Integral indefinida Matemáticas I 1 INTEGRAL INDEFINIDA. Cuando utilizamos la notación diferencial, teniendo en cuenta que

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1 Primitiva. Integral indefinida INTEGRAL INDEFINIDA Sean f y F dos funciones reales definidas en un mismo dominio. La función F es una función primitiva de f, o simplemente primitiva de f, si F tiene por derivada f. Es decir F es primitiva de f F ' = f Cuando utilizamos la notación diferencial, teniendo en cuenta que definición es equivalente a # Ejemplo.- F es primitiva de f df = f. d es una primitiva de ln, ya que ln '= df F ' = d, esta La operación que nos permite obtener una función primitiva F a partir de f se denomina integración, eiste la función F, decimos que f es integrable. # Hay que observar, que una función puede tener varias primitivas, pues por ejemplo F =, F =, F 3 =,... son primitivas de f =. F es una primitiva de f y C un número real cualquiera, la función F C es también una primitiva de f. F es una función primitiva de f, el conjunto de funciones primitivas de f será {F C :C R, D f, F ' = f } Al conjunto, de todas las primitivas de f(), se le denomina integral indefinida de f(). Además, como por el primer teorema fundamental de cálculo: f es una función continua en un intervalo I, y a, I, F = a f t dt es derivable en ; y F ' () = f() Y dado que F es una primitiva de f, el conjunto de primitivas de una función f, se designa por f t dt={f C :C R, D f, F ' = f } Al número C, se le denomina constante de integración. b No hay que confundir los símbolos, f con a f. El primero designa un conjunto de funciones, el conjunto de todas las primitivas de f, mientras que el segundo es un número real, la integral de f en el intervalo [a,b]. Denominando integral indefinida e integral definida, a cada uno de los símbolos respectivos, sin embargo se utiliza indistintamente el término integral para designar uno u otro concepto, siendo el conteto el que determina si se trata de una integral indefinida o definida.

2 # Ejemplos.-. Hallar una primitiva F de f = cuya gráfica pase por el punto P,3. Y si pasa por el origen? Las primitivas de f son de la forma F = C. Puesto que la primitiva pedida para por el punto P,3, resulta: f =3 3= C C= Luego,k la primitiva es F = pasara por el origen C sería 0, y la primitiva sería F =. Halla una recta (función lineal f ) cuya pendiente es y pasa por el punto P 0,4 La derivada de la función lineal es su pendiente, por tanto, f =, luego f = C. Por pasar por el punto P 0,4, resulta que 4=C f = 4 3. Dado que determinar primitivas de funciones es efectuar la operación inversa de la derivación, es inmediato comprobar algunos ejemplos como: d=ln C C R cos d=sen C e d=e C C R C R Luego, podemos representar la integral indefinida de una función f, como f d=f C Además, si f es una función derivable se cumplen las siguientes propiedades. f d '= f. f ' d= f C C R Propiedades lineales de la integración a, b R y f, g son funciones continuas definidas en un intervalo I, se cumple a. f ±b. g. d=a. f. d±b. g. d.- 5. d=5 d= C = C=5.3 3 K K R d= 4. 3 d= 4 C C R

3 3 3.- cos d= d cos d= C sen C = sen C C R e d=5 d 4 e d=5 ln C 4 e C =5 ln 4 e C C R 5.- d= d= d d= ln C C R d= d= ln C C R Tipos fundamentales de integración Tipo potencial ( a ) Las funciones potenciales son de la forma f = a o f =k. a. En el caso de a=, la integral de la función f = = no sigue la fórmula que vamos a ver. Casos particulares f =0 F = 0 d=c C R f =k, k 0 f d=k C C R Forma simple: y= a ( a ) f = a ; a F = a d= a a C C R Forma compuesta: y= f a. f ' ( a ) y = f a. f ' ; a F = y d= f a. f ' d= f a a C C R. 4 d= 5 3 C ;C R. 4 d= 4 d= d= 3 d= 3 3 C= C ;C R C= C= C ;C R

4 d= 3 d= 3 3 C= 3. 3 C= 3. 3 C ;C R 5. d= 3. 3 C ;C R d= 3. 3 C ;C R 7. sen 3.cos d= 4. sen4 C ;C R 8. tg. sec d= 3.tg 3 C ;C R 9. tg 3 tg 5 d=tg 3. tg d= 4.tg 4 C ;C R 0.. cos 3 d= cos cos d= cos sen cos d=sen 3. sen3 C ;C R sen 3 d= sen sen d= cos cos sen d= cos 3. cos3 C ;C R Tipo logarítmico Forma simple: y= f = F = d=ln C ;C R Forma compuesta: y= f ' f y = f ' f F = f ' d=ln f C ;C R f. 3 d=3 d=3ln C ;C R d=ln 3 5 C ;C R

5 5 3. alingc d=. alingc d=.ln C ;C R d= d= 3. ln 3 8 C ;C R 5. tg d= sen d= ln cos C ;C R cos 6. cotg d= cos d=ln sen C ;C R sin 7. sen sen d= sen cos sen d=ln sen C ;C R Tipo eponencial Forma simple: y=e ; y=a f = F = d=ln C ;C R f =a F = a d= a C ;C R ln a Forma compuesta: y =e f. f ' ; y =a f. f ' y =e f. f ' F = e f. f ' d=e f C ;C R y =a f. f ' F = a f. f '.d= a f C ;C R ln a. e d=. e. d=.e. 3 d= 3 3 C ;C R ln 3. 3 d= 3 d= 3 ln 3 C ;C R 4..e d=..e d=. e C ;C R 5. e sen.cos d=e sen C ;C R 6. e sen. sen d= e sen. sen. cos d=e sen C ;C R

6 6 Tipo seno Forma simple: y=cos f =cos F = cos d=sen C ;C R Forma compuesta: y =cos f. f ' y =cos f. f ' F = cos f. f ' d=sen f C ;C R. cos d=. cos d= sen C ;C R. cos d=.cos d= sen C ;C R 3.. cos d=. cos d= sen C ;C R 4.. cos d=sen C ;C R 5. cos ln d= cos ln. d=sen ln C ;C R 6. e. cos e d=sen e C ;C R cos 3 9 d=sen 3 9 C ;C R 8.. cos 3 d= cos 3 d= 3 sen 3 C ;C R Tipo coseno Forma simple: y=sen f =sen F = sen d= cos C ;C R Forma compuesta: y =sen f. f ' y =sen f. f ' F = sen f. f ' d= cos f C ;C R. sen d=. sen d=. sen 6 d=.cos 6 d= cos C ;C R cos 6 C ;C R 3.. sen 3 d=. sen 3 d= cos 3 C ;C R

7 7 4.. sen d= cos C ;C R 5. sen ln d= sen ln. d= cos ln C ;C R 6. e. sen e d= cos e C ;C R 7. sen5 d= 5 sen5 d= cos 5 C ;C R 5 8. sen 7 8 d= 7 7. sen 7 8 d= 7 Tipo tangente cos 7 8 C ;C R Forma simple: y=sec f =sec F = sec d=tg C ;C R Forma compuesta: y =sec f. f ' y =sec f. f ' F = sec f. f ' d=tg f C ;C R. 3sec d=3 sec d=3tg C ;C R. 7 cos d=7 sec d=7 tg C ;C R tg d=5 tg d=5tg C ;C R Sec 3 9 d= 3. Sec 3 9 d=tg 3 9 C ;C R 5. sec d=. sec d= 6. tg C ;C R sec 4 d= tg sec d= sec tg sec d=tg 3 inte tg 3 C ;C R 7. tg d= tg d=tg C ;C R

8 8 Método de cambio de variable Este método es consecuencia de la derivación de funciones compuestas. Se trata de sustituir en la función f la variable por otra función de variable t, es decir = t tal que f = f t, y podamos integrar más fácilmente f, mediante los siguiente pasos a) Sustitución de la variable por t Forma directa: si f = f t implica f d= f t ' t dt Forma recíproca: f t = f t implica f t dt= f t t ' d b) Integración de la nueva función en t la nueva función obtenida de variable t (o en forma recíproca) es más sencilla, se integra. En caso contrario, hay que elegir otra sustitución más adecuada. c) Sustitución de la variable t por Una vez calculada la integral en t (o en forma recíproca) se deshace el cambio.. cos d { =t d=t dt} cost t dt=. cost dt=sen t C=cos C ;C R t d { t= 5 dt= d} t 5 dt= 6 t 6 C ;C R Integral de un producto o integración por partes La integral de un producto, método de integración por partes se basa en la derivada de un producto de funciones. f y g son dos funciones derivables y u y v dos funciones diferenciables, haciendo f =u y g =v, mediante el siguiente proceso, resumido en una tabla Forma con derivadas Forma con diferenciales Derivando o Diferenciando f g ' = f g ' g f ' d uv =u dv v du Integrando f g f g ' g f ' u v= u dv v du Despejando f g ' = f g g f u dv=u v v du Obtenemos la integral u dv=u v v du

9 9. e d= { u= du=d dv=e d v=e } =.e e d= e e C ;C R. cos d= { u= du=d dv=cos d v =sen } =. sen sen d= sen cos C ;C R 3. ln d={ u=ln du= d dv=d v= } = ln.. d= ln C ;C R u=ln du= ln d={ d } =.ln. dv=d v= d = =.ln d=.ln ln C ;C R. Sen d= { u= du= d dv=sen d v= cos } = cos cos d= = cos { u= du=d dv=cos d v=sen } = cos sen sen d = = cos sen cos C ;C R e.cos d= { u=e du=e d dv=cos d v=sen } =e sen e sen d= = e sen { u=e du=e d dv=sen d v= cos } =e sen e.cos e cos d que reagrupando términos, obtenemos e. cos d=e.sen e.cos e. cos d=. e.sen e.cos C ;C R