TEMA 8: LA INTEGRAL DEFINIDA

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Sofia Navarro Casado
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1 Mtmátics II TEMA 8: LA INTEGRAL DEFINIDA. INTRODUCCIÓN L itgrl dfiid surg por l csidd frcut d dtrmir árs d cirtos tipos d figurs. S plt vcs l prolm d hllr l ár d l rgió pl A limitd por l curv l j d sciss. y f, ls rcts, y Fu Arquímds l primro idr u método d husció pr rsolvr l prolm. Ést método cosist iscriir y circuscriir poligols l rcito cd vz más próimos él y cuys árs s pud hllr fácilmt.. LA INTEGRAL DE RIEMANN Supodrmos l dsrrollo d l uidd qu l fució f s cotiu. Vmos dtrmir l ár d l rgió pl A. Ést rgió tmié s cooc co l omr d trpcio curvilío. Dfiició: U prtició d, s u sucojuto fiito P,,...,,.... tl qu Dfiició: Dds dos prticios P y Q, dcimos qu P s más fi qu Q si P ti todos los lmtos d Q y lguo más. Rlizmos l siguit procdimito: Tommos u prtició P d, itrvlo, suitrvlos, sr, iguls. Gráficmt,,,...,,,,,,. Ést prtició divid l, cuys mplituds o ti porqué sr

2 Mtmátics II Ddo qu stmos supoido qu f s cotiu,, tocs lo s cd suitrvlo trior. Por tto, virtud dl torm d Wirstrss, f lcz su máimo y míimo solutos cd uo d llos. Llmmos l máimo soluto d f, i i y i m l míimo soluto d f l mismo itrvlo, pr i,...,. Dfiimos l sum suprior d f socid P como l sum d ls árs d los rctágulos qu cur l rcito A. Así, M i,... U f P M M M M i i i i D l mism form, dfiimos sum ifrior d f socid P como l sum d ls árs d los rctágulos qu cuirtos por l rcito A. Así, Los úmros U f, P y,,... L f P m m m m rcito A, o s, L f, P A U f, P i i i i L f P so vlors proimdos por cso y por dfcto rspctivmt dl ár dl. Pr mjorr ls proimcios tommos prticios más fis dl itrvlo,, s dcir, tommos más putos dl itrvlo, d mr qu los rctágulos s just más l gráfic d f. Dfiimos tocs l itgrl suprior d f, como y l itgrl ifrior d f, como f íf U f P P, : prtició d, f sup L f, P : P prtició d,. Así, f s l mor d ls árs qu cur A y f l myor d ls árs cuirts por A. Hmos d tr qu f f. Como supomos qu f s cotiu, ocurr qu f f. Dfiició: S f :, cotiu. S dfi l itgrl d Rim d f, o l itgrl dfiid d f, como l úmro f d f f. Los úmros y s llm límits d itgrció. Osrvció: No tod fució s itgrl stido Rim. Por jmplo, s f

3 Mtmátics II. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA.. f d... Si f pr todo,, A f d.. Si f pr todo,, A f d f d c. Si c,, f d f d f d. c 4. f d f d. 5. f g d f d g d. 6. k f d k f d. 7. Si f g pr todo,, pus f d g d. 4. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Y REGLA DE BARROW. f d. Torm: (Torm fudmtl dl cálculo itgrl) S f :, cotiu. S G,. Etocs G s drivl y G f pr todo,. f t dt co Ejmplos:. Cosidérs l fució F t dt. Clcul F. Dfiimos ls fucios f, G f t dt y h. Como f s cotiu todo itrvlo crrdo y cotdo d l rct rl, l primr torm fudmtl dl cálculo itgrl dic qu pr todo. Por otro ldo, G f cd F G h G h. Aplicdo l rgl d l F G h G hh f hh 4. Cosidérs l fució t G dt, ti G putos d iflió? Sgú l torm fudmtl dl cálculo itgrl, como y G f. Por tto, f s cotiu tocs G s drivl. Iguldo cro, G, qu s l posil puto d iflió. Clculmos G

4 4 y como G. Mtmátics II G, hmos d cocluir qu G ti u puto d iflió Los coocimitos dquiridos hst hor so tóricos y por llo o dispomos d hrrmits pr clculr d form práctic itgrls dfiids. L rgl d Brrow solucio st prolm pus rlcio l itgrl idfiid co l dfiid, hcido posil l cálculo d sts últims. Corolrio: (Rgl d Brrow) S f :, cotiu. S F u primitiv culquir d f. Etocs, f d F F F Osrvció: Psos pr l cálculo d itgrls dfiids:. Clculr l itgrl idfiid corrspodit f d F C.. Tommos u primitiv culquir. Lo más scillo s hcr C tomr F.. Clculr l itgrl dfiid utilizdo l rgl d Brrow. Ejmplos:. Clcul 5 l d. Clculmos l itgrl idfiid corrspodit,5. Hcmos prts, D st form u l du d dv d v l l l d l l d C. l d, tido cut qu como Etocs, utilizdo l fórmul d itgrció por l l l l d C d C. Etocs, 5 5 l 5 d l l l 5 l 5 l 5 l l 5 l l5l,69 4

5 Mtmátics II. Clcul l d. A vcs s itrst rlizr u sozo d l fució itgrr, l l l D st form, l d l d l d. Clculmos por prts l d. Hcmos u l du d dv d v Etocs, l d l d l. Por tto, Osrvció: A psr d qu 4 l d l l l s cotiu todo y lo s y so, por tto, fucios itgrls todo itrvlo,, o s posil hllr u primitiv prsd como comició lgric d fucios lmtls d sts fucios. Por llo, o s posil utilizr l rgl d Brrow pr clculr d y d. E stos csos s rcurr l itgrció uméric, qu cosist grlmt discrtizr l itrvlo,, o s, uscr u cojuto fiito d vlors kk d, y sustituir l fució itgrr por otr fució scill qu sí pud itgrrs co fcilidd suitrvlos dfiidos por los putos triors, otido u fórmul d itgrció proimd qu llmmos fórmul d cudrtur. E l ctulidd l uso dl orddor costituy u hrrmit sustcil itgrció uméric pus prmit rlizr u divisió dl itrvlo, suitrvlos d logitud muy pquñ, co lo qu s oti u gr prcisió l proimció d l itgrl co u más qu cosidrl horro d timpo los cálculos. Pro l utilizció dl orddor icorpor rrors tipo máqui provits d l mipulció d ctidds pus, por jmplo, l lmcj d úmros rls l orddor provoc rrors d rdodo o cort y qu cd úmro ocup u ctidd fij d mmori cuy l logitud s ormlmt ó 64 its. Eist u torí compltmt formlizd pr cotrolr stos rrors d form óptim. Otr fut clr d rror s l discrtizció qu s rliz dl itrvlo,, s dcir, l cmir u procso ifiito por u otro fiito. Pro ést rror s pud hcr l myorí d los csos t pquño como s ds y d st form s pud hllr l vlor d l itgrl co tt proimció como s ds si csidd d hllr u fució primitiv qu pud o istir. 5

6 Mtmátics II 5. CÁLCULO DE ÁREAS DE RECINTOS PLANOS 5.. Ár crrd jo u curv Distiguirmos trs csos:. Si f pr todo,, tocs A f d.. Si f pr todo,, tocs. A f d f d. Si f cmi d sigo,, l ár dl rcito corrspodit s l sum d ls itgrls dfiids fctds d los rspctivos sigos. Osrvció: Putos tr cut l cálculo dl ár jo u curv.. Rprstció gráfic d f.. Dlimitció dl rcito cuy ár dsmos clculr.. Estudio dl sigo d l fució f l itrvlo corrspodit. 4. Utilizció, l cso d qu ist, d l simtrí l rcito. 6

7 Ejmplos:. Clculr l ár d l rgió limitd por l gráfic d l fució l j d sciss. f Mtmátics II, ls rcts 4, y Rlizmos primr lugr u sozo d l gráfic utilizdo todos los coocimitos qu tmos sor fucios. Así, Por tto, l ár d l rgió somrd vi dd por A d d u l l l5 l l l 5 l Clculr l ár d l rgió dl plo limitd por l j d sciss y l curv y 9. Rlizmos u sozo d l mism otido L curv cort l j d sciss los putos, y,. Hcido uso d l simtrí s ti qu A 9 d 9 u Ár crrd por dos curvs El ár limitd por ls gráfics d dos curvs pr todo, f g vi dd por y f y g y ls rcts,, sido A f g d 7

8 Mtmátics II Ejmplo: Clculr l ár limitd por ls práols f y g. Primro clculmos los putos d cort tr ls curvs. Pr llo igulmos sus cucios. Así, Clculmos l ár d l rgió somrd: 4 A d d u 6. VOLUMEN DE UN CUERPO DE REVOLUCIÓN MEDIANTE SECCIONES PARALELAS O DISCOS S ds hllr l volum dl curpo d rvolució gdrdo por l trpcio curvilío dlimitdo por l curv y f y ls rcts y l girr lrddor dl j d sciss. 8

9 Mtmátics II A f El ár d cd scció dl curpo por u plo prpdiculr l j d sciss vi dd por pus l scció producid s u círculo d rdio f. Gráficmt, El volum d rvolució vdrá ddo tocs por l sum d ls suprficis V, A. D sr tocs qu A,, o s,,, V A f f d s dcir, V f d Ejmplo: Dduzc l fórmul qu prs l volum d u coo d rdio r y ltur h. Rprstmos l coo como idic l figur, L rct qu u l orig d coordds co l puto hr, ti d cució r y. El ár d cd scció h trsvrsl s A r h. Por tto, l volum dl coo s h h h r h r r r h h h h h V A d d d r h 9

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