INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 2 1+ x dx

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1 INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Método de itegració por cambio de variable Cosiste e sustituir por ua fució adecuada para que la epresió resultate sea más secilla de itegrar que la primera. Si es fució de t: = g(t), etoces la diferecial de es: d = g'(t)dt, co lo cual: d f ( g( t)) g f = ( t) dt Aplicaremos este método cuado la seguda itegral sea más fácil de calcular que la primera. La cuestió más difícil es saber la fució g(t) adecuada e cada caso. Ejemplo Calcular la siguiete itegral: d Llamado = set, será d = costdt, y la itegral aterior se puede escribir: t set t set cos t se t costdt = cos tdt = + + C = + + C = (*) Si = set, etoces t = arcse, y además Por lo tato, (*) arcse = + + C cost = se t = Nota: La itegral cos tdt se ha realizado teiedo e cueta la siguiete igualdad + cos t trigoométrica: cos t = Geeralmete, al hacer u cambio de variable, se escribe t e fució de, e lugar de e fució de t, es decir, se hace t = h(), co lo cual será: dt = h'()d. Ejemplo Calcular la siguiete itegral: Pogamos ( + ) ( + ) ( + ) d d = 5 d = (*). Llamado t = +, será dt 5 5 dt = (+)d, luego: (*) = 5 = 5 t dt = t + C = + C t +

2 Método de itegració por partes Cosiste e aplicar la fórmula de la derivabilidad del producto: (u v)' = u' v + u v', es decir: u v' = (u v)' u' v. Itegrado e ambas partes: u v d = (( u v) u v) d = ( u v) d u vd. Así pues: u v d = u v u vd, fórmula más coocida de la forma: udv = uv vdu que se puede memorizar así: U día vi ua vaca vestida de uiforme. Podemos aplicar la fórmula aterior para calcular ua itegral del tipo sepamos calcular v y vdu. udv siempre que Ejemplo Calcular la siguiete itegral: cos d. Esta itegral es del tipo udv, siedo: u =. dv = cos d du = d De aquí se deduce que: v = se Aplicado la fórmula de itegració por partes teemos: cos d se sed = se + cos + = C Ejemplo Calcular la siguiete itegral: arctgd. Esta itegral es del tipo udv, siedo: u = arctg. De aquí se deduce: dv = d du = + v =. Aplicado la fórmula de itegració por partes teemos: arctgd = arctg d = arctg l + + C +

3 Ejemplo 5 p Calcular la siguiete itegral: e d siedo p u úmero atural. p Esta itegral es del tipo udv, siedo: u =. De aquí se deduce que: dv = e d du = p v = e p d. Aplicado la fórmula de la itegració por partes teemos: p p p e d = e p e d De esta forma el cálculo de la primera itegral se ha covertido e el cálculo de otra itegral del mismo tipo e la que el epoete p se ha rebajado ua uidad. Realizado el proceso p veces se llega a la itegral e d que es imediata. Otras veces, al aplicar la itegració por partes llegamos a la misma itegral que teíamos al pricipio, y etoces, podemos calcularla pasádola al primer miembro y despejádola. Ejemplo 6 Calcular la itegral: se d. Esta itegral es del tipo udv, siedo: u = se. Por lo tato: v = se du = se cos d. Aplicado la fórmula de itegració por partes teemos: v = cos se d = se cos + se cos d = se cos + se ( se ) d = = se cos + se d se d = ( ) = se cos + se se d Observemos que la última itegral es precisamete la que queríamos calcular, luego si la pasamos al primer miembro teemos: se d = se cos + se y fialmete: se d = se cos + se + C 8 6 Nota: E ( ) se ha utilizado que se d = se

4 Itegració de fucioes racioales Ua fució racioal es de la forma P y =, dode P() y Q() so poliomios. Q Si el grado del umerador es mayor o igual que el grado del deomiador, se divide el primero por el segudo, co lo cual se obtiee u cociete C() y u resto R(). Etoces se cumple: P() = Q()C() + R(), luego: P( ) Q( ) C( ) + R( ) R( ) = = C( ) + Q( ) Q( ) Q( ) Ejemplo Calcular la siguiete itegral: d Como el grado del umerador es 5 y el del deomiador es, dividimos el primero por el segudo y obteemos 7 + de cociete y de resto. Por lo tato: d = + + d = + 7 = d Como los poliomios so secillos de itegrar, el problema se ha reducido al cálculo de P ua itegral del tipo d, siedo el grado del umerador meor que el del Q deomiador. E primer lugar descompoemos e factores el deomiador Q(). Vamos a cosiderar los tres casos siguietes: º) Q() tiee solamete raíces reales simples Supogamos que éstas so,,...,. Etoces: Q = a0 ( )( )...( ) y P A A A podemos escribir: = , dode A, A,...,A so úmeros Q que se calcula de la forma que veremos e el siguiete ejemplo. Por lo tato:

5 P A A A d = d + d d = Q = A l + A l A l Ejemplo 8 + Calcular la siguiete itegral: d Resolviedo la ecuació = 0 ecotramos sus solucioes: =, =, = que so reales y distitas. Etoces: = ( + )( + ) = ( )( + )( + ) ; + = A + B + C y vamos a hallar los úmeros A, B, C que cumpla esta codició. La suma de las tres fraccioes del segudo miembro es: ( + )( + ) + ( )( + ) + ( )( + ) ( )( + )( + ) A B C = + +, y como, los umeradores tambié deberá de ser iguales, luego: + = A( + )( + ) + B ( )( + ) + C ( )( + ) Esta igualdad es cierta para cualquier valor que demos a. E particular, si hacemos = resulta: + = A B C ; 7 = A 5 7 de dode A =. Aálogamete, si hacemos = resulta 5 resulta C =. Por lo tato: d = + + d = = l( ) + l( + ) l( + ) + C B =, y si hacemos = 5 5

6 º) Q() tiee raíces reales múltiples Supogamos que es ua raíz múltiple de orde. Eso sigifica que e la descomposició de Q() aparecerá ( ). Etoces se opera de ua forma similar al apartado aterior, haciedo ua descomposició e suma de fraccioes. La raíz dará A A A orige a la suma de fraccioes: , dode A, A,...,A ( ) ( ) so úmeros que se calcula de la forma que veremos e el ejemplo siguiete. Itegrado la suma de fraccioes aterior teemos: A A A d + d d = ( ) ( ) A + A + = ( ) + ( ) A l( ) + C + + Ejemplo 9 Calcular la siguiete itegral: d. + 5 Resolviedo la ecuació + 5 = 0 ecotramos que sus solucioes so = y =, siedo ua raíz triple, es decir: + 5 = +. Luego: A B C D = ( ) ( ) , y vamos a hallar los úmeros A, B, C, D que cumple esta codició. La suma de las cuatro fraccioes del A( + ) + B ( )( + ) + C ( ) ( + ) + D( ) segudo miembro es: ( ) ( + ) como + 5 = ( ) ( + ), los umeradores deberá ser iguales, luego: = ( + ) + ( )( + ) + ( ) ( + ) + ( ) A B C D. Esta igualdad es cierta para cualquier valor que demos a. E particular, si hacemos = : = D( ) = 7D D = 7, si hacemos = : = A( + ) = A A =, si hacemos = 0: 8 = A B + C D B + C = A + D B + C =, y si hacemos 7 8 = : = A + B + C + D B + C = A D B + C = 7 Resolviedo el sistema formado por las dos últimas ecuacioes: B = 9,C = d = d = + 5 ( ) ( ) + = l 7 l C ( ) ( ), y

7 º) Q() tiee raíces imagiarias simples P Etoces la descomposició e fraccioes simples de da lugar a fraccioes de la Q h + forma, dode h, so úmeros que se calcula de la forma que veremos e a + b + c los ejemplos siguietes, y las raíces de a + b + c so imagiarias. h + Veamos cómo se calcula la itegral d. a + b + c Vamos a distiguir dos casos, segú que sea o o sea ulo el valor de h del umerador h +. h = 0 Etoces aplicamos al deomiador el método del completamieto del cuadrado. De esta forma, el deomiador + + a + m +. Así pues, a b c toma la forma d = d = d = a + b + c a m a + m + (( + ) + ) = d = (*). Si hacemos ahora el cambio de variable: a + m + + t = m ; dt = d. Etoces (*) dt + m = = arctg t + C = arctg + C a t + a a Ejemplo 0 5 Calcular la siguiete itegral: d + 6 Aplicado el método del completamieto del cuadrado al poliomio + 6: + 6 = 6 + = + + = + Por lo tato, 5 5d 5 d d = = = + + (( ) + ) 6 5 d 5 d = = = (*) ( ) + + Haciedo el cambio de variable: t = dt = d d = dt teemos: (*) = = + = + 8 dt arctg t C arctg C t + 8 7

8 h 0 Etoces descompoemos el umerador h + buscado ua epresió que sea la derivada del deomiador (es decir, a + b), y procedemos de la siguiete forma: h a h + = + = + = a h h a a + b b +, y llamado h a h a h h + h a + b + p h a + b teemos: d = d = d + a + b + c a a + b + c a a + b + c + h p d = h l a + b + c + h p d. a a + b + c a a a + b + c a p = b, h Esta última itegral carece de térmio e e el umerador, luego se calcula por el procedimieto visto e el apartado aterior, para h = 0. Ejemplo + Calcular la siguiete itegral: d Teiedo e cueta que la derivada del deomiador es +, trasformamos el umerador de la siguiete forma: + = + = + = + + = ( + ) Por lo tato: ( ) d = d = d d = = l( ) d. Esta última itegral se calcula así: = = = Etoces: d d d = = = ( + ) ( + ) + 9 d 7 + = = d = arctg + C Fialmete teemos: + ( 50) + d = l + + arctg + C

9 Ejemplo Calcular la siguiete itegral: Resolviedo la ecuació d = 0 ecotramos que tiee = úica solució real. Etoces: = ( + )( 8 + 7) Así pues: = A + h A, h y que cumple esta codició. La suma de las dos fraccioes del segudo miembro es: A( 8 + 7) + ( h + )( + ), ( + )( 8 + 7) luego: = ( 8 + 7) + ( + )( + ) A h. y vamos a hallar los úmeros Esta igualdad es cierta para todo valor que le demos a. E particular, si hacemos =, resulta: 5 = A 6, de dode A =. Aálogamete, si hacemos = 0 resulta =, y si hacemos = resulta h =. Por lo tato: = d d d La primera de estas dos itegrales es: ( + ) l. como Para calcular la seguda itegral tegamos e cueta que la derivada del deomiador es 8, luego el umerador se trasforma así: 8 8 = = = = ( 8) + 8, y la seguda de las dos itegrales ateriores se covierte e: 8 8 d + 8 d = d d l arctg ( ) = + +. Por lo tato, fialmete teemos: d = l( + ) + l( 8 + 7) + 8arctg ( ) + C

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