UNIDAD II. INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN. Tema: TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "UNIDAD II. INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN. Tema: TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN"

Transcripción

1 UNIDAD II. INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Tema: TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN

2 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN En matemáticas, cada tipo de problema sugiere un tipo de solución. Para calcular la derivada de una función, en general, el problema es muy sencillo, pues solamente se requiere que identifiquemos el tipo de función para saber qué regla (fórmula) se va a utilizar para derivarla. Sin embargo, en cálculo integral se trata de otra historia completamente diferente. Cuando se quiere calcular una integral no siempre existe una fórmula con la que se pueda calcular la integral inmediatamente. Debido a esto se han creado algunos métodos para calcular las integrales de funciones que aparecen frecuentemente. De estos métodos, los más frecuentemente usados son: Cambio de variable Integración por partes Integración de potencias trigonométricas Sustitución trigonométrica Fracciones parciales Se van a considerar solamente estos métodos para iniciar. En el arte de la integración de funciones. CAMBIO DE VARIABLE Algunas veces para poder integrar una función conviene utilizar un cambio de variable. Este método tiene su justificación en la regla de la cadena que utilizamos en Cálculo diferencial: En palabras, si tenemos una función compuesta que queremos integrar, debemos verificar que la diferencial incluye a la derivada de la función u(x) para que podamos integrar. Observa que el término u (x) solamente sirve para completar la diferencial. No es parte de la función f que vamos a integrar, de manera que no aparece en el resultado final. Sin embargo, no debes olvidar verificar que este término se encuentre en el integrando como un

3 factor, de otra manera, la integral estará incorrecta. Calcular la siguiente integral indefinida: Se empieza definiendo: u(x) = 5 x 7, de donde: u (x) = 5. Sustituyendo estos valores en la integral: Obtenemos: Observa que se ha completado la diferencial multiplicando por 5/5 en el integrando. Ahora solamente se aplica la regla (iv) de integración, y se obtiene: En otros casos se tiene que simplificar algebraicamente el integrando para que podamos ver la forma dada en la regla para integrar usando el método de cambio de variable. Calcular la integral : Factorizando el término común, se puede representar esta integral como: Ahora se define: Entonces, la diferencial está completa y se puede integrar haciendo el cambio de variable como se acaba de definir: + c

4 INTEGRACIÓN POR PARTES Si se considera la regla para derivar el producto de dos funciones: Se puede despejar el primer término de la derecha de la igualdad y escribir: Usando el hecho de que la integración es el proceso inverso de la derivación, al integrar ambos lados de la igualdad obtenemos: Esta es la regla de integración por partes. La recomendación para no confundirte con las definiciones que hagas para el cálculo de la integral por partes es que elabores una tabla con los valores de u, du, dv y v. Cuando se tenga la tabla completa, sigue sustituir estos valores en la regla de integración por partes y después de calcular la integral, simplifica el resultado hasta donde sea posible. Calcula la integral indefinida: Dado que no tenemos una regla de integración inmediata para esta función, vamos a utilizar la regla de integración por partes. Empezamos definiendo: u = x du = dx dv = sin x dx v cos x Ahora se puede sustituir en la regla de integración por partes: = - x * cos x + sin x +c Calcula la integral indefinida: Definimos:

5 Entonces, al sustituir, obtenemos: INTEGRACIÓN POR FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Anteriormente se mencionaron las reglas para calcular integrales de funciones trigonométricas. Ahora se van a considerar productos de funciones trigonométricas y potencias. Para este tema se va a requerir el formulario de identidades trigonométricas. Ejemplo 1: Calcula la integral indefinida: Utilizamos la siguiente identidad: Así, nuestra integral se convierte en la siguiente: Ahora ya se puede calcular la primera integral. Para la segunda, hace falta completar la diferencial Calcula la siguiente integral indefinida: El integrando puede reescribirse como:

6 Ahora observa que si definimos: u(x) = tan x, entonces x Entonces, al hacer el cambio de variable, obtenemos: Para calcular la integral faltante, vamos a definir: v = cos x. Entonces, dv = sin x dx. Así, se puede aplicar la regla (v) de integración: INTEGRACIÓN POR FUNCIONES PARCIALES Cuando se debe calcular la integral de una función racional algunas veces se necesita transformar el integrando de la función de tal manera que obtengamos una que se pueda integrar Inmediatamente. Para eso se utiliza el método de fracciones parciales. En este tipo de integrales estudiaremos los dos casos más sencillos. Cuando el denominador tiene factores lineales. Cuando el denominador tiene factores cuadráticos.

Técnicas de integración. Cambio de variable

Técnicas de integración. Cambio de variable Técnicas de integración En matemáticas, cada tipo de problema sugiere un tipo de solución. Para calcular la derivada de una función, en general, el problema es muy sencillo, pues solamente se requiere

Más detalles

Integración de funciones trigonométricas

Integración de funciones trigonométricas Integración de funciones trigonométricas Ya vimos las reglas para calcular integrales de funciones trigonométricas. Ahora vamos a considerar productos de funciones trigonométricas y potencias. Para este

Más detalles

Guía de Ejercicios: Métodos de Integración

Guía de Ejercicios: Métodos de Integración Guía de Ejercicios: Métodos de Integración Área Matemática Resultados de aprendizaje Resolver integrales usando diferentes métodos de integración Contenidos 1. Método de sustitución simple 2. Método de

Más detalles

1 Repaso. Cálculo I. 1 o Matemáticas. Curso 2002/2003. Cálculo de Primitivas. (5x 6) f(x) 1 2 f (x) dx, que es inmediata: + 1 x 1

1 Repaso. Cálculo I. 1 o Matemáticas. Curso 2002/2003. Cálculo de Primitivas. (5x 6) f(x) 1 2 f (x) dx, que es inmediata: + 1 x 1 Cálculo I. o Matemáticas. Curso /. Cálculo de Primitivas Repaso (5 6) d = 5 (5 6) 5 d = 5 (5 6) + C. Nota: Si f() = 5 6 su derivada es 5. En la primera igualdad multiplicamos y dividimos por 5. Así tenemos

Más detalles

1. Algunas primitivas inmediatas (o casi inmediatas).

1. Algunas primitivas inmediatas (o casi inmediatas). Cálculo I. o Matemáticas. Curso 00/0. Cálculo de Primitivas. Algunas primitivas inmediatas (o casi inmediatas). (5x 6) = 5 (5x 6) 5 = 5 (5x 6) + C. Nota: Si f(x) = 5x 6 su derivada es 5. En la primera

Más detalles

Integral indefinida. Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.

Integral indefinida. Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función. Integral indefinida 1. Integración Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x). Se dice, entonces,

Más detalles

Integral indefinida de funciones algebraicas

Integral indefinida de funciones algebraicas Integral indefinida de funciones algebraicas En esta sección vamos a empezar a practicar el cálculo de integrales indefinidas de funciones. ( 1) d Ejemplo 1 Empezamos aplicando la regla (i) para separar

Más detalles

Denominadores con factores lineales

Denominadores con factores lineales Denominadores con factores lineales uando al sumar dos fracciones algebraica obtenemos una nueva fracción con denominador que se puede factorizar hasta tener factores lineales, significa que los denominadores

Más detalles

MATEMÁTICAS VI. CÁLCULO INTEGRAL UNIDAD II MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

MATEMÁTICAS VI. CÁLCULO INTEGRAL UNIDAD II MÉTODOS DE INTEGRACIÓN MÉTODOS DE INTEGRACIÓN UNIDAD II MÉTODOS DE INTEGRACIÓN No todas las funciones en un integrando se pueden resolver mediante reglas inmediatas de integración, y requieren ser tratadas con técnicas especiales.

Más detalles

ACTIVIDAD 4.0 DEL PARCIAL 2

ACTIVIDAD 4.0 DEL PARCIAL 2 CECTEM ACTIVIDAD 4.0 DEL PARCIAL 2 En esta actividad trabajaremos con las integrales por partes, para lo cual definiremos u y dv, la u se derivara y la dv se integrara, para lo cual se utilizara la siguiente

Más detalles

El cálculo integral fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow.

El cálculo integral fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. INTRODUCCION El cálculo integral fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de

Más detalles

Unidad II. Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en unaconstante.

Unidad II. Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en unaconstante. Unidad II Integral indefinida y métodos de integración. 2.1 Definición de integral indefinida. Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones

Más detalles

Reglas del producto y del cociente

Reglas del producto y del cociente Reglas del producto y del cociente Al igual que la regla de la potencia, ya calculamos las fórmulas para calcular la derivada de un producto de dos funciones en la página?? y del cociente de dos funciones

Más detalles

Área La integral definida Propiedades de la integral definida Teorema del valor medio para la integral definida Teoremas fundamentales del cálculo Aplicaciones de la integral definida: Área de una región

Más detalles

1. Para la función f(x) = x sen x, halle su polinomio de Taylor de orden 2 en a = 0. x x3 3!, x x3

1. Para la función f(x) = x sen x, halle su polinomio de Taylor de orden 2 en a = 0. x x3 3!, x x3 Cálculo I (Grado en Ingeniería Informática) Problemas resueltos, - y -4 (tercera parte) Preparado por los profesores de la asignatura: Pablo Fernández, Dragan Vukotić (coordinadores), Luis Guijarro, Kazaros

Más detalles

La integral indefinida. Formulas y ejemplos Autor: jose maria guzman perez

La integral indefinida. Formulas y ejemplos Autor: jose maria guzman perez La integral indefinida. Formulas y ejemplos Autor: jose maria guzman perez 1 Presentación del curso En el siguiente curso que te presentamos a continuación tendrás la posibilidad de tener una guía sobre

Más detalles

INTEGRACIÓN INDEFINIDA

INTEGRACIÓN INDEFINIDA 1. PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN Definición: Sean F(x) y f(x) dos funciones reales definidas en un mismo dominio D. Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva de f(x) si se cumple quef'(x) = f(x), x. Dicho

Más detalles

Integración por fracciones parciales

Integración por fracciones parciales Integración por fracciones parciales El cociente de dos polinomios se denomina función racional. La derivación de una función racional conduce a una nueva función racional que puede obtenerse por la regla

Más detalles

CAPITULO 5. Integral Indefinida. Licda. Elsie Hernández Saborío. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática

CAPITULO 5. Integral Indefinida. Licda. Elsie Hernández Saborío. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática CAPITULO 5 Integral Indefinida 1 Licda. Elsie Hernández Saborío Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Revista digital Matemática, educación e internet (www.cidse.itcr.ac.cr) Créditos

Más detalles

Método de integración por fracciones parciales

Método de integración por fracciones parciales Método de integración por fracciones parciales Temas Fracciones parciales. Método de integración por fracciones parciales. Capacidades Descomponer una fracción en suma de fracciones parciales. Conocer

Más detalles

Unidad 5 - Trabajo Práctico 5 Parte 1 Elementos de Matemática

Unidad 5 - Trabajo Práctico 5 Parte 1 Elementos de Matemática 06 Unidad 5 - Trabajo Práctico 5 Parte Unidad 5 Integral indefinida. Primitivas inmediatas. Uso de tablas de integrales. Integración por descomposición, por sustitución y por partes. Integral definida:

Más detalles

UNIDAD DE APRENDIZAJE II

UNIDAD DE APRENDIZAJE II UNIDAD DE APRENDIZAJE II Saberes procedimentales 1. Interpreta adecuadamente la relación de dependencia que se establece entre dos variables, así como la razón de cambio entre sus valores. 2. Define en

Más detalles

Fundamentos matemáticos. Tema 8 Ecuaciones diferenciales

Fundamentos matemáticos. Tema 8 Ecuaciones diferenciales Grado en Ingeniería agrícola y del medio rural Tema 8 José Barrios García Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna jbarrios@ull.es 2016 Licencia Creative Commons 4.0 Internacional J.

Más detalles

Int. indefinida de funciones exponenciales

Int. indefinida de funciones exponenciales Int. indefinida de funciones exponenciales Ahora vamos a calcular integrales indefinidas de funciones exponenciales de la forma: y = e v y y = a v Para este fin, vamos a estar utilizando las reglas de

Más detalles

Ejercicios Departamental de marzo del 2016

Ejercicios Departamental de marzo del 2016 Ejercicios Departamental 06 Ciro Fabián Bermúez Márquez 7 de marzo del 06 El siguiente documento tiene la finalidad de revisar los ejercicios del eamen departamental de cálculo integral que se llevo acabo

Más detalles

UNIVERSIDAD ARTURO PRAT IQUIQUE CHILE DEPARTAMENTO DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS INTEGRALES

UNIVERSIDAD ARTURO PRAT IQUIQUE CHILE DEPARTAMENTO DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS INTEGRALES DEPARTAMENTO DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS INTEGRALES MARIA ELISA VODNIZZA LIRA e-mail : mvodnizz@cec.unap.cl url : www.unap.cl/~mvodnizz SEPTIEMBRE - 00 INTEGRALES Uno de los problemas importantes

Más detalles

GUÍA: INTEGRALES. Página 1 de 27

GUÍA: INTEGRALES. Página 1 de 27 GUÍA: INTEGRALES Área de EET Página de 7 Derechos Reservados Titular del Derecho: INACAP N de inscripción en el Registro de Propiedad Intelectual #. de fecha - -. INACAP 00. Página de 7 . INTEGRALES. La

Más detalles

Ejemplo 1 Resolver y factorizar la siguiente ecuación =0

Ejemplo 1 Resolver y factorizar la siguiente ecuación =0 Ejemplo 1 Resolver y factorizar la siguiente ecuación. + 4 4=0 Es una ecuación de tercer grado. Para resolver estas ecuaciones (que tienen un grado mayor de 2) tenemos que usar el método de Ruffini. El

Más detalles

INTEGRACION POR PARTES

INTEGRACION POR PARTES INTEGRACION POR PARTES Se basa en la regla de derivación del producto de dos funciones derivables en un dominio común. Sean u(x)y v(x) común. Entonces: dos funciones derivables en un dominio udv = uv vdu

Más detalles

Métodos de integración

Métodos de integración Integración por partes Métodos de integración De la derivada del producto de dos funciones obtenemos la fórmula de la derivación por partes. (uu. vv) = uu vv + uu vv que se puede escribir dd(uu. vv) =

Más detalles

Cálculo de Primitivas

Cálculo de Primitivas . Primitivas de una función Sea I un intervalo y f : I IR. Se dice que f tiene tiene una primitiva en I si existe una función G : I IR, continua en I, derivable en el interior de I y verificando que G

Más detalles

Límites de funciones

Límites de funciones Límites de funciones Gracias a las propiedades de los límites podemos resolver problemas de una manera más sencilla. Límites de funciones polinomiales y racionales 2 + 2 2 4 Ejemplo Sin el apoyo de las

Más detalles

ANÁLISIS MATEMÁTICO IES A SANGRIÑA 2016/2017

ANÁLISIS MATEMÁTICO IES A SANGRIÑA 2016/2017 ANÁLISIS MATEMÁTICO 4. INTEGRACIÓN INDEFINIDA UN POCO DE HISTORIA El símbolo de integración fue introducido por el matemático alemán Gottfried Leibniz en 1675, basándose en la palabra latina summa, suma,

Más detalles

Unidad Temática Cálculo de primitivas

Unidad Temática Cálculo de primitivas Unidad Temática 5 5.1 Análisis Matemático (Ingeniería Informática) Departamento de Matemática Aplicada Facultad de Informática Universidad Politécnica de Valencia Contenidos 1 Integración Primitiva Integración

Más detalles

Integral. F es primitiva de f F (x) = f(x)

Integral. F es primitiva de f F (x) = f(x) o Bachillerato, Matemáticas II. Integración. Integrales indefinidas. Métodos de integración. Primitiva de una función. Integral indefinida. Sean f y F dos funciones reales definidas en un mismo dominio.

Más detalles

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES. Unidad didáctica 8. Introducción a la integración INTEGRAL INDEFINIDA

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES. Unidad didáctica 8. Introducción a la integración INTEGRAL INDEFINIDA INTEGRAL INDEFINIDA CONCEPTOS BÁSICOS: PRIMITIVA E INTEGRAL INDEFINIDA El cálculo de integrales indefinidas de una función es un proceso inverso del cálculo de derivadas ya que se trata de encontrar una

Más detalles

1. PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN 2. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA 3. INTEGRALES INMEDIATAS Ejemplos de integrales inmediatas tipo potencia

1. PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN 2. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA 3. INTEGRALES INMEDIATAS Ejemplos de integrales inmediatas tipo potencia Cálculo de primitivas MATEMÁTICAS II. PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA. INTEGRALES INMEDIATAS.. Ejemplos de integrales inmediatas tipo potencia.. Ejemplos de integrales inmediatas

Más detalles

Repaso de integración

Repaso de integración TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS Repaso de integración. Tabla de integrales inmediatas n d = n+ + C, si n n + f() n f () d = f()n+ n + + C, si n d = ln + C f() f () d = ln f() + C e d = e + C e f() f ()

Más detalles

LECCIÓN 10: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN LINEALES

LECCIÓN 10: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN LINEALES 58 LECCIÓN 0: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN LINEALES JUSTIFICACIÓN: Las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden lineales comprenden una clase especial de las ecuaciones

Más detalles

La integral indefinida

La integral indefinida Apuntes Matemáticas º de bachillerato Leibniz Tema 7 La integral indefinida Matemáticas º de bachillerato 7. Introducción Def.: Dadas dos funciones, F() y f(), si se verifica que: F () f(), para un cierto

Más detalles

TEMA 2 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN

TEMA 2 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN TEMA ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN 8 INTRODUCCIÓN: Eisten algunos tipos elementales de ecuaciones diferenciales para los cuales se cuenta con procedimientos canónicos que permiten

Más detalles

8.5 Fracciones simples o parciales

8.5 Fracciones simples o parciales 554 CAPÍTULO 8 Técnicas de integración, regla de L Hôpital e integrales impropias 8.5 Fracciones simples o parciales Entender el concepto de una descomposición en fracciones simples o parciales. Usar la

Más detalles

Sesión del día 11 de Marzo del 2011 y tutoría del día 12 de Marzo del 2011

Sesión del día 11 de Marzo del 2011 y tutoría del día 12 de Marzo del 2011 Especialidad La enseñanza de las matemáticas en secundaria Grupo B: Celaya Sesión del día 11 de Marzo del 2011 y tutoría del día 12 de Marzo del 2011 Álgebra Resumen de la sesión anterior. Se añadió que

Más detalles

INTEGRACIÓN POR PARTES

INTEGRACIÓN POR PARTES INTEGRACIÓN POR PARTES Propósitos Reconocer que el método de integración por partes amplía las posibilidades de integrar productos de funciones y saber que se desprende de la derivada de un producto. Utilizar

Más detalles

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) de Laplace. (secc..) 5 Apéndice DI_UIV Más ejercicios de Solución de una ecuación diferencial lineal con condiciones iniciales por medio de la trasformada de Laplace (Secc..).[] Ejemplo DI. Teniendo encontrar

Más detalles

2 Métodos de solución de ED de primer orden

2 Métodos de solución de ED de primer orden CAPÍTULO Métodos de solución de ED de primer orden.4 Ecuaciones diferenciales de Bernoulli Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de la forma a 0.x/y 0 C a.x/y D f.x/y r ; con r 0; : se denomina

Más detalles

Cálculo I (Grado en Ingeniería Informática) Problemas adicionales resueltos

Cálculo I (Grado en Ingeniería Informática) Problemas adicionales resueltos Cálculo I (Grado en Ingeniería Informática) - Problemas adicionales resueltos Calcula el ĺımite lím ( n + n + n + ) n Racionalizando el numerador, obtenemos L lím ( n + n + n (n + n + ) (n + ) + ) lím

Más detalles

REPASO DE CÁLCULO I INTEGRAL. Repaso General sobre Métodos de Integración Indefinida Guía Complementaria No.03

REPASO DE CÁLCULO I INTEGRAL. Repaso General sobre Métodos de Integración Indefinida Guía Complementaria No.03 Cálculo II c/geometría Analítica (MAT0), Secc.6 er Trimestre, er Semestre 06; er Parcial Documento Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH6 REPASO DE CÁLCULO I INTEGRAL Repaso General sobre

Más detalles

4.2 Reducción de orden

4.2 Reducción de orden 4. educción de orden 87 Un conjunto de funciones f y ; y g que cumple con la condición anterior se llama un conjunto fundamental de soluciones. Es decir, un conjunto f y ; y g será un conjunto fundamental

Más detalles

LECCIÓN 11: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN REDUCIBLES A LINEAL

LECCIÓN 11: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN REDUCIBLES A LINEAL 86 LECCIÓN : ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN REDUCIBLES A LINEAL JUSTIFICACIÓN: Muchas ecuaciones diferenciales pueden ser reducidas a ecuaciones diferenciales lineales mediante un

Más detalles

Radicales y sus operaciones MATEMÁTICAS 2º CICLO E.S.O.

Radicales y sus operaciones MATEMÁTICAS 2º CICLO E.S.O. Radicales y sus operaciones MATEMÁTICAS º CICLO E.S.O. Objetivos: Simplificar radicales Efectuar operaciones de suma, resta, multiplicación y división con radicales Racionalizar parte de una fracción Notación:

Más detalles

S.E.L.: 3 ecuaciones con 3 incógnitas

S.E.L.: 3 ecuaciones con 3 incógnitas 1 S.E.L.: 3 ecuaciones con 3 incógnitas Ahora vamos a generalizar el procedimiento que hemos utilizado para resolver sistemas de una ecuación con una incógnita y de 2 ecuaciones con dos incógnitas. Para

Más detalles

1. CÁLCULO DE PRIMITIVAS

1. CÁLCULO DE PRIMITIVAS . CÁLCULO DE PRIMITIVAS. Calcular las siguientes integrales indefinidas:. ( + Es inmediata. ( = (ln ln + + C +. + + + Descomponemos el integrando en fracciones parciales y obtenemos. + + = + arc tg + =

Más detalles

Una ecuación puede tener ninguna, una o varias soluciones. Por ejemplo: 5x 9 = 1 es una ecuación con una incógnita con una solución, x = 2

Una ecuación puede tener ninguna, una o varias soluciones. Por ejemplo: 5x 9 = 1 es una ecuación con una incógnita con una solución, x = 2 Podemos definir a las ecuaciones como una igualdad entre expresiones algebraicas (encadenamiento de números y letras ligados por operaciones matemáticas diversas),en la que intervienen una o más letras,

Más detalles

ecuación quede de la forma y' + A(x) y = B(x) 2- Buscar el factor integrante, el cual depende solo de "x" y viene dado por

ecuación quede de la forma y' + A(x) y = B(x) 2- Buscar el factor integrante, el cual depende solo de x y viene dado por 76 por el factor integrante resulta donde µ () = e e dy + A () e y d = e B () d e dy + A () e y d = d ( e y) = d (µ () y) Abran sus guías en la página 6 y leamos la información que allí aparece acerca

Más detalles

TEMA 12.- CÁLCULO DE PRIMITIVAS

TEMA 12.- CÁLCULO DE PRIMITIVAS TEMA.- CÁLCULO DE PRIMITIVAS.-.- PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN Definición de Función Primitiva Una función F() se dice que es primitiva de otra función f() cuando F'() f() Ejemplos: F() es primitiva de f()

Más detalles

* e e Propiedades de la potenciación.

* e e Propiedades de la potenciación. ECUACIONES DIFERENCIALES 1 REPASO DE ALGUNOS CONCEPTOS PREVIOS AL ESTUDIO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 1. Cuando hablamos de una función en una variable escribíamos esta relación como y = f(x), esta

Más detalles

TÉCNICO SUPERIOR UNIVERSITARIO EN PROCESOS INDUSTRIALES ÁREA SISTEMAS DE GESTIÓN DE LA CALIDAD EN COMPETENCIAS PROFESIONALES

TÉCNICO SUPERIOR UNIVERSITARIO EN PROCESOS INDUSTRIALES ÁREA SISTEMAS DE GESTIÓN DE LA CALIDAD EN COMPETENCIAS PROFESIONALES TÉCNICO SUPERIOR UNIVERSITARIO EN PROCESOS INDUSTRIALES ÁREA SISTEMAS DE GESTIÓN DE LA CALIDAD EN COMPETENCIAS PROFESIONALES ASIGNATURA DE CÁLCULO INTEGRAL 1. Competencias Plantear y solucionar problemas

Más detalles

Tema 7. Factores de integración

Tema 7. Factores de integración Tema 7. Factores de integración 7. QUÉ ES UN FACTOR DE INTEGRACIÓN? En general, la ecuación diferencial (7.) M(,)d + N(,)d 0 no es eacta. Ocasionalmente, sin embargo, es posible transformar (7.) en una

Más detalles

TEMA 5: INTEGRAL INDEFINIDA.

TEMA 5: INTEGRAL INDEFINIDA. TEMA : INTEGRAL INDEFINIDA.. Primitivas: propiedades. Integral indefinida.. Integración por partes.. Integración de funciones racionales (denominador con raíces reales simples y múltiples, denominador

Más detalles

SESIÓN 11 DERIVACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS

SESIÓN 11 DERIVACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS SESIÓN 11 DERIVACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS I. CONTENIDOS: 1. Función inversa, conceptos y definiciones 2. Derivación de funciones trigonométricas inversas 3. Ejercicios resueltos 4. Estrategias

Más detalles

2 Unidad II: Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior

2 Unidad II: Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior ITESM, Campus Monterrey Departamento de Matemáticas MA-41: Ecuaciones Diferenciales Lectura # Profesor: Victor Segura Flores Unidad II: Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior.1 Ecuaciones Diferenciales

Más detalles

2.2 Ecuaciones diferenciales de variables separables

2.2 Ecuaciones diferenciales de variables separables 38 Ecuaciones diferenciales. Considerado a t como la variable independiente: s 0 ds dt s 3ts s 4 9ts.s/.s 3t/.s/.s3 9t/ s 3t s 3 9t ; excepto los puntos que están en la curva s 3 9t 0 en el eje t.s 0/.

Más detalles

CAPÍTULO 2. INTEGRALES: INTRODUCCIÓN Y PROPIEDADES 2.1. Introducción 2.2. Teorema 2.3. Propiedades 2.4. Ejemplos 2.5. Integración de una función

CAPÍTULO 2. INTEGRALES: INTRODUCCIÓN Y PROPIEDADES 2.1. Introducción 2.2. Teorema 2.3. Propiedades 2.4. Ejemplos 2.5. Integración de una función CAPÍTULO. INTEGRALES: INTRODUCCIÓN Y PROPIEDADES.. Introducción.. Teorema.. Propiedades.4. Ejemplos.. Integración de una función compuesta Capítulo Integrales: Introducción y propiedades ( f() g() ) (

Más detalles

Unidad IV. 4.1 Conceptos de incremento y de razón de cambio. La derivada de una función.

Unidad IV. 4.1 Conceptos de incremento y de razón de cambio. La derivada de una función. Unidad IV Derivadas 4.1 Conceptos de incremento y de razón de cambio. La derivada de una función. Derivada de una función en un punto. Dada la función f(x) continúa en el intervalo abierto I, se define

Más detalles

2.4 Ecuaciones diferenciales de Bernoulli

2.4 Ecuaciones diferenciales de Bernoulli .4 Ecuaciones diferenciales de Bernoulli 3 Ejercicios.3. Ecuaciones diferenciales lineales. Soluciones en la página 4 Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales.. y 0 C 00y D 0.. x 0 0x

Más detalles

1. Función primitiva e integral indefinida

1. Función primitiva e integral indefinida Entrenamiento Matemático Sesión 0 (4 -Octubre-00) Cálculo elemental de Primitivas GRUPO:. Función primitiva e integral indefinida Dada una función f: R-->R, se dice que una función derivable F es primitiva

Más detalles

Ejemplo 1: Representar las siguientes rectas. = 3 =2 2

Ejemplo 1: Representar las siguientes rectas. = 3 =2 2 Ejemplo 1: Representar las siguientes rectas. =3 =22 =2 Para definir una recta es necesario calcular al menos dos puntos de ella. Para calcular dichos puntos vamos a hacer una tabla de valores. Para hacer

Más detalles

1.9 Sustituciones diversas 49

1.9 Sustituciones diversas 49 1.9 Sustituciones diversas 49 1.9 Sustituciones diversas En ocasiones tenemos ecuaciones diferenciales que no corresponden a ninguna forma de ecuación conocida, donde, para resolverlas fácilmente recurrimos

Más detalles

Integral indefinida Matemáticas I 1 INTEGRAL INDEFINIDA. Cuando utilizamos la notación diferencial, teniendo en cuenta que

Integral indefinida Matemáticas I 1 INTEGRAL INDEFINIDA. Cuando utilizamos la notación diferencial, teniendo en cuenta que Primitiva. Integral indefinida INTEGRAL INDEFINIDA Sean f y F dos funciones reales definidas en un mismo dominio. La función F es una función primitiva de f, o simplemente primitiva de f, si F tiene por

Más detalles

Solución: a) Suprimiendo los factores comunes en numerador y denominador, resulta:

Solución: a) Suprimiendo los factores comunes en numerador y denominador, resulta: Simplifica las siguientes epresiones: 0y 8 y z 8( z + )( ) + Suprimiendo los factores comunes en numerador y denominador resulta: 5y z Sacando factor común en el denominador resulta: 8( + )( ) ( ) ( +

Más detalles

La derivada como razón de cambio instantánea

La derivada como razón de cambio instantánea La derivada como razón de cambio instantánea Observa que la razón de cambio instantánea es un límite: y(t + t) y(t) lim lim t 0 t t 0 t Cuando calculamos la razón de cambio promedio, geométricamente estamos

Más detalles

OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL ASOCIADA A UN HAZ DE CURVAS

OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL ASOCIADA A UN HAZ DE CURVAS 60 LECCIÓN 3: OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL ASOCIADA A UN HAZ DE CURVAS JUSTIFICACIÓN: En el curso de Análisis Matemático II, cuando se resuelven integrales indefinidas se obtienen primitivas o

Más detalles

MATEMÁTICAS 2º BACH CCyTECN INTEGRACIÓN INDEFINIDA. Profesor: Fernando Ureña Portero

MATEMÁTICAS 2º BACH CCyTECN INTEGRACIÓN INDEFINIDA. Profesor: Fernando Ureña Portero 1. PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN Definición: Sean F(x) y f(x) dos funciones reales definidas en un mismo dominio D. Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva de f(x) si se cumple que F'(x) = f(x), x. Dicho

Más detalles

Teoremas de los límites

Teoremas de los límites Teoremas de los límites Empezamos esta sección dando la definición de límite. Límite Sea y = f (x una función. Si podemos formar la sucesión x 1, x 2,, x n de valores de la variable x tales que cada uno

Más detalles

( )( x + 3) conseguimos 2x 2 +11x + 15, lo cual tiene más

( )( x + 3) conseguimos 2x 2 +11x + 15, lo cual tiene más Factorización de Expresiones Algebraicas Objetivos: Al terminar esta lección podrás expresar polinomios y otras expresiones algebraicas como el producto de otras expresiones más sencillas. Cuando multiplicamos

Más detalles

Integrales indenidas

Integrales indenidas Integrales indenidas Adriana G. Duarte 7 de agosto de 04 Resumen Antiderivación. Integrales indenidas, propiedades. Técnicas de integración: inmediatas,por sustitución, por partes. Ejemplos y ejercicios.

Más detalles

Examen de Selectividad Matemáticas JUNIO Andalucía OPCIÓN A

Examen de Selectividad Matemáticas JUNIO Andalucía OPCIÓN A Eámenes de Matemáticas de Selectividad ndalucía resueltos http://qui-mi.com/ Eamen de Selectividad Matemáticas JUNIO - ndalucía OPCIÓN. Sea f : R R definida por: f ( a b c. a [7 puntos] Halla a b y c para

Más detalles

1. Derivada de la función compuesta

1. Derivada de la función compuesta Cátedra de Matemática Matemática Facultad de Arquitectura Universidad de la República 213 Segundo semestre Ya nos hemos encontrado con la idea de que las propiedades del cálculo de integrales y del cálculo

Más detalles

duv = udv + vdu udv = uv vdu

duv = udv + vdu udv = uv vdu I. INTEGRACIÓN POR PARTES. Si la integración de una función no es posible encontrarla por alguna de las fórmulas conocidas, es posible que se pueda integrar utilizando el método conocido como integración

Más detalles

Integración por fracción parcial -Caso Lineal

Integración por fracción parcial -Caso Lineal * Método de integración por fracción parcial Caso lineal Recordemos que una función racional h es la forma: Px ( ) hx ( ) Qx ( ) Donde P(x) y Q(x) son polinomios y Q(x) no es el polinomio nulo.pues veremos

Más detalles

Guía de Ejercicios: Funciones

Guía de Ejercicios: Funciones Guía de Ejercicios: Funciones Área Matemática Resultados de aprendizaje Determinar dominio y recorrido de una función. Analizar funciones: inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Determinar la función

Más detalles

Cálculo de Derivadas

Cálculo de Derivadas Cálculo de Derivadas Sean a, b y k constantes (números reales) y consideremos a: u y v como funciones. Derivada de una constante Derivada de x Derivada de la función lineal Derivada de una potencia Derivada

Más detalles

CURSO CERO DE MATEMATICAS. Apuntes elaborados por Domingo Pestana Galván. y José Manuel Rodríguez García

CURSO CERO DE MATEMATICAS. Apuntes elaborados por Domingo Pestana Galván. y José Manuel Rodríguez García INGENIEROS INDUSTRIALES Y DE TELECOMUNICACIONES CURSO CERO DE MATEMATICAS Apuntes elaborados por Domingo Pestana Galván y José Manuel Rodríguez García UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Escuela Politécnica

Más detalles

Integrales que producen Funciones Trigonométricas Inversas

Integrales que producen Funciones Trigonométricas Inversas Integrales que procen Funciones Trigonométricas Inversas Veremos un grupo de funciones cuyas antiderivadas son funciones trigonométricas inversas. Para comenzar, recuerda que d (sen (x = x Si al derivar

Más detalles

FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE CONCEPTOS FUNDAMENTALES

FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE CONCEPTOS FUNDAMENTALES FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE Índice Presentación... 3 Conjunto de los números reales... 4 Los intervalos... 6 Las potencias... 7 Los polinomios... 8 La factorización de polinomios (I)... 9 La factorización

Más detalles

sobre un intervalo si para todo de se tiene que. Teorema 1 Sean y dos primitivas de la función en. Entonces,

sobre un intervalo si para todo de se tiene que. Teorema 1 Sean y dos primitivas de la función en. Entonces, Integral indefinida Primitiva e integral indefinida. Cálculo de primitivas: métodos de integración. Integración por cambio de variable e integración por partes. Integración de funciones racionales e irracionales.

Más detalles

CONTINUIDAD Y DERIVADA CONCEPTO DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓN. REGLAS DE DERIVACIÓN

CONTINUIDAD Y DERIVADA CONCEPTO DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓN. REGLAS DE DERIVACIÓN Índice Presentación... 3 Concepto de derivada de una función en un punto... 4 La derivada como un límite... 5 Derivada y continuidad. Funciones no derivables... 6 Función derivada. Reglas para derivar...

Más detalles

Las operaciones aritméticas básicas en MATLAB son las más sencillas que se pueden

Las operaciones aritméticas básicas en MATLAB son las más sencillas que se pueden CAPÍTULO 5 TEMAS 5.1 Aritmética 5.1.1 Variables y Operaciones Básicas Las operaciones aritméticas básicas en MATLAB son las más sencillas que se pueden realizar en este programa. Si asignamos valores a

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 5 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,

Más detalles

1.2 Definición de una ecuación diferencial

1.2 Definición de una ecuación diferencial 4 Ecuaciones diferenciales 4. Una parte importante del proceso de solución es tener presente ciertas condiciones, como la velocidad inicial la altura inicial del cuerpo en el ejemplo anterior, que quedarán

Más detalles

Soluciones de ecuaciones de primer orden

Soluciones de ecuaciones de primer orden GUIA 2 Soluciones de ecuaciones de primer orden Dada una ecuación diferencial, la primera pregunta que se presenta es cómo hallar sus soluciones? Por cerca de dos siglos (XVIII y XIX ) el esfuerzo de los

Más detalles

Contenidos de los preliminares

Contenidos de los preliminares Preliminares del tema Contenidos de los preliminares Propiedades de los logaritmos Un par de primitivas elementales Algunas ideas sobre la función arcotangente Funciones hiperbólicas Descomposición en

Más detalles

Curso Introductorio a las Matemáticas Universitarias

Curso Introductorio a las Matemáticas Universitarias Curso Introductorio a las Matemáticas Universitarias Tema 9: Integración Víctor M. Almeida Lozano Rosa M. Gómez Reñasco Licencia Creative Commons 03 9. INTEGRACIÓN Este tema es una introducción al cálculo

Más detalles

OLIMPIADAS COSTARRICENSES DE MATEMÁTICAS

OLIMPIADAS COSTARRICENSES DE MATEMÁTICAS OLIMPIADAS COSTARRICENSES DE MATEMÁTICAS UNA - UCR - TEC - UNED - MEP - MICITT Álgebra e iπ + φ φ 0 III Nivel I Eliminatoria Marzo 06 Índice. Presentación. Contenidos 3. Algunos consejos útiles 4. Problemas

Más detalles

LECCIÓN 8: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN EXACTAS

LECCIÓN 8: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN EXACTAS 195 LECCIÓN 8: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN EXACTAS JUSTIFICACIÓN En esta lección, basados en la teoría de diferenciales de funciones de dos variables, la cual involucra las derivadas

Más detalles

T0. TRANSFORMADAS DE LAPLACE

T0. TRANSFORMADAS DE LAPLACE ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA MATEMATICAS T0. TRANSFORMADAS DE LAPLACE Mediante transformadas de Laplace (por Pierre-Simon

Más detalles

Técnicas de Integración

Técnicas de Integración Técnicas de Integración Índice Capítulo único: Técnicas de Integración. Integración Directa....................................... Integración por Sustitución.................................. Integración

Más detalles

Los puntos comunes de una parábola con el eje X (recta y=o), si los hubiese, son las soluciones reales de la ecuación cuadrática.

Los puntos comunes de una parábola con el eje X (recta y=o), si los hubiese, son las soluciones reales de la ecuación cuadrática. Los puntos comunes de una parábola con el eje X (recta y=o), si los hubiese, son las soluciones reales de la ecuación cuadrática. Una ecuación de segundo grado, ecuación cuadrática o resolvente es una

Más detalles

ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO 7. UNIDAD 7 ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO Objetivo general. Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas que involucren la solución de ecuaciones de primer grado y de segundo grado

Más detalles