Clase. Congruencia y semejanza de triángulos

Transcripción

1 lse ongruenci y semejnz de triángulos

2 Resumen de l clse nterior Triángulo rectángulo Pitágors Teorems Euclides Relciones métrics 5º 2 5º 2 + b 2 = c 2 Tríos pitgóricos h c 2 = p q 2 = q c b 2 = p c h c = b c t c : trnsversl

3 prendizjes esperdos Determinr congruenci de triángulos medinte los criterios estblecidos. Determinr semejnz de triángulos medinte los criterios estblecidos. Reconocer elementos homólogos. Resolver ejercicios que involucren congruenci y semejnz de triángulos. Resolver ejercicios que involucren equivlenci de figurs.

4 Pregunt oficil PSU 3. El triángulo es isósceles de bse. L circunferenci de centro y rdio r intersect los ldos del triángulo en D y E, como lo muestr l figur 8. uál(es) de ls siguientes firmciones es(son) verdder(s)? ) Solo I ) Solo II ) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III I) D D II) E D III) D E Fuente : DEMRE - U. DE HILE, Proceso de dmisión 2010.

5 1. Figurs congruentes 2. Figurs equivlentes 3. Figurs semejntes

6 1. Figurs congruentes 1.1 Definición Dos figurs son congruentes cundo tienen l mism form, el mismo tmño y l mism áre, es decir, si l colocrls un sobre l otr son coincidentes en tod su extensión. Ejemplos:

7 1. Figurs congruentes 1.2 Triángulos congruentes Pr determinr si dos triángulos son congruentes, podemos utilizr los siguientes criterios: 1 Ldo, ldo, ldo (L.L.L.): Dos triángulos son congruentes si sus ldos correspondientes son congruentes. Ejemplo: F D 10 E Los triángulos y DEF son congruentes y se denot: Δ Δ DEF

8 1. Figurs congruentes 1.2 Triángulos congruentes 2 Ldo, ángulo, ldo (L..L.):Dos triángulos son congruentes si tienen dos ldos respectivmente congruentes y el ángulo comprendido entre ellos es congruente. Ejemplo: F D 5 E Los triángulos y DEF son congruentes y se denot: Δ Δ DEF

9 1. Figurs congruentes 1.2 Triángulos congruentes 3 Ángulo, ldo, ángulo (.L..): Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivmente congruentes y el ldo comprendido entre ellos congruente. Ejemplo: F 12 b 12 b D E Los triángulos y DEF son congruentes y se denot: Δ Δ DEF

10 2. Figurs equivlentes Son quells que tienen l mism áre. Ejemplo: El cudrdo de ldo figur: 2 p, es equivlente l círculo de rdio 2 de l Áre = p Áre = p

11 3. Figurs semejntes 3.1 Definición Pr que dos polígonos sen semejntes es necesrio que se cumpln dos condiciones: 1 que tengn sus ángulos respectivmente congruentes, y 2 que sus ldos homólogos sen proporcionles. Tienen igul form, pero no necesrimente igul tmño y áre. J d D g I d g e F b E e b H G Se llmn ldos homólogos los ldos que unen dos vértices con ángulos respectivmente congruentes.

12 3. Figurs semejntes 3.1 Definición E D b g d e G F J I H b g d e demás, en este cso, están en l rzón 1:2. Por ejemplo, los ldos y GH son homólogos, como tmbién lo son, y HI, D e IJ, DE y JF, E y FG.

13 3. Figurs semejntes 3.2 Triángulos semejntes Dos triángulos son semejntes si sus ángulos correspondientes son congruentes, y sus ldos homólogos son proporcionles. F Ejemplo: b b es homólogo DE es homólogo EF es homólogo DF 5 g D 15 Los ldos homólogos están en rzón: 1:3 = k DE = 1 EF = DF = 3 = k Recuerd que l estblecer un semejnz, el orden no se debe lterr. g E

14 3. Figurs semejntes 3.3 riterios de semejnz 1 riterio. Dos triángulos son semejntes si tienen dos ángulos respectivmente congruentes. F Ejemplo: 55 o 3 o 55 o 3 o E D Δ ~ Δ DFE por demás DF = FE = DE = k

15 3. Figurs semejntes 3.3 riterios de semejnz 2 riterio LLL. Dos triángulos son semejntes si tienen sus tres ldos respectivmente proporcionles. F Ejemplo: Δ ~ Δ FDE por LLL FD = 1 DE = FE = 2 = k demás = DFE, = EDF y = FED D 10 E

16 3. Figurs semejntes 3.3 riterios de semejnz 3 riterio LL. Dos triángulos son semejntes si tienen dos ldos respectivmente proporcionles y el ángulo comprendido entre ellos congruente. F Ejemplo: Δ ~ Δ FED por LL FD = ED 12 D = = = k E demás = DFE y = FED

17 3. Figurs semejntes 3.3 riterios de semejnz Ejemplo: Determinr l medid del segmento QR de l figur: R g b g 10 Solución: P Q Los triángulos de l figur son semejntes por y se tiene que Δ ~ Δ PRQ, entonces: PR = QR = PQ = k Es decir: 10 PR = QR = 10 = QR on k rzón de semejnz b 0 = QR 15 = QR

18 3. Figurs semejntes 3. Elementos homólogos En triángulos semejntes, los ldos homólogos y elementos secundrios homólogos (lturs, trnsversles, bisectrices simetrles y medins) son proporcionles. Ejemplo: Q 3 10 PQ 5 R = QR = RP = k 5 = = 8 = 2 = k 8 P

19 3. Figurs semejntes 3. Elementos homólogos demás, h 2, 1 = = = k h R,8 2 Q h 5 3 h R 10 R 8 P Recuerd: Teorem de Euclides h = b c

20 3. Figurs semejntes 3.5 Rzón entre áres y perímetros L rzón entre los perímetros de dos triángulos semejntes, es igul l rzón entre sus elementos homólogos. Ejemplo: Q h 5 3 h R 10 R 8 P P P PQR = 12 2 = 1 2 = k

21 3. Figurs semejntes 3.5 Rzón entre áres y perímetros L rzón entre ls áres de dos triángulos semejntes, es igul l cudrdo de l rzón entre sus elementos homólogos. Ejemplo: Q h 5 3 h R 10 R 8 P PQ = PQR = 5 10 = 1 2 = k 2 = 1 = k2

22 Pregunt oficil PSU 3. El triángulo es isósceles de bse. L circunferenci de centro y rdio r intersect los ldos del triángulo en D y E, como lo muestr l figur 8. uál(es) de ls siguientes firmciones es(son) verdder(s)? I) D D II) E D III) D E ) Solo I ) Solo II ) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III LTERNTIV ORRET D Fuente : DEMRE - U. DE HILE, Proceso de dmisión 2010.

23 Síntesis de l clse Figurs ongruentes Ángulos congruentes Ldos congruentes Triángulos ongruentes L L L F D 8 E L 3 D E 3 F L L 2 E D 2 F Figurs Equivlentes 9 Igul áre 9

24 Síntesis de l clse Figurs semejntes Triángulos semejntes Ángulos respectivos congruentes Ldos homólogos proporcionles Δ ~ Δ DEF F D 12 E Elementos homólogos Rzones riterios Ldos proporcionles Perímetro Áre DF = FE = DE = k = 1 2 P Δ = k P Δ DEF Á Δ = k 2 Á Δ DEF LLL LL

25 Prepr tu próxim clse En l próxim sesión, estudiremos División de segmentos y teorem de Thles.

26 Equipo Editoril Mtemátic