el intervlo I es llmdo l integrl indefinid de f en I, y es denotdo por f() d. Observemos que por el Corolrio.3, f() d = F () +C, donde F es un de ls ntiderivds de f en I, yc es un constnte rbitrri. A menudo el símbolo f() d denot no el conjunto de tods ls ntiderivds sino culquier de ells... Propieddes de l Integrl Indefinid.. F () d = F ()+C;. Sen f,g funciones culesquier y, b constntes, (f()+bg()) d = f() d+ b g() d... Regls básics de Integrción.. d = C;. d = + C; 3. d = C ( ); d 4. =ln + C ( ); 5. d = + C ( < ), ln e d = e + C;

2 TEMA 5: INTEGRACIÓN 6. sin d= cos + C; 7. cos d=sin + C; 8. cos d = tn + C ( d 9. = rcsin + C d. = rctn + C. + π + kπ, k entero); ( <<);.3. Integrción con Cmbio de Vrible. A veces l tre de encontrr l integrl f() d se simplific trvés de un cmbio de vrible = ϕ(t). L fórmul de cmbio de vrible en un integrl indefinid es f() d = =ϕ(t) Ejemplo.5. Hllr tn d. f(ϕ(t))ϕ (t) dt. Solución: Se t = cos. Entonces dt = sin d. Así, por l fórmul de cmbio de vrible sin dt tn d= cos d = = ln t + C = ln cos + C. t Ejemplo.6. Hllr d. Solución: Se t =. Entonces dt =d. Por lo que, tdt= d = t / dt = t 3/ 3/ + C = 3 t3/ + C = 3 ( )3/ + C. Ejemplo.7. Hllr d. Solución: Se t =. Entonces dt =d. Además, =(+t)/. Aplicndo l fórmul de cmbio de vrible, tenemos d = ( + t)t / dt = ( ) t / + t 3/ dt = t 3/ / + t5/ + C 5/ = 3 ( )3/ + 5 ( )3/ + C. ln Ejemplo.8. Hllr d. Solución: Se t =ln. Entonces dt = d/ y ln d = tdt= t + C = (ln ) + C.

3 Ejemplo.9. Hllr e d. TEMA 5: INTEGRACIÓN 3 Solución: Se t =. Entonces dt =d y e d = e t dt = e t + C = e + C..4. Integrción por prtes. Pr funciones derivbles u y v tenemos que (uv) = uv + vu. Tomndo integrles y ddo que (uv) () d = u()v(), tenemos u()v () d = u()v() v()u () d. Est relción es conocid como l fórmul de integrción por prtes. Usndo ls identificciones u () d = du y v () d = dv podemos escribir est fórmul como udv = uv vdu. Ejemplo.. Hllr e d. Solución: Se u = y dv = e d. Entonces du = d y v = e. Por lo que e d = e e d = e ( ) + C. Ejemplo.. Hllr ln d. Solución: Se u =ln y dv = d. Observemos que du = d/ y v = 3 /3. Entonces, usndo l fórmul de integrción por prtes, tenemos ( ) 3 ( ) 3 3 ln d=ln d =ln ( ) 3 d =ln C. Ejemplo.. Hllr rctn d. Solución: Se u = rctn y dv = d. Entonces du = d/( + )yv =. Por lo que rctn d= rctn + d. Ahor, observemos que usndo el cmbio de vrible t = tenemos dt =d,deeste modo + d = +t dt = ln +t + C = ln ( + )+C. Conectndo este vlor l epresión nterior, obtenemos finlmente que rctn d= rctn ln ( + )+C.

4 4 TEMA 5: INTEGRACIÓN Ejemplo.3. Hllr sin d. Solución: Se u = y dv =sind. Entonces du =d y v = cos. Así sin d= cos + cos d. Aplicndo de nuevo l integrción por prtes l segund integrl, u = y dv = cos d tenemos que du = d y v =sin, por lo que cos d= sin sin d= sin + cos + C. Conectndo este vlor l epresión nterior, obtenemos finlmente que sin d= cos + sin + cos + C..5. Integrción de Funciones Rcionles. Un función rcionl es de l form P n() Q m (), donde P n y Q m son plinomios de grdo n y m, respectivmente. Si n m l frcción es impropi y puede ser representd por P n () Q m () = P n m()+ R k() Q m (), donde el grdo del polinomio R k es k < m. Por lo que l integrción de un frcción impropi puede ser reducid l integrción de un frcción propi Pn () Q m () d = Rk () P n m () d + Q m () d. Ejemplo d = + Puesto que l división de los polinomios es Así Teorem.5. Supongmos que P n() Q m () ( + ) d = d, d = + ( + ) rctn + C. es un frcción propi (n <m) y que Q m () =( )( b) ( d). Entonces eisten constntes A, B,..., D tl que P n () Q m () = A + B b + + D d.

5 TEMA 5: INTEGRACIÓN 5 Un consecuenci importnte es que pr un frcción propi que stisfce l condición del teorem, tenemos Pn () Q m () d = A d + B D d + + b d d = A ln + B ln b + + D ln d + C. Ejemplo.6. Hllr 5 +6 d. Solución: Notemos que 5 +6=( 3)( ). Entonces ( 3)( ) = A 3 + B A( ) + B( 3) =. ( 3)( ) donde = A( ) + B( 3) es llmd ecución básic. Pr hllr los vlores de A y B hcemos = en l ecución básic y obtenemos que = B, por tnto, B = y hciendo = 3 obtenemos A =. De quí que d =ln 3 ln + C L Integrl Definid Definición.. L integrl definid de un función continu no-negtiv f en el intervlo I =[, b] es el áre, A, de l región limitd por l gráfic de f, eleje, y ls rects verticles = y = b. L integrl definid viene dd por b Ejemplo.. Si f() =, entonces f() d = A. f() d =/, puesto que l región bjo l gráfic de f, limitd por =, = es el triángulo rectángulo con áre /. Definición.3. L integrl definid de un función continu no-positiv f en el intervlo I =[, b] es el áre de l región limitd por l gráfic de f, eleje, y ls rects verticles =, = b. Por lo que, b f() d = A. Es sencillo definir l integrl definid de un función que cmbi de signo en el intervlo [, b]. A modo de ejemplo, supongmos que f es continu en [, b] y stisfce f en[, c], f en[c, b]. Entonces l integrl definid de f en [, b] es l diferenci de ls áres b f() d = A [,c] A [c,b] = c f() d b c ( f)() d = Situciones más complejs pueden ser trtds de mner similr. Ejemplo.4 (Ejemplo., continución). Si f() =, entonces que sbemos que f() d =/ y c f() d + b c f() d (ver Propiedd (4) bjo). f() d =, y ( f)() d = /. Este último es debido que

6 6 TEMA 5: INTEGRACIÓN l región limitd por f entre =y = es de nuevo un triángulo rectángulo de áre /... Propieddes de l integrl definid. En lo que sigue f y g son funciones continus en [, b] yα, β R b b f() d = ; f() d = b f() d; αf()+βg() d = α 4. Pr culquier c [, b], b b 5. Si f() g() en[, b], entonces f() d + β f() d = b b c f() d g() d. f() d + b 3. Regl de Brrow b c g() d. f() d. En est sección mostrmos l coneión entre áres y ntiderivds. Definición 3.. Se l función f continu en el intervlo [, b]. L función F () = f(t) dt ( b) se dice que es un integrl con límite superior vrible. Teorem 3. (Teorem Fundmentl del Cálculo Integrl). Si l función f es continu en el intervlo [, b], entonces l función F () = Dicho de otr mner, el teorem estblece que ( f(t) dt) = f(). f(t) dt es un ntiderivd de f en [, b]. Teorem 3.3 (Regl de Brrow). Si l función f es continu en el intervlo [, b], entonces b donde G es un ntiderivd de f en [, b]. f() d = G(b) G(), Demostrción. Se G un ntiderivd rbitrri de f en [, b]. Entonces, por el Teorem., G F es constnte en [, b], ddo que F () = b f() d, es tmbién un ntiderivd de f. En consecuenci, G() F () =G(b) F (b), o G(b) G() =F (b) F () = b f() d f() d = L myorí de ls veces vmos escribir G(b) G() como G() b. b f() d.

7 TEMA 5: INTEGRACIÓN El áre de un región pln. Dd un función continu f, el áre de l región limitd por l curv y = f(), el eje OX y ls rects verticles = y = b es A = b f() d. Ejemplo 3.4 (Ejemplo.4, continución). El áre de l región limitd por y = en el intervlo [, ] es A = d = ( ) d + ( ) d = + =. Supongmos que un región pln está limitd por ls curvs continus y = f(), y = g(), b, donde g() f(), y ls rects verticles = y = b (ls rects pueden degenerr en un punto). Entonces el áre de l región es A = b (f() g()) d. Ejemplo 3.5. Hllr el áre de l región limitd por ls curvs y = 3, y = en el intervlo [, ]. Solución: Ls curvs se cortn en un punto. Resolviendo l ecución 3 =, encontrmos l bscis del punto, =. Por lo tnto un de ls curvs se mntiene por encim de l otr en todo el intervlo. Pr sber cuál de ls curvs está por encim, simplemente sustituímos en 3 + un vlor rbitrrio del intervlo; pr =/ tenemos que 3 + =/ =,375 >, sí 3 está por encim de en [, ]. El áre es A = 3 ( ) d = = ( ) = y= 3.5 y= Ejemplo 3.6. Hllr el áre de l región limitd por ls gráfics de ls funciones f() =, g() =.

8 8 TEMA 5: INTEGRACIÓN Solución: Ls gráfics de ls funciones se cortn en dos puntos. Resolviendo l ecución = encontrmos que los puntos de corte son =, =. Por tnto, un de ls curvs se mntiene por encim de l otr en el intervlo [, ]. De nuevo, pr sber cuál de ls gráfics está por encim, simplemente sustituímos en = un vlor rbitrrio del intervlo [, ]; pr = tenemos que = =>, de modo que está por encim de en [, ]. El áre es A = d= 3 3 ( = 3 ) ( ) = 9. 3 y= A y= 3 3

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