PRIMITIVA E INTEGRACIÓN INDEFINIDA

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1 TEMA CÁLCULO DE PRIMITIVAS. - PRIMITIVA E INTEGRACIÓN INDEFINIDA PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN f(): F() es un primitiv de f() si F () = f() Ejemplos: función: f() Primitiv: F() sen - cos Not: Un función tiene infinits primitivs e e / Ln Ejemplo: función: f() Primitiv: F() C INTEGRAL INDEFINIDA DE f() Llmmos integrl indefinid o simplemente integrl de f() l conjunto de tods sus primitivs y se denot: f ()d = F() + C t.q. F () = f() Ejemplos: [] d = + C [] sen d = - cos + C [] d = Ln + C OPERACIONES CON INTEGRALES (Se cumplen ls misms que en derivds) [] k.f ()d = k f () d [] ( f g) ()d = f ()d ± f.g ()d f ()d. f f ()d [] ()d g g()d ± g() d [] ( ) [ ][ g() d]

2 TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS NOTA: u y v representn epresiones que son funciones de PROPIEDADES BÁSICAS ku d = ku d ( u ± v) d = u d ± v d Integrción por prtes: Cmbio de vrible: u dv = uv v du f ( u) u' d = f ( t) dt, llmndo t = u() INTEGRALES INMEDIATAS Ejemplos Potenciles d = + C d = d = + C n+ n u u' u d = + C ( n ) d = + C n + ; ( + ) + d = + ( ) C u' d = u + C d = + + C u + Eponenciles y logrítmics u u u ' e d = e + C e d e + + = + C u 7 u 7 u' d = + C d = + C ln 7 ln u' d = ln u + C d C u = ln Trigonométrics u ' sen u d = cosu + C sen( + ) d = cos( + ) + C u ' cosu d = sen u + C cos( ) d = sen( ) + C u ' tg u d = ln cosu + C ( + ) tg( + ) d = ln cos( + ) + C u ' cotg u d = ln sen u + C cotg d = ln sen + C u' d = tg u + C cos u d = tg + C u 'sec u d = tg u + C u '( + tg u) d = tg u + C u' d = cotg u + C sen u cos ( + )sec ( + + ) d = tg ( + + ) + C ( + tg ) d = tg + C d = cotg + sen ( + )cosec ( + ) d = cotg ( + ) + C ( + cotg ) d = cotg + C d = rcsen + C C u 'cosec u d = cotg u + C u '( + cotg u) d = cotg u + C u' d = rcsen u + C u u' d = rctg u + C + u e + e d = rctg e + C

3 Ejemplos: [] d = + C [] d = [] d = [] d = + + C 6. 6 C 6 + C = + C + /. [] d = + C = + C = + C = + C + [6] d = d. + C = + C =

4 [7] sen + d = + cos + + C Ln [8] cos -.e d = -sen e + C - [9] d = d = rcsen + C [0] d =.rctg + C + [] d = d Ln C + = ( - ).cos + d = sen( + ) + C [] ( ) + [] e d = [] d = - [] tg d = [6] d + = + +.e d = e + C d = rcsen + C ( ) sen d = Ln cos + C cos d Ln C = MÉTODOS DE INTEGRACIÓN [] Inmedits o método de sustitución (Cundo ls dos funciones tienen relción, función y derivd) Cmbio f() = t siendo f() l función. Ejemplo: sen.cos d = [ t = sen dt = cos d] t sen = t dt = + C = + C [] Integrción por prtes: Cundo ls dos funciones no tienen relción. = vdu D(u.v) = du.v + u dv udv = d(u.v) vdu udv d(u.v) udv = u.v v. du Tenemos Necesitmos u Derivmos du dv -----Integrmos v = dv Cuál tommos como u? ) rcos o logritmos b) Polinomios c) Trigonométric o eponenciles

5 Ejemplos: [].e d u = du = d dv = e d v = = = dv e d e e d =.e e + C = e + C.e - ( ) [] Lnd u = ln du = d dv = d v = = = dv d ln. -. d =.ln - d =.ln + C =.(ln ) + C [] e. send u = sen du = cosd dv = e d v = dv = e d = e sen.e - e.cos d e.cos d u = cos du = - send dv = e d v = dv = e d = e =cos.e + e send e send = sen.e cos.e e send e send = e (sen cos ) e e send = (sen cos ) + C INTEGRALES CON RAÍCES Trnsformr en sums Potencis Ríces y rcos f '() d = f () f () + C mcm de los índices de ls rices. Sustitución: Lo de dentro de l ríz = t b d b = sent f '() d = rcsenf () + C f ()

6 [] d = d + + C = + 6 d = + C = C [] d = d C = [] d = d = ( ) d = rcsen ( ) + C d [] ( + ) [ = t d = t dt] tdt ( + t )t + t = dt = rctg t + C =.rctg + C [] d [ = sent d = costdt] sen t.cos tdt = ( sen t)cos t.dt = cos tdt (Integrl trigonométric) [6] d 9 - Modo : Ver que es un rcoseno. Dividir numerdor y denomindor por : / / / / d = d = d = d = rcsen / + C 9 - / (9 - ) / 9 - (/) - (/) Modo : [ = sent d = costdt] 9 - d = 9 - (sent) cos tdt = 6cos t 9(- sen dt = t) 6cos t dt = 9cos t 6cos t dt = cos t dt = t + C [ = sent sent = / t = rcsen / ] Sol: rcsen / + C

7 INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS sen n.cos m. d m impr Cmbio sen = t n impr Cmbio cos = t m y n pres Cmbio tg = t [ + tg = cos cos = + t t sen = cos = - + t = + t dt ( + tg ) d = dt d = + t ] Not: Csos prticulres: sen d ó cos d Recordr ls fórmuls trigonométrics cos + cos sen = cos = [] cos sen d = d = d cos d = cos d = sen + C [] cos.sen d = dt [cos = t -sen d = dt d = sen ] dt cos.sen d = cos.sen. = t.sen.d = t ( cos ) d = sen t t cos cos t ( t )dt = t + t dt = + + C = + + C 7 7 [] cos d = [sen = t cos..d = dt d = d cos t ( t + t )dt = t [] sen.cos d dt cos cos = dt cos. = cos d = (cos ) d = ( sen ) d = ( t ) dt = t + ] + C = sen.sen sen + t dt [ tg = t cos = + t, sen = + t, d = + t ] t dt t.. = dt (Integrl rcionl) t t t ( + t ) + C

8 P() INTEGRALES RACIONALES d Q() R() Cso I: Grdo de P() Grdo Q() Hcer l división C () + d Q() Y grdo de R() < grdo Q() Cso II: Grdo de P() < Grdo Q() Fctorizr el denomindor: Q() Cso II. : Tods ls ríces de Q() son reles y simples: Q() = (-).(-b).(-c) P() = A B C d + + Q() b c d Los números A, B y C se hlln reduciendo común denomindor e igulndo los numerdores. Modo : Igulndo los coeficientes del mismo grdo. Modo : Dndo vlores l (,b,c) y resolviendo el sistem. Solución: Logritmos Cso II. : Tods ls ríces de Q() son reles, pero lgun no simple:q()=(-).(-b) P() A B C D ( ) d = d Q() b b ( b) Los números A, B y C se hlln reduciendo común denomindor e igulndo los numerdores. Modo : Igulndo los coeficientes del mismo grdo. Modo : Dndo vlores l (,b,culquier otro) y resolviendo el sistem. Solución: Logritmos y Potencis Cso II. : Algun ríz de Q() no rel: Q() = (-).( +) P() A B + C d = + d (En el numerdor un polinomio de un grdo menos Q() + que en el denomindor) Los números A, B y C se hlln reduciendo común denomindor e igulndo los numerdores. Modo : Igulndo los coeficientes del mismo grdo. Modo : Dndo vlores l (, culquier otro) y resolviendo el sistem. Solución: Logritmos y rcotngentes. Ejemplos:

9 Ejercicios resueltos de integrles de tipo rcotngente. Ejemplos Denomindor con ríces imginris

10 [] ln C 8 d = + d = +. d = [] d = d = + + d 7 6 Fctorizmos el denomindor: 7 6 = (+).(-).(+) + A B C = + + = A( ).( + ) + B( + ).( + ) + C( + ).( ) = A( ).( + ) + B( + ).( + ) + C( + ).( ) Modo : igulndo coeficientes + = A( 6) + B( + + ) + C( ) = A + B + C - = -A + B C Resolviendo el sistem (Guss) A = ; B = ; C = = -6A + B C Modo : ddo vlores + = A( ).( + ) + B( + ).( + ) + C( + ).( ) = = B.. B = 0/0 = = = C.(-).(-) C = / = 7 = = A(-). A = 0/- = d = d = Ln + +.Ln + 7.Ln + + C + +

11 [] d 6 + Q() =.(-).(+) A B C D E F = d ( ) ( ) + Operndo obtenemos : A =, B = -, C =, D =, E = -, F = d = ( ) ( ) d d + d + ( ) d ( ) d = ( ) ( ) = Ln + ln +. + C = = Ln + +.ln + C + [] d = d + ( ) + d = Ln + + rctg + C [] d = d = d d = Ln d = Ln d =Ln d = Ln d = + + Ln rctg + C + ( ) / + / d. + + d = Ln d = Ln + + rctg + C = + Ln + + rctg + C [6] d = d = d = d = +

12 LA INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES. INTEGRAL DEFINIDA APROXIMACIÓN DEL AREA BAJO UNA CURVA Sum inferior (mi = mínimo) Sum superior (Mi = máimo) s = ( 0 )m + ( )m A S = ( 0 )M + ( )M Si umentmos el número de trozos, l diferenci será cd vez menor. s = n i= m.( i i i ) A S = n i= M.( i i i ) Si el número de trozos es infinito: L sum inferior = A = sum superior (m i =M i =f( i )) A = f ( i )( i i ) = i= b f () d Por tnto l integrl definid entre los puntos = = b nos d el áre de l región limitd entre l curv en el eje de bsciss entre los puntos y b.

13 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA [] f ()d = 0 b [] f ()d = - b f ()d [] Signo de l integrl: Si f() > 0 y continu en [,b], entonces b f ()d > 0 Si f() < 0 y continu en [,b], entonces b f ()d < 0 [] Si < b < c y f es continu en [,b] b f ()d = c f ()d + b f ()d [] Si f() g() en cd [,b] b f ()d b g ()d OPERACIONES CON INTEGRALES DEFINIDAS b [] Sum o rest: ( f ± g)()d = b f ()d ± b g ()d [] Multiplicción por un esclr: b kf ()d = k. b f ()d TEOREMAS DE INTEGRACIÓN [] Teorem del vlor medio del cálculo integrl. Se f un función continu en [,b] c [,b] tl que: b f ()d = f(c).(b-) [] Teorem fundmentl del cálculo Si f es un función continu en [,b] L función F() = f ()d, [,b] es derivble, y se verific que F () = f() [] Regl de Brrow Si f() es continu en [,b] y F() es un primitiv suy, entonces: b b f ()d = F () = F(b) - F() F () = f() c

14 APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA [] Cálculo del áre encerrd entre un curv y el eje OX entre = y = b Si f() 0, [,b] A = b f ()d Si f() < 0, [,b] A = - b f ()d Si f() cmbi de signo en [,b] [,c] f() 0 [c,b] f() < 0 A = c f ()d b c f ()d Cálculo: o Hllr los puntos de corte de l función con el eje OX ( y = 0) o Hllr un tbl de vlores entre los puntos de corte o Representr l función (etremos reltivos, puntos de infleión) o Hllr l integrl, teniendo en cuent cundo l función está por encim del eje y cundo por debjo. [] Cálculo del áre encerrd entre vris curvs = - b A = [ f () g() ]d Es decir, l integrl definid entre l rest de l función que est por encim menos l que está por debjo entre los puntos de corte de mbs. Cálculo: y = f () o Puntos de corte entre ls dos funciones. Resolver el sistem y = g() o Hllr un tbl de vlores entre los puntos de corte o Representr cd función (etremos reltivos, puntos de infleión) o Hllr l integrl, cul es l función que está por encim y cuál es l que está por debjo.

15 [] Volumen de un cuerpo de revolución Un trozo de curv y = f(), [,b], se hce girr lrededor del eje X engendrndo un cuerpo de revolución cuyo volumen queremos clculr. L rodj señld en l figur tiene por volumen: Π f(c i ) ( i i- ) El volumen de este cuerpo es, proimdmente n i= Π f(c i ) ( i i- ) Psndo l límite obtenemos el vlor ecto medinte un integrl: V = b π f () d = π b f () d

16 CÁLCULO DE INTEGRALES EJERCICIO : Hll ls siguientes integrles: ) sen d b) e d c) cos 6 d d) d e) e d f) sen d g) d h) e d i) d j) ln d k) cos (ln) d l) d d e m) n) d ñ) e cos d o) d sen p) d q) ln d e tg r) d s) d cos d e d t) d u) v) d w) e ) e d y) cos d z) d ) sen d ) rctg d ) cos d ) ln d ) e d 6) d ln d 7) 6 0 0) d d ) d ) d 8) ) d d ) 7 9 9) d 6 6 ) d 6 6) d

17 LA INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES CÁLCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS EJERCICIO : Hll ls siguientes integrles 9 d + d DERIVAR INTEGRALES EJERCICIO : Dd l función: ( ) = ( cos t) F + dt Clcul F' (). 0 EJERCICIO : Sin necesidd de resolver l integrl, indic dónde hy máimo o mínimo reltivo en l función: F ( ) ( ln t ) = dt EJERCICIO : ( ) ( ) = Hll F' sbiendo que F ( tg t ) EJERCICIO : Dd l función F( ) EJERCICIO 6 : ( ) = Clcul F' ( sen t logt) CÁLCULO DE ÁREAS 0 dt = sen t dt. Obtén los posibles puntos etremos de est función en [0, π]. + dt EJERCICIO 7 : Hll el áre limitd por l rect = y +, el eje bsciss y ls rects = y =, medinte l integrl definid y por l geometrí elementl. EJERCICIO 8 : Medinte los métodos de l integrl definid y geometrí elementl clcul el áre limitd por ls rects y = +, =, = 7 y el eje de bsciss. EJERCICIO 9 : Clcul el áre del recinto comprendido entre el eje de bsciss, el eje de ordends, y l rect que ps por el punto P (, ) y tiene de pendiente m = -, medinte los métodos de l integrl definid y de l geometrí elementl. EJERCICIO 0 : Hll el áre limitd por l prábol y = , el eje de bsciss y ls rects =, = 6. EJERCICIO : Hll el áre limitd por l curv y = y el eje de bsciss. EJERCICIO : Clcul el áre del rec int o lim itdo por l función y =, ls rects = y =. ; y el eje OX EJERCICIO : Hll el áre del recinto limitdo por l curv y = ( - ) ( + ), ls rects =, = y el eje de bsciss. EJERCICIO : Clcul el áre limitd por l curv y = 6, el eje de bsciss y ls rects =, =. EJERCICIO : Clcul el áre limitd por ls curvs y = e y = +. EJERCICIO 6 : Hll el áre limitd por l curv y = y l rect y = + 6. EJERCICIO 7 : Hll el áre limitd por ls prábols y = 6 +, y = - +. EJERCICIO 8 : Clcul el áre limitd por l prábol y = - y l rect y = - 6.

18 EJERCICIO 9 : Demuestr medinte el cálculo integrl l fórmul del áre de un rectángulo. EJERCICIO 0 : Deduce medinte el cálculo integrl l fórmul del áre de un trpecio rectngulr. EJERCICIO : Obtén l fórmul del áre de un triángulo rectángulo medinte el cálculo integrl. EJERCICIO : Obtén, utilizndo el cálculo integrl, el áre de un trpecio rectngulr de bses cm y cm, y de ltur cm. EJERCICIO : Demuestr, utilizndo el cálculo integrl, que el áre de un triángulo rectángulo de bse m y ltur m es 7, m. EJERCICIO : Clcul el áre del recinto limitdo por l curv y = y l rect = y, entre =, =. y OX EJERCICIO : Hll el áre del recinto limitdo por l curv y =, l rect y = 0, y ls rects = y = e. EJERCICIO 6 : Hll el áre del recinto limitdo por ls curvs y = + e y = + +. EJERCICIO 7 : bsciss. Obtén el áre del recinto limitdo por l curv y =, ls rects = y =, y el eje de + EJERCICIO 8 : Hll el áre del recinto limitdo por l curv y = ( + ), ls rect = y =, y el eje de bsciss. CÁLCULO DE VOLÚMENES EJERCICIO 9 : Hll el volumen engendrdo l girr lrededor del eje X el recinto limitdo por y =, =, =. EJERCICIO 0 : Clcul el volumen engendrdo por l curv y = 8 y l rect = l girr lrededor del eje X. EJERCICIO : Hll el volumen del cuerpo engendrdo por l elipse + y = l girr lrededor del eje X. y EJERCICIO : Clcul el volumen engendrdo por l elipse + = l girr lrededor del eje X. 9 EJERCICIO : Hll el volumen engendrdo por el trpecio limitdo por ls rects =0, =, y = 0, + y - 0 = 0 l girr lrededor del eje X. EJERCICIO : Obtén, medinte el cálculo integrl, el volumen de un cilindro de rdio cm y ltur cm. EJERCICIO : Utilizndo el cálculo integrl, clcul el volumen de un cono de rdio m y ltur 0 m. EJERCICIO 6 : Clcul, medinte el cálculo integrl, el volumen de un tronco de cono de rdios cm y cm, y ltur 6 cm. EJERCICIO 7 : Utilizndo el cálculo integrl, obtén el volumen de un esfer de rdio cm. EJERCICIO 8 : Hll, medinte el cálculo integrl, el volumen de un elipsoide de rdios cm y cm.

19 CÁLCULO DE INTEGRALES EJERCICIO : Hll ls siguientes integrles: ) sen d b) e d c) cos 6 d d) d e) e d f) sen d g) d h) e d i) d j) ln d k) cos (ln) d l) d d e m) n) d ñ) e cos d o) d sen p) d q) ln d e tg r) d s) d cos d e d t) d u) v) d w) e ) e d y) cos d z) d ) sen d ) rctg d ) cos d ) ln d ) e d 6) d ln d 7) 6 0 0) d d ) d ) d 8) ) d d ) 7 9 9) d 6 6 ) d 6 6) d

20 LA INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES CÁLCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS EJERCICIO : Hll ls siguientes integrles 9 d + d DERIVAR INTEGRALES EJERCICIO : Dd l función: ( ) = ( cos t) F + dt Clcul F' (). 0 EJERCICIO : Sin necesidd de resolver l integrl, indic dónde hy máimo o mínimo reltivo en l función: F ( ) ( ln t ) = dt EJERCICIO : ( ) ( ) = Hll F' sbiendo que F ( tg t ) EJERCICIO : Dd l función F( ) EJERCICIO 6 : ( ) = Clcul F' ( sen t logt) CÁLCULO DE ÁREAS 0 dt = sen t dt. Obtén los posibles puntos etremos de est función en [0, π]. + dt EJERCICIO 7 : Hll el áre limitd por l rect = y +, el eje bsciss y ls rects = y =, medinte l integrl definid y por l geometrí elementl. EJERCICIO 8 : Medinte los métodos de l integrl definid y geometrí elementl clcul el áre limitd por ls rects y = +, =, = 7 y el eje de bsciss. EJERCICIO 9 : Clcul el áre del recinto comprendido entre el eje de bsciss, el eje de ordends, y l rect que ps por el punto P (, ) y tiene de pendiente m = -, medinte los métodos de l integrl definid y de l geometrí elementl. EJERCICIO 0 : Hll el áre limitd por l prábol y = , el eje de bsciss y ls rects =, = 6. EJERCICIO : Hll el áre limitd por l curv y = y el eje de bsciss. EJERCICIO : Clcul el áre del rec int o lim itdo por l función y =, ls rects = y =. ; y el eje OX EJERCICIO : Hll el áre del recinto limitdo por l curv y = ( - ) ( + ), ls rects =, = y el eje de bsciss. EJERCICIO : Clcul el áre limitd por l curv y = 6, el eje de bsciss y ls rects =, =. EJERCICIO : Clcul el áre limitd por ls curvs y = e y = +. EJERCICIO 6 : Hll el áre limitd por l curv y = y l rect y = + 6. EJERCICIO 7 : Hll el áre limitd por ls prábols y = 6 +, y = - +. EJERCICIO 8 : Clcul el áre limitd por l prábol y = - y l rect y = - 6.

21 EJERCICIO 9 : Demuestr medinte el cálculo integrl l fórmul del áre de un rectángulo. EJERCICIO 0 : Deduce medinte el cálculo integrl l fórmul del áre de un trpecio rectngulr. EJERCICIO : Obtén l fórmul del áre de un triángulo rectángulo medinte el cálculo integrl. EJERCICIO : Obtén, utilizndo el cálculo integrl, el áre de un trpecio rectngulr de bses cm y cm, y de ltur cm. EJERCICIO : Demuestr, utilizndo el cálculo integrl, que el áre de un triángulo rectángulo de bse m y ltur m es 7, m. EJERCICIO : Clcul el áre del recinto limitdo por l curv y = y l rect = y, entre =, =. y OX EJERCICIO : Hll el áre del recinto limitdo por l curv y =, l rect y = 0, y ls rects = y = e. EJERCICIO 6 : Hll el áre del recinto limitdo por ls curvs y = + e y = + +. EJERCICIO 7 : bsciss. Obtén el áre del recinto limitdo por l curv y =, ls rects = y =, y el eje de + EJERCICIO 8 : Hll el áre del recinto limitdo por l curv y = ( + ), ls rect = y =, y el eje de bsciss. CÁLCULO DE VOLÚMENES EJERCICIO 9 : Hll el volumen engendrdo l girr lrededor del eje X el recinto limitdo por y =, =, =. EJERCICIO 0 : Clcul el volumen engendrdo por l curv y = 8 y l rect = l girr lrededor del eje X. EJERCICIO : Hll el volumen del cuerpo engendrdo por l elipse + y = l girr lrededor del eje X. y EJERCICIO : Clcul el volumen engendrdo por l elipse + = l girr lrededor del eje X. 9 EJERCICIO : Hll el volumen engendrdo por el trpecio limitdo por ls rects =0, =, y = 0, + y - 0 = 0 l girr lrededor del eje X. EJERCICIO : Obtén, medinte el cálculo integrl, el volumen de un cilindro de rdio cm y ltur cm. EJERCICIO : Utilizndo el cálculo integrl, clcul el volumen de un cono de rdio m y ltur 0 m. EJERCICIO 6 : Clcul, medinte el cálculo integrl, el volumen de un tronco de cono de rdios cm y cm, y ltur 6 cm. EJERCICIO 7 : Utilizndo el cálculo integrl, obtén el volumen de un esfer de rdio cm. EJERCICIO 8 : Hll, medinte el cálculo integrl, el volumen de un elipsoide de rdios cm y cm.