Ejercicios de integración

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1 1. Calcular las siguientes integrales: 1) ) 8) + 1 d ) d 5) ) d 8) + Ejercicios de integración d ) d 6) ( + 1) + + d + d 9) ( + + 1) ln d ) d 11) d 1) d + 1 1) d 1) d 15) ( + 1) d + + e e + e 16) d 17) d 18) d e ) d ) (1 + tg ) d 1) arc tg d + 9 ) (1 1 ) cos ln d ) d ) sen d 1 + 5) ln d 6) d 7) d (cos + sen cos ) d 9) d ) d ) d ) ( + ) cos d ) d ) ) 6) sen d 5) d 6) + + d cos ) d 8) d 9) sen d d 1) d ) e sen d + ( 1)( 1) d ) ) d arc tg d 5) 1 ( )( 1) + 1 ln( + 1) d 7) d 8) cos d ( + 1) + 9) + 1 5) d 5) + 1 d 5) + 1 ( + ) e 5 d 51) e d d d 1

2 . Calcular el área del recinto limitado por las curvas y = 1, y = 11 y el eje OX. Dibujar el recinto.. Hallar el área del recinto plano delimitado por las curvas de ecuación: y = e y =. Dibujar el recinto.. Calcular el área de la región plana limitada por la curva f() = y la recta y = 1. Dibujar el recinto. 5. Hallar el área del recinto limitado por la gráfica de la función f() = + y las tangentes a dicha gráfica en los puntos en que ésta corta al eje de abscisas. Dibujar el recinto. 6. Dada la parábola y la recta y = a) Dibuja las gráficas de la parábola y de la recta. b) Señala el recinto plano comprendido entre las dos gráficas anteriores. c) Calcula el área del recinto plano señalado. 7. Dibuja el recinto delimitado por las curvas y = + + e y = + 1. Halla el área del recinto. 8. Dada la función y = e y las rectas = 1 e y = a) Dibuja la gráfica de la función para y la de las rectas. b) Señala el recinto plano comprendido entre las tres gráficas anteriores. c) Calcula el área del recinto plano señalado. 9. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación y = en el punto de abscisa = 1. Calcula el área del recinto limitado por la recta tangente y la curva dada. 1. Dada la curva de ecuación y = + y la recta y = + a) Dibuja la gráfica de la parábola y de la recta. b) Señala el recinto plano comprendido entre ambas. c) Calcula el área del recinto plano señalado. 11. Dada la curva y = y la recta y = 6: a) Dibuja la gráfica de ambas. b) Señala el recinto plano comprendido entre ellas. c) Calcula el área del recinto señalado. 1. Calcula la siguiente integral: e e L d (L = logaritmo neperiano)

3 1. De la función f de R en R definida por f() = a + b + c + d, se sabe que tiene un máimo relativo en = 1 y un punto de infleión en (, ), y que 1. Dadas las curvas de ecuaciones y = ; y = 1 : a) Dibuja sus gráficas. 1 b) Señala el recinto plano comprendido entre ambas. c) Calcula el área de dicho recinto. f()d = 5. Calcula a, b, c y d. 15. La curva y = divide al cuadrado de vértices A(, ), B(1, ), C(1, 1) y D(, 1) en dos recintos. a) Dibuja dichos recintos. b) Halla el área de cada uno de ellos. 16. Considera la función f() = +. Calcula: a) Puntos de corte con los ejes. b) Máimos y mínimos. c) Puntos de infleión. d) Halla el área encerrada por la gráfica y el eje X. si < Considera la función f() = + si 1 a) Haz un dibujo aproimado de su gráfica. b) Calcula el área encerrada por la gráfica y el eje X. 18. Considera las funciones f() = + 8; g() = + 8 a) Dibuja sus gráficas utilizando los mismo ejes. b) Halla el área de la región encerrada por ellas. 19. Determina un polinomio P () de segundo grado sabiendo que: P () = P () = 1 y que P ()d = 1. Dada la función f() = (+1) e +, determina la función g() tal que g () = f(), con la condición de que su gráfica pase por el punto (, ). 1. Considera la función f : R R definida por f() = ( ) e a) Determina los intervalos en los que la función f es creciente. b) Dibuja la región limitada por la gráfica de f, el eje de abscisas y las rectas de ecuaciones = 1 y =.

4 c) Halla el área de la región descrita en el apartado anterior.. De la función f : R R definida por f() = a + b + c + d se sabe que tiene un máimo relativo en = 1, un punto de infleión en (, ) y que. a) Halla el valor positivo de a para que a 1 1 f() d = 5. Calcula a, b, c y d. ( + 1) d = 9. b) Calcula el área de la superficie comprendida entre el eje OX, la recta y = + 1 y las rectas = y =.. Dadas las funciones f() = 1 y g() = 1 : a) Esboza el recinto encerrado entre sus gráficas. b) Calcula el área de dicho recinto. 5. Dibuja aproimadamente las gráficas de las funciones f() = y g() =, y sombrea el área que queda encerrada entre ellas. Calcula el valor de dicha área. 6. Calcula el valor de la integral 7. Para la función f() = ln 1 se pide: arc tg 1 + d (siendo arc tg 1 = π a) Determina las asíntotas horizontales de dicha función. y arc tg = ) b) Calcula el área comprendida entre la gráfica de la función f(), el eje de abscisas, y las rectas = e y = e. (Observa que f() es positiva en el intervalo [e, e ]) 8. Halla el área encerrada entre la curva y = + +, y la recta y =. 9. Sea la función f() = a e + b con a R, a > y b R, b >. Calcula a y b para que la recta tangente a la gráfica de f() en = tenga pendiente 1, y que además se cumpla que el área comprendida entre la gráfica de la función f(), el eje de abscisas, y las rectas = y = 1 sea u. (Obsérvese que como a > y b > entonces f() en [, 1]). Dadas las funciones f() = 1 y g() = + 5, se pide: a) Esboza sus gráficas y sombrea el recinto encerrado entre ellas. b) Calcula el área de dicho recinto. 1. Esboza las gráficas de las parábolas f() = y g() = +, sombreando el recinto cerrado que determinan. Calcula el área de dicho recinto.. Sea a R una constante real no nula, y considera la parábola f() = a a. Encuentra el valor de a para que se verifiquen simultáneamente las dos siguientes condiciones: 1), que el área comprendida entre la parábola y el eje de abscisas sea de unidades cuadradas; ), que la función f() sea cóncava hacia arriba ( ).

5 . Encuentra una primitiva de f() = sen que pase por el origen de coordenadas.. Considera la parábola f() = +. Se pide: a) Calcula las ecuaciones de las rectas tangentes a f() en = y en =, esbozando una gráfica con la parábola y las dos rectas tangentes. b) Calcula el área comprendida entre la parábola y dichas rectas tangentes. 5. Calcula la integral definida π e sen d 6. De la función f() = ( + a) sen, donde a es un número real, se sabe que la integral definida π f() d es tres veces el valor de la pendiente de la recta tangente a f() en =. Calcula el valor de a. 7. Definición de primitiva de una función. Sabiendo que F () = e es una primitiva de la función f(): a) Comprueba que f() es una función creciente en R. b) Calcula el área determinada por la gráfica de f(), el eje de abscisas, y las rectas = 1 y = Enuncia la regla de Barrow. Calcula la integral definida 1 ( + ) e d. 9. Calcula el área determinada por la gráfica de la función f() = 9 y el eje de abscisas. + e. Calcula la integral definida d (puede ayudarte hacer un cambio de variable) si < 1 1. a) Estudia la continuidad y derivabilidad de la función f() = 1 si 1 b) Determina el área encerrada por la gráfica de la función f() y el eje de abscisas.. Determina una función f : R R sabiendo que cumple que f () = e +, f () = 7, f () = y f(1) = (e +1).. Halla una primitiva F () de la función f() = 8 +, que cumpla que F () para todo R, y de forma que el área comprendida entre la gráfica de F (), el eje de abscisas y las rectas = y = 1 sea a) Representa gráficamente las parábolas f() = 1 y g() = b) Calcula el área del recinto limitado por ambas gráficas. 5. a) Calcula el dominio de la función f() = + 1. b) Calcula la integral definida: 1 f() d. 5

6 6. a) Dado un número real a > m calcula el área del recinto encerrado entre la gráfica de la función f() = 1, el eje de abscisas y las rectas = a y = a + 1. b) Eplica razonadamente que cuando a tiende a, dicho área tiende a cero. 7. Calcula a R, siendo a >, para que el área de la región limitada por la gráfica de la función f() = 6, el eje de abscisas y la recta = a sea igual a u. 8. a) Representa gráficamente la región del primer cuadrante limitada por las gráficas de las funciones f() = 1 y g() = 1, y la recta =. b) Calcula el área de dicha región. 9. Sean las funciones f() = y g() = a, con a R, a >. Calcula el valor del parámetro a para que el área encerrada entre las gráficas de las funciones f() y g() sea. 5. a) Representa gráficamente la región limitada por las gráficas de las funciones f() = y g() = 1, el eje de abscisas y la recta = e. b) Calcula el área de dicha región. 51. a) Representa gráficamente la región encerrada por las gráficas de las funciones f() = y g() = + z. b) Calcula el área de dicha región. 5. Calcular el área de la figura plana limitada por las gráficas de y = + 1; y = Calcular el área encerrada por la gráfica de y = 1 +, el eje de abscisas y las rectas = y =. 5. Calcular el volumen del cuerpo engengrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las gráficas de y = 6 ; y =. 55. Dibujar el recinto limitado por las gráficas de y = ; y = 8. Calcular el área de dicho recinto. 56. Hallar el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones y = sen ; y = cos en el intervalo [, π]. Indicar otros dos intervalos para los cuales el área sea la misma. 57. Dibujar la región del plano limitada por las curvas y = ; y = ; y =. Calcular su área. 58. Representa el recinto plano limitado por las gráficas de y = ; y = ; y = 1. Calcular su área. 59. Representar la región del plano limitada por y = ln ; su recta tangente en = e y el eje OX. Calcular su área. 6. Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de y = y su recta tangente en = Calcular el área limitada por las gráficas y = ; y = e ; = ; =. 6

7 6. Dibujar el recinto limitado por y = +, su recta tangente en el punto P (, ) y la recta y = +. Calcular su área. 6. Dibujar el recinto limitado por y = ; y = 1 ; y = y el eje OX. Calcular su área. 6. Dibuja el recinto limitado por y = ; y = 5. Calcular su área. 65. Dibujar el recinto limitado por las gráficas de y = 1 +, = y. Calcular su área. 66. Dibujar el recinto limitado por las gráficas de y =, y =. Calcular su área. 67. Halla la ecuación de la recta tangente a y = +, en el punto de abscisa = 1. Calcular el área del recinto limitado por y = +, la tangente anterior y el eje OY. 68. Calcular el área de la región del plano limitada por las gráficas de las funciones: y = + e y = Hallar el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones y = e y = + Observaciones: Del ejercicio 1, las primeras integrales indefinidas se propusieron en los eámenes de selectividad entre junio de y septiembre de 11. Las integrales a 5 se propusieron entre 1989 y Los ejercicios desde el al 51 de integral definida y cálculo de áreas se propusieron entre junio de y septiembre de 11. Los ejercicios desde el 5 al 69, también de integral definida y cálculo de áreas, se propusieron entre 1989 y El ejercicio 5 es el único donde se propone el cálculo de un volumen a partir de una curva que gira alrededor del eje OX (actualmente este tipo de ejercicios no se pondrían pues no es un contenido mínimo). 7

8 Soluciones: 1. 1) 1 6 ln + 1 ln( ) ln( + ) 15 ) ln( + + ) arc tg + 1 ) + ln + 5 ln( + 1) 8 ln( ) ) ln( 1) ln( + 1) ) ln + 1 6) 1 ln 1 ln( ) 7) ln arc tg 8) 9 ln( + ) ln( 1) + 1 ( 1) ( ) 9) + + ln 9 1) 5 9 ln( + ) + 9 ln( 1) ( 1) 11) ln 1) ln( 1) 1 1) ln( + ) + 1 arc tg 1) ln( + 1) 15) ( + 1) = + 1 ( + 1) 16) 1 8 ln( + 9) + 1 arc tg 17) + e +C 18) 1 ln(1 + e ) + arc tg e +C 1 19) 18 ln( + 9 ) + 6 arc tg ) tg 1) arc tg 1 ln(1 + ) ( ) + 1 ) ln + 1 ) ln( ) ln( ) ) arc tg(sen ) 8

9 5) ln 6) ln( + 1) ln 1 7) ( + 1) = ( + ) + 1 sen 8) + sen sen cos. También es solución 9) + 9 ln( + ) ) ln( 1) + ln( ) + 1 1) arc tg + ln(1 + ) ) ( + ) sen + ( + 1) cos ) + ln(1 + ) ) cos + sen + cos 5) + ln + 5 ln( + 1) 8 ln( + ) 6) 1 ( ) + 1 ln( + + ) arc tg 1 7) sen 1 sen 8) 1 ln( + 1) + 1 9) ln( 1) 1 ln( 1) 1 ln( + 1) ) 1 5 ln( ) + 5 ln( + 1) + 8 arc tg 5 1) 1 ln( + 1) + 1 ln( 1) 1 ( 1) ) e ( sen cos ) 1 ) 1 ln( 1) 1 6 ln( + + 1) ) arc tg 6 + ln( + 1) 6 5) ln ln( 1) 1 1 6) ln(+1) 9 + 7) ln + ln( 1) 7 1 = (1 ) cos + sen ( ) + 1 arc tg ln(+1)+c = (8 + 1) ln( + 1) 9 + +C 6

10 8) ( ) sen + cos.. 9) + ln( + + 1) + ln( + 1) = + + ln( + 1) ln( + 1) Intenta comprobar que la anterior igualdad es, efectivamente, cierta (el programa Derive da como resultado de la integral la segunda parte de la igualdad). ( + ) e 5 5) e 5 = e 5 (5 + 11) ) 5 ln( 1) + ln( ) 5) + ln( + 1) ( ) arc tg ( ) 1 5) e u 57,17 u ( 8 ) u 1,77 u. 6 u u 1, u 8 u,67 u 9 u =,5 u 8. 1 u u = 6,75 u 9 u 15 6 u 1. u 1. u 1

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