UNIDAD II. INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN. Tema: TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
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- Óscar Escobar Gil
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1 UNIDAD II. INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Tema: TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
2 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN En matemáticas, cada tipo de problema sugiere un tipo de solución. Para calcular la derivada de una función, en general, el problema es muy sencillo, pues solamente se requiere que identifiquemos el tipo de función para saber qué regla (fórmula) se va a utilizar para derivarla. Sin embargo, en cálculo integral se trata de otra historia completamente diferente. Cuando se quiere calcular una integral no siempre existe una fórmula con la que se pueda calcular la integral inmediatamente. Debido a esto se han creado algunos métodos para calcular las integrales de funciones que aparecen frecuentemente. De estos métodos, los más frecuentemente usados son: Cambio de variable Integración por partes Integración de potencias trigonométricas Sustitución trigonométrica Fracciones parciales Se van a considerar solamente estos métodos para iniciar. En el arte de la integración de funciones. CAMBIO DE VARIABLE Algunas veces para poder integrar una función conviene utilizar un cambio de variable. Este método tiene su justificación en la regla de la cadena que utilizamos en Cálculo diferencial: En palabras, si tenemos una función compuesta que queremos integrar, debemos verificar que la diferencial incluye a la derivada de la función u(x) para que podamos integrar. Observa que el término u (x) solamente sirve para completar la diferencial. No es parte de la función f que vamos a integrar, de manera que no aparece en el resultado final. Sin embargo, no debes olvidar verificar que este término se encuentre en el integrando como un
3 factor, de otra manera, la integral estará incorrecta. Calcular la siguiente integral indefinida: Se empieza definiendo: u(x) = 5 x 7, de donde: u (x) = 5. Sustituyendo estos valores en la integral: Obtenemos: Observa que se ha completado la diferencial multiplicando por 5/5 en el integrando. Ahora solamente se aplica la regla (iv) de integración, y se obtiene: En otros casos se tiene que simplificar algebraicamente el integrando para que podamos ver la forma dada en la regla para integrar usando el método de cambio de variable. Calcular la integral : Factorizando el término común, se puede representar esta integral como: Ahora se define: Entonces, la diferencial está completa y se puede integrar haciendo el cambio de variable como se acaba de definir: + c
4 INTEGRACIÓN POR PARTES Si se considera la regla para derivar el producto de dos funciones: Se puede despejar el primer término de la derecha de la igualdad y escribir: Usando el hecho de que la integración es el proceso inverso de la derivación, al integrar ambos lados de la igualdad obtenemos: Esta es la regla de integración por partes. La recomendación para no confundirte con las definiciones que hagas para el cálculo de la integral por partes es que elabores una tabla con los valores de u, du, dv y v. Cuando se tenga la tabla completa, sigue sustituir estos valores en la regla de integración por partes y después de calcular la integral, simplifica el resultado hasta donde sea posible. Calcula la integral indefinida: Dado que no tenemos una regla de integración inmediata para esta función, vamos a utilizar la regla de integración por partes. Empezamos definiendo: u = x du = dx dv = sin x dx v cos x Ahora se puede sustituir en la regla de integración por partes: = - x * cos x + sin x +c Calcula la integral indefinida: Definimos:
5 Entonces, al sustituir, obtenemos: INTEGRACIÓN POR FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Anteriormente se mencionaron las reglas para calcular integrales de funciones trigonométricas. Ahora se van a considerar productos de funciones trigonométricas y potencias. Para este tema se va a requerir el formulario de identidades trigonométricas. Ejemplo 1: Calcula la integral indefinida: Utilizamos la siguiente identidad: Así, nuestra integral se convierte en la siguiente: Ahora ya se puede calcular la primera integral. Para la segunda, hace falta completar la diferencial Calcula la siguiente integral indefinida: El integrando puede reescribirse como:
6 Ahora observa que si definimos: u(x) = tan x, entonces x Entonces, al hacer el cambio de variable, obtenemos: Para calcular la integral faltante, vamos a definir: v = cos x. Entonces, dv = sin x dx. Así, se puede aplicar la regla (v) de integración: INTEGRACIÓN POR FUNCIONES PARCIALES Cuando se debe calcular la integral de una función racional algunas veces se necesita transformar el integrando de la función de tal manera que obtengamos una que se pueda integrar Inmediatamente. Para eso se utiliza el método de fracciones parciales. En este tipo de integrales estudiaremos los dos casos más sencillos. Cuando el denominador tiene factores lineales. Cuando el denominador tiene factores cuadráticos.
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