Fórmulas de Derivación. Fórmulas de Integración

Transcripción

1 Integrl Inefini A l operción e clclr l ntieriv (primitiv) e n fnción se le llm integrción se enot con el símbolo qe es l inicil e l plbr sm. Si F( es n fnción primitiv e f( se epres: f ( F( C si sólo si F' ( C f ( L epresión f( es l ntieriv e F(. es el signo e integrción, se lee integrl e f( F( C Integrno Diferencil e l vrible Vrible e integrción Fnción primitiv Constnte e integrción Si en l epresión = f( = F( + C, como señlmos en l efinición e ntieriv qe F ( = f(, sstitimos en l epresión nterior F ( = F( + C qe /[f(] = /[F( + C] f( = F (. f ( = F( C Como l erivción l integrción son operciones inverss, ello nos permite obtener ls fórmls e integrción irectmente e ls fórmls e erivción. Fórmls e Derivción. Fórmls e Integrción k 0 L eriv e n constnte respecto es cero k k k k C kf( kf'( kf( k f ( L eriv e n constnte por n fnción es igl l constnte por l eriv e l fnción

2 ( L eriv e n vrible con respecto sí mism es igl l ni De sm o iferenci f ( g( f '( g'( L eriv con respecto e l sm o iferenci e n número finito e fnciones es igl l sm o l iferenci e ss erivs. De potenci A prtir e qí consierremos como clqier fnción e l vrible n n n n n C n si n L ln C C con n L eriv e n fnción elev n eponente entero positivo es igl l procto el eponente ismini en no, por l erivción e l fnción. Trigonométrics sen C L eriv el seno e n fnción es el eno e l fnción mltiplico por l eriv e l fnción respecto C L eriv el eno e n fnción es igl menos el seno e l fnción, mltiplico por l eriv e l fnción con respecto tn sec sec tn C L eriv e l tngente e n fnción es igl l cro e l secnte e l fnción, mltiplic por l eriv e l fnción con respecto

3 cot csc csc cot C L eriv e l cotngente e n fnción es igl menos l ecnte cr e l fnción, mltiplic por l eriv e l fnción respecto sec sec tn sec tn sec C L eriv e l secnte e n fnción es igl l secnte e l fnción por l tngente e l fnción, mltiplic por l eriv e l fnción respecto tn Lsec C cot L C sec Lsec tn csc L csc cot C C Algns e ls fórmls e integrción cits peen estr mltiplics por n constnte. ( v) v v Ls erivs e n procto e os fnciones es igl l primer fnción por l eriv e l segn, más l segn fnción por l eriv e l primer. Se srá pr ecir el métoo e integrción por os prtes. Conceptos bási e l integrción L integrl e l sm e n número finito e fncione es igl l sm lgebric e ls integrles e ls fnciones f ( g( h( f ( g( h( L integrl el procto e n constnte por n fnción es igl l constnte por l integrl e l fnción. Si k es n constnte qe está como fctor en el integrno se pee poner como fctor integrl. kf ( k f ( L integrl e n fnción e n vrible elev n eponente es igl l fnción elev l eponente originl más no, too iviio entre el eponente originl más no n ( ( ( n con n n

4 Dentro el signo e integrción se peen conmtr los fctores el integrno Ejemplo: 3 3 ( ) ( ) Por ningún motivo se pee (scr) l vrible e integrción el signo e integrción Ejemplo: Este esrrollo no es correcto porqe slió l vrible e integrción fer signo e integrl En lgnos csos l integrción se fcilit si se efectún previmente ls operciones inics (proctos o cocientes e polinomios) Ejemplo: ( )( 3) ( 6 3) = ( 5 3) = = 3 C 3 Otrs integrles se peen resolver l smr restr l integrno n mism cnti Ejemplo: = ( 5) Pr s solción se procee en l form sigiente: el enominor, en l epresión ( 5) tommos el 5, mismo qe se sm se rest l nmeror; l integrl obteni se escompone en os integrles. ( 5 5) ( 5) ( 5) ( 5) 5 = ( 5) ( 5 = 5 ( 5) ( 5) ( 5) ( 5 ( = L( 5) 5 5 = L( 5) C 5 L 5 C 5 5)

5 .- rc rc.- tn rctn 3.- sec rc sec 4.- e e e

6 e C 5.- Ln Ln Ln C Ln ( Ln ) Integrción e n fnción compest Eisten vris técnics pr plicr n sstitción pero el propósito e tos es ientificr en el integrno n fnción qe este mltiplic por l iferencil e es fnción, il poer plicr n forml e integrción. En el métoo e sstitción, llmo tmbién cmbio e vrible, se escoge n literl. En nestro cso se eligió l, qe se igl l fnción qe incle el integrno, por ello es necesrio señlr qe est en fnción e l vrible e ich fnción. Ejemplos: Integrr (únicmente ientificr l fnción s iferencil).- sen 7 (7) sol. 7 es l fnción ( ( 7 s iferencil Señlmos: =7 ( = 7 ( = sol. 5 es l fnción

7 () () l iferencil (incomplet) Señlmos: = 5 ()= 5 ()= 5 Dección e fórml Como hemos estio l sstitción por cmbio e vrible, poemos plicrl pr ecir ls formls e erivción e l tn, cot, sec, csc...- Pr tn Demostrmos en trigonometrí qe: Tn = sen De one tn = se = (= (= -sen Mltiplicmos por (-) os veces en el integrno sstiteno = -(-sen ) Cos = - Integrno = - L ()+ C Con el vlor e, qe =-L ( + C Aemás: -L ( = - ln Sec = -(ln ln sec = -(ln+ln sec

8 Como -L () = Se tiene qe -L ( = L sec Por lo tnto, tn = L sec + C. Pr cot Demostrmos en trigonometrí qe Cot = sen De one cot = sen = sen ( = sen (= Sstitimos: = Integrmos = L ()+ C Con el vlor e, qe = L (sen +C Por lo tnto, cot = L sen +C.3 Pr sec mltiplicmos iviimos el integrno por (Sen + tn

9 sec = sec ( sec +tn Sec +tn = (sec +sec tn Sec + tn = sec + tn (= sec + tn (= (sec tn + sec Sstitimos = Integrmos =L () +C Con el vlor e, qe = L (sec +tn +C Por lo tnto, sec =L sec +tn +C.4.- Pr csc se clcl en form semejnte l sec. Mltiplicmos iviimos el integrno por (csc - cot csc = csc (csc-cot Csc -cot = (csc - csc cot Csc -cot = csc -cot (=csc -cot (= csc -csc cot sstiteno = integrno = L ()+C =l(csc cot+c

10 Por lo tnto, csc = L csc cot +C